文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考八省专用）
黄金卷03
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．若集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对数函数定义域和单调性解不等式，得到 ，解一元二次不等式得到 ，由
交集概念求出答案.
【详解】集合 ， ，
则 .
故选：D.
2．设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】 ，根据模长公式得到 ，两边平方得到答案.
【详解】 ，则 ，
即 ，故 .
故选：C
3．在日常生活中，我们发现一杯热水放在常温环境中，随时间的推移会逐渐变凉，物体在常温环境下的
温度变化有以下规律：如果物体的初始温度为 ，则经过一定时间，即 分钟后的温度 满足称为半衰期，其中 是环境温度.若 ，现有一杯 的热水降至 大
约用时1分钟，那么水温从 降至 大约还需要（ ）（参考数据： ）
A．8分钟 B．9分钟 C．10分钟 D．11分钟
【答案】C
【分析】依题意分别将各组温度数据代入表达式，得出方程组再利用对数运算法则即可求得结果.
【详解】根据题意得 ，即 ；
则 ，所以 ，可得 ，
两边取常用对数得 ，
故选：C.
4．已知向量 不共线， ，其中 ，若 三点共线，则 的最
小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】根据向量共线定理和基本不等式即可求解.
【详解】因为 三点共线，
所以存在实数k，使 ，即 ，
又向量 不共线，所以 ，
由 ，所以 ，
当且仅当 时，取“=”号，故选：B
5．若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数 、 和 的单调性可依次得 、 和 ，进而得解.
【详解】因为 是 上的增函数，
所以 ，即 ，
又因为 是增函数，所以 ，
又 是 上的增函数，
所以 ，即 ，
综上所述，a，b，c的大小关系为 .
故选：A.
6．已知函数 在 与 上的值域均为 ，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助辅助角公式化简 后结合正弦型三角函数的性质可得 ，即可得与 有关不等式组，
解出即可得.
【详解】 ，若 ，则 ，
若 ，则 ，
因为 ， ，
所以 ，则有 ，解得 ，
即 的取值范围是 .
故选：A.
7．已知 是椭圆 的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若 ，且
，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，结合题意可得 ，根据椭圆定义整理可得 ，根据向量关系可得
∥ ，且 ，同理结合椭圆定义可得 ，进而可求离心率.
【详解】由题意可知： ，
设 ，因为 ，则 ，可得 ，
由椭圆定义可知： ，即 ，
整理可得 ；
又因为 ，则 ∥ ，且 ，
则 ，可得 ，
由椭圆定义可知：|BF |+|BF |=2a，即 ，
1 2
整理可得 ；
即 ，可得 ，
所以椭圆C的离心率 .
故选：B.
8．已知定义在 上的函数 满足 （ 为 的导函数），且 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得 ，令 ，可得 在 上单调递增，进而可得， ，可得结论.
【详解】由题意可得 ，即 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
又 ，故 与2的大小关系不确定.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．现有十个点的坐标为 ，它们分别与 关于点 对
称.已知 的平均数为 ，中位数为 ，方差为 ，极差为 ，则 这组数满足
（ ）
A．平均数为 B．中位数为
C．方差为 D．极差为
【答案】ABCD
【分析】根据对称知识可得 ，结合平均数、中位数、方差、极差的性质，即可判
断出答案.
【详解】由于 ，它们分别与 关于点 对称，
则有 ，即有 .
则由平均数的性质可得 这组数的平均数为 ，
结合中位数性质可知中位数为 ，结合方差性质可得方差为 ，极差非负，所以极差为 .故选：ABCD
10．在 中，内角 所对的边分别为 且 ，则（ ）
A． B．若 ，则
C．若 ，则 面积的最大值为 D．若 ，则
【答案】ACD
【分析】结合余弦定理检验选项A；结合正弦定理检验选项B；结合基本不等式及三角形面积公式检验选
项C；结合正弦定理及和差角公式检验选项D．
【详解】因为 ，由余弦定理得， ，
由 为三角形内角得， ，A正确；
若 ，则 ， ，
由正弦定理得， ，
所以 ，代入 ，得 ，B错误；
若 ，则 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，此时 ，C正确；
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，D正确．
故选：ACD．
11．已知定义域为 的函数 ，对任意 ，都有 ，且 ，
则（ ）
A． B． 为偶函数C． 为奇函数 D．
【答案】BCD
【分析】利用赋值法计算可得 ，即A错误；令 可得 满足偶函数定义，即
B正确；取 可得 ，可得 为奇函数，即C正确；利用奇函数性质可得
，可得D正确.
【详解】令 ，得 ，又 ，所以 ，故A错误；
令 得， ，所以 ，故 为偶函数，故B正
确；
令 ，得 ，所以 ，
又 ，所以 ，
而 的定义域是全体实数，所以 为奇函数，故C正确；
由C可得 ，也即 ，所以 ，所以
，故D正确.
故选：BCD.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 的展开式中，其中不含x的项为 ．
【答案】 和
【分析】利用二项式定理即可求解.【详解】由二项式定理可得 展开式的通项为 ，
所以多项式 的展开式中不含x的项分别为：
和 .
故答案为： 和 .
13．已知 ， ，则 .
【答案】
【分析】根据两角差的正弦公式计算可得 ，再由三角函数值域代入化
简计算可得结果.
【详解】由题意可知 ，
所以 ，
由题意可知 ， ，
由 可得 ，
所以 .
故答案为：
14．如图，平面四边形 中， 为等边三角形，现将 沿 翻
折，使点 移动至点 ，且 ，则三棱锥 的外接球的表面积为 .
【答案】
【详解】因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，将三棱锥 补形为如图所示的直三棱柱，则它们的外接球相同，
外接球的球心 在棱柱上下底面三角形的外心连线上，
令 的外心为 ，由 为等边三角形， ，
得 ，
因为 ，所以在 中， ，
即外接球的半径为2，
所以外接球的表面积为 .
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）等差数列{a }的前 项和为 ，已知 ， .
n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据条件转化为首项和公差的方程，即可求解；
（2）根据数列正项和负项的分界，讨论 与 的关系，求解.
【详解】（1）设数列{a }的公差为 ，
n
∵ ，∴ ，………………………………………………………………………………2分∵ ，∴ ，∴公差为 ，∴ ，……………………………………………………4分
∴ ； ……………………………………………………………………………6分
（2）由已知 ，……………………………………………………………8分
时， ；
时， ；………………………………………………12分
综上 .……………………………………………………………………………13分
16．（15分）如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ，
， 为棱 上一点．
(1)若 是 的中点，求证：直线 平面 ；
(2)若 ，且二面角 的平面角的余弦值为 ，求三棱锥 的体积
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）先取 的中点 ，连接 ，再由平行四边形即可证明线线平行，进而证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量由二面角 的平面角的余弦值求出 的位置，即可由体
积公式求解．
【详解】（1）证明：取 的中点 ，连 ， ，为 的中点， 且 ，………………………………2分
又 ，且 ，
， ，
所以四边形 为平行四边形，…………………………………………………………………………4分
，
又 平面 ， 平面 ，故直线 平面 ．………………………………………6分
（2）以 为坐标原点，以 ， ， 所在射线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 ，如图
所示，
则 ， ， ， ，……………………………………………………8分
设 ，则 ， ，
在棱 上， 可设 ，
故 ，解得 ，即 ，
易知平面 的法向量为 ，………………………………………………………………………10分
设平面 的法向量 ， ， ，
，即 ，即 ，
取 ，则 ， ，
故 ，……………………………………………………………………………………………12分
因为二面角 的平面角的余弦值为 ，
所以 ，即 ，
即 ，
，解得 ，故 是 的中点，……………………………14分
因此 ……………………………………………15分
17．（15分）已知函数
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 ， ，求实数k的取值范围．
【答案】(1)0(2)
【分析】（1）先对函数求导，根据导数的正负性判断函数的单调性，进而求得最大值.对于（2）同样先求
导，然后根据 的不同取值范围，分析函数的单调性，从而确定满足 时 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，其定义域为 .
对 求导， .
化简 .……………………………………………………………………………2分
展开 .所以 . ……………………………………………………………………………4分
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
所以 在 处取得最大值， .……………………………………6分
（2） 时，
当 时，因为 ，
所以 ，……………………………………………………………………8分
所以
当 时，因为 ，所以舍去. …………………………………………………………10分
当 时，因为
所以令 ，得 ……………………………………………………………………………12分
当 时， ，所以 单调递增，所以 ，
不合题意，故舍去.
综上可知： 综上所的，实数k的取值范围为 .………………………………………………15分
18．（17分）已知点 ， ，点P在以AB为直径的圆C上运动， 轴，垂足为D，点M
满足 ，点M的轨迹为W，过点 的直线l交W于点E、F.
(1)求W的方程；
(2)若直线l的倾斜角为 ，求直线l被圆C截得的弦长；(3)设直线AE，BF的斜率分别为 ， ，证明 为定值，并求出该定值.
【答案】(1) (2) (3)证明见解析，2
【分析】（1）由已知可得圆的方程，设M(x,y)，P(x ,y )， ，根据 ，可得 ，
0 0
，代入圆的方程即可求解；
（2）由已知可得直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理即可求解；
（3）根据题意可知直线 斜率不为0，设直线 的方程为 ， ， ，联立直线和椭
圆构成的方程组，根据斜率的计算公式结合韦达定理即可求解.
【详解】（1）
由题意，点 在圆 上运动，设M(x,y)，P(x ,y )， ，
0 0
由 得 ， ，……………………………………………………………………2分
又 ，所以 ，所以 的方程为 ；…………………………………4分
（2）直线 的方程为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离为 ，…………………………………………………6分所以直线 被圆C截得的弦长为 ；………………………………………………8分
（3）
由题意，直线 斜率不为0，设直线 的方程为 ， ， ，
联立 得 ，
所以 ， ，
故 ，…………………………………………………………………………………14分
.……………………………………………17分
19．（17分）某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程
（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行
整理，得到如下的频率分布直方图：(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值 （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)由频率分布直方图计算得样本标准差s的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车
的单次最大续航里程X近似地服从正态分布 ，其中μ近似为样本平均数 ，σ近似为样本标准差
S.
（ⅰ）利用该正态分布，求 ；
（ⅱ）假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z表示这20辆新能源汽车中单次最大续
航里程位于区间（250.25，399.5）的车辆数，求E（Z）；
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布 ，则 ，
.
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛
掷硬币的结果，操控微型遥控车在x轴上从原点O出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都 ，客
户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，则遥控车向移动一个单位，若掷出反面，则遥控车
向右移动两个单位，直到遥控车移到点（59，0）（胜利大本营）或点（60，0）（失败大本营）时，游戏
结束，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.设遥控车移到点 的概率为
，试证明数列 是等比数列 ，求出数列 的通项公式，并比
较 和 的大小.
【答案】(1)300(2)（ⅰ） ；（ⅱ） (3)证明见解析， ，
【分析】（1）根据平均数的求法求得正确答案.
（2）（ⅰ）根据正态分布的对称性求得正确答案.
（ⅱ）根据二项分布的知识求得正确答案.（3）根据已知条件构造等比数列，然后利用累加法求得 ，利用差比较法比较 和 的大小.
【详解】（1）
.………………………………………2分
（2）（ⅰ） .…………………………………4分
（ⅱ））∵Z服从二项分布 ，∴ .……………………………6分
（3）当 时， ，
.
∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列，……………………………………9分
.
.
累加得：
.
∴ …………………………………………………………………………15分
∵ ，∴ . ……………………………………………17分
注：比较 和 的另一个过程： .
