文档内容
2024届高三下学期开学摸底考（全国甲卷、乙卷通用）
文 科 数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：高考全部内容。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 满足 ，则 （ ）
A．3 B． C．7 D．13
3．若实数 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．6
4．已知角 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．执行下面的程序框图，则输出的 的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．某人统计了甲、乙两家零售商店在周一到周五的营业额（单位：百元）情况，得到了如下的茎叶图
（其中茎表示十位数，叶表示个位数），关于这5天的营业额情况，下列结论正确的是（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．甲、乙两家商店营业额的极差相同
B．甲、乙两家商店营业额的中位数相同
C．从营业额超过3000元的天数所占比例来看，甲商店较高
D．甲商店营业额的方差小于乙商店营业额的方差
7．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， ， ，则
（ ）
A． B． C．0 D．
9．如图是四棱锥 的平面展开图，四边形 是矩形， ， ， ，
， ，则在四棱锥 中， 与平面 所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
10．若 ， 是函数 的两个不同的零点，且 ， ， 这三个数可适当排序后
成等比数列，也可适当排序后成等差数列，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A．{ 或 } B．{ 或 }
C．{ 或 } D．{ 或 }
11．等腰三角形ABC内接于半径为2的圆O中， ，且M为圆O上一点， 的最大值为
（ ）
A．2 B．6 C．8 D．10
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司12．已知点 在曲线 上，那么 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知函数 ，若直线 与曲线 相切，则 .
14．已知具有公共焦点 的椭圆 与双曲线 在第一象限的交点为P，若 ，椭圆 与双曲
线 的离心率分别记作 ，则 的最小值为 ．
15．已知三棱锥 的四个顶点均在同一球面上， 平面 ， ， ，且
与平面 所成角的正弦值为 ，则该球的表面积为 .
16．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ，且 ，则当边 取
得最大值时， 的周长为 .
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）某高中组织学生参加线上新冠肺炎防控知识竞答活动，现从参与答题的男生､女生中分别随
机抽取20名学生的得分情况（满分100分），得到如下统计图：
性别
男生 女生 合计
成绩
80分以上
80分以下
合计 20 20 40
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)学校对得分80分以上的学生，颁发“知识达人”荣誉称号.根据直方图补全2×2列联表，并判断是否有
90%的把握认为是否为“知识达人”与性别有关.
(2)从成绩在 的学生中，按分层抽样抽取6人，再从6人中随机抽取3人，求恰有1人成绩
在 的概率.
附： ，其中 .
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18．（12分）已知数列 的前n项和为 ，且 ， ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求数列 的通项公式．
19．（12分）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱 底面 分别是
中点.
(1)判断直线 与平面 的位置关系；
(2)若 与平面 所成角为 ，求 到平面 的距离.
20．（12分）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最小值；
(2)若 ，判断 的零点个数．
参考数据： ， ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司21．（12分）设 分别为椭圆 :的左、右焦点， 是椭圆 短轴的一个顶点，
已知 的面积为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)如图， 是椭圆上不重合的三点，原点 是 的重心
（i）当直线 垂直于 轴时，求点 到直线 的距离；
（ii）求点 到直线 的距离的最大值.
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）在直角坐标系 中，已知曲线 （其中 ），曲线 （ 为
参数， ），曲线 （t为参数， ）．以坐标原点 为极点， 轴的正半轴
为极轴建立极坐标系．
(1)求 的极坐标方程；
(2)若曲线 与 分别交于 两点，求 面积的最大值．
选修4-5：不等式选讲
23．（10分）已知函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的值．
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