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一 升 和 毫 升
一、认识容量
可以通过观察、操作
1.容器中所能容纳物体的多少就是它的容量。像茶杯、笔筒、
等方法比较几个容器容
热水壶等能盛装其他物体的物体都是容器,其中茶杯和热水壶都
量的大小。
能盛水,而这些物体能盛水的多少就是它们的容量。
易错点:误以为所有
2.容．器．的．容．量．是．有．大．小．的．。． 容器的计量单位都是升。
举例:
3.为了准确测量或计量容器的容量,要使用统一的单位。
在括号里填上合适
二、认识升
的单位。
1.计量水、油、饮料等液体的多少,通常用升作单位。升可以
一瓶饮料的净含量
用字母“L”表示。
为500( )。
2.棱长是1分米的正方体容器(不计壁厚),容量是1升。
错解:升
3.计．量．固．体．的．体．积．．,不．能．用．升．作．单．位．。． 正解:毫升
三、认识毫升
1.毫升也是容量单位,可以用字母“mL(ml)”表示。
2.棱长是1厘米的正方体容器(不计壁厚),容量是1毫升。
易错点:误以为升与
3填．写．单．位．时．．,要．根．据．实．际．情．况．选．择．合．适．的．单．位．．,而．不．能．仅．仅． 毫升之间的进率是10。
( )
根．据．所．给．数．的．大．小．进．行．选．择．。． 举例1:
判断:升与毫升之间
四、升与毫升之间的换算
的进率是1000。
1.升．与．毫．升．之．间．的．进．率．是．1．0．0．0．．,即1升=1000毫升或1L=1000 错解:(✕)
正解:(√)
mL。 举例2:
在( )里填上“升”
2.升与毫升之间的换算与其他单位之间的换算方法一样,把
或“毫升”。
高级单位换算成低级单位,乘进率;把低级单位换算成高级单位,除
一桶豆油大约有
以进率。
2.5( )。
五、解决问题的方法
一瓶果汁大约有
1.运．用．比．较．法．解．决．问．题．。．(基本方法) 500( )。
一汤勺水大约有
比较法是通过观察、分析,找出研究对象的异同点,从而发现
10( )。
解决问题途径的一种方法。
解题技巧:解决此类
2.运．用．综．合．法．解．决．．“注．水．．”问．题．。．(能力点) 题目,要运用比较法,先观
察所给物体的大小,然后
解决此类问题的关键是分清水管关好前、后每分钟的注水量,
与1升、1毫升进行比较、
并根据注水量求出相应的时间。
分析,最后得出结论。
3.运．用．转．化．法．解．决．．“漏．水．．”问．题．。．(能力点) 答案:升 毫升 毫
升
解决此类问题的关键是利用所给数量之间的倍数关系。
4.运．用．分．析．法．解．决．．“溢．水．．”问．题．。．(能力点)
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第1页解决生活中的实际问题时,要从实际情况入手,深入解读题目
中的已知条件,理解题意,最后得出结论。
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第2页二 两、三位数除以两位数
一、除数是整十数,商是一位数的口算和笔算
1.整十数除以整十数的计算方法:
举例:
求一个数里含有几个另一个数,用除法计算。
口算:80÷40=
教材例1,通过认真看图、读题、理解题意可知,60副陆
(1)根据乘、除法的互逆
战棋,每20副打一包,求要打几包,就是求60里面有几个20,
关系,想乘法算除法:
用除法计算,列式为60÷20。
40×2=80→80÷40=2
探究60÷20的计算方法:
(2)利用表内除法计算:
可以采用两种方法,口算法:根据乘、除法的互逆关系或
8÷4=2→80÷40=2
表内除法计算:20×3=60→60÷20=3。
易错点:误以为余数可以
比除数大。
笔算法:可以借助小棒图理解算理。 从图
举例:85÷20=
中可知:60里面有3个20,即60÷20=3。
(1)口算方法:
①根据乘、除法的互逆关系,想乘法算除法;
用竖式计算时,商的4要
②利用表内除法计算。
与被除数85个位上的5对
利用表内除法计算,渗透了类．比．的思想方法。类比的思想 齐。
验算:20×4+5=85
方法是指根据两类数学对象的相似性,将已知的一类数学对 举例:120÷30=
象的性质迁移到另一类数学对象上去。
(2)笔算方法:被除数里面有几个除数,商就是几,商要写
用竖式计算时,被除数
在个位上。用竖式计算时,商要与被除数的相同数位对齐。
120的前两位12除以30,不
2.两位数除以整十数的笔算方法:
够除,就用120除以30,商的4
(1)算法分析:两位数除以整十数,用被除数的前两位除以 要与被除数120的个位对齐。
验算:30×4=120
除数,被除数里面含有几个除数,商就是几,商必须写在被除数 要点提示:计算三位数除
以整十数的除法时,一定要注
的个位上。有余数时,余．数．要．比．除．数．小．。 意商的书写位置。计算时一定
要细心,不能漏写或少写。
(2)可采用试商的方法确定商的大小。
(3)验算:根据．“商．×．除．数．+．余．数．=．被．除．数．．”来．验．算．有．余．数．的．除．
法．。．
3.三位数除以整十数,商是一位数的笔算方法:
(1)算法分析:因为除数是两位数,所以要先看被除数的前
两位,被除数的前两位如果不够除,就要看被除数的前三位,商
要与被除数的个位对齐。
(2)可采用试商的方法确定商的大小。
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第3页(3)验算:根据．“商．×．除．数．=．被．除．数．．”来．验．算．没．有．余．数．的．除．法．。．
二、除数是整十数,商是两位数的笔算
1.笔算三位数除以整十数的除法时,应先看被除数的前 知识巧记
两位,如果够除,那么先用被除数的前两位除以除数;如果被除 除法笔算别烦恼,
数的前两位不够商1,那么再看被除数的前三位。 关键三点要记好。
2.比较商是一位数和商是两位数的除法的异同: 商的位置很重要,
除数要比余数小。
相．同．点．．:(1)试除的顺序相同。
判断结果对与错,
(2)除到被除数的哪一位,商就写在那一位的上面。 验算千万不可少。
举例:320÷30=
(3)每．次．除．后．余．下．的．数．都．要．比．除．数．小．。．
错解:320÷30=1……20
不．同．点．．:商是一位数——被除数的前两位不够除;
商是两位数——被除数的前两位够除。
正解:320÷30=10……20
3.被．除．数．的．前．两．位．大．于．除．数．．,商．应．该．是．两．位．数．。．
4.笔算除法时,一定要注意,除到哪一位不．够．商．1．时．,要在
举例:234÷32=
那一位上商．0．占．位．。
错解:234÷32=7……20
三、把除数看作和它接近的整十数试商
1.方法:四．舍．五．入．法．(是用“四舍”法估除数,还是用“五入”
正解:234÷32=7……10
法估除数,要根据除数个位上的数进行判断)。
2.用“四舍”法估算除数:除数个位上的数小．于．5．时．,把个位
要点提示:笔算除法试商时,把
上的数舍．去．,把两位数看作和它接近的整十数。
除数看作的整十数不参与运
算。
3.用“五入”法估算除数:除数个位上的数大．于．或．等．于．5．时．,
把个位上的数舍．去．．,并．向．十．位．进．1．,把两位数看作和它接近的
整十数。
知识巧记
四、解决问题 笔算除法莫为难,
1.用乘、除法的知识解决实际问题 试商应把除数看。
(1)根据实际情况,可以运用乘、除法的知识列综合算式 “四舍”试商商易大,
商减1来准好办;
解决实际问题。同一个问题,思考的角度不同,列出的算式也
“五入”试商商易小,
不相同。
商再加1解难关。
(2)检验解题方法和计算结果是否正确,可以把得数代入
原题进行检验。
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第4页2.运用抓不变量法解决实际问题(能力点)
举例:156÷32=
五、除数是两位数的除法(一)
错解:156÷32=5……4
1.运用 ．“四．舍．．”法．试商,因为把除数看小了,所以初商易偏
大,造成商与除数的乘积大于被除数,需．要．将．初．商．调．小．。
正解:156÷32=4……28
2.运用 ．“五．入．．”法．试商,因为把除数看大了,所以初商易偏
小,造成余数等于或大于除数,需．要．将．初．商．调．大．。
要点提示:商与除数的乘
3.计算除数是两位数的除法的一般步骤:
积一定不能大于被除数。
(1)定．位．——确定商应该写在什么位置上。
知识巧记
试商方法很多种,
(2)试．商．——用除数去试除被除数的前几位,得到初商。
灵活运用不马虎。
“四舍五入”最常用,
初商是否合适,还要看下面两步。
特殊数据看清楚。
同头无除商八九,
(3)乘．减．——用被除数的前几位,减去初商与除数的乘
除数折半商四五。
举例:在 里填上合适
积。如果乘积大于被除数的前几位,那么说明初商过大;如果
的数,使竖式成立。
被除数的前几位减去初商与除数的乘积,所得的差大于除数,
那么初商过小。初商过大或过小,都必须改商。
(4)比．——把余数与除数进行比较。如果余数比除数小,
说明初商合适;如果余数比除数大,说明初商过小,需要改商。
4.验算,就是验证计算结果是否正确,因此要认真对待并
完成验算,才能及时发现计算过程中的错误。 解题技巧:根据已知条件
5.解．决．除．数．是．两．位．数．的．除．法．问．题．的．方．法．．:
确定除数十位上的数是解决
(1)运用倒．推．法．解决问题:根据“被除数=商×除数+余数”中
此题的关键。由被除数百位上
给出的已知条件可以倒推出所求问题。
的数是8,商十位上的数是3
(2)运用推．理．法．解决除法竖式谜问题:根据已知条件确定
可知,除数十位上的数可能是
除数所求数位上的数是解决此类题目的关键。
1或2。由4和5的乘积是三
六、解决问题
位数可知,除数十位上的数是
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第5页1.运．用．比．较．法．解．决．问．题．。．(基本方法) 2,即除数是24。已知商和除
解决择优问题时,首先把所有的方案都列举出来,然后进
数,便可得出其他 里应填
行比较筛选。
2.运．用．列．举．法．解．决．竖．式．谜．问．题．。．(能力点) 的数。
答案:
三位数除以两位数,如果商是两位数,那么被除数的前两
位一定大于或等于除数。
3.运．用．推．理．法．解．决．求．被．除．数．的．问．题．。．(能力点)
解答此类问题时,先把除法关系式列出来,再根据题意找
出对应的数量,进而求出未知的量。明确除法各部分之间的关
系是关键。
4.运．用．画．图．法．解．决．求．加．数．的．问．题．。．(能力点) 要点提示:
1.被除数和除数的末尾
如果一个整数去掉末尾的一个0等于另一个数,那么这 要同时划去相同个数的0。
两个数中较大数是较小数的10倍。 2.0不能作除数。0乘任
七、探索商不变的规律 何一个数都得0,因此同时乘
或除以一个相同的数时,这个
1.被．除．数．和．除．数．同．时．乘．或．除．以．一．个．相．同．的．数．．(0．除．外．．)．,商．
数不能为0。
举例:
不．变．。．
600÷15
=(600÷3)÷(15÷3)
2.被．除．数．乘．a．．,除．数．除．以．b．．,商．应．乘．a．×．b．．(a．．,b．均．为．非．0．自．然．
=200÷5
=40
数．．)。．(能力点)
举例:简算3500÷25=
答案:
3.被．除．数．与．除．数．同．时．扩．大．相．同．的．倍．数．．,商．不．变．。．
3500÷25
4. 运用商不变的规律解题: =(3500×4)÷(25×4)
=14000÷100
(1)可以把一些比较复杂的除法算式转化成简单的除法
=140
算式,使计算简便。
举例:
(2)可以使解题过程更简洁明了。
用竖式计算:8400÷30=
错解:8400÷30=28
5.解决问题的方法:
(1)运用转．化．法．解决简便计算的问题。
(2)运用商．不．变．的．规．律．解决实际问题。
正解:8400÷30=280
八、被除数和除数的末尾都有0的除法的简便算法
1.被．除．数．和．除．数．的．末．尾．都．有．0．且．没．有．余．数．的．除．法．的．简．便．
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第6页算．法．．:
(1)将被除数和除数的末尾同时划去相同个数的0,再计
算。
(2)当被除数和除数的末尾的0的个数不同时,同时划去
的0的个数应以末尾0的个数较少的数为准。任．何．数．中．间．的．
0．都．不．能．划．去．。．
2.被．除．数．和．除．数．的．末．尾．都．有．0．且．有．余．数．的．除．法．的．简．便．算．
法．．:被除数和除数的末尾同时划去几个0,就在余数的末尾添
上几个0。
3.运用假设法和列表法解决问题
遇到没有对被除数和除数提出明确要求的题目时,可以
先通过假设来确定其中一个符合条件的数,进而根据除数和
其他条件确定被除数,列出相应的算式,解决问题。
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第7页实 践 活 动
一、简单的周期
1.解决周期问题的关键
1.认识周期现象
周．期．现．象．的．概．念．:同一事物依次重复出现就叫做周期现
是明．确．事．物．的．排．列．规．律．。
象。
2.解决周期问题时,如果
2.周．期．问．题．的．解．题．方．法．．: 结果有余数,那么余数中的物
体要按原规律排列。
(1)找出排列规律,确定排列周期。
(2)确定排列周期后,用总数除以周期。
①如．果．没．有．余．数．．,正．好．有．整．数．个．周．期．．,那．么．结．果．为．周．期．里．
的．最．后．一．个．。．
②如．果．有．余．数．．,即．比．整．数．个．周．期．多．n．个．．,那．么．结．果．为．下．一．
个．周．期．的．第．n．个．。．
二、运动与身体变化
1.运动前后不要大量饮
1.提出问题:适量的运动可以使我们变得更健康,那么你
水或吃冷饮;体弱或生病期间
知道运动后,身体会发生哪些变化吗?
不要做剧烈运动;身上不要佩
身上会出汗 脉搏会加快 呼吸会加快
戴坚硬或带尖的物品……
2.实验过程:
2.运动时间的长短和运
(1)测出运动前1分钟脉搏的跳动次数。
动方式的不同都会引起脉搏
(2)原地高抬腿跑30秒后,立即测出1分钟脉搏的次数,
的变化,变化的结果也是不同
并作记录。
的。
(3)休息2分钟后,再测出1分钟脉搏的次数,并作记录。
(4)计算每组数据的平均数,根据“总．数．量．÷．总．个．数．=．平．均．
数．”来计算,并将结果填在记录表中。
(5)分析每个人的三项数据及全组的三个平均数,看运动
对脉搏的影响。
斜面是最简单的机械之
(6)得出结论:运．动．可．以．使．脉．搏．加．快．．,休．息．后．脉．搏．逐．渐．恢． 一。
复．。．
三、怎样滚得远
1.提．出．问．题．:在日常生活中,我们常看到物体在斜坡上向
1.物体从斜坡上滚下的
距离,不仅与斜坡的长度有关,
下滚。那么,斜坡与地面成什么角度时,物体滚得远一些呢? 还与斜坡和地面所成的角度
有关。
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第8页2.实验操作需要科学和
2.实．验．操．作．:
严谨,否则结果将会失之毫厘,
(1)选择不同的具有代表性的角度进行实验,记录每次实 差之千里。
验的结果。(如选择斜坡与地面成30°,45°,60°角度进行实验)
(2)认真统计实验数据。
选择斜坡与地面所成的角度(如30°角)进行实验,记录实
验结果,计算出每次物体在地面上滚动的距离的平均数,然后
换一个角度(如45°角),再次计算出平均数。这样多换几个角
度,测量并记录每次物体在地面上滚动的距离,求出它们的平
均数。
(3)得．出．实．验．结．论．:比较每次求得的平均数,从而得出斜坡
与地面成什么角度时,物体滚得远一些。
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第9页三 观 察 物 体
一、观察物体:我们观察像冰箱、柜子等有门的物体时, 要点提示:观察物体时,要
确定观察者的位置,才能正确
一般把有门的这一面称为前面。如果没有门,那么把物体正对 判断观察到的直观图的排列
方式。
着我们的一面称为前．面．,在我们右侧的面称为右．面．,物体顶部
举例:
的面称为上．面．。 判断:任何一个物体从不
同的方向观察,看到的形状都
二、从不同方向观察同一物体
不相同。 ( )
1.观察物体时,视线要垂．直．于．被观察物体的表面。 错解:(√)
正解:(✕)
2.从不同方向观察同一物体,看到的形状可．能．是．不．同．的．。 解题技巧:单独的一个正
方体,无论从什么方向观察,看
三、观察几何体:观察由若干个大小相同的正方体组成的
到的形状都是正方形。
物体时,要弄清从每一面能看到几个正方形,是怎样排列的。
1.观察时应在正．对．着．几何体的一面进行观察。
2.从不同方向观察同一个几何体,看到的形状可．能．是．不．
同．的．。
四、辨认从不同方向观察简单物体所得到的图形
辨认从不同方向观察简单物体所得到的图形时,应从观
察者的角度,从不同方向观察物体,把观察到的图形和题目中
的图形对照,从而得到正确答案。
要点提示:要通过实际操
五、辨认从不同方向观察稍复杂的物体所得到的图形
作、观察、想象,才能正确判
1.辨认从不同方向观察稍复杂的物体所得到的图形时,
断。
可以先从不同方向观察物体,描述出看到的图形,再与已知图
形对比,判断出已给图形是从哪个方向观察得到的。
2.从．同．一．方．向．观．察．不．同．的．物．体．时．．,看．到．的．图．形．可．能．是．相．
易错点:仅凭从某一方向
同．的．．,也．可．能．是．不．同．的．。． 看到的图形来确定组成立体
图形的正方体的个数。
六、根据指定的视图摆放物体
根据指定的视图摆放物体时,先思考这个视图是从哪个
方向观察得到的,再根据视图的特点摆出物体。
举例:填一填下面的图形
七、解决问题
中各有多少个小正方体。
1.运用观．察．法．和分．析．法．解决组合立体图形的问题
(1)运用观察法解决组合立体图形的问题
①判断组合立体图形的形状,应弄清各个立体图形合并
( )个 ( )个
时的位置和每个立体图形中含有的正方体的个数。
错解:5 3
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第10页②观察时也可以通过从前面和上面,或从上面和右面看 正解:6 4
到的图形来确定摆放的层数、行数和每行的个数。
(2)运用分析法解决根据视图摆立体图形的问题
综合所有的条件进行判断是解答此类问题的关键。
2.运用排．除．法．解决猜正方体上相对面上的数字的问题
用排除法时,我们可以从出现次数最多的数字入手。
3.运用转．化．法．解决观察物体的问题
用正方体搭物体,搭法不同,但是从同一方向观察到的图形可
能相同。
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第11页四 统计表和条形统计图(一)
一、统计表和条形统计图
1.完整的统计表要有:
1.由教材例1中可以发现,统计张丽华所在班的同学最喜 (1)反映统计内容的标题
和日期;
欢的电视节目的人数蕴含着统计的思想方法。所谓统．计．的．数． (2)和收集数据相对应的
统计项目;
学．思．想．,是指在生产、生活和科学研究时,人们通常需要有目 (3)表示的数据。
的地调查和分析一些问题,这时把收集到的一些原始数据加 2.统计表除了每个项目
要根据整理出的数据正确填
以整理,从而方便研究的一种思想。要清楚地表示收集到的数 写外,一般还要计算合计数,它
表示各项目的数据相加是多
据和结果,就需要认识统计表和统计图,用统计表或统计图来 少。
表示收集到的数据。
2.统．计．表．
(1)根据调查的相关数据填写统计表,在对应栏里填上对
应的数据。
(2)合．计．是各个分类事物的统计数据之和。
要点提示:
3.条．形．统．计．图． 1.制作统计表和统计图
时,一定要注明统计表(图)的
(1)制作条形统计图时,可以根据数量的多少确定1格代
名称和制表(图)日期。
表多少个单位,确定好横轴、纵轴。
2.在条形统计图上表示
(2)特．点．．:条．形．统．计．图．可．以．直．观．、．形．象．地．反．映．数．量．的．多．少．。． 数据,一要看清各类项目的位
置,在对应的位置上表示相应
(3)绘制条形统计图应注意的问题:
的数据;二要根据每格表示几
①绘制条形统计图时,直条宽窄相等意味着把相应数量
确定直条画多高,准确表示数
放在同一标准下进行比较。若直条宽窄不等,则意味着比较的
据;三要在直条的上部标出表
标准不同。
示的数量。
②绘制条形统计图时,其组成部分一个都不能少,如标．
题．、．制．图．时．间．、．单．位．、．直．条．、．数．据．、．统．计．对．象．等．。
4.横．向．条．形．统．计．图．．:用纵轴表示统计对象的名称,横轴表
示统计的数据,这样的条形统计图叫作横向条形统计图。
5.统计表和条形统计图都能清楚地看出统计的结果。统
计表用表格呈现数据,条形统计图用直条呈现数据。
要点提示:
二、数据的分段整理和统计
1.整理数据时,要按编号
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第12页1. 收集、整理数据时,可以根据实际情况,对一组数据进 顺序逐个进行整理,避免重复
行分段整理。 或遗漏。
2.在进行数据的统计时,
2.分．段．整．理．数．据．的．步．骤．．:
划分合理的数据段很重要。
(1)收集数据; 3.在分段整理之后,将各
(2)分段整理(可以用画“正”字的方法); 段的个数相加,看是否与条件
(3)制作统计表; 中的总数相等,是验证统计结
(4)分析数据,解决问题。 果的基本方法,且分段要做到
三、运用对应法解决合并统计表的问题(能力点) 不重不漏。
在合并两个统计表时,相同的项目要对应好,复式统计表 易混点:分段整理数据时,
一般要有两个栏目。 除了用画“正”字的方法外,还
可以用数数法、画“ ”法、用
四、平均数 不同符号记录法……
平均数能较好地反应一
1.平．均．数．的．意．义．:一组数据的和除以这组数据的个数,所
组数据的整体水平。
得的商就是平均数。
易错点:平均数不是实际
2.平均数的特点:平均数是描述一组数据集中趋势的特 数量,它是一个虚拟的数。
征量。它是一组数据的代表值,能较好地反映一组数据的整体
水平,常用来进行几组数据间的比较。
3.平均数的求法:
要点提示:
(1)移．多．补．少．法．:在总量不变的前提下,在几个(或若干个)
1.求平均数的过程中蕴
含着统计的数学思想。
不相同的数中,从多的数中拿出一部分给少的数,使它们变成
2.移多补少,一般都是通
过实际操作来求平均数,用实
相同的数,这个相同的数就是这组数据的平均数。
物替代数据的实际数量,相互
特点:数量较小时使用比较方便。 移补求得平均数,原来每个数
据的数量都可能发生变化。
(2)计．算．法．:先求出一组数据的总数量,再除以这组数据的
举例:
总个数,就可以求出这组数据的平均数,即“平．均．数．=．总．数．量．÷．总． 判断:几个数的平均数一
定大于其中每一个数。
个．数．”。 ( )
错解:(√)
(3)根据“平均数=总数量÷总个数”可以推导出“总数量=平 正解:(✕)
均数×总个数”,也就是已知几个数的平均数,可以求出它们的
总数量。(能力点)
要点提示:求平均数必须
4.平均数的判定:几个数的平均数不一定小于其中每一
要清楚谁是总数量,谁是总份
数(总个数)。
个数,也不一定大于其中每一个数,也不一定等于其中每一个
数,它在．最．大．数．和．最．小．数．之．间．。
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第13页5.求平均数必须知道的两．个．条．件．:
(1)被平均分的事物的总数;
(2)要平均分成的个数或份数,即平均数=总数量÷总个数
(或总份数)。对于这三个量,知道任意两个量,就可以求出第三
个量。
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第14页五 解决问题的策略
一、用列表法解决问题
1.分析数量关系可以从
1.用．列．表．法．解．决．问．题．。(基本方法) 条件入手,也可以从问题入
手。
(1)用列表法解决归一问题:“归．一．问．题．”是指每份数量不
2.解决问题时,要先认真
审题,明确题目中的数量关系,
变,解题时要先求出每份是多少。
再列式。
(2)用列表法解决归总问题:“归总问题”是指总数不变,解 3.列表法有利于发现数
题时要先求出总数是多少。 量之间的关系,容易找到解决
问题的策略。
2.用．列．表．法．解．决．实．际．问．题．的．基．本．步．骤．．:
4.用列表法解决问题时,
(1)弄清题意,明确已知条件和所求问题; 要选取相关的条件和问题。
(2)列表整理相关信息;
(3)分析数量关系; 举例:
(4)解决问题; 买2根棒棒糖用10元,
(5)检验。 买5根同样的棒棒糖用多少
元?列式为( )
3.分．析．实．际．问．题．中．数．量．关．系．的．方．法．．:可以从已知条件入
A.10÷5×2
手,通过列表或画线段图等方法进行分析;也可以从所求问题 B.10÷2×5
C.10÷2÷5
入手,通过列表或画线段图等方法进行分析。 错解:A
正解:B
4.运．用．假．设．法．和．列．表．法．解．决．问．题．。(能力点)
用列表的方法整理题目中的已知条件和所求问题,从已
知条件和所求问题出发,分析两积(商)之和(差)问题的数量关
系,总结解决实际问题的办法。
二、用多种策略解决问题
1.运．用．多．种．策．略．解．决．问．题．。(基本方法)
(1)从条件出发,先找出有联系的两个信息,求出两个中间 解题技巧:解决问题时,要
问题,然后求出题目中的问题。 对题目中的信息进行准确、有
(2)从问题出发,思考解决这个问题需要知道哪些条件,然 序地排列,避免弄混。
后去找与这些条件相关的信息。
根据题中所给的数量关系多
2.运．用．假．设．法．解．决．实．际．问．题．。(能力点)
角度思考,运用不同的方法解
假设法是解应用题常用的一种思维方法。在一些应用题 决问题。
中,要求两个或两个以上的未知量,可以先假设要求的两个或
几个未知数相等,然后按题中的已知条件进行推算,并对照已
知条件,把数量上出现的矛盾加以适当的调整,找到答案。假
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第15页设法通常应用于鸡兔同笼、租船等问题中。
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第16页六 可 能 性
一、事件发生的不确定性和确定性
随机思想是认识随机现
从教材例1的图中我们观察到,图中有一个口袋,口袋里
象和统计规律的重要思想。
放有1个红球和1个黄球,一名蒙着眼睛的同学正在摸球。口
像摸球、抽签表演节目等
袋里的球除了颜色不同外,大小、质地完全相同。根据题意可
知,要求小组合作,从口袋里任意摸出1个球,摸后放回,一共摸
游戏中都蕴含着随．机．思．想．。
10次,记录每次摸出球的颜色。
1.通过分析,我们知道每次摸出的可能是红球,也可能是
在一定的条件下,某些现
黄球,即每个球都有可能被摸出。这个事件的发生是不确定
的。
象的结果是可以预知的,即总
2.如果把口袋里的2个球都换成是红色的,那么无论怎么
摸,摸出的一定是红球。这个事件的发生是确定的。
是确定的,这类现象称为确．定．
像这样,在．一．定．的．条．件．下．．,一．些．事．件．的．结．果．是．不．可．预．知．的．．,
现．象．;另一类现象的结果是无
具．有．不．确．定．性．．;一．些．事．件．的．结．果．是．可．以．预．知．的．．,具．有．确．定．性．。．
法预知的,即在一定的条件下,
二、判断事件发生的可能性大小的方法
1.教材例2中把4张都是红桃的扑克牌:红桃A、红桃2、
出现哪种结果是无法事先确
红桃3和红桃4放在桌上,要求任意摸出1张,判断摸出的这
张牌可能是哪张。
定的,这类现象称为随．机．现．象．
通过分析,我们知道每张牌都有可能被摸出,摸之前不能
确定,摸出的可能是红桃A,也可能是红桃2、红桃3或红桃
或．不．确．定．现．象．。
4,一共有4种不同的可能。
2.如果把“红桃4”换成“黑桃4”,从中任意摸出1张,那么摸
要点提示:可能性的大小
出的扑克牌是红桃的可能性大,还是黑桃的可能性大?
(1)我们分析调换后的扑克牌,有黑桃和红桃两种花色,但
与数量有关,在总数量中所占
数量不等,红桃有3张,黑桃有1张。根据每种花色扑克牌的
数量确定摸出两种花色扑克牌的可能性的大小:
数量越多,可能性就越大;所占
任意摸出1张扑克牌,可能发生2种结果
数量越少,可能性就越小。可
摸出的是红桃;
摸出的是黑桃。
以用“一．定．”“不．一．定．”“可．能．”来描
(2)我们猜测摸出红桃的可能性大
述事件发生的可能性。
根据每种花色扑克牌的数量进行判断:红桃有3张,黑桃
有1张,红桃多,黑桃少,因此摸出红桃的可能性大。 易错提示:理论上事件发
三、解决问题的方法 生的可能性相等,而实际操作
中存在偶然性,可能会与理论
1.运．用．列．举．法．解．决．可．能．性．问．题．
上的可能性不符。
解决这类问题,要先列举出所有可能发生的情况,再进行 举例:
判断。 判断:将一枚硬币连续抛
10次,一定是5次正面朝上。
2.运．用．列．表．法．解．决．鸽．笼．问．题．
( )
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第17页列表时要列出每种进法的可能情况。假定每个鸽笼都只 错解:(√)
飞进1只鸽子,那么有几个鸽笼,就能飞进几只鸽子。如果有 正解:(✕)
多于鸽笼数的鸽子,那么多出鸽笼数的鸽子必定要飞入已经
有鸽子的鸽笼里,也就是说,至少有1个鸽笼要飞进2只甚至
更多的鸽子。 易错提示:生活中一些事件发
生的确定性和不确定性要根
据客观事实进行判断,与个人
的意愿无关。
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第18页七 整数四则混合运算
一、不含括号的混合运算
不含括号的混合运算的运算顺序:
要点提示:
1.在没．有．括．号．的．算．式．里．,既有乘、除法,又有加、减法,要
1.只有同一级运算的算
先算乘、除法,再算加、减法。若加号或减号两边同时有乘、 式,要按照从．左．到．右．的顺序计
除法,则乘、除法可以同时计算。
算。
2.正确计算混合运算的关键:一看、二想、三算、四查。 2.计算小括号里面的算
式时,小括号外面的部分要照
一．看．:看清算式中含有哪几级运算;二．想．:想运算顺序,确定先 写下来。小括号里面的算式都
算完,才能去掉小括号。
算什么,再算什么;三．算．:认真计算;四．查．:检查是否算错,运算符 易混点:计算时,不要混淆
小括号和中括号的运算顺序。
号和数字是否抄错。 举例:
计算:280÷[(4+3)×4]
3.加号两边的乘法或除法同属于第二级运算,可以同时
错解:280÷[(4+3)×4]
计算,既符合运算顺序,又可以使书写过程简便。
=280÷[7×4]
4.解决问题的方法
=40×4
(1)运．用．尝．试．法．解．决．填．运．算．符．号．使．等．式．成．立．的．问．题．(能力 =160
正解:280÷[(4+3)×4]
点) =280÷[7×4]
=280÷28
在相同的数组成的算式中,运用不同的运算符号,一般可
=10
以得到不同的结果。
解题技巧:混合运算中含
(2)运．用．替．换．法．解．决．将．几．个．算．式．改．写．成．综．合．算．式．的．问．题．
有中括号的,一．定．要．把．中．括．号．
(能力点)
用算式替换算式中的数是解决此类问题的关键。
内．的．算．式．全．部．算．完．才．能．去．掉．
二、含有小括号的混合运算
中．括．号．．,否则运算顺序就会发
1.含．有．小．括．号．的．混．合．运．算．:在一个算式里,有小括号的要
生改变,结果也可能发生改
先算小括号里面的,再算小括号外面的。小括号里面的也要先
变。
算乘、除法,后算加、减法。
知识巧记
2.解决问题的方法:
混合算式要计算,
运．用．综．合．法．解．决．利．用．括．号．改．变．算．式．结．果．的．问．题．(能力点) 明确顺序是关键。
同级运算最好办,
利用小括号来改变运算顺序,使结果发生改变。
从左到右依次算。
三、含有中括号的混合运算
两级运算都出现,
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第19页先算乘除后加减。
1.认识中．括．号．:中括号又叫方括号,用“[ ]”表示。在混合
遇到括号怎么办?
先算里面再外面。
运算中,如果使用小括号后仍需改变运算顺序,可以使用中括
号。
2.在一个算式里,既有小括号,又有中括号,要先．算．小括号
里面的,再．算．中括号里面的,最．后．算．中括号外面的。
3.如果在一个混合算式中含有两个或多个小括号,那么
这几个小括号里面的部分可以同时进行计算。
4.解决问题的方法:
运．用．等．量．代．换．法．解．决．列．综．合．算．式．的．问．题．(能力点)
根据每一步的运算顺序及结果与算式的联系,运用等量
代换法,便可推算出算式。
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第20页八 垂线与平行线
一、认识射线和直线
1.射线
要点提示:线段、射线都
(1)射线的定义:城市夜空中的灯光、手电筒射出的光线
是直线的一部分。
都是从各自的发光点射出的,能射向很远的地方。这些灯射出
举例:
的光线都可以看作射线。
判断:直线比射线长。
(2)射．线．的．特．点．:射线只有一个端点,可以向一端无限延 ( )
错解:(√)
伸。 正解:(✕)
易错点:直线与射线都是
(3)射线与线段的关系:把线段的一端无限延长,就得到一
无限长的,都是不可测量的,因
条射线。
此无法比较它们的长短。
2.直．线．:把线段的两端都无限延长,就得到一条直线。 易错提示:无论是画射线
还是画直线,所画的线必须是
3.线段、射线和直线的联系和区别:
直的。射线必须以已知点为起
点,直线必须经过已知点。
名 端点 延伸情
要点提示:直线是可以向
图形 长度
称 个数 况
两端无限延伸的,没有具体的
不能向
长度。
线 有限
两个 两端延
段 长
伸
要点提示:两点之间,线段
只能向
最短。
射 无限
一个 一端无
线 长
限延伸
可以向
直 无限
无 两端无
线 长
限延伸
4.经过规定的点画射线和直线
(1)从一点出发可以画无数条射线。
(2)经过一点可以画无数条直线。
(3)经过两点只能画一条直线。
5.线．段．可．以．确．定．长．度．．,射．线．和．直．线．都．是．无．限．长．的．。．
6.两点间的距离
(1)连．接．两．点．间．的．线．段．的．长．度．叫．作．这．两．点．间．的．距．离．。．
(2)特点:两．点．之．间．．,线．段．最．短．。 要点提示:
1.角有一个顶点和两条
7.角的认识
边,两边可以无限延伸。
(1)角的定义:从．一．点．引．出．的．两．条．射．线．可．以．组．成．角．．,这．一．点．
2.用符号化的语言来认
叫．做．角．的．顶．点．．,这．两．条．射．线．叫．作．角．的．边．。．
识角,蕴含着符．号．化．思．想．。符
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第21页(2)角的各部分:
号化思想是用符号化的语言
(包括字母、数字、图形和各
种特定的符号)来描述数学内
(3)角．的．符．号．、．记．法．和．读．法．: 容。
知识巧记
射线、直线与线段,
角通常用符号“∠”表示。 记作∠1,读作角一。
区别起来并不难。
射线只从一点起,
(4)画．角．的．步．骤．:
与角紧密相关联。
①确定顶点(在适当的地方画一个点); 直线长长无端点,
②画角的两条边(从这一点向两个不同的方向画两条射 两点一线应用全。
线)。 若问距离是多少,
8.解决问题的方法 线段帮你测量它。
(1)运．用．画．图．法．解．决．数．线．段．的．问．题．(能力点)
解答数线段类型的题目,关键是画图分析,寻找规律,从而
发现线段数量等于“1．+．2．+．3．+．…．+．．(端．点．数．．-1．．)”这个规律。
(2)运．用．分．析．法．解．决．数．角．的．问．题．(能力点)
在由n条射线构成的角中,角的总个数是n．×．．(n．-．1．．)÷．2．个。
二、角的度量
1.统一角的计量单位及度量工具的重要性: 量角器是半圆形的。把这
(1)三角尺的角有大有小,用大小不同的角量指定的角,不 个半圆分成180等份,每一份
可能得到一致的结果。 所对的角是1度的角。内圈刻
(2)为了准确测量角的大小,要有统一的计量单位和度量 度和外圈刻度分别按逆时针
工具。 和顺时针方向排列。
2.认识量角器: 要点提示:“度”是角的计
(1)量．角．器．及．其．各．部．分．的．名．称．:量角器是半圆形的,被平均 量单位,用符号“°”表示。如1
度记作1°。符号“°”要写在数
的右上角。
分成了180份,上面有很多刻度线,都指向量角器的中心。为
用量角器度量角的基本
了使用方便,量角器上有两条0°刻度线和两圈刻度。量角器
方法和操作要领可以概括为
里面按逆时针方向表示的刻度叫做内圈刻度,外面按顺时针
“两个重合,一个注意”。两个重
方向表示的刻度叫做外圈刻度。
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第22页(2)角．的．计．量．单．位．和．表．示．符．号．:把半圆分成180等份,每一 合分别是:①点．点．重．合．(量角
份所对的角是1度的角。 器的中心与角的顶点重
3.用量角器量角:
合);②线．边．重．合．(量角器的0°
(1)测．量．角．的．大．小．的．基．本．方．法．．:
刻度线与角的一边重合,另一
①使量角器的中心与角的顶点重合;
②将量角器内圈刻度的0°刻度线与角的一边重合;
条边所对应的刻度就是这个
③角的另一条边与量角器内圈刻度的30°刻度线重合,这
个角就是30°。
角的度数)。一个注意:内圈刻
(2)针．对．角．的．位．置．特．点．合．理．使．用．量．角．器．．:角的位置不同,量
度与外圈刻度不能混用。
角器的使用方法也不同,根据角与量角器0°刻度线重合的边,
知识巧记
角的测量并不难,
判断使用的是量角器的外圈刻度,还是内圈刻度。
度量方法要记全。
三、角的分类和画法 点点重合是关键,
1.角的分类及角之间的关系 线边重合记心间。
(1)3个特殊角的认识: 内圈外圈不能混,
读准度数才算完。
①直角:直．角．等．于．9．0．°．。
②平角:角的两边成一条直线时,这样的角叫做平角。平．
角．等．于．1．8．0．°．。
③周角:一条射线绕它的端点旋转一周所形成的角叫作
周角。周．角．等．于．3．6．0．°．。
(2)各角之间的关系:
①锐角<直角<钝角<平角<周角
直角等于90°
②平角等于180° 1个平角=2个直角
周角等于360°
1个周角=2个平角=4个直角
(3)锐角、钝角与直角、平角、周角的关系:
关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第23页名 巧记规律:开口向右的角
角
称 一般要看内圈刻度,开口向左
类 的角一般要看外圈刻度。确定
锐角 直角 钝角 平角 周角
别 好内、外圈刻度是读准度数的
前提。
图
易错提示:1.平角不是直
形
线,而是两条边在同一条直线
特 小于 等于 大于90°, 等于 上的角。
等于360°
点 90° 90° 小于180° 180° 2.周角不是一条射线,而
2.角的画法 是一个两条边重合在一起的
角。
(1)用．量．角．器．画．角．
①画出角的顶点和一条边,即先画一条射线;
②将量角器的中心与角的顶点重合,0°刻度线与角的这 巧记规律:角的一条边旋
条边重合; 转半周是180°,旋转一周是2
③根据要画的角的度数在相应的刻度线处点一个点,从 个180°,正好是360°。
顶点出发过这个点画一条射线,标出度数。
要点提示:画角时一定要
(2)用．三．角．尺．画．特．殊．度．数．的．角．
标出角的符号。
①30°,45°,60°,90°的角可以利用三角尺上对应度数的角 画指定度数的角要按一
直接画出。 定的操作方法去画。画没有度
②15°,75°,105°,120°,135°,150°,180°的角可以利用三 数要求的角用直尺等工具即
角尺上的两个角组合画出。 可。
四、认识垂直 举例:画105°的角可以用
三角尺上45°的角和60°的角
1.垂．直．的．概．念．
组合画出。45°+60°=105°。
两条直线相交成直角时,这两条直线互相垂直,其中一条 画15°的角可以用三角
直线是另一条直线的垂线,这两条直线的交点叫作垂足。 尺上45°的角和30°的角组合
画出。45°-30°=15°。
2.画．垂．线．的．方．法．
过直线上或直线外一点画已知直线的垂线,都可以用三
角尺或量角器来完成。关键是所画直线不但要经过那一点, 易错提示:垂直是两条直线
而且要与已知直线相交成直角。 相交的特殊情况,两条直线的
垂直关系是相互的,不能单独
3.点．到．直．线．的．距．离．
说哪条直线是垂线。
从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度,叫作
这点到直线的距离。 要点提示:
4.运用画示意图的方法解决画长方形的问题。(能力点) 1.画垂线必须保证两条
在画图时,应注意垂线一定要画得标准。 直线相交成直角。
五、认识平行 2.点到直线的距离是点
到直线的垂直线段的长度。
1.平．行．的．概．念．
同一平面内,不相交的两条直线互相平行,其中一条直线
是另一条直线的平行线。
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2.理．解．．“同．一．平．面．．”
认识垂线并不难,
相交直角是关键。
是．否．在．同．一．平．面．内．是．确．定．两．条．直．线．是．否．互．相．平．行．的．前．
垂线画法较简单,
画图工具可任选。
提．。．如果两条直线不在同一平面内,即使两条直线不相交,也
点到直线有距离,
垂直线段记心间。
不能称为互相平行。
要点提示:
3.平．行．线．的．画．法．
1.在同一平面内的两条
(1)用方格纸、直尺等画平行线。 直线的位置关系只有两种:相
(2)用三角尺和直尺画平行线: 交或平行。
①固定三角尺,沿三角尺的一条直角边画一条直线; 2.判断两条直线是否互
②把直尺与三角尺的另一条直角边紧靠在一起并固定 相平行时,要抓住两个关键因
直尺,沿着直尺向下平移三角尺; 素:一是在同一平面内;二是不
③把三角尺平移一段距离后,沿①中所用三角尺的那一 相交。
条直角边再画一条直线。 知识巧记
4.平行线间垂直线段的长度就是平行线间的距离。平行 一平面,两直线,
线间的距离处处相等。(能力点) 无非相交与平行。
平行线,处处见,
黑板对边斑马线。
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