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使
天
小
小
数学运算&思维策略类题型解题技巧讲义 使
蓝
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小
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精 ，
作
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工
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英
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i 职
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第一部分：解题技巧
第一节：基本概念
1.整数
通常像……-3,-2,-1,0,1,2,3……的数都称为整数。
在整数系中,零和正整数统称为自然数。-1、-2、-3……-n(n为非零自然数)为负整数。
则正整数、零与负整数构成整数系。正整数可分成奇数和偶数两类。
2.分数 使
天
如果把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或其中几份的数叫分数。 表示这样的一份的数叫分数单位。
小
注:整数可以看作分母为1的分数。 小
使
蓝
3.有理数:正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。有天理数的小数部分有
蔚
限或为循环。 ： 小
小
4.无理数:从范围上讲,不是有理数的实数遂称为无理数,无理数不能写作服两整数之比。若将它写成小数形式,小使数点
蓝
客 天
之后的数字有无限多个,并且不会循环。 蔚
旺 小
：
5.约数:又称因数。如果自然数a除以整数b(其中b≠0)除得的旺商正好是整数而没有余数，则称b为
小
a的约数。
服
例如：4的约数有:1、2、4; 宝 蓝
客
淘 蔚
6的约数有:1、2、3、6 旺
一 ：
旺
10的约数有:1、2、5、10。 唯 服
宝
6.公因数:如果一个自然数c既是数a的因数，又 ， 是数b的因数，淘那么称c为a与b的客公因数。
品 旺
7.最大公因数:多个自然数的公因数中最大的一出个公因数，称为这几一个自然数的最大
旺
公因数。
唯
例如：求48和36的最大公因数。 室 宝
，
作 淘
把48和36分别分解质因数:48=2×2×2×2×3;36=2×2×品3×3。其中48和36公有的质因数为2、2、3，所以48
工 一
出
和36的最大公因数是2×2×3=12。英
唯
室
注:在自然数(0和正整数)的范围内 精 ，任何正整数都是0的约数;一个数，的约数必然包括1及其本身。
作
场 品
8.倍数:一般来说，如果一个自然数a除以整数工b(其中b≠0)除得的商正好是整数而没有余数，则称a为b的倍数。
职 出
英
例如：15能够被3和5整除&，因此15是3的倍数，也是5的倍室数。
m 精
9.最小公倍数:一般c来 o 说，如果一个自场然数c既是a的倍作数又是b的倍数，那么这个数就是a、b的公倍数，如果
. 工
这个数c在a、b的h所 i 有公倍数里为最职小，那这个数c就
英
是最小公倍数。
z &
例如：2和4的最u小公倍数是4。 m 精
i o
q c 场
3和5的最小u公倍数是15。 .
o i 职
y h
注:我们在u计算最小公倍数的z时候，一般都会借&助计算最大公约数的过程来辅助计算。无论是约数还是倍数，它都是
w u m
一种w二 . 元关系的概念，我
q
i们不能孤立地说某
c
o个整数是约数还是倍数。而且一个整数的约数是有限的，同时它也可以
w u .
在w特定情况下成为公o约数。 i
y h
u z
10.余数: w u
整数除法 中被w除 w
.
数未被除尽的部u分q
i
w o
7÷3=2……1，1就为余数。 y
u
w
第二节：数字特性 .
w
w
数字特性思想是指不w直接求得最终结果，而只需要考虑最终计算结果所具备的某种“数字特性”，从而达到排除错
误选项的方法。
数字特性主要包括奇偶特性、整除特性及倍数特性，公务员考试中运用较多的是3、9的整除特性，条件中存在比例
数、百分数、小数时的倍数特性及其综合运用。当遇到复杂计算和较难题目无从入手时，数字特性往往就是直取答
案、节省时间的关键。
数字特性常用题型:和差倍比问题、不定方程等。尤其当题目条件中涉及比例数、百分数、小数时要考虑数字特性法
解题。当遇到复杂计算或较难突破的题目时，亦可考虑数字特性法。
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理论要点
1.奇偶特性
重要结论:
任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数;如果和是偶数，那么差也是偶数。
任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反;和或差是偶数，则两数奇偶相同。
解题思想:Ax+By=C。
不定方程，求x或y，可代入排除。
不定方程，求整体的式子Mx+Ny，则需要通过奇偶性分析5x或5y的尾数来凑解。 使
天
例题：小王参加了五门百分制的测验，每门成绩都是整数。其中语文94分，数学的得分最高，外语的得分等于语文
小
和物理的平均分，物理的得分等于五门的平均分，化学的得分比外语多2分，并且小是五门中第二高的得 分。问小王
使
蓝
的物理考了多少分? 天
蔚
A.94 B.95 C.96 D.97 ： 小
小
【本题答案】C 服 使
蓝
客 天
【题型识别】根据题目中“其中语文94分，数学的得分最高，外语的得分等于语文和物蔚理的平均分”的表述，再根
旺 小
：
据奇偶特性可判定物理分数为偶数，然后考虑代入排除法。 旺 小
服
【指点迷津】首先排除B、D两项，代入A项发现不满足题目要宝求，因此，选择C项。 蓝
客
淘 蔚
2.比例特性 旺
一 ：
旺
当题目较难计算，而题目条件中涉及比例数、百分数等唯条件时，考虑倍数特性。 服
宝
如果a∶b=m∶n(m，n互质)，则a是m的倍数;b是 ， n的倍数。 淘 客
品 旺
如果a∶b=m∶n(m，n互质)，a±b应该是m±n出的倍数。 一
旺
唯
例题：某班男生比女生人数多80%，一次考试室后，全班平均分为75分，而女生的宝平均分比男生的平均分高20%，则
，
作 淘
此班女生的平均分是： 品
工 一
出
A.84分 B.85分 C.86分 D.8英7分
唯
室
【本题答案】A 精 ，
作
场 品
【题型识别】题目中涉及百分数，考虑倍数特性工。
职 出
英
【指点迷津】由“女生的平&均分比男生的平均分高20%”可知，室女生平均分与男生的比例为6∶5。根据倍数特性，
m 精
女生平均分为6的倍数c， o 只有A选项满足场题意。因此，本题作的正确答案为A选项。
. 工
3.整除特性 h i 职 英
z &
当题目涉及到数字u求和类问题或极难m计算时，可考虑精3、9的整除特性。
i o
q c 场
一个数字能被u3整除，当且仅当.其各位数字之和能被3整除。
o i 职
y h
一个数字u能被9整除，当且z仅当其各位数字之&和能被9整除。
w u m
例题w： . 由1、2、3组成没
q
i有重复数字的所有
c
o三位数之和是多少?
w u .
A.w1222 B.1232 oC.1322 D.1332 i
y h
u z
【本题答案】D w u
【题型识 别】w数 w
.
字求和，考虑3u或q
i
者9的整除特性。
w o
【指点迷津】数字求和，考虑y整除特性。每个三位数都是由1、2、3组成，由于1+2+3=6能整除3，说明每个三位数
u
w
都能整除3，则所有的这.些三位数的和也能整除3，只有D选项满足题意。因此，本题的正确答案为D选项。
w
w
第三节：代入排除w法
代入排除法不仅仅是一种方法，更是一种思想，做任何题目的时候都要有这种思维意识。代入排除不是一种机
械的代入，而是需要利用题目和选项所给出的一些特性，选择性地代入排除。当题目涉及到“最大”或“最小”时，
注意代入的逻辑顺序;当题目未提及大小时，通常从中间选项进行代入排除。
常用题型:多位数问题、年龄问题、和差倍比问题及较复杂类型问题。
可用题型:不定方程问题、费用问题、同余问题、周期问题、复杂行程问题等
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1.多位数问题
当题目涉及数位、小数点的移动，数的大小类等问题时，直接考虑代入排除法。
例题：一个五位数，左边三位数是右边两位数的5倍，如果把右边的两位数移到前面，则所得新的五位数要比原来
的五位数的2倍还多75，则原五位数是多少?
A.12525 B.13527 C.17535 D.22545
【本题答案】A
【题型识别】题目中出现“一个五位数”的表述，并且最后要求的就是这个五位数，判定此题为多位数问题，
应采用代入排除法求解。 使
天
【指点迷津】直接代入A选项，左边三位数125，右边两位数25，满足5倍的关系。按题意移动后所得新的五
小
位数25125=12525×2+75，满足题意。因此，本题的正确答案为A。 小
使
蓝
2.年龄问题 天
蔚
当题目涉及年龄差时，注意无论多少年后，年龄差不变，为定值; ： 小
小
当题目涉及年龄倍数时，随着年龄的增长，年龄倍数会越来越小; 服 使
蓝
客 天
当题目涉及两个人年龄的对话时，即将此年龄段平均分成三等份，利用等差数列解题。蔚
旺 小
：
例题：小华4年后的年龄与小丽4年前的年龄相等，3年后，她们旺两人的年龄和等于她们今年年龄差的
小
3倍，小华和
服
小丽今年的年龄分别是多少岁? 宝 蓝
客
淘 蔚
A.10，18 B.4，12 C.5，13 D.6，14 旺
一 ：
旺
【本题答案】C 唯 服
宝
【题型识别】年龄问题，题目要求根据小华与 ， 小丽两个人的年龄淘关系，求两个人各客自的年龄，直接代入排除。
品 旺
【指点迷津】由题目第一句话可知，两人出的年龄相差8岁，四一个选项均满足此
旺
条件。A项，3年后两人分别为
唯
13岁、21岁，其和不是3的倍数，排除;B项室，3年后两人分别为7岁、15岁，其宝和不是3的倍数，排除;C项，3
，
作 淘
年后两人分别为8岁、16岁，其和正好是3的8倍，满足题品意。因此，本题的正确答案为C。
工 一
出
3.其他问题 英 唯
室
当题目较抽象或较复杂，无任 精 何思路时，可考虑代入排除法。 ，
作
场 品
例题：根据国务院办公厅部分节假日安排的通知工，某年8月份有22个工作日，那么当年的8月1日可能是：
职 出
英
A.周一或周三 B.周&三或周日 C.周一或周四 D.周四室或周日
m 精
【本题答案】D c o 场 作
. 工
【题型识别】h时 i 间问题，根据选职项可以确定8月有
英
22个工作日，考虑代入排除。
z &
【指点迷津u】A项，若8月1m日是周一，易得到精8月有23个工作日，不满足题意，排除A、C两项;
i o
q c 场
B项，若u8月1日是周三，.易得到8月也有23个工作日，不满足题意，排除。因此，本题的正确答案为D。
o i 职
y h
第四节：u赋值法 z &
w u m
赋值w法 . 也称特值法，即根
q
i据题目的具体情形
c
o，合理巧妙地对某些元素设出一个具体的数值。特别适用于抽象难入手
w u .
的w题目，将这类抽象o题目置于具体的数i据环境中，以简化思维得出最终结果。
y h
u z
赋值法常用题型:w工程问题、费用问u题、行程问题、多元不定方程等。
尤其当题 目中w出 w
.
现多个变量之间u存q
i
在百分数、分数或比例关系时，多适用赋值法。
w o
例题：某种溶液的浓度为20%y，加入水后溶液的浓度变为15%，如果再加入同样多的水，则溶液浓度变为：
u
w
A.13% B.12.5% C.12%. D.10%
w
w
【本题答案】C w
【题型识别】等溶质稀释问题。除了公式法外，因为题目中没有具体数据，也可以赋值。
【指点迷津】加水前后溶液的溶质为定值，根据比例份数令溶质为60，所以20%=60/300，15%=60/400，因此每次加
水100，所以再加100水，得60/500=12%，因此选择C。
第二部分：常见题型
第一节：数列与平均数
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基本概念
（一）等差数列:如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
（二）等比数列:如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。
（三）平均数:平均数是用来表示某一组数据集中趋势的量数，是反映该组数据集中趋势的一项具体指标。通常我们
所说的平均数一般是指算术平均数，也就是一组数据的和除以这组数据的个数所得的商，但在具体统计的工作中，
一般是以平均数(均值)和标准差这两个最重要的测度值来描述数据资料的集中趋势和离散程使度。
天
理论要点
小
（一）等差数列 小
使
蓝
平均数=总数/项数 天
蔚
总数=平均数*项数 ： 小
小
总数=中位数*项数 服 使
蓝
客 天
例题：四个连续奇数的和为32，则他们的积为多少? 蔚
旺 小
：
A.945 B.1875 C.2745 D.3465 旺 小
服
【本题答案】D 宝 蓝
客
淘 蔚
【题型识别】题目中出现“连续奇数”，可以判定题目涉及等差数列考点。 旺
一 ：
旺
【指点迷津】由题，四个连续奇数必组成为公差为2的等唯差数列，根据等差数列特点可知，中服位数=平均数=32÷4=8，
宝
所以这四个数分别为5、7、9、11，因此四个数的乘 ， 积为3465。 淘 客
品 旺
（二）平均数 出 一 旺
唯
例题：商店购进甲乙两种不同的糖所用的钱室数相等。已知甲种糖每千克6元，乙种宝糖每千克12元。如果把这两种糖
，
作 淘
混在一起成为什锦糖，那么这种什锦糖每千克的成本是多少品元?
工 一
出
A.7 B.8 C.9 D.10 英 唯
室
【本题答案】B 精 ，
作
场 品
【题型识别】根据题目可以确定为等总价平均价工格问题。
职 出
英
【指点迷津】两种糖各自的&总价格相等，直接代入公式可求得这室种什锦糖的平均成本=2×6×12÷(6+12)=8(元)。因
m 精
此，本题的正确答案为cB o 选项。 场 作
. 工
（三）等比数列 h i 职 英
z &
【例3】 u m 精
i o
q c 场
例题：小赵、u小钱、小孙、小李.、小周五个人的收入依次成等比，已知小赵的收入是3000元，小孙的收入是3600
o i 职
y h
元，那么u小周比小孙的收入z高( )
&
w u m
A.70w0 . 元 B.720元
q
Ci.760元 D.780
c
元o
w u .
【w本题答案】B o i
y h
u z
【题型识别】根据w题目“小赵、小钱u、小孙、小李、小周五个人的收入依次成等比”，可以明确题目考查等比数列
问题。 w w
.
u q
i
w o
【指点迷津】 y
u
w
解法一:小赵、小钱、小孙.、小李、小周五个人的收入依次成等比，因此小赵∶小孙=小孙∶小周，设小周收入为x
w
w
元，可列得方程:3000w∶3600=3600∶x，解得x=4320。因此，小周比小孙收入高4320-3600=720(元)。因此，本题正
确答案为B选项。
解法二:小孙比小赵多600元，且小孙收入为小赵的1.2倍，所以小周比小孙的收入多600×1.2=720(元)。因此，本
题正确答案为B选项。
第二节：工程问题
基本公式
工作总量=工作效率×工作时间
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核心思想
赋值法、比例法、方程法
理论要点
（一）、已知时间类工程问题
题型特色：已知工作时间
解题步骤:
(1)赋值工作总量为题目中涉及“完成工作”时间的公倍数(最好是最小公倍数)或单位“1”;当涉及具体量的变化
时，需要将工作总量设为比例份数或者使用方程法来求解； 使
天
(2)根据所赋的工作总量结合工作时间求出每个人的效率;
小
(3)依据题意进行解题。 小
使
蓝
1.同时合作型 天
蔚
例题：一项工程，甲一人做完需30天，甲、乙合作完成需18天，乙、丙合：作完成需15天，甲小、乙、丙三人共同完
小
成该工程需： 服 使
蓝
客 天
A.10天 B.12天 C.8天 D.9天 蔚
旺 小
：
【本题答案】A 旺 小
服
【题型识别】和例题1一样，本题也是只知道甲、乙、丙三人宝工作时间的一道题目。不同的是比例蓝题1多了一个主
客
淘 蔚
体，那原来的方法还行不行呢?我们一起来看看。 旺
一 ：
旺
【指点迷津】解法一:已知工作时间，赋值工作总量为唯30、18、15的最小公倍数90，则甲的服效率为90÷30=3;甲、
宝
乙合作的效率为90÷18=5，因此乙效率为2;乙、丙 ， 合作效率为90÷1淘5=6，丙效率为4;甲客、乙、丙三人共同完成该
品 旺
工程需90÷(3+2+4)=10(天)。因此，本题的正出确答案为A选项。 一
旺
唯
解法二:赋值工作总量为30、15的最小公倍数室30，则甲的效率为30÷30=1;乙、丙宝合作效率为30÷15=2。则甲、乙、
，
作 淘
丙三人合作的效率为1+2=3，完成工程需要30÷3=10(天)。品因此，本题的正确答案为A选项。
工 一
出
2.交替合作型 英 唯
室
例题：一条隧道，甲单独挖要20 精 天完成，乙单独挖要10天完成。如果，甲先挖1天，然后乙接替甲挖1天，再由甲
作
场 品
接替乙挖1天……两人如此交替工作，挖完这条工隧道共用多少天?
职 出
英
A.14 B.16 C.15 D.1&3 室
m 精
【本题答案】A c o 场 作
. 工
【题型识别】同学们h i ，通过读题发现这职是一道知道工作
英
时间的题目，并且关于甲、乙两人的工作量没有给出具体的
z &
数值。与上几道例u题不一样的地方在m于本道题后半部精分的表述比较繁琐，有“乙接替甲挖1天，再由甲接替乙挖1
i o
q c 场
天……两人如u此交替工作”这样.的字眼，属于工程问题中的交替合作类。
o i 职
y h
【指点迷u津】已知工作时间z，赋值工作总量为&20，则甲的效率为1，乙的效率为2，两人交替挖，一个周期(即甲、
w u m
乙各w挖 . 一天)为2天，能
q
完i成工作量3。20
c
个o工作量经过6个周期(即12天)后，完成了6×3=18个工作量，剩余2
w u .
个w工作量，需要甲挖o1天，乙挖半天。i因此，一共需要12+1+1=14天。因此，本题的正确答案为A选项。
y h
u z
交替合作类问题，w首先要得到一个周u期需要的时间及完成的工作量;然后算出完成全部工作大概需要几个周期，得到
一个时间 ;最w后 w 重
.
点分析余下的工u q作
i
量需要的时间为多少，将两个时间相加即可。
w o
（二）已知效率类工程问题 y
u
w
题型特色:已知工作效率之.间的关系
w
w
解题步骤: w
(1)赋值工作效率为具体数值，得到各人的效率;
(2)依据题意进行解题。
1.已知效率之间关系
例题：三个快递员进行一堆快件的分拣工作，乙和丙的效率都是甲的1.5倍。如果乙和丙一起分拣所有的快件，将
能比甲和丙一起分拣提前36分钟完成。问如果甲乙丙三人一起工作，需要多长时间能够完成所有快件的分拣工作?
A.1小时45分钟 B.2小时 C.2小时15分钟 D.2小时30分钟
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【本题答案】C
【题型识别】根据题目中出现的“乙和丙的效率都是甲的1.5倍”，我们可以知道这是一道已知工作效率之间关系
的工程问题。
【指点迷津】已知甲、乙、丙三人效率之间的关系为“乙和丙的效率都是甲的1.5倍”，赋值甲效率是2，则乙、丙
的效率均为3，设工作总量为x，根据题意可以得到x÷(2+3)-x÷(3+3)=36，解得x=1080，所以甲、乙、丙三人合
作需要1080÷(2+3+3)=135(分钟)，因此，本题的正确答案为C选项。
2.给“人”“机器”型
例题：有20名工人修筑一段公路，计划15天完成。动工3天后抽出5人去其他工地，其余使人继续修路。如果每人
天
工作效率不变，那么修完这段公路实际用：
小
A.19天 B.18天 C.17天 D.16天 小
使
蓝
【本题答案】A 天
蔚
【题型识别】虽然本道题目是一道关于“修路”的工程问题，但是题目中出：现了“修路”的具体小人数，我们细分为
小
给“人”型的工程问题。 服 使
蓝
客 天
【指点迷津】题目中出现“人”，赋值每名工人的工作效率为1，则总工作量为300，3蔚天完成3×20=60个工作量，
旺 小
：
剩下的240个工作量由15个人完成需要240÷15=16天，所以一共旺需要3+16=19(天)。因此，本题的正
小
确答案为A
服
选项。 宝 蓝
客
淘 蔚
第三节：几何问题 旺
一 ：
旺
理论要点 唯 服
宝
1.多边关系 ， 淘 客
品 旺
三角形三边关系 出 一 旺
唯
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边室。 宝
，
作 淘
多边形各边关系 品
工 一
出
任意一边长度小于剩余各边长之和。英
唯
室
【例1】 精 ，
作
场 品
某厂生产一批商标，形状为等边三角形或等腰三角工形。已知这批商标边长为2cm或4cm，那么这批商标的周长可能是：
职 出
英
A.6cm12cm B.6cm8&cm12cm C.6cm10cm12cm D.6c室m8cm10cm12cm
m 精
【本题答案】C c o 场 作
. 工
【题型识别】通过读h i 题发现本道题目是职关于三角形的一
英
道题，并且知道边长为“2cm或4cm”，再结合题目得出这是
z &
一道关于三角形三u边关系的几何问题m。 精
i o
q c 场
【指点迷津】u根据三角形三边特.性“两边之和大于第三边”“两边之差小于第三边”可知，此三角形的三边有以下
o i 职
y h
三种情况u：(2、2、2)，(4、z4、2)，(4、4、4&)，则周长有6、10、12三种情况。因此本题答案为C选项。
w u m
2.其w他 . 几何计数问题
q
i
c
o
w u .
【w例1】 o i
y h
u z
七边形的对角线的w条数是： u
A.14 B.w12 w
.
C.10 D.u16q
i
w o
【本题答案】A y
u
w
【题型识别】此题是关于.七边形对角线的一道题目。
w
w
【指点迷津】每个顶点w可引4条对角线，共7个顶点，每条对角线被重复计算2次，因此对角线条数为4×7÷2=14。
因此，本题的正确答案为A选项。
3.长度计算
【例1】
一条路上依次有A、B、C三个站点，加油站M恰好位于AC的中点，加油站N恰好位于BC的中点。若想知道M和N
两个加油站之间的距离，只需要知道哪两点之间的距离?
A.CN B.BC C.AM D.AB
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4.其他平面几何问题
【例1】
三角形的内角和为180°，问六边形的内角和是多少度?
A.720 B.600 C.480 D.260
【本题答案】A
【题型识别】很明显这是一道关于多边形内角和的几何问题。
【指点迷津】直接利用公式。六边形内角和=(6-2)×180°=720°。因此，本题的正确答案为A选项。
5.面积计算 使
天
【例1】
小
工作人员做成了一个长60厘米，宽40厘米，高22厘米的箱子，因丈量错误，长和小宽均比设计尺寸多了 2厘米，而
使
蓝
高比设计尺寸少了3厘米，那么该箱子的表面积与设计时的表面积相差多少平方厘米? 天
蔚
A.4 B.20 C.8 D.40 ： 小
小
【本题答案】C 服 使
蓝
客 天
【题型识别】通过读题“长和宽均比设计尺寸多了2厘米，而高比设计尺寸少了3厘米蔚”，结合提问发现这是一道
旺 小
：
关于长方体表面积计算并比较的几何问题。 旺 小
服
【指点迷津】根据题意，设计时的箱子的表面积为2×(58×38宝+38×25+58×25)平方厘米，加工后的蓝箱子表面积为
客
淘 蔚
2×(60×40+60×22+40×22)平方厘米。两者之差=2×(58×38+38×25+58×2旺5)-2×(60×40+60×22+40×22)=8(平
一 ：
旺
方厘米)，因此，本题的正确答案为C选项。 唯 服
宝
6.体积计算 ， 淘 客
品 旺
【例1】 出 一 旺
唯
连接正方体每个面的中心构成一个正八面体室(如图所示)。已知正方体的边长为6厘宝米，问正八面体的体积为多少立
，
作 淘
方厘米? 品
工 一
出
【本题答案】C 英 唯
室
【题型识别】很明显这是一道关于 精 求解立体图形体积的题目。但是正八，面体并不属于规则图形，怎么办呢?一起来看
作
场 品
一下。 工
职 出
英
【指点迷津】正八面体可以&看做由两个正四棱锥拼成的，每个四室棱锥的底面的边为原正方体四个侧面的中心连线，
m 精
高分别为原正方体上下c两 o 个底面距离的一场半，则V=1/3×(6^作2×1/2)×3×2=36(立方厘米)。因此，本题的正确答案
. 工
为C选项。 h i 职 英
z &
第四节：时间u问题 m 精
i o
q c 场
（一）星期日u期 .
o i 职
y h
星期每7u天一个循环。 z &
w u m
对于w某 . 些星期日期问题中
q
i会问“N年后的今
c
o天是星期几”,我们可以牢记口诀“过N年加N天,闰日再加1”。也就是
w u .
说w如果N年中有M个o闰日(2月29日),那i么,题目相当于在问过N+M天后是星期几。
y h
u z
【例1】 w u
2005年7 月w1 w 日
.
是星期五,那么u2q0
i
08年7月1日是星期几?
w o
A.星期三 B.星期四 C.星y期五 D.星期二
u
w
【本题答案】D .
w
w
【题型识别】题目中w有“2005年7月1日是星期五”,所以是一道星期日期问题。
【指点迷津】2005—2008年过了3年,加3天;且含有1个闰日,再加1天,共计4天。星期五之后4天是星期二。因
此,本题的正确答案是D选项。
（二）钟表问题
钟表一圈分成了12格,每格30°。
每小时,时针转1格30°,分针转12格360°(1圈);
每分钟,时针转0.5°,分针转6°。
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（三）周期循环问题有两种题目
一种是需要求出最小公倍数;
另外一种需要求出经过整数周期后的余数。
注意:每隔N天,即为每“N+1天”。
【例1】
有甲、乙、丙三辆公交车于上午8:00同时从公交总站出发,三辆车再次回到公交总站所用的时间分别为40分钟、25
分钟和50分钟。假设这三辆公交车中途不休息,请问它们下次同时到达公交总站将会是几点?
A.11点20分 B.11点整 C.11点40分 D.12点整 使
天
【本题答案】A
小
【题型识别】根据题目中“三辆车再次回到公交总站所用的时间分别为40分钟、25小分钟和50分钟”,可 以知道这是
使
蓝
一个周期循环题目。 天
蔚
【指点迷津】因为要求3辆车同时到达,所以这个时间必为40、25、50的公：倍数,再结合题目中小问的是下次同时到达
小
公交站的时间,所以是40、25、50的最小公倍数,为200,也就是200分钟服,即3小时20分钟后,三车下一次同时使到达
蓝
客 天
公交站点,即11点20分。因此,本题的正确答案为A选项。 蔚
旺 小
：
（四）表盘计算问题 旺 小
服
钟表追及问题本质上讲与行程问题中的追及问题一样: 宝 蓝
客
淘 蔚
分针追上时针的度数=追及时间×5.5°; 旺
一 ：
旺
追及时间=分针与时针的度数差÷5.5° 唯 服
宝
如果涉及求角度或是指针重合次数等问题,可以直接 ， 拨表盘解题。 淘 客
品 旺
【例1】 出 一 旺
唯
钟表有一个时针和一个分针,分针每1小时转室360°,时针每12小时转360°,则2宝4小时内时针和分针成直角共多少
，
作 淘
次? 品
工 一
出
A.28 B.36 C.44 D.48 英 唯
室
【本题答案】C 精 ，
作
场 品
【题型识别】题目中有“分针每1小时转360°,工时针每12小时转360°”,很显然是一个钟表问题。
职 出
英
【指点迷津】一般情况,1小&时内会出现2次垂直情况,但是3点室、9点、15点、21点这4个特殊时间,只有1次垂直,
m 精
所以有24×2-4=44(次)c。 o 因此,本题答案场为C选项。 作
. 工
（五）年龄问题 h i 职 英
z &
过n年,长n岁;两u人之间的年龄差不m变;两人年龄之间精的倍数会随着时间变小。
i o
q c 场
题目若涉及年u龄差,把握“两人.年龄差不变”原理,采取方程法或代入排除法解题;
o i 职
y h
题目若涉u及年龄倍数,把握“z两人年龄倍数越来&越小”原理解题;
w u m
题目w若 . 涉及两人对话,把
q
握i“年龄差不变”
c
原o理,使用“平均分段法”解题。
w u .
【w例1】 o i
y h
u z
小李的弟弟比小李w小2岁,小王的哥u哥比小王大2岁、比小李大5岁。1994年,小李的弟弟和小王的年龄之和为15。
问2014年 小w李 w 与
.
小王的年龄分别u q多
i
少岁?
w o
A.25、32 B.27、30 C.3y0、27 D.32、25
u
w
【本题答案】B .
w
w
【题型识别】题目中w给出了几个人之间年龄的关系,并且是问其中两人的具体年龄。故是一道年龄问题。
【指点迷津】解法一:根据已知,小王比小李的弟弟大5岁,1994年,根据两人的年龄和为15,两人的年龄差不变,还是
5岁,可得1994年小王为10岁,故小王在2014年为30岁。因此,本题答案为B选项。
解法二:根据已知,小王的哥哥比小王大2岁、比小李大5岁,因此小李比小王小3岁,结合选项
只有B符合条件。因此,本题答案为B选项。
第五节：溶液问题
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基本公式
溶液=溶质+溶剂
浓度=溶质÷溶液=溶质÷(溶质+溶剂)
理论要点
（一）基础计算问题
当溶液蒸发或稀释时，把握溶质不变的本质利用公式结合方程法来解题。
【例1】
将40千克浓度16%的溶液蒸发一部分水，变为浓度20%的溶液。应蒸发掉水多少千克? 使
天
A.8千克 B.9千克 C.10千克 D.11千克
小
【本题答案】A 小
使
蓝
【题型识别】通过读题发现，题目中有“40千克浓度16%的溶液蒸发一部分水，变为浓度20%的溶天液”，很明显这是
蔚
一道关于溶液浓度的题目。 ： 小
小
【指点迷津】设蒸发掉x千克水，根据“蒸发后溶质不变”可得:40×16%服=20%×(40-x)，解得x=8。因此，本题使答案
蓝
客 天
选择A选项。对于溶液“蒸发溶剂”问题，我们要注意的是溶质不会发生变化。 蔚
旺 小
：
（二）混合溶液原理 旺 小
服
两种溶液相混合，则有: 宝 蓝
客
淘 蔚
混合溶液浓度=(溶液A的溶质+溶液B的溶质)÷(溶液A+溶液B) 旺
一 ：
旺
两种溶液混合，混合溶液的浓度一定介于溶液A和溶液唯B的浓度之间。 服
宝
【例1】 ， 淘 客
品 旺
甲容器有浓度为3%的盐水190克，乙容器中有出浓度为9%的盐水若干一克，从乙取出21
旺
0克盐水倒入甲，甲容器中的盐
唯
水的浓度是多少? 室 宝
，
作 淘
A.5.45% B.6.15% C.7.35% D.5.95% 品
工 一
出
【本题答案】B 英 唯
室
【题型识别】通过读题，发现题目 精 中有“从乙取出210克盐水倒入甲”，，属于溶液混合问题。
作
场 品
【指点迷津】根据题意，结合两溶液混合公式可工得，混合后溶液的浓度=(3%×190+9%×210)÷(190+210)=6.15%。因
职 出
英
此，本题答案选择B选项。& 室
m 精
（三）反复操作问题 c o 场 作
. 工
【例1】 h i 职 英
z &
从一瓶浓度为20u%的消毒液中倒出2m/5后，加满清水精，再倒出2/5，又加满清水，此时消毒液的浓度为：
i o
q c 场
A.7.2% B.u3.2% C.5.0% .D.4.8%
o i 职
y h
【本题答u案】A z &
w u m
【题w型 . 识别】题目中有“
q
i倒出2/5后，加满
c
o清水，再倒出2/5，又加满清水”，属于反复操作型的溶液问题。
w u .
【w指点迷津】倒出比o例为2/5，重复2次i，因此消毒液的浓度为20%×(1-2/5)^2=7.2%。因此，本题的正确答案为A
y h
u z
选项。 w u
（四）抽 象比w例 w
.
问题 u q
i
w o
在溶液中加入溶剂或蒸发溶剂y时，把握溶质不变原理进行解题。
u
w
【例1】 .
w
w
某种溶液的浓度为20w%，加入水后溶液的浓度变为15%，如果再加入同样多的水，则溶液浓度变为：
A.13% B.12.5% C.12% D.10%
【本题答案】C
【题型识别】通过读题发现，往溶液里加的溶剂是水，溶质的量没有发生变化，并且每次加入的水的量是相同的，
属于“溶质不变加减水”的题目。
【指点迷津】根据题意，溶液中溶质的量是保持不变的，不妨赋值溶质的量为60克，则第一次加水前有溶液
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60÷20%=300;加水后溶液的浓度变为15%，则溶液的量为60÷15%=400，即加入的水的量为100;第三次加入同样多的
水后，溶液的量为500，此时溶液的浓度为60÷500=12%。因此，本题的正确答案为C选项。
第六节：经济利润问题
题型分类
1基础经济问题
主要涉及“进价”“原价”“售价”“利润”“利润率”等常见经济概念之间的关系。
常见的解题方法:方程法、赋值法。
2分段计费问题 使
天
每一段的计费标准不用。
小
常见的题目情景有“水费”“电费”“停车费”“打车费”等等。解决问题的关键小就是找到分段点，明 确对应计费
使
蓝
标准。 天
蔚
3最优方案问题 ： 小
小
通常会给出两到三个不同的方案，并且会设问“最少花费多少元”或者“服最多能获利多少元”。 使
蓝
客 天
这一类题型通常难度指数偏低，只需要对比不同的方案即可，但是容易设置陷阱，同学蔚们需细心应对。
旺 小
：
基础公式 旺 小
服
总售价(总收入)=单价×销售量;总利润=单件利润×销售量 宝 蓝
客
淘 蔚
利润=售价-成本 旺
一 ：
旺
利润率=利润/成本=售价-成本/成本=售价/成本-1 唯 服
宝
售价=成本×(1+利润率) ， 淘 客
品 旺
成本=售价/1+利润率 出 一 旺
唯
折扣:“二折”，即现价为原价的20%，“九室折”，即现价为原价的90%。通常情况宝下，打折是在售价的基础上打折，
，
作 淘
而非成本。 品
工 一
出
理论要点 英 唯
室
1基础经济问题 精 ，
作
场 品
总售价(总收入)=单价×销售量;总利润=单件利润工×销售量
职 出
英
利润=售价-成本 & 室
m 精
利润率=利润/成本=售价c o -成本/成本=售价场/成本-1 作
. 工
售价=成本×(1+利润h i 率) 职
英
z &
成本=售价/1+利润u率 m 精
i o
q c 场
【例1】 u .
o i 职
y h
某种汉堡u包每个成本4.5元z，售价10.5元，当&天卖不完的汉堡包即不再出售。在过去十天里，餐厅每天都会准备200
w u m
个汉w堡 . 包，其中有六天正
q
i好卖完，四天各剩
c
o余25个，问这十天该餐厅卖汉堡包共赚了多少元?
w u .
A.w10850 B.10950 o C.11050 D.11i350
y h
u z
【本题答案】B w u
【题型识 别】w题 w
.
目中出现“成本u”q
i
“售价”等词汇，我们可以明确该题属于基础经济问题。
w o
【指点迷津】解法一:考虑数y字特性，卖出1个获利6元，未卖出赔4.5元，即总利润为3的倍数，观察选项只有B
u
w
项满足。 .
w
w
解法二:总成本为4.5w×200×10=9000(元)，总售价为10.5×(2000-100)=19950(元);总利润=总售价-总成本
=10950(元)。
解法三:总利润=6×(200×6+175×4)+(-4.5)×(25×4)=10950(元)。
2部分打折类
实际总收入(利润)=未打折部分收入(利润)+打折部分收入(利润)
【例1】
某网店以高于进价10%的定价销售T恤，在售出23后，以定价的8折将余下的T恤全部售出，该网店预计盈利为成
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本的：
A.3.2% B.不赚也不亏 C.1.6% D.2.7%
【本题答案】D
【题型识别】题目中出现“以定价的8折将余下的T恤全部售出”等这样的语句，我们可以明确该题属于基础经济
问题中的部分打折问题。
【指点迷津】
本题单价和数量均未知，考虑赋值法。将单价赋值为100元/件，数量赋值为3件。
实际总收入=未打折部分收入+打折部分收入=110×2+88×1=308(元)。 使
天
故盈利308-300=8(元)。盈利是成本的8÷300≈2.7%。因此，本题的正确答案为D选项。
小
3分段计费问题 小
使
蓝
核心思想:分段计算，找出所求量对应的级别，最后加总即可。突破点:分段点。 天
蔚
【例1】 ： 小
小
某市出租车:起步价格为2公里6元，2公里后每增加1公里收取1.7元，服6公里之后每增加1公里收取2元，使不足1
蓝
客 天
元四舍五入。某乘客乘坐31公里，应该付( )元车费。 蔚
旺 小
：
A.63元 B.64元 C.65元 D.66元 旺 小
服
【本题答案】A 宝 蓝
客
淘 蔚
【题型识别】题目中每一段的计费标准不一样，我们可确定为分段计费问题。旺
一 ：
旺
【指点迷津】乘客乘坐31公里应付车费=6+1.7×4+(3唯1-6)×2=62.8≈63(元)。因此，本题正服确答案为A选项。
宝
4最优方案问题 ， 淘 客
品 旺
核心思想:将不同情况下的费用分别计算出来，出比较得出最优结果。一这种题型通常偏
旺
容易，但是容易有陷阱，需要大
唯
家细心。 室 宝
，
作 淘
【例1】 品
工 一
出
某单位举办活动，需要制作8米长的英横幅20条。用来制作横幅的原料有两
唯
种，一种每卷10米，售价10元;另一种
室
每卷25米，售价23元。如果每卷 精 原料截断后无法拼接，则该单位购买，横幅原料最少需要花费( )元。
作
场 品
A.146 B.158 C.161 D.200 工
职 出
英
【本题答案】B & 室
m 精
【题型识别】题目给出c两 o 种方案，并且设场问为“最少需要花作费多少元”，可以确定为最优方案问题。
. 工
【指点迷津】每卷h10 i 米的只能制作一职条横幅，相当于单
英
价为10元;每卷25米的能制作三条横幅，因此相当于单价
z &
为23/3元。因此u要制作20条横幅，m购买方式为每卷精25米的购买6卷、每卷10米的购买2卷，花费为
i o
23×6+10×2u=
q
158(元)。 .
c 场
o i 职
y h
第七节：u排列组合问题z
&
w u m
理论w要 . 点
q
i
c
o
w u .
加w法原理:分类用加法o，适用于分不同情i况讨论的情形。
y h
u z
乘法原理:分步用w乘法，适用于分步u骤进行的情形。
【例1】 w w
.
u q
i
w o
南阳中学有语文教师8名、数y学教师7名、英语教师5名和体育教师2名。现要从以上四科教师中各选出1名教师
u
w
去参加培训，问共有几种.不同的选法?
w
w
A.96 B.124 C.3w82 D.560
【本题答案】D
【题型识别】本题设问为“共有几种不同的选法”，我们可以确定属于排列组合问题。
【指点迷津】本题考点:分步+组合。四科教师中每科选1人，共有C1 8xC1 7xC1 5xC1 2=560(种)不同的选法。
【例2】
有颜色不同的四盏灯，每次使用一盏、两盏、三盏或四盏，并按一定的次序挂在灯杆上表示信号，问共可表示多少
种不同的信号?
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A.24种 B.48种 C.64种 D.72种
【本题答案】C
【题型识别】本题设问为“共可表示多少种不同的信号”，我们可以确定属于排列组合问题。
【指点迷津】分情况用加法原理，与顺序有关即为排列问题。
4盏灯用1盏:A1 4=4(种);4盏灯用2盏:A2 4=4×3=12(种);4盏灯用3盏:A3 4=4×3×2=24(种);4盏灯全
用:A44=4×3×2×1=24(种)。
故共可以表示信号4+12+24+24=64(种)。因此，本题的正确答案为C选项。
捆绑插空问题 使
天
捆绑法
小
特征:“相邻”“在一起” 小
使
蓝
方法:先将相邻的主体捆绑在一起，再将它们视为一个整体与其他主体进行全排列。 天
蔚
插空法 ： 小
小
特征:“不相邻”“不在一起” 服 使
蓝
客 天
方法:先将其他主体排好，再将不相邻的主体进行插空。 蔚
旺 小
：
【例1】 旺 小
服
某市至旱季水源不足，自来水公司计划在下周七天内选择两天宝停止供水，若要求停水的两天不相连蓝，则自来水公司
客
淘 蔚
共有( )种停水方案。 旺
一 ：
旺
A.21 B.19 C.15 D.6 唯 服
宝
【本题答案】C ， 淘 客
品 旺
【题型识别】本题出现“不相连”，我们可以确出定属于排列组合问一题中的插空问题。
旺
唯
【指点迷津】将供水的5天排成一列，一共室形成6个空，从中任意选2个，共有宝C2 6=15(种)停水方案，因此本题
，
作 淘
的正确答案是C。 品
工 一
出
分配插板问题 英 唯
室
同质物体分堆，至少分一个，可直 精 接用分配插板法。 ，
作
场 品
结论:将m个相同的物品，分给n个人，每个人至工少得1个，则共有Cn-1 m-1种分配方法。
职 出
英
注意:如果是每个人至少得多&个，要先转化为每个人至少得一个室，再用分配插板法解题。
m 精
【例1】 c o 场 作
. 工
将7个大小相同的桔h i 子分给4个小朋友职，要求每个小朋
英
友至少得到1个桔子，一共有几种分配方法?
z &
A.14 B.18 Cu.20 D.22 m 精
i o
q c 场
【本题答案】uC .
o i 职
y h
【题型识u别】本题出现“将z7个大小相同的桔&子分给4个小朋友”，我们可以确定属于排列组合问题中的分配插板
w u m
问题w。 .
q
i
c
o
w u .
【w指点迷津】7个桔子o摆一排，中间有6个i空，插3个板，就能分给4个小朋友，因此，分配方法总数为C3 6=20(种)。
y h
u z
故本题答案为C选w项。 u
错位排列 问题w w
.
u q
i
w o
结论:有N个信封N封信，每y封信都不装在自己的信封里，可能的方法种数记为Dn，则D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，
u
w
D5=44...... .
w
w
【例1】 w
四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜，现在要求每个人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那道菜，问共有几种不同的
尝法?
A.6种 B.9种 C.12种 D.15种
【本题答案】B
【题型识别】本题出现“要求每个人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那道菜”，我们可以确定属于排列组合问题
中的错位排列问题。
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【指点迷津】错位排列问题，D4=9(种)。因此，本题的正确答案是B选项。
圆型排列问题
结论:n个人排成一圈，则有An n/n=An-1 n-1种排法。
【例1】
五个人围成一圈跳舞，请问有多少种不同的排列方法?
A.120 B.72 C.48 D.24
【本题答案】D
【题型识别】本题出现“围成一圈”，我们可以确定属于排列组合问题中的圆型排列问题。使
天
【指点迷津】圆型排列，五个人排列方法共有A4 4=4×3×2×1=24(种)。
小
概率问题 小
使
蓝
概率=满足条件的个数/总个数 天
蔚
【例1】 ： 小
小
“A成立”时“B成立”的概率=A、B同时成立的概率/A成立的概率从3服双完全相同的鞋中，随机抽取一双鞋的使概率
蓝
客 天
是： 蔚
旺 小
：
A.1/2 B.3/5 C.1/6 D.1/3 旺 小
服
【本题答案】B 宝 蓝
客
淘 蔚
【题型识别】本题设问为“概率是多少”，我们可以确定属于概率问题。 旺
一 ：
旺
【指点迷津】基本公式:满足条件的概率=满足条件的个唯数÷总的情况数。 服
宝
本题结合已知，3双鞋是相同的，所以随机抽取一双鞋 ， ，从左脚抽一只、从淘右脚抽一只的情况客数为C1 3×C1 3=9(种)，
品 旺
总的情况数为从6只鞋子里任意抽取2只即C2出 6=15(种)。所以满一足条件的概率=9
旺
÷15=3/5。因此，本题答案为B
选项。 室
唯
宝
，
作 淘
第八节：最值问题 品
工 一
出
题型分类 英 唯
室
最不利构造 精 ，
作
场 品
多集合反向构造 工
职 出
英
数列构造 & 室
m 精
题型特征 c o 场 作
. 工
题目中涉及“至多”h i “至少”“最多”职“最少”“最大
英
”“最小”“最重”“最轻”“最快”“最慢”“排名
z &
第......” u m 精
i o
q c 场
理论要点 u .
o i 职
y h
（一）最u不利构造 z &
w u m
特征w:“ . 至(最)少……保
q
证i(确保)……”
c
o
w u .
方w法:“最不利情形+o1” i
y h
u z
【例1】 w u
从一副完 整的w扑 w
.
克牌中，至少抽u出q
i
( )张牌才能保证至少6张牌的花色相同。
w o
A.21 B.22 C.23 D.24y
u
w
【本题答案】C .
w
w
【题型识别】设问为w“至少……保证……”，我们可以确定为最不利构造。
【指点迷津】最不利情形:每种花色的牌都抽5张，4×5=20(张)，再摸出两张王共22张，这时再抽一张即可满足题
意，22+1=23(张)。因此，本题的正确答案为C选项。
（二）多集合反向构造
特征:“都......至少......”
方法:反向———加和———做差
【例1】
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某社团共有46人，其中35人爱好戏剧，30人爱好体育，38人爱好写作，40人爱好收藏，这个社团至少有多少人以
上四项活动都喜欢?
A.5 B.6 C.7 D.8
【本题答案】A
【题型识别】设问为“至少......都......”，我们可以确定为多集合反向构造。
【指点迷津】这一类题型分为三步走:第一步:反向。即每项活动不喜欢的分别有11人、16人、8人、6人;
第二步:加和。所得值为反向的最大值。即11+16+8+6=41(人);
第三步:做差。即答案=总数-反向最大值=46-41=5(人)。 使
天
因此，本题的正确答案为A选项。
小
（三）数列构造 小
使
蓝
特征:“排名第……最(至)……”“最……最(至)……” 天
蔚
方法:排序———定位———构造———加和 ： 小
小
特别要注意题目中是否有“整数”“互不相等”等限制条件，有或无会导服致构造数列、列方程上的一些区别。使
蓝
客 天
【例1】 蔚
旺 小
：
100人参加7项活动，已知每个人只参加一项活动，每项活动都有旺人参加而且参加的人数都不一样，那
小
么参加人数第
服
四多的活动最多有几个人参加? 宝 蓝
客
淘 蔚
A.22 B.21 C.24 D.23 旺
一 ：
旺
【本题答案】A 唯 服
宝
【题型识别】设问为“第四多......最......”，我 ， 们可以确定为数淘列构造。 客
品 旺
【指点迷津】题中7项活动参加总数是100人，出求的是参加人数第一四多活动最多有多
旺
少人，判定属于构造数列题，
唯
做此类题就是构造数列。排名第四的活动人室数最多，即其他活动人数最少。设排名宝第四的活动有x人参加，可列出
，
作 淘
方程，x+3+x+2+x+1+x+3+2+1=100，解得x=22。因此，本题品的正确答案为A.
工 一
第九节：行程问题 英 出 唯
室
题型分类 精 ，
作
场 品
基础行程类： 工
职 出
英
火车过桥(隧道型) & 室
m 精
等距离平均速度 c o 场 作
. 工
基本相遇追及型 h i 职 英
z &
环形相遇型 u m 精
i o
q c 场
直线往返相遇u型 .
o i 职
y h
其他： u z &
w u m
相遇w追 . 及问题
q
i
c
o
w u .
流w水行船问题 o i
y h
u z
比例行程问题 w u
基础公式 w w
.
u q
i
w o
路程=速度×时间 y
u
w
核心方法 .
w
w
赋值法、方程法、图w示法
理论要点
1基础行进型
核心公式:S=v×t
【例1】
一辆汽车从A地开到B地需要一个小时，返回时速度为每小时75千米，比去时节约了20分钟，问A、B两地相距多
少千米?
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A.30 B.50 C.60 D.75
【本题答案】B
【题型识别】本题出现“速度”等相关词汇，我们确定本题为行程问题。
【指点迷津】根据题意可知，汽车返程比去时节约了20分钟，即实际开了2/3小时。A、B两地相距75×2/3=50(千
米)。因此，本题的正确答案为B选项。
2火车过桥(隧道)型
火车通过整座大桥，从车头上桥至车尾离桥，行进路程S=桥长+车长=速度×时间;
火车在整座大桥上，从车尾上桥至车头离桥，行进路程S=桥长-车长=速度×时间。 使
天
【例1】
小
一列长90米的火车以每秒30米的速度匀速完全通过一座长1200米的桥，所需时间小( )秒。
使
蓝
A.37 B.40 C.43 D.46 天
蔚
【本题答案】C ： 小
小
【题型识别】本题出现“速度”“火车”、“桥”等相关词汇，我们确定本服题为行程问题中的火车过桥(隧道)问使题。
蓝
客 天
【指点迷津】根据公式，火车完全通过大桥的行进路程s=桥长+车长=1200+90=1290(米蔚)，则需要的时间
旺 小
：
t=s÷v=1290÷30=43(秒)。因此，本题的正确答案为C选项。 旺 小
服
3等距离平均速度 宝 蓝
客
淘 蔚
等距离平均速度核心公式:- V=2v1v2/v1+v2 旺
一 ：
旺
【例1】 唯 服
宝
老张上山速度为60米/分钟，原路返回的速度为100 ， 米/分钟，问老张淘往返的平均速度是客多少米/分钟?
品 旺
A.85 B.80 C.75 D.70 出 一 旺
唯
【本题答案】C 室 宝
，
作 淘
【题型识别】本题出现“上山速度”“返回速度”等相关词品汇，我们确定本题为行程问题中的等距离平均速度问题。
工 一
出
【指点迷津】根据等距离平均速度公英式得:- V=2v1v2/v1+v2=2×60×100
唯
/60+100=75(米/分钟)。故本题正确答案为
室
C选项。 精 ，
作
场 品
4基本相遇追及型 工
职 出
英
核心公式 & 室
m 精
相遇问题:相遇路程=(大c o 速度+小速度)×场相遇时间 作
. 工
追及问题:追及路程h= i (大速度-小速度)职×追及时间
英
z &
【例1】 u m 精
i o
q c 场
甲以6千米/u小时的速度步行从.A地往B地，在甲出发90分钟时，乙发现甲落下重要物品，立即骑自行车以12千米
o i 职
y h
/小时追甲u，在11点追上，z甲出发的时间为上&午( )点。
w u m
A.7 w . B.8 C.9 D. q 10i c o
w u .
【w本题答案】B o i
y h
u z
【题型识别】本题w出现“追上”等相u关词汇，我们可以确定为行程问题中的相遇追及问题。
【指点迷 津】w由 w
.
题意可知，甲出u发q
i
90分钟所走路程即为乙追甲的路程。则追及时间=追及路程÷(乙速度-甲速
w o
度)=6×1.5÷(12-6)=1.5(小y时)，11点追上，甲先走了1.5小时，乙又追了甲1.5小时，故出发时间为早上8点。
u
w
因此，本题的正确答案为.B选项。
w
w
5环形相遇型 w
当甲、乙两人运动方向相同时，为追及运动。设甲速度>乙速度，则第一次追上时，甲比乙多跑1圈;第二次追上时，
多跑2圈......第N次追上时，多跑N圈。则有:
同向环形问题:追上N圈时，N圈跑道长度=(甲速度-乙速度)×追及时间
当甲、乙两人运动方向相反时，为相遇(或背离)运动。则第一次相遇时，两人共同行进1圈;
第二次相遇时，两人共同行进2圈......第N次相遇时，共走N圈。则有:
反向/背向环形问题:相遇N圈时，N圈跑道长度=(甲速度+乙速度)×相遇时间
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【例1】
甲乙两人在一条椭圆形田径跑道上练习快跑和慢跑，甲的速度为3米/秒，乙的速度为7米/秒，他们在同一点同向
跑步，经过100秒第一次相遇，若他们反向跑，多少秒后第一次相遇?
A.30 B.40 C.50 D.70
【本题答案】B
【题型识别】本题出现“相遇”等相关词汇，我们可以确定为行程问题中的相遇追及问题。
【指点迷津】根据公式，两人同向跑步，100秒后追上。跑道周长=(7-3)×100=400(米)。若反向跑步，那么相遇时
间t=400÷(7+3)=40(秒)。因此，本题的正确答案为B选项。 使
天
6直线往返相遇型
小
如果两人分别从两端出发: 小
使
蓝
那么两人第N次迎面相遇，路程和=全程×(2N-1); 天
蔚
第N次追上相遇，路程差=全程×(2N-1)。 ： 小
小
如果两人从同一点出发: 服 使
蓝
客 天
那么两人第N次迎面相遇，路程和=全程×2N; 蔚
旺 小
：
第N次追上相遇，路程差=全程×2N。 旺 小
服
【例1】 宝 蓝
客
淘 蔚
甲、乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游37.5米，乙每分钟游52.5旺米。两人同时分别从泳池的两端出发，
一 ：
旺
触壁后原路返回，如是往返。如果不计转向的时间，则唯从出发开始计算的1分50秒内两人共服相遇多少次?
宝
A.2 B.3 C.4 D.5 ， 淘 客
品 旺
【本题答案】B 出 一 旺
唯
【题型识别】本题出现“追上”等相关词汇室，我们可以确定为行程问题中的相遇追宝及问题。
，
作 淘
【指点迷津】泳池长30米，两人速度和为90米/分，则两人迎品面相遇时所走的路程和应为1×30，3×30，5×30，7×30…，
工 一
出
而1分50秒两人游了90×(1+50/60英)=165(米)，5×30<165<7×30，所以
唯
最多可以迎面相遇3次。而两人路程差为
室
(52.5-37.5)×(1+5/6)=27.5(米) 精 ，不到一个全程，因此从出发开始计，算的1分50秒内两人没有一次追上相遇。因
作
场 品
此，本题的正确答案为B选项。 工
职 出
英
7流水行船问题 & 室
m 精
顺流路程=顺流速度×顺c o 流时间=(船速+水场速)×顺流时间 作
. 工
逆流路程=逆流速度h× i 逆流时间=(船速职-水速)×逆流时间
英
z &
无动力漂流所需时u间t=2t逆t顺/tm逆-t顺 精
i o
q c 场
【例1】 u .
o i 职
y h
长江上游u的A港与下游S港z相距270千米，一&轮船以恒定速度从A港到S港需6.75小时，返回需9小时。如果一只
w u m
漂流w瓶 . 从A港顺水漂流到
q
iS港，则需要的时
c
o间是：
w u .
A.w84小时 B.50小o时 C.54小时 iD.81小时
y h
u z
【答案】C w u
【题型识 别】w本 w
.
题出现“顺水”u等q
i
相关词汇，我们可以确定为行程问题中的流水行船问题。
w o
【指点迷津】根据顺水漂流模y型，漂流时间=(2×6.75×9)÷(9-6.75)=54(小时)。
u
w
8比例行程问题 .
w
w
路程相同，速度和时w间成反比;
时间相同，速度和路程成正比。
【例1】
甲乙两辆车从A地驶往90千米外的B地，两车的速度比为5∶6。甲车于上午10点半出发，乙车于10点40分出发，
最终乙车比甲车早2分钟到达乙地。问两车的时速相差多少千米/小时?
A.10 B.12 C.12.5 D.15
【答案】D
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【指点迷津】根据题意可知:s一定，所以速度比为时间的反比。因此甲乙所用时间的比应该为6∶5。设甲用了6t，
乙用了5t，又根据题意甲比乙多用12分钟，所以t为12，即甲用了72分钟，乙用了60分钟。因此甲的时速为
90÷72/60=千米，乙的时速为90千米，两者相差15千米/小时，故选D。
第十节：牛吃草问题
方法:套公式，列方程。
公式:y=(N-x)×T 使
天
y:原有的总量(比如“原有的草量”)
小
T:完全消耗所需的时间 小
使
蓝
N:促使原有总量减少的变量(比如“牛数”) 天
蔚
x:单位时间内的增长量(比如“草的生长速度”)。 ： 小
小
题目特征:给出两组对应的T、N;本质:两个变量影响原有总量的变化。 服 使
蓝
客 天
理论要点 蔚
旺 小
：
1基本公式型 旺 小
服
y=(N-x)×T 宝 蓝
客
淘 蔚
【例1】 旺
一 ：
旺
一片草地(草以均匀速度生长)，240只羊可以吃6天，唯200只羊可以吃10天，则这片草可供服190只羊吃的天数是：
宝
A.11天 B.12天 C.14天 D.15天 ， 淘 客
品 旺
【本题答案】B 出 一 旺
唯
【题型识别】本题出现“240只羊可以吃6天室，200只羊可以吃10天”，我们可以宝确定为牛吃草问题。
，
作 淘
【指点迷津】牛吃草公式:y=(N-x)×T根据题意可得: 品
工 一
出
y=(240-x)×6；y=(200-x)×10 英 唯
室
解得:x=140，y=600 精 ，
作
场 品
将N=190代入，则600=(190-140)×T，得T=12。工故本题答案为B选项。
职 出
英
2可持续发展型 & 室
m 精
减少速度(N)≤增长速度c o (x) 场 作
. 工
【例1】 h i 职 英
z &
某河段中的沉积河u沙可供80人连续m开采6个月或60精人连续开采10个月。如果要保证该河段河沙不被开采枯竭，问
i o
q c 场
最多可供多少u人进行连续不间断.地开采?(假定该河段河沙沉积的速度相对稳定)
o i 职
y h
A.25 Bu.30 C.35 D.4z0 &
w u m
【本w题 . 答案】B
q
i
c
o
w u .
【w题型识别】本题出o现“80人连续开采i6个月或60人连续开采10个月”，我们可以确定为牛吃草问题。此外，出
y h
u z
现“保证该河段河w沙不被开采枯竭”u，确定为可持续发展型。
【指点迷 津】w牛 w
.
吃草公式:y=(N-uxq)
i
×T
w o
根据题意可得:y=(80-x)×6，yy=(60-x)×10
u
w
解得:x=30，表示每个月河.沙沉积速度为30，则要保证不被开采枯竭，每个月最多供30人开采。故本题答案为B选
w
w
项。 w
3同增同减型
【例1】
当算出x为负值时，则表示N和x同增同减，直接代入计算即可。某医院有一氧气罐匀速漏气，该氧气罐充满后同
时供40人吸氧，60分钟后氧气耗尽，再次充满该氧气罐同时供60个人吸氧，45分钟后氧气耗尽。问如果该氧气罐
充满后无人吸氧，氧气耗尽需要多长时间?
A.1.5个小时 B.2个小时 C.2.5个小时 D.3个小时
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【本题答案】D
【题型识别】本题出现“同时供40人吸氧，60分钟后氧气耗尽，再次充满该氧气罐同时供60个人吸氧，45分钟后
氧气耗尽”，我们可以确定为牛吃草问题。
【指点迷津】牛吃草公式:y=(N-x)×T
根据题意可得:y=(40-x)×60，y=(60-x)×45
解得:y=3600，x=-20。则3600÷20=180(分钟)=3(小时)。故本题答案为D选项。
第十一节：容斥原理
基本公式 使
天
两集合容斥问题
小
总个数-两者都不满足的个数=A+B-AB 小
使
蓝
三集合容斥问题 天
蔚
总个数-三者都不满足的个数=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC ： 小
小
总个数-三者都不满足的个数=A+B+C-②-2×③ 服 使
蓝
客 天
(其中②表示满足两种的个数;③表示三者都满足的个数) 蔚
旺 小
：
核心方法 旺 小
服
公式法、图示法 宝 蓝
客
淘 蔚
理论要点 旺
一 ：
旺
（一）两集合容斥问题 唯 服
宝
解题方法:公式法、图示法。 ， 淘 客
品 旺
核心公式:总个数-两者都不满足的个数=A+B-AB出 一
旺
唯
【例1】 室 宝
，
作 淘
某班对50名学生进行体检，有20人近视，12人超重，4人品既近视又超重。问该班有多少人既不近视又不超重?
工 一
出
A.22人 B.24人 C.26人 D.2英8人
唯
室
【本题答案】A 精 ，
作
场 品
【题型识别】本题出现“有20人近视，12人超重工，4人既近视又超重”，我们可以确定为两集合问题。
职 出
英
【指点迷津】根据两集合容&斥原理可知，近视和超重的学生共有室20+12-4=28(人)，可得既不近视也不超重的人数为
m 精
50-28=22(人)。故正确c答 o 案为A选项。 场 作
. 工
（二）三集合容斥问h i 题 职
英
z &
解题方法:公式法u、图示法。 m 精
i o
q c 场
适用情形:当u题目直接求公式中.的某个未知量时，直接适用公式法;
o i 职
y h
当题目所u求未知量未在公式z中体现出来时，直&接适用图示法。
w u m
核心w公 . 式:①总个数-三者
q
i都不满足的个数=
c
Ao+B+C-(AB+AC+BC)+ABC(适用于AB、BC、AC均已知的情形);
w u .
②w总个数-三者都不满o足的个数=A+B+C-i②-2×③(适用于已知满足两种情况个数的情形)。
y h
u z
计算策略:因三集w合容斥公式太长，u在选项尾数都不相同的情况下，可直接适用尾数法快速选出正确答案。
【例1】 w w
.
u q
i
w o
某专业有学生50人，现开设y有甲、乙、丙三门必修课。有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，
u
w
兼选甲、乙两门课程的有.28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门
w
w
课程均选的有20人，w问三门课程均未选的有多少人?
A.1人 B.2人 C.3人 D.4人
【本题答案】B
【题型识别】本题出现“三门课程均未选”，我们可以确定为三集合问题。
【指点迷津】直接使用公式法。三者都不=总数-[(A+B+C)-(AB+BC+AC)+ABC]=50-[(40+36+30)-(28+26+24)+20]=2(人)。
因此，本题的正确答案为B选项。
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宝
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，
作 淘
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