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数学运算 思维策略类题型解题技巧讲义
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A.24种 B.48种 C.64种 D.72种
【本题答案】C
【题型识别】本题设问为“共可表示多少种不同的信号”，我们可以确定属于排列组合问题。
【指点迷津】分情况用加法原理，与顺序有关即为排列问题。
4 盏灯用1 盏:A1 4=4(种);4盏灯用2 盏:A2 4=4×3=12(种);4盏灯用3 盏:A3 4=4×3×2=24(种);4盏灯全
用:A44=4×3×2×1=24(种)。
故共可以表示信号4+12+24+24=64(种)。因此，本题的正确答案为C 选项。
捆绑插空问题
捆绑法
特征:“相邻”“在一起”
方法:先将相邻的主体捆绑在一起，再将它们视为一个整体与其他主体进行全排列。
插空法
特征:“不相邻”“不在一起”
方法:先将其他主体排好，再将不相邻的主体进行插空。
【例1】
某市至旱季水源不足，自来水公司计划在下周七天内选择两天停止供水，若要求停水的两天不相连，则自来水公司
共有( )种停水方案。
A.21 B.19 C.15 D.6
【本题答案】C
【题型识别】本题出现“不相连”，我们可以确定属于排列组合问题中的插空问题。
【指点迷津】将供水的5 天排成一列，一共形成6 个空，从中任意选2 个，共有C2 6=15(种)停水方案，因此本题
的正确答案是C。
分配插板问题
同质物体分堆，至少分一个，可直接用分配插板法。
结论:将m个相同的物品，分给n 个人，每个人至少得1 个，则共有Cn-1 m-1种分配方法。
注意:如果是每个人至少得多个，要先转化为每个人至少得一个，再用分配插板法解题。
【例1】
将7 个大小相同的桔子分给4 个小朋友，要求每个小朋友至少得到1 个桔子，一共有几种分配方法?
A.14 B.18 C.20 D.22
【本题答案】C
【题型识别】本题出现“将7 个大小相同的桔子分给4 个小朋友”，我们可以确定属于排列组合问题中的分配插板
问题。
【指点迷津】7 个桔子摆一排，中间有6 个空，插3 个板，就能分给4 个小朋友，因此，分配方法总数为C3 6=20(种)。
故本题答案为C 选项。
错位排列问题
结论:有N 个信封N 封信，每封信都不装在自己的信封里，可能的方法种数记为Dn，则D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，
D5=44......
【例1】
四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜，现在要求每个人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那道菜，问共有几种不同的
尝法?
A.6种 B.9种 C.12种 D.15种
【本题答案】B
【题型识别】本题出现“要求每个人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那道菜”，我们可以确定属于排列组合问题
中的错位排列问题。
【指点迷津】错位排列问题，D4=9(种)。因此，本题的正确答案是B 选项。
圆型排列问题
结论:n个人排成一圈，则有An n/n=An-1 n-1种排法。笔试助攻加：V offer专家 offer1688888 专业老师 专业团队 答案正确率90%以上
【例1】
五个人围成一圈跳舞，请问有多少种不同的排列方法?
A.120 B.72 C.48 D.24
【本题答案】D
【题型识别】本题出现“围成一圈”，我们可以确定属于排列组合问题中的圆型排列问题。
【指点迷津】圆型排列，五个人排列方法共有A4 4=4×3×2×1=24(种)。
概率问题
概率=满足条件的个数/总个数
【例1】
“A成立”时“B成立”的概率=A、B 同时成立的概率/A成立的概率从3 双完全相同的鞋中，随机抽取一双鞋的概率
是：
A.1/2 B.3/5 C.1/6 D.1/3
【本题答案】B
【题型识别】本题设问为“概率是多少”，我们可以确定属于概率问题。
【指点迷津】基本公式:满足条件的概率=满足条件的个数÷总的情况数。
本题结合已知，3 双鞋是相同的，所以随机抽取一双鞋，从左脚抽一只、从右脚抽一只的情况数为C1 3×C1 3=9(种)，
总的情况数为从6 只鞋子里任意抽取2 只即C2 6=15(种)。所以满足条件的概率=9÷15=3/5。因此，本题答案为B
选项。
第八节：最值问题
题型分类
最不利构造
多集合反向构造
数列构造
题型特征
题目中涉及“至多”“至少”“最多”“最少”“最大”“最小”“最重”“最轻”“最快”“最慢”“排名
第......”
理论要点
（一）最不利构造
特征:“至(最)少……保证(确保)……”
方法:“最不利情形+1”
【例1】
从一副完整的扑克牌中，至少抽出( )张牌才能保证至少6 张牌的花色相同。
A.21 B.22 C.23 D.24
【本题答案】C
【题型识别】设问为“至少……保证……”，我们可以确定为最不利构造。
【指点迷津】最不利情形:每种花色的牌都抽5 张，4×5=20(张)，再摸出两张王共22张，这时再抽一张即可满足题
意，22+1=23(张)。因此，本题的正确答案为C 选项。
（二）多集合反向构造
特征:“都......至少......”
方法:反向———加和———做差
【例1】
某社团共有46人，其中35人爱好戏剧，30人爱好体育，38人爱好写作，40人爱好收藏，这个社团至少有多少人以
上四项活动都喜欢?
A.5 B.6 C.7 D.8
【本题答案】A
【题型识别】设问为“至少......都......”，我们可以确定为多集合反向构造。
【指点迷津】这一类题型分为三步走:第一步:反向。即每项活动不喜欢的分别有11人、16人、8 人、6 人;
第二步:加和。所得值为反向的最大值。即11+16+8+6=41(人);
第三步:做差。即答案=总数-反向最大值=46-41=5(人)。笔试助攻加：V offer专家 offer1688888 专业老师 专业团队 答案正确率90%以上
因此，本题的正确答案为A 选项。
（三）数列构造
特征:“排名第……最(至)……”“最……最(至)……”
方法:排序———定位———构造———加和
特别要注意题目中是否有“整数”“互不相等”等限制条件，有或无会导致构造数列、列方程上的一些区别。
【例1】
100人参加7 项活动，已知每个人只参加一项活动，每项活动都有人参加而且参加的人数都不一样，那么参加人数第
四多的活动最多有几个人参加?
A.22 B.21 C.24 D.23
【本题答案】A
【题型识别】设问为“第四多......最......”，我们可以确定为数列构造。
【指点迷津】题中7 项活动参加总数是100人，求的是参加人数第四多活动最多有多少人，判定属于构造数列题，
做此类题就是构造数列。排名第四的活动人数最多，即其他活动人数最少。设排名第四的活动有x 人参加，可列出
方程，x+3+x+2+x+1+x+3+2+1=100，解得x=22。因此，本题的正确答案为A.
第九节：行程问题
题型分类
基础行程类：
火车过桥(隧道型)
等距离平均速度
基本相遇追及型
环形相遇型
直线往返相遇型
其他：
相遇追及问题
流水行船问题
比例行程问题
基础公式
路程=速度×时间
核心方法
赋值法、方程法、图示法
理论要点
1 基础行进型
核心公式:S=v×t
【例1】
一辆汽车从A 地开到B 地需要一个小时，返回时速度为每小时75千米，比去时节约了20分钟，问A、B 两地相距多
少千米?
A.30 B.50 C.60 D.75
【本题答案】B
【题型识别】本题出现“速度”等相关词汇，我们确定本题为行程问题。
【指点迷津】根据题意可知，汽车返程比去时节约了20分钟，即实际开了2/3小时。A、B 两地相距75×2/3=50(千
米)。因此，本题的正确答案为B 选项。
2 火车过桥(隧道)型
火车通过整座大桥，从车头上桥至车尾离桥，行进路程S=桥长+车长=速度×时间;
火车在整座大桥上，从车尾上桥至车头离桥，行进路程S=桥长-车长=速度×时间。
【例1】
一列长90米的火车以每秒30米的速度匀速完全通过一座长1200米的桥，所需时间( )秒。
A.37 B.40 C.43 D.46
【本题答案】C
【题型识别】本题出现“速度”“火车”、“桥”等相关词汇，我们确定本题为行程问题中的火车过桥(隧道)问题。笔试助攻加：V offer专家 offer1688888 专业老师 专业团队 答案正确率90%以上
【指点迷津】根据公式，火车完全通过大桥的行进路程s=桥长+车长=1200+90=1290(米)，则需要的时间
t=s÷v=1290÷30=43(秒)。因此，本题的正确答案为C 选项。
3 等距离平均速度
等距离平均速度核心公式:- V=2v1v2/v1+v2
【例1】
老张上山速度为60米/分钟，原路返回的速度为100米/分钟，问老张往返的平均速度是多少米/分钟?
A.85 B.80 C.75 D.70
【本题答案】C
【题型识别】本题出现“上山速度”“返回速度”等相关词汇，我们确定本题为行程问题中的等距离平均速度问题。
【指点迷津】根据等距离平均速度公式得:- V=2v1v2/v1+v2=2×60×100/60+100=75(米/分钟)。故本题正确答案为
C 选项。
4 基本相遇追及型
核心公式
相遇问题:相遇路程=(大速度+小速度)×相遇时间
追及问题:追及路程=(大速度-小速度)×追及时间
【例1】
甲以6 千米/小时的速度步行从A 地往B 地，在甲出发90分钟时，乙发现甲落下重要物品，立即骑自行车以12千米
/小时追甲，在11点追上，甲出发的时间为上午( )点。
A.7 B.8 C.9 D.10
【本题答案】B
【题型识别】本题出现“追上”等相关词汇，我们可以确定为行程问题中的相遇追及问题。
【指点迷津】由题意可知，甲出发90分钟所走路程即为乙追甲的路程。则追及时间=追及路程÷(乙速度-甲速
度)=6×1.5÷(12-6)=1.5(小时)，11点追上，甲先走了1.5小时，乙又追了甲1.5小时，故出发时间为早上8 点。
因此，本题的正确答案为B 选项。
5 环形相遇型
当甲、乙两人运动方向相同时，为追及运动。设甲速度>乙速度，则第一次追上时，甲比乙多跑1 圈;第二次追上时，
多跑2 圈......第N 次追上时，多跑N 圈。则有:
同向环形问题:追上N 圈时，N 圈跑道长度=(甲速度-乙速度)×追及时间
当甲、乙两人运动方向相反时，为相遇(或背离)运动。则第一次相遇时，两人共同行进1 圈;
第二次相遇时，两人共同行进2 圈......第N 次相遇时，共走N 圈。则有:
反向/背向环形问题:相遇N 圈时，N 圈跑道长度=(甲速度+乙速度)×相遇时间
【例1】
甲乙两人在一条椭圆形田径跑道上练习快跑和慢跑，甲的速度为3 米/秒，乙的速度为7 米/秒，他们在同一点同向
跑步，经过100秒第一次相遇，若他们反向跑，多少秒后第一次相遇?
A.30 B.40 C.50 D.70
【本题答案】B
【题型识别】本题出现“相遇”等相关词汇，我们可以确定为行程问题中的相遇追及问题。
【指点迷津】根据公式，两人同向跑步，100秒后追上。跑道周长=(7-3)×100=400(米)。若反向跑步，那么相遇时
间t=400÷(7+3)=40(秒)。因此，本题的正确答案为B 选项。
6 直线往返相遇型
如果两人分别从两端出发:
那么两人第N 次迎面相遇，路程和=全程×(2N-1);
第N 次追上相遇，路程差=全程×(2N-1)。
如果两人从同一点出发:
那么两人第N 次迎面相遇，路程和=全程×2N;
第N 次追上相遇，路程差=全程×2N。
【例1】
甲、乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游37.5米，乙每分钟游52.5米。两人同时分别从泳池的两端出发，
触壁后原路返回，如是往返。如果不计转向的时间，则从出发开始计算的1 分50秒内两人共相遇多少次?笔试助攻加：V offer专家 offer1688888 专业老师 专业团队 答案正确率90%以上
A.2 B.3 C.4 D.5
【本题答案】B
【题型识别】本题出现“追上”等相关词汇，我们可以确定为行程问题中的相遇追及问题。
【指点迷津】泳池长30米，两人速度和为90米/分，则两人迎面相遇时所走的路程和应为1×30，3×30，5×30，7×30…，
而1 分50秒两人游了90×(1+50/60)=165(米)，5×30<165<7×30，所以最多可以迎面相遇3 次。而两人路程差为
(52.5-37.5)×(1+5/6)=27.5(米)，不到一个全程，因此从出发开始计算的1 分50秒内两人没有一次追上相遇。因
此，本题的正确答案为B 选项。
7 流水行船问题
顺流路程=顺流速度×顺流时间=(船速+水速)×顺流时间
逆流路程=逆流速度×逆流时间=(船速-水速)×逆流时间
无动力漂流所需时间t=2t逆t 顺/t逆-t顺
【例1】
长江上游的A 港与下游S 港相距270千米，一轮船以恒定速度从A 港到S 港需6.75小时，返回需9 小时。如果一只
漂流瓶从A 港顺水漂流到S 港，则需要的时间是：
A.84小时 B.50小时 C.54小时 D.81小时
【答案】C
【题型识别】本题出现“顺水”等相关词汇，我们可以确定为行程问题中的流水行船问题。
【指点迷津】根据顺水漂流模型，漂流时间=(2×6.75×9)÷(9-6.75)=54(小时)。
8 比例行程问题
路程相同，速度和时间成反比;
时间相同，速度和路程成正比。
【例1】
甲乙两辆车从A 地驶往90千米外的B 地，两车的速度比为5∶6。甲车于上午10点半出发，乙车于10点40分出发，
最终乙车比甲车早2 分钟到达乙地。问两车的时速相差多少千米/小时?
A.10 B.12 C.12.5 D.15
【答案】D
【题型识别】本题出现“追上”等相关词汇，我们可以确定为行程问题中的相遇追及问题。
【指点迷津】根据题意可知:s一定，所以速度比为时间的反比。因此甲乙所用时间的比应该为6∶5。设甲用了6t，
乙用了5t，又根据题意甲比乙多用12分钟，所以t 为12，即甲用了72分钟，乙用了60分钟。因此甲的时速为
90÷72/60=千米，乙的时速为90千米，两者相差15千米/小时，故选D。
第十节：牛吃草问题
方法:套公式，列方程。
公式:y=(N-x)×T
y:原有的总量(比如“原有的草量”)
T:完全消耗所需的时间
N:促使原有总量减少的变量(比如“牛数”)
x:单位时间内的增长量(比如“草的生长速度”)。
题目特征:给出两组对应的T、N;本质:两个变量影响原有总量的变化。
理论要点
1 基本公式型
y=(N-x)×T
【例1】
一片草地(草以均匀速度生长)，240只羊可以吃6 天，200只羊可以吃10天，则这片草可供190只羊吃的天数是：
A.11天 B.12天 C.14天 D.15天
【本题答案】B
【题型识别】本题出现“240只羊可以吃6 天，200只羊可以吃10天”，我们可以确定为牛吃草问题。
【指点迷津】牛吃草公式:y=(N-x)×T根据题意可得:
y=(240-x)×6；y=(200-x)×10笔试助攻加：V offer专家 offer1688888 专业老师 专业团队 答案正确率90%以上
解得:x=140，y=600
将N=190代入，则600=(190-140)×T，得T=12。故本题答案为B 选项。
2 可持续发展型
减少速度(N)≤增长速度(x)
【例1】
某河段中的沉积河沙可供80人连续开采6 个月或60人连续开采10个月。如果要保证该河段河沙不被开采枯竭，问
最多可供多少人进行连续不间断地开采?(假定该河段河沙沉积的速度相对稳定)
A.25 B.30 C.35 D.40
【本题答案】B
【题型识别】本题出现“80人连续开采6 个月或60人连续开采10个月”，我们可以确定为牛吃草问题。此外，出
现“保证该河段河沙不被开采枯竭”，确定为可持续发展型。
【指点迷津】牛吃草公式:y=(N-x)×T
根据题意可得:y=(80-x)×6，y=(60-x)×10
解得:x=30，表示每个月河沙沉积速度为30，则要保证不被开采枯竭，每个月最多供30人开采。故本题答案为B 选
项。
3 同增同减型
【例1】
当算出x 为负值时，则表示N 和x 同增同减，直接代入计算即可。某医院有一氧气罐匀速漏气，该氧气罐充满后同
时供40人吸氧，60分钟后氧气耗尽，再次充满该氧气罐同时供60个人吸氧，45分钟后氧气耗尽。问如果该氧气罐
充满后无人吸氧，氧气耗尽需要多长时间?
A.1.5个小时 B.2个小时 C.2.5个小时 D.3个小时
【本题答案】D
【题型识别】本题出现“同时供40人吸氧，60分钟后氧气耗尽，再次充满该氧气罐同时供60个人吸氧，45分钟后
氧气耗尽”，我们可以确定为牛吃草问题。
【指点迷津】牛吃草公式:y=(N-x)×T
根据题意可得:y=(40-x)×60，y=(60-x)×45
解得:y=3600，x=-20。则3600÷20=180(分钟)=3(小时)。故本题答案为D 选项。
第十一节：容斥原理
基本公式
两集合容斥问题
总个数-两者都不满足的个数=A+B-AB
三集合容斥问题
总个数-三者都不满足的个数=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC
总个数-三者都不满足的个数=A+B+C-②-2×③
(其中②表示满足两种的个数;③表示三者都满足的个数)
核心方法
公式法、图示法
理论要点
（一）两集合容斥问题
解题方法:公式法、图示法。
核心公式:总个数-两者都不满足的个数=A+B-AB
【例1】
某班对50名学生进行体检，有20人近视，12人超重，4 人既近视又超重。问该班有多少人既不近视又不超重?
A.22人 B.24人 C.26人 D.28人
【本题答案】A
【题型识别】本题出现“有20人近视，12人超重，4 人既近视又超重”，我们可以确定为两集合问题。
【指点迷津】根据两集合容斥原理可知，近视和超重的学生共有20+12-4=28(人)，可得既不近视也不超重的人数为
50-28=22(人)。故正确答案为A 选项。
（二）三集合容斥问题笔试助攻加：V offer专家 offer1688888 专业老师 专业团队 答案正确率90%以上
解题方法:公式法、图示法。
适用情形:当题目直接求公式中的某个未知量时，直接适用公式法;
当题目所求未知量未在公式中体现出来时，直接适用图示法。
核心公式:①总个数-三者都不满足的个数=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC(适用于AB、BC、AC均已知的情形);
②总个数-三者都不满足的个数=A+B+C-②-2×③(适用于已知满足两种情况个数的情形)。
计算策略:因三集合容斥公式太长，在选项尾数都不相同的情况下，可直接适用尾数法快速选出正确答案。
【例1】
某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门必修课。有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，
兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门
课程均选的有20人，问三门课程均未选的有多少人?
A.1人 B.2人 C.3人 D.4人
【本题答案】B
【题型识别】本题出现“三门课程均未选”，我们可以确定为三集合问题。
【指点迷津】直接使用公式法。三者都不=总数-[(A+B+C)-(AB+BC+AC)+ABC]=50-[(40+36+30)-(28+26+24)+20]=2(人)。
因此，本题的正确答案为B 选项。
