文档内容
大庆市大庆中学 2024 年高三年级开学考试试题（数学）
（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）
第I卷（选择题共58分）
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是
符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.若复数 ，则 （ ）
A. B. C.1 D.-1
2. 五人站成一排，如果 必须相邻，那么排法种数为（ ）
A.24 B.120 C.48 D.60
3.已知向量 ，则（ ）
A. B.
C. D.
4.已知数列 满足 ，则 （ ）
A.3 B.2或-2 C.3或-3 D.2
5. 的展开式中 的系数为（ ）
A.-30 B.-20 C.20 D.30
6.设抛物线 的焦点为 ，过点 且倾斜角为 的直线与 交于 两点，以 为直
径的圆与准线 切于点 ，则 的方程为（ ）
A. B.
C. D.
7.在 中， ，则下列各式一定成立的是（ ）
A. B.C. D.
8.双曲线 的左，右焦点分别为 ，过 作垂直于 轴的直线交双曲线于 两点，
的内切圆圆心分别为 ，则 的面积是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.如图，棱长为2的正方体 中， 分别为 的中点，则（ ）
A.
B. 与 所成角的余弦值为
C. 四点共面
D. 的面积为
10.已知函数 的部分图像如图所示，则（ ）
A. 在 上单调递增
B. 在 上有4个零点C.
D.将 的图祭向右平移 个单位，可得 的图像
11.定义在 上的函数 满足 ，且 不是常值函数（即： 的值域不是
单元素集合），则（ ）
A. B.
C. 时， D. 为奇函数
第II卷（非选择题共92分）
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12.已知集合 ，则 的子集个数为__________.
13.在工业生产中轴承的直径服从 ，购买者要求直径为 ，不在这个范围的将被拒绝，
要使拒绝的概率控制在 之内，则 至少为__________；（若 ，则
14.在1，3中间插入二者的乘积，得到 ，称数列 为数列1，3的第一次扩展数列，数列
为数列1，3的第二次扩展数列，重复上述规则，可得 ，3为数列1，3的第 次扩展数列，
令 ，则数列 的通项公式为__________.
四､解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程
或演算步骤.
15.（13分）在 中， 的对边分别为 ，已知 .
（1）求 ；
（2）已知点 在线段 上，且 ，求 长.
16.（15分）在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， ，二面角 为
直二面角.（1）证明： ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
17.（15分）甲､乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲､乙各射击一次，甲､乙每次至少射中8环.根据统计资
料可知，甲击中8环､9环､10环的概率分别为 ，乙击中8环､9环､10环的概率分别为 ，
且甲､乙两人射击相互独立.
（1）在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率；
（2）若独立进行三场比赛，其中 场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求 的分布列与数学期望.
18.（17分）已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆 上，过点 的两条直
线 分别与椭圆 交于另一点 ，且直线 的斜率满足 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）证明直线 过定点；
（3）椭圆 的焦点分别为 ，求凸四边形 面积的取值范围.
19.（17分）已知函数 .
（1）证明曲线 在 处的切线过原点；
（2）讨论 的单调性；
（3）若 ，求实数 的取值范围.大庆市大庆中学 2024 年高三年级月考
数学（答案）
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分
1.A 2.C 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B 8.A
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分
9.ACD 10.ABC 11.AB
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分
12.4 13.0.1
13.
因为为所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，所以 是以 为首项，3
为公比的等比数列，所以 ，所以 .
四､解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程
或演算步骤.
15.【答案】（1） （2）
【解析】（1） ，由余弦定理得 ，
即 ，则可得 ；
（2）由余弦定理 ，
，
则在 中，由正弦定理可得 ，
.
16.解：
（1）在四棱锥 中，因为二面角 为直二面角，所以平面 平面 ，因为底
面 为正方形，所以 ，而 平面 平面 平面 ，所以
平面 ，而 平面 ，所以 ，又因为 平面 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，所以 ；（2）分别取 中点为 ，连接 ，因为 ，所以 ，又因为平面
平面 =平面 平面 平面 ，所以 平面 ，以 为坐标原点，
所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则
， ，
，
，设 是平面 的一个法向量，则 ，即 ，不妨
取 ， ，则 是平面 的一个法向量.
设直线 与平面 的夹角为 ，则 .所以直线 与平面 所
成的角的正弦值为 .
17.【答案】（1）0.2（2）分布列见解析期望为0.6
【解析】（1）设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件 ，
则事件 包括：甲击中9环乙击中8环，甲击中10环乙击中8环，甲击中10环乙击中9环，则
.
（2）由题可知 的所有可能取值为 ，
由（1）可知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2，
则 ，
所以 ，，
故 的分布列为
0 1 2 3
0.09 0.00
0.51 0.38
6 8
所以 .
18.（17分）（1）由题设得 ，解得 ，所以 的方程为 ；
（2）由题意可设 ，设 ，
由 ，整理得 ，
.
由韦达定理得 ，
由 得 ，即 ，
整理得 ，因为 ，得 ，解得 或 ， 时，直
线 过定点 舍去；
时，满足 ，所以直线 过定点 .
（3）由（2）得直线 ，所以 ，由 ，整理得 ，
由题意得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，令 ，
所以 ，在 上单调递减，
所以 的范围是 .
19.（17分）（1）由题设得 ，所以 ，
又因为 ，所以切点为 ，斜率 ，
所以切线方程为 ，即 ，恒过原点.
（2）由（1）得 ，
① 时， ，
当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递减；
② 时， 时， 在 上单调递增，
时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在上单调递增；
③ 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
（3）当 时， ，即 ，
下面证明当 时， ，即证 ，
令 ，因为 ，所以 ，只需证 ，
即证 ，令 ，
令 ，
令 与 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减， ，
所以存在 ，使得 ，即 ，
所以 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
令 时 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，所以 ，所以 在 上单调递减，
，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，综上所述 .
以上各题的其他解法，限于篇幅，从略，请酌情给分.
