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一.选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.复数z =(3-2i)i的共轭复数z等于（ ）
A.-2-3i B.-2+3i C.2-3i D.2+3i
2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）
A.圆柱 B.圆锥 C.四面体 D.三棱柱
3.等差数列{a }的前n项和S ，若a =2,S =12，则a =( )
n n 1 3 6
A.8 B.10 C.12 D.14
4.若函数y =log x(a >0,且a ¹1)的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ）
a
第1页 | 共16页5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S得值等于（ ）
A.18 B.20 C.21 D.40
第2页 | 共16页1
6.直线l: y =kx+1与圆O:x2 + y2 =1相交于A,B两点，则"k =1"是“DOAB的面积为 ”的（ ）
2
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
第3页 | 共16页x2 +1, x>0
7.已知函数 f x = 则下列结论正确的是（ ）
cosx, x0
A. f x 是偶函数 B. f x 是增函数 C. f x 是周期函数 D. f x 的值域为 -1,+
8.在下列向量组中，可以把向量a= 3,2 表示出来的是（ ）
A.e =(0,0),e =(1,2) B .e =(-1,2),e =(5,-2)
1 2 1 2
C.e =(3,5),e =(6,10) D.e =(2,-3),e =(-2,3)
1 2 1 2
x2
9.设P,Q分别为x2 + y-6 2 =2和椭圆 + y2 =1上的点，则P,Q两点间的最大距离是（ ）
10
A.5 2 B. 46+ 2 C.7+ 2 D.6 2
第4页 | 共16页10.用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干
个球的所有取法可由 1+a 1+b 的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表
示取出一个红球，面“ab”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示
从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不
取出的所有取法的是
A. 1+a+a2 +a3 +a4 +a5 1+b5 1+c 5 B. 1+a5 1+b+b2 +b3 +b4 +b5 1+c 5
C. 1+a 5 1+b+b2 +b3 +b4 +b5 1+c5 D. 1+a5 1+b 5 1+c+c2 +c3 +c4 +c5
二.填空题
x- y+10
11.若变量x,y满足约束条件x+2y-80则z =3x+ y的最小值为________.
x0
第5页 | 共16页12.在DABC中，A=60°,AC =4,BC =2 3,则DABC的面积等于_________.
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13.要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造
价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）
14.如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______.
15.若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系：
①a =1；②b¹1；③c=2；④d ¹4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数
是_________.
第6页 | 共16页三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.
16.（本小题满分13分）
1
已知函数 f (x) =cosx(sinx+cosx)- .
2
2
（1）若0 ，且sin= ，求 f ()的值；
2 2
（2）求函数 f (x)的最小正周期及单调递增区间.
2 2 2 2 2 1 1
试题解析： (1)因为0 , sin= ,所以cos= .所以 f()= ( + )- =
2 2 2 2 2 2 2 2
第7页 | 共16页17.（本小题满分12分）
在平行四边形ABCD中，AB = BD =CD =1，AB ^ BD,CD ^ BD.将DABD沿BD折起，使得平
面ABD ^平面BCD，如图.
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（1）求证： AB^CD；
（2）若M 为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.
试题解析：(1)因为ABD^平面BCD,平面ABD 平面BCD= BD,ABÌ平面ABD,AB^ BD,所以
I
第8页 | 共16页AB^平面BCD.又CDÌ平面BCD,所以AB^CD.
18.（本小题满分13分）
为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从
一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾
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客所获的奖励额.
（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求
①顾客所获的奖励额为60元的概率
②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;
（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和
50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励
总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球
的面值给出一个合适的设计，并说明理由.
1
【答案】(1) ,参考解析;(2)参考解析
2
【解析】
试题分析：(1)由袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元,又规定每位顾客从
一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额..
由获得60元的事件数C1C1除以总的事件数C2即可. 顾客获得奖励有两种情况20元,60元.分别计算出他
1 3 4
第9页 | 共16页们的概率,再利用数学期望的公式即可得结论.
第10页 | 共16页1 2 1 400
D(X )=(40-60)2´ +(60-60)2´ +(80-60)2´ = .由于两种方案的奖励额都符合要求,但方
2 6 3 6 3
案2奖励的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.
考点：1.概率.2.统计.3.数学期望,方差.
x2 y2
19.（本小题满分13分）已知双曲线E: - =1(a >0,b>0)的两条渐近线分别为
a2 b2
l : y =2x,l : y =-2x.
1 2
（1）求双曲线E的离心率；
（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l ,l 于A,B两点（A,B分别在第一，
1 2
四象限），且DOAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公
共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由.
第11页 | 共16页20. （本小题满分14分）
已知函数 f x =ex -ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y = f x 在点A处
的切线斜率为-1.
第12页 | 共16页
（I）求a的值及函数 f x 的极值；
（II）证明：当x>0时，x2 ex；
（III）证明：对任意给定的正数c，总存在x ，使得当x x ，+ ，恒有x2 cex.
0 0
1
②若0c1,令k = >1,要使不等式x2 cex成立，只要ex >kx2成立.而要使ex >kx2成立，则只要
c
第13页 | 共16页本题设有（1），（2），（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.
如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题
号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.
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（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换
2 1
已知矩阵A的逆矩阵A-1 = .
1 2 [来源:学科网]
（I）求矩阵A；
（II）求矩阵A-1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.
第14页 | 共16页（2）（本小题满分7分）选修4—4：极坐标与参数方程
x=a-2t
已知直线l的参数方程为 ，（t为参数），圆C的参数方程为
y =-4t
x=4cos
，（为常数）.
y =4sin
（I）求直线l和圆C的普通方程；
（II）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.
试题解析：（I）直线l的普通方程为2x- y-2a=0.圆C的普通方程为x2 + y2 =16.
第15页 | 共16页-2a
（II）因为直线l与圆有公共点,故圆C的圆心到直线l的距离d = 4,解得-2 5 a2 5 .
5
考点：1.参数方程.2.直线与圆的位置关系.
（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选将
已知定义在R上的函数 f x = x+1+ x-2 的最小值为a.
（I）求a的值；
（II）若 p，q，r 为正实数，且 p+q+r =a，求证： p2 +q2 +r2 3.
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