文档内容
2019年辽宁省丹东市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1．（3分）2019的相反数是（ ）
A．﹣2019 B．2019 C．﹣ D．
2．（3分）十年来，我国知识产权战略实施取得显著成就，全国著作权登记量已达到274.8万
件．数据274.8万用科学记数法表示为（ ）
A．2.748×102 B．274.8×104 C．2.748×106 D．0.2748×107
3．（3分）如图所示的几何体是由六个大小相同的小正方体组合而成的，它的俯视图为
（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下面计算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1 B．2a2+4a2＝6a4
C．（x3）2＝x5 D．x8÷x2＝x6
5．（3分）如图，点C在∠AOB的边OA上，用尺规作出了CP∥OB，作图痕迹中， 是（ ）
第1页（共30页）A．以点C为圆心、OD的长为半径的弧
B．以点C为圆心、DM的长为半径的弧
C．以点E为圆心、DM的长为半径的弧
D．以点E为圆心、OD的长为半径的弧
6．（3分）在从小到大排列的五个整数中，中位数是2，唯一的众数是4，则这五个数和的最大
值是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
7．（3分）等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k
＝0的两个实数根，则k的值是（ ）
A．8 B．9 C．8或9 D．12
8．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1．有以
下结论：
abc＞0；
①8a+c＞0；
②若A（x
1
，m），B（x
2
，m）是抛物线上的两点，当x＝x
1
+x
2
时，y＝c；
③点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点 P，使得
④PM⊥PN，则a的取值范围为a≥1；
若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2的两根为x ，x ，且x ＜x ，则﹣2≤x ＜x ＜4．
1 2 1 2 1 2
⑤其中结论正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）因式分解：2x3﹣8x2+8x＝ ．
10．（3分）在函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 ．
第2页（共30页）11．（3分）有5张无差别的卡片，上面分别标有﹣1，0， ， ，，从中随机抽取1张，则抽出
π
的数是无理数的概率是 ．
12．（3分）关于x的不等式组 的解集是2＜x＜4，则a的值为 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC．若
DE＝1，则BC的长是 ．
14．（3分）如图，点A在双曲线y＝ （x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上
且BC：CA＝1：2，双曲线y＝ （x＞0）经过点C，则k＝ ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO是边长为4
的正方形，点D为AB的中点，点P为OB上的一个动点，连接DP，AP，当点P满足
DP+AP的值最小时，直线AP的解析式为 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，OA＝1，以OA为一边，在第一象限作菱形OAA B，并
1
第3页（共30页）使∠AOB＝60°，再以对角线OA 为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形OA A B ，
1 1 2 1
再依次作菱形OA A B ，OA A B ，……，则过点B ，B ，A 的圆的圆心坐标为
2 3 2 3 4 3 2018 2019 2019
．
三、解答题（本大题共2小题，共16分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）先化简，再求代数式的值： ，其中x＝3cos60°．
18．（8分）在下面的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交
点，已知B，C两点的坐标分别为（﹣3，0），（﹣1，﹣1）．
（1）请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点A的坐标．
（2）将△ABC绕着坐标原点顺时针旋转90°，画出旋转后的△A′B'C′．
（3）接写出在上述旋转过程中，点A所经过的路径长．
四、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）为纪念“五四运动”100周年，某校举行了征文比赛，该校学生全部参加了比赛．
比赛设置一等、二等、三等三个奖项，赛后该校对学生获奖情况做了抽样调查，并将所得
数据绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查学生的人数为 ．
（2）补全两个统计图，并求出扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数．
第4页（共30页）（3）若该校共有840名学生，请根据抽样调查结果估计获得三等奖的人数．
20．（10分）如图所示，甲、乙两人在玩转盘游戏时，分别把转盘A，B分成3等份和4等份，并
在每一份内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数
字之积为奇数时，甲获胜；当数字之积为偶数时，乙获胜．如果指针恰好在分割线上时，则
需重新转动转盘．
（1）利用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你在转盘A上
只修改一个数字使游戏公平（不需要说明理由）．
五、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（10分）甲、乙两同学的家与某科技馆的距离均为4000m．甲、乙两人同时从家出发去科
技馆，甲同学先步行800m，然后乘公交车，乙同学骑自行车．已知乙骑自行车的速度是甲
步行速度的4倍，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍，结果甲同学比乙同学晚到
2.5min．求乙到达科技馆时，甲离科技馆还有多远．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以AD为直径的 O与边BC
相切于点E，与边AC相交于点G，且 ＝ ，连接GO并延长交 O于点F⊙，连接BF．
（1）求证： ⊙
第5页（共30页）AO＝AG．
①BF是 O的切线．
②（2）若⊙BD＝6，求图形中阴影部分的面积．
六、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
23．（10分）如图，在某街道路边有相距10m、高度相同的两盏路灯（灯杆垂直地面），小明为
了测量路灯的高度，在地面A处测得路灯PQ的顶端仰角为14°，向前行走25m到达B处，
在地面测得路灯MN的顶端仰角为24.3°，已知点A，B，Q，N在同一条直线上，请你利用所
学知识帮助小明求出路灯的高度．（结果精确到 0.1m．参考数据：sin14°≈0.24，
cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，sin24.3°≈0.41，cos24.3°≈0.91，tan24.3°≈0.45）
24．（10分）某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每
件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售
量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，
每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，平均月销售量为y件．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？
（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？
七、解答题（本大题共1小题，共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
25．（12分）已知：在△ABC外分别以AB，AC为边作△AEB与△AFC．
（1）如图1，△AEB与△AFC分别是以AB，AC为斜边的等腰直角三角形，连接EF．以EF
为直角边构造Rt△EFG，且EF＝FG，连接BG，CG，EC．
求证： △AEF≌△CGF．
四边①形BGCE是平行四边形．
②
第6页（共30页）（2）小明受到图1的启发做了进一步探究：
如图2，在△ABC外分别以AB，AC为斜边作Rt△AEB与Rt△AFC，并使∠FAC＝∠EAB＝
30°，取BC的中点D，连接DE，EF后发现，两者间存在一定的数量关系且夹角度数一定，
请你帮助小明求出 的值及∠DEF的度数．
（3）小颖受到启发也做了探究：
如图3，在△ABC外分别以AB，AC为底边作等腰三角形AEB和等腰三角形AFC，并使
∠CAF+∠EAB＝90°，取BC的中点D，连接DE，EF后发现，当给定∠EAB＝ 时，两者间
也存在一定的数量关系且夹角度数一定，若AE＝m，AB＝n，请你帮助小颖用α含m，n的代
数式直接写出 的值，并用含 的代数式直接表示∠DEF的度数．
α
八、解答题（本大题共1小题，共14分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y
轴交于点A，直线y＝﹣ x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN
与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝
7．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求点N的坐标．
（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC＝ 时，求点F的坐标．
（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC
第7页（共30页）以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠
面积为S，移动时间为t（0≤t≤ ），请直接写出S与t的函数关系式．
第8页（共30页）2019年辽宁省丹东市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解答】解：2019的相反数是﹣2019，
故选：A．
【点评】主要考查相反数的概念及性质．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反
数，0的相反数是0．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：数据274.8万用科学记数法表示为274.8×104＝2.748×106．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看第一层是两个小正方形，第二层是三个小正方形，俯视图为：
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
4．【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，本题得以解决．
【解答】解：∵3a﹣2a＝a，故选项A错误；
∵2a2+4a2＝6a2，故选项B错误；
∵（x3）2＝x6，故选项C错误；
∵x8÷x2＝x6，故选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
第9页（共30页）5．【分析】根据平行线的判定，作一个角等于已知角的方法即可判断．
【解答】解：由作图可知作图步骤为：
以点O为圆心，任意长为半径画弧DM，分别交OA，OB于M，D．
①以点C为圆心，以OM为半径画弧EN，交OA于E．
②以点E为圆心，以DM为半径画弧FG，交弧EN于N．
③过点N作射线CP．
④根据同位角相等两直线平行，可得CP∥OB．
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知
识，属于中考常考题型．
6．【分析】根据中位数和众数的定义分析可得答案．
【解答】解：因为五个整数从小到大排列后，其中位数是2，这组数据的唯一众数是4．
所以这5个数据分别是x，y，2，4，4，且x＜y＜2，
当这5个数的和最大时，整数x，y取最大值，此时x＝0，y＝1，
所以这组数据可能的最大的和是0+1+2+4+4＝11．
故选：A．
【点评】主要考查了根据一组数据的中位数来确定数据的能力．将一组数据从小到大（或
从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位
数．注意：找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，
如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两个数的平均数．
7．【分析】根据一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：当等腰三角形的底边为2时，
此时关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的有两个相等实数根，
∴△＝36﹣4k＝0，
∴k＝9，
此时两腰长为3，
∵2+3＞3，
∴k＝9满足题意，
当等腰三角形的腰长为2时，
此时x＝2是方程x2﹣6x+k＝0的其中一根，
∴4﹣12+k＝0，
第10页（共30页）∴k＝8，
此时另外一根为：x＝4，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形，
综上所述，k＝9，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三
角形的性质，本题属于中等题型．
8．【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解： 由图象可知：a＞0，c＜0，
①
＞0，
∴abc＞0，故 正确；
∵抛物线的①对称轴为直线x＝1，抛物线的对称轴为直线x＝1，
②
∴ ＝1，
∴b＝﹣2a，
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，
∴4a+4a+c＝0，
∴8a+c＝0，故 错误；
∵A（x
1
，m）②，B（x
2
，m）是抛物线上的两点，
③由抛物线的对称性可知：x
1
+x
2
＝1×2＝2，
∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＝4a﹣4a+c＝c，故 正确；
由题意可知：M，N到对称轴的距离为3，③
④当抛物线的顶点到x轴的距离不小于3时，
在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，
即 ≤﹣3，
∵8a+c＝0，
∴c＝﹣8a，
∵b＝﹣2a，
第11页（共30页）∴ ，
解得：a ，故 错误；
④
易知抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），
⑤∴y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x﹣4）
若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2，
即方程a（x+2）（x﹣4）＝2的两根为x ，x ，
1 2
则x 、x 为抛物线与直线y＝2的两个交点的横坐标，
1 2
∵x ＜x ，
1 2
∴x ＜﹣2＜4＜x ，故 错误；
1 2
故选：A． ⑤
【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基
础题型．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2x（x2﹣4x+4）
＝2x（x﹣2）2．
故答案为：2x（x﹣2）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题
的关键．
10．【分析】函数关系中主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式的性质和分式的意义，
被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：1﹣2x≥0，
即x≤ 时，二次根式 有意义．
又因为0做除数无意义，
所以x≠0．
因此x的取值范围为x≤ 且x≠0．
故答案为：x≤ 且x≠0．
第12页（共30页）【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次
根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑
分母不等于零．
11．【分析】先找出无理数的个数，再根据概率公式可得答案．
【解答】解：在﹣1，0， ， ， 中，无理数有 ， ，共2个，
π π
则抽出的数是无理数的概率是 ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了概率公式和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事
件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
12．【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，根据题意得到关于a的方程，解之可得．
【解答】解：解不等式2x﹣4＞0，得：x＞2，
解不等式a﹣x＞﹣1，得：x＜a+1，
∵不等式组的解集为2＜x＜4，
∴a+1＝4，即a＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13．【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，再根据等边
对等角的性质求出∠DAB＝∠B，然后根据角平分线的定义与直角三角形两锐角互余求出
∠B＝30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，然后求解即
可．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE＝1，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠DAB，
∵∠DAB＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠DAB＝∠B，
∵∠C＝90°，
第13页（共30页）∴∠CAD+∠DAB+∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2，
∴BC＝BD+CD＝1+2＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了角平分线的定义和性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离
相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，属于基础题，熟记
性质是解题的关键．
14．【分析】根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论．
【解答】解：连接OC，
∵点A在双曲线y＝ （x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，
∴S△OAB ＝ ×6＝3，
∵BC：CA＝1：2，
∴S△OBC ＝3× ＝1，
∵双曲线y＝ （x＞0）经过点C，
∴S△OBC ＝ |k|＝1，
∴|k|＝2，
∵双曲线y＝ （x＞0）在第一象限，
∴k＝2，
故答案为2．
第14页（共30页）【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例
函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．
15．【分析】根据正方形的性质得到点A，C关于直线OB对称，连接CD交OB于P，连接PA，
PD，则此时，PD+AP的值最小，求得直线CD的解析式为y＝﹣ x+4，由于直线OB的解
析式为y＝x，解方程组得到P（ ， ），由待定系数法即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCO是正方形，
∴点A，C关于直线OB对称，
连接CD交OB于P，
连接PA，PD，
则此时，PD+AP的值最小，
∵OC＝OA＝AB＝4，
∴C（0，4），A（4，0），
∵D为AB的中点，
∴AD＝ AB＝2，
∴D（4，2），
设直线CD的解析式为：y＝kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴直线CD的解析式为：y＝﹣ x+4，
∵直线OB的解析式为y＝x，
∴ ，
解得：x＝y＝ ，
∴P（ ， ），
第15页（共30页）设直线AP的解析式为：y＝mx+n，
∴ ，
解得： ，
∴直线AP的解析式为y＝﹣2x+8，
故答案为：y＝﹣2x+8．
【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，待定系数法求一次函数的解
析式，正确的找出点P的位置是解题的关键．
16．【分析】过A 作A C⊥x轴于C，由菱形的性质得到OA＝AA ＝1，∠A AC＝∠AOB＝60°，
1 1 1 1
根据勾股定理得到OA ＝ ＝ ，求得∠A B A ＝60°，解直角三角形得到
1 2 1 3
B A ＝2 ，A A ＝3，求得OA ＝OB +B A ＝3 ＝（ ）3得到菱形OA A B 的边长＝3
1 3 2 3 3 1 1 3 2 3 2
＝（ ）2，设B A 的中点为O ，连接O A ，O B ，推出过点B ，B ，A 的圆的圆心坐标为
1 3 1 1 2 1 2 1 2 2
O （0，2 ），以此类推，于是得到结论．
1
【解答】解：过A 作A C⊥x轴于C，
1 1
∵四边形OAA B是菱形，
1
∴OA＝AA ＝1，∠A AC＝∠AOB＝60°，
1 1
∴A C＝ ，AC＝ ，
1
∴OC＝OA+AC＝ ，
在Rt△OA C中，OA ＝ ＝ ，
1 1
∵∠OA C＝∠B A O＝30°，∠A A O＝120°，
2 1 2 3 2
∴∠A A B ＝90°，
3 2 1
第16页（共30页）∴∠A B A ＝60°，
2 1 3
∴B A ＝2 ，A A ＝3，
1 3 2 3
∴OA ＝OB +B A ＝3 ＝（ ）3
3 1 1 3
∴菱形OA A B 的边长＝3＝（ ）2，
2 3 2
设B A 的中点为O ，连接O A ，O B ，
1 3 1 1 2 1 2
于是求得，O A ＝O B ＝O B ＝ ＝（ ）1，
1 2 1 2 1 1
∴过点B ，B ，A 的圆的圆心坐标为O （0，2 ），
1 2 2 1
∵菱形OA A B 的边长为3 ＝（ ）3，
3 4 3
∴OA ＝9＝（ ）4，
4
设B A 的中点为O ，
2 4 2
连接O A ，O B ，
2 3 2 3
同理可得，O A ＝O B ＝O B ＝3＝（ ）2，
2 3 2 3 2 2
∴过点 B ，B ，A 的圆的圆心坐标为 O （﹣3，3 ），…以此类推，菱形菱形
2 3 3 2
OA A B 的边长为（ ）2019，
2019 2020 2019
OA ＝（ ）2020，
2020
设B A 的中点为O ，连接O A ，O B ，
2018 2020 2018 2018 2019 2018 2019
求得，O A ＝O B ＝O B ＝（ ）2018，
2018 2019 2018 2019 2018 2018
∴点O 是过点B ，B ，A 的圆的圆心，
2018 2018 2019 2019
∵2018÷12＝168…2，
∴点O 在射线OB 上，
2018 2
则点O 的坐标为（﹣（ ）2018，（ ）2019），
2018
即过点B ，B ，A 的圆的圆心坐标为（﹣（ ）2018，（ ）2019），
2018 2019 2019
故答案为：（﹣（ ）2018，（ ）2019）．
第17页（共30页）【点评】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关
键．
三、解答题（本大题共2小题，共16分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用锐角三角函数值得出x
的值，继而代入计算可得．
【解答】解：原式＝ ﹣ •
＝ ﹣
＝ ，
当x＝3cos60°＝3× ＝ 时，
原式＝ ＝ ．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法
则．
18．【分析】（1）利用B、C点的坐标建立直角坐标系，然后写出A点坐标；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A′、B′、C′，从而得到
△A′B'C′；
（3）先利用勾股定理计算出OA，然后利用弧长公式计算点A所经过的路径长．
【解答】解：（1）如图，A点坐标为（﹣2，3）；
（2）如图，△A′B′C′为所作；
（2）如图，OA＝ ＝ ，
所以点A所经过的路径长＝ ＝ ．
π
△A B C 为所作；点A 的坐标为（﹣1，﹣1）．
2 2 2 2
第18页（共30页）【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等，每对对应点与
旋转中心的夹角都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上
截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了弧长公式．
四、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．【分析】（1）根据B的人数和所占的百分比可以求得本次抽样调查学生人数；
（2）根据统计图中的数据和（1）中的结果可以将统计图中所缺的数据补充完整并计算出
扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数；
（3）根据统计图中的数据可以计算出获得三等奖的人数．
【解答】解：（1）本次抽样调查学生的人数为：8÷20%＝40，
故答案为：40；
（2）A所占的百分比为： ×100%＝5%，
D所占的百分比为： ×100%＝50%，
C所占的百分比为：1﹣5%﹣20%﹣50%＝25%，
获得三等奖的人数为：40×25%＝10，
补全的统计图如右图所示，
扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是360°×5%＝18°；
（3）840×25%＝210（人），
答：获得三等奖的有210人．
第19页（共30页）【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，
利用数形结合的思想解答．
20．【分析】（1）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计
算可得；
（2）先计算出数字之积为偶数的概率，判断概率是否相等即可得知游戏是否公平．
【解答】解：（1）列表如下：
﹣2 ﹣3 2 3
1 ﹣2 ﹣3 2 3
2 ﹣4 ﹣6 4 6
3 ﹣6 ﹣9 6 9
由表可知，共有12种等可能结果，其中指针所在区域的数字之积为奇数的有4种结果，
所以甲获胜概率为 ＝ ；
（2）∵指针所在区域的数字之积为偶数的概率为 ＝ ，
∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平，
将转盘A上的数字2改为1，则游戏公平．
【点评】此题考查了游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等
就公平，否则就不公平，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
五、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
21．【分析】设甲步行的速度为x米/分，则乙骑自行车的速度为4x米/分，公交车的速度是8x
米/分钟，根据题意列方程即可得到结论．
第20页（共30页）【解答】解：（1）设甲步行的速度为x米/分，则乙骑自行车的速度为4x米/分，公交车的速
度是8x米/分钟，
根据题意得 +2.5＝ + ，
解得x＝80．经检验，x＝80是原分式方程的解．
所以2.5×8×80＝1600（m）
答：乙到达科技馆时，甲离科技馆还有1600m．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
22．【分析】（1） 先利用切线的性质判断出∠ACB＝∠OEB，再用平行线结合弧相等判断出
∠AOG＝∠A①GO，即可得出结论；
先判断出△AOG是等边三角形，进而得出∠BOF＝∠AOG＝60°，进而判断出∠EOB＝
②60°，得出△OFB≌△OEB，得出∠OFB＝90°，即可得出结论；
（2）先判断出∠ABC＝30°，进而得出OB＝2BE，建立方程6+r＝2r，继而求出AG＝6，AB
＝18，AC＝9，CG＝3，再判断出△OGE是等边三角形，得出GE＝OE＝6，进而利用根据勾
股定理求出CE＝3 ，即可得出结论．
【解答】解：（1）证明： 如图1，连接OE，
∵ O与BC相切于点E，①
∴⊙∠OEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠OEB，
∴AC∥OE，
∴∠GOE＝∠AGO，
∵ ，
∴∠AOG＝∠GOE，
∴∠AOG＝∠AGO，
∴AO＝AG；
由 知，AO＝AG，
②∵AO①＝OG，
∴∠AO＝OG＝AG，
∴△AOG是等边三角形，
第21页（共30页）∴∠AGO＝∠AOG＝∠A＝60°，
∴∠BOF＝∠AOG＝60°，
由 知，∠GOE＝∠AOG＝60°，
∴①∠EOB＝180°﹣∠AOG﹣∠GOE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠FOB＝∠EOB，
∵OF＝OE，OB＝OB，
∴△OFB≌△OEB（SAS），
∴∠OFB＝∠OEB＝90°，
∴OF⊥BF，
∵OF是 O的半径，
∴BF是⊙O的切线；
⊙
（2）如图2，连接GE，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，
∴OB＝2BE，
设 O的半径为r，
∵⊙OB＝OD+BD，
∴6+r＝2r，
∴r＝6，
∴AG＝OA＝6，AB＝2r+BD＝18，
∴AC＝ AB＝9，∴CG＝AC﹣AG＝3，
由（1）知，∠EOB＝60°，
∵OG＝OE，
∴△OGE是等边三角形，
∴GE＝OE＝6，
根据勾股定理得，CE＝ ＝ ＝3 ，
∴S阴影 ＝S梯形GCEO ﹣S扇形OGE ＝ （6+3）× ﹣ ＝ ．
第22页（共30页）【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质和判定，勾股定理，含30度角的直角
三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，梯形和扇形的面积
公式，判断出 O的半径是解本题的关键．
六、解答题（本大⊙题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
23．【分析】设PQ＝MN＝xm，根据正切的定义分别用x表示出AQ、BN，根据题意列式计算即
可．
【解答】解：设PQ＝MN＝xm，
在Rt△APQ中，tanA＝ ，
则AQ＝ ≈ ＝4x，
在Rt△MBN中，tan∠MBN＝ ，
则BN＝ ≈ ＝ x，
∵AQ+QN＝AB+BN，
∴4x+10＝25+ x，
解得，x≈8.4，
答：路灯的高度约为8.4m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记
第23页（共30页）锐角三角函数的定义是解题的关键．
24．【分析】（1）当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元
时，平均每月能多售出20件．从而用60减去x，再除以10，就是降价几个10元，再乘以
20，再把80加上就是平均月销售量；
（2）利用（售价﹣进价）乘以平均月销售量，再减去每月需要支付的其他费用，让其等于
1800，解方程即可；
（3）由（2）方程式左边，可得每月获得的利润函数，写成顶点式，再结合函数的自变量取值
范围，可求得取最大利润时的x值及最大利润．
【解答】解：（1）由题意得：y＝80+20×
∴函数的关系式为：y＝﹣2x+200 （30≤x≤60）
（2）由题意得：
（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝1800
解得x ＝55，x ＝75（不符合题意，舍去）
1 2
答：当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利1800元．
（3）设每月获得的利润为w元，由题意得：
w＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450
＝﹣2（x﹣65）2+2000
∵﹣2＜0
∴当x≤65时，w随x的增大而增大
∵30≤x≤60
∴当x＝60时，w最大 ＝﹣2（60﹣65）2+2000＝1950
答：当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元．
【点评】本题综合考查了一次函数、一元二次方程、二次函数在实际问题中的应用，具有较
强的综合性．
七、解答题（本大题共1小题，共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
25．【分析】（1） 根据SAS即可证明三角形全等．
想办法证明BE①＝CG，BE∥CG即可．
②
（2）如图2中，延长ED到G，使得DG＝ED，连接CG，FG．证明△CGF∽△AEF，推出
第24页（共30页）＝ ＝ ，∠CFG＝∠AFE，推出∠EFG＝∠CFG+∠EFC＝∠AFE+∠EFC＝90°，推出
tan∠DEF＝ ＝ ，可得∠DEF＝30°即可解决问题．
（3）如图3中，延长ED到G，使得DG＝ED，连接CG，FG．作EH⊥AB于H，连接FD．想
办法证明∠AEH＝∠DEF，利用勾股定理求出EH，即可解决问题．
【解答】（1）证明： 如图1中，
①
∵△EFC与△AFC都是等腰直角三角形，
∴FA＝FC，FE＝FG，∠AFC＝∠EFG＝90°，
∴∠AFE＝∠CFG，
∴△AFE≌△CFG（SAS）．
∵△AFE≌△CFG，
②∴AE＝CG，∠AEF＝∠CGF，
∵△AEB是等腰直角三角形，
∴AE＝BE，∠BEA＝90°，
∴CG＝BE，
∵△EFG是等腰直角三角形，
∴∠FEG＝∠FGE＝45°，
∴∠AEF+∠BEG＝45°，∵∠CGE+∠CGF＝45°，
∴∠BEG＝∠CGE，
∴BE∥CG，
∴四边形BECG是平行四边形．
第25页（共30页）（2）解：如图2中，延长ED到G，使得DG＝ED，连接CG，FG．
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵∠EDB＝∠GDC，
∴EB＝GC，∠EBD＝∠GCD，
在Rt△AEB与Rt△AFC中，
∵∠EAB＝∠FAC＝30°，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ，
∵∠EBD＝∠2+60°，
∴∠DCG＝∠2+60°，
∴∠GCF＝360°﹣60°﹣（∠2+60°）﹣∠3
＝360°﹣120°﹣（∠2+∠3）
＝360°﹣120°﹣（180°﹣∠1）
＝60°+∠1，
∵∠EAF＝30°+∠1+30°＝60°+∠1，
∴∠GCF＝∠EAF，
∴△CGF∽△AEF，
∴ ＝ ＝ ，∠CFG＝∠AFE，
∴∠EFG＝∠CFG+∠EFC＝∠AFE+∠EFC＝90°，
∴tan∠DEF＝ ＝ ，
第26页（共30页）∴∠DEF＝30°，
∴FG＝ EG，
∵ED＝ EG，
∴ED＝FG，
∴ ＝ ．
（3）如图3中，延长ED到G，使得DG＝ED，连接CG，FG．作EH⊥AB于H，连接FD．
∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDG，DE＝DG，
∴△CDG≌△BDE（SAS），
∴CG＝BE＝AE，∠DCG＝∠DBE＝ +∠ABC，
∵∠GCF＝360°﹣∠DCG﹣∠ACB﹣α∠ACF＝360°﹣（ +∠ABC）﹣∠ACB﹣（90°﹣ ）＝
270°﹣（∠ABC+∠ACB）＝270°﹣（180°﹣∠BAC）＝α90°+∠BAC＝∠EAF， α
∴△EAF≌△GCF（SAS），
∴EF＝GF，∠AFE＝∠CFG，
∴∠AFC＝∠EFG，
∴∠DEF＝∠CAF＝90°﹣ ，
∵∠AEH＝90°﹣ ， α
∴∠AEH＝∠DEFα，
∵AE＝m，AH＝ AB＝ n，
∴EH＝ ＝ ＝ ，
第27页（共30页）∵DE＝DG，EF＝GF，
∴DF⊥EG，
∴cos∠DEF＝cos∠AEH＝ ＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性
质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
八、解答题（本大题共1小题，共14分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
26．【分析】（1）点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），将点A、C坐标代入抛物线表达式即可
求解；
（2）抛物线的对称轴为：x＝ ，点N的横坐标为： + ＝5，即可求解；
（3）分点F在直线AC下方、点F在直线AC的上方两种情况，分别求解即可；
（4）分0≤t≤ 、 ＜t≤ 、 ＜t≤ 三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）直线y＝﹣ x+2经过A，C两点，则点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），
则c＝2，抛物线表达式为：y＝﹣ x2+bx+2，
将点C坐标代入上式并解得：b＝ ，
故抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+ x+2… ；
①
（2）抛物线的对称轴为：x＝ ，
点N的横坐标为： + ＝5，
故点N的坐标为（5，﹣3）；
（3）∵tan∠ACO＝ ＝tan∠FAC＝ ，
即∠ACO＝∠FAC，
第28页（共30页）当点F在直线AC下方时，
①设直线AF交x轴于点R，
∵∠ACO＝∠FAC，则AR＝CR，
设点R（r，0），则r2+4＝（r﹣4）2，解得：r＝ ，
即点R的坐标为：（ ，0），
将点R、A的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得： ，
解得： ，
故直线AR的表达式为：y＝﹣ x+2… ，
②
联立 并解得：x＝ ，故点F（ ，﹣ ）；
①②
当点F在直线AC的上方时，
②∵∠ACO＝∠F′AC，∴AF′∥x轴，
则点F′（3，2）；
综上，点F的坐标为：（3，2）或（ ，﹣ ）；
（4）如图2，设∠ACO＝ ，则tan ＝ ＝ ，则sin ＝ ，cos ＝ ；
α α α α
当0≤t≤ 时（左侧图），
①
设△AHK移动到△A′H′K′的位置时，直线H′K′分别交x轴于点T、交抛物线对称
第29页（共30页）轴于点S，
则∠DST＝∠ACO＝ ，过点T作TL⊥KH，
则LT＝HH′＝t，∠αLTD＝∠ACO＝ ，
α
则DT＝ ＝ ＝ ＝ t，DS＝ ，
S＝S△DST ＝ DT×DS＝ t2；
当 ＜t≤ 时（右侧图），
②
同理可得：S＝S梯形DGS′T′ ＝ ×DG×（GS′+DT′）＝ 3+（ + ﹣ ）＝ t
﹣ ；
当 ＜t≤ 时，
③
同理可得：S＝ t+ ；
综上，S＝ ．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形平移、图形的面积计算等，
其中（3）、（4），要注意分类求解，避免遗漏．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/9/14 12:31:21；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
第30页（共30页）
