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2019 年辽宁省锦州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8道小题,每小题2分,共16分)
1. -2019的相反数是（ ）
A. 2019 B. -2019 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可.
【详解】解：-2019的相反数是2019．
故选A．
【点睛】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，正数的相反数是负数，0
的相反数是0，负数的相反数是正数.
2. 下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．
故选B．
【点睛】此题考查轴对称图形，中心对称图形，解题关键在于对图形的识别.
3. 甲、乙、丙、丁四名同学进行跳高测试，每人10次跳高成绩的平均数都是1.28m，方差分别是s 2＝
甲
0.60，s 2＝0.62，s 2＝0.58，s 2＝0.45，则这四名同学跳高成绩最稳定的是（ ）
乙 丙 丁
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；
反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，进而分析即可．
【详解】∵s 2＝0.60，s 2＝0.62，s 2＝0.58，s 2＝0.45，
甲 乙 丙 丁
∴s 2＜s 2＜s 2＜s 2，
丁 丙 甲 乙
∴成绩最稳定的是丁．
故选D．
【点睛】此题考查方差，解题关键在于掌握其性质定义方差越小，越稳定.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. x ÷x ＝x B. （﹣x ） ＝x
C. 4x +3x ＝7x D. （x+y） ＝x +y
【答案】B
【解析】
【分析】
根据同底数幂的除法的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，合并同类项的方法，以及完全平方公
式的应用，逐项判断即可．
【详解】∵x6÷x3＝x3，
∴选项A不符合题意；
∵（﹣x3）2＝x6，
∴选项B符合题意；
∵4x3+3x3＝7x3，
∴选项C不符合题意；
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴选项D不符合题意．
故选B．
【点睛】此题考查同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项，完全平方公式，解题关键在于掌
握运算法则.
5. 如图，AC与BD交于点O，AB∥CD，∠AOB＝105°，∠B＝30°，则∠C的度数为（ ）A. 45° B. 55° C. 60° D. 75°
【答案】A
【解析】
【分析】
利用三角形内角和定理求出∠A，再利用平行线的性质即可解决问题．
【详解】∵∠A+∠AOB+∠B＝180°，
∴∠A＝180°﹣105°﹣30°＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠A＝45°，
故选A．
【点睛】此题考查平行线的性质，三角形内角和定理，解题关键在于利用内角和定理求出∠A.
6. 如图，一次函数y＝2x+1的图象与坐标轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则 AOB的面积为
（ ） △
A. B. C. 2 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
由一次函数解析式分别求出点A和点B的坐标，即可作答．
【详解】一次函数y＝2x+1中，
当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝﹣0.5；
∴A（﹣0.5，0），B（0，1）
∴OA＝0.5，OB＝1
∴△AOB的面积故选A．
【点睛】此题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于结合函数图象进行解答.
7. 在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，M是对角线BD上的动点，过点M作ME⊥BC于点E，连接AM，当
ADM是等腰三角形时，ME的长为（ ）
△
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】
分两种情形：①DA=DM．②M′A=M′D分别求解即可．
【详解】解：①当 时．
四边形 是矩形，
， ， ，
，
，
， ，
，
，
，
．
②当 时，易证 是 的中位线，
，
故选 ．【点睛】此题考查矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题关键在于分情况讨论.
8. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线
BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运
动时，另一个点也随之停止．设 APQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函
数关系的是（ ） △
.
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
当P、Q分别在AB、AC上运动时，y= AP×QH= （2-t）×tsin60°；当P、Q分别在AC、DC上运动时，
同理可得： ，即可求解．
【详解】解：（1）当 、 分别在 、 上运动时，
是菱形， ，则 、 为边长为2的等边三角形，过点 作 于点 ，
，
函数最大值为 ，符合条件的有 、 、 ；
（2）当 、 分别在 、 上运动时，
同理可得： ，
符合条件的有 ；
故选 ．
【点睛】此题考查动点问题的函数图象，解题关键在于分情况讨论.
二、填空题（本大题共8道小题,每小题3分,共24分)
9. 函数y= –1的自变量x的取值范围是_____．
【答案】x≥0
【解析】
试题分析：根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，可知x≥0．
考点：二次根式有意义
10. 为了落实“优化税收营商环境，助力经济发展和民生改善”的政策，国家税务总局统计数据显示，2018
年5至10月合计减税2980亿元，将2980亿元用科学记数法表示为_____元．
【答案】2.98×1011．
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，
小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当数绝对值大于 10时，n是正数；当原数的
绝对值小于1时，n是负数．【详解】将2980亿元用科学记数法表示为2.98×1011元．故答案为2.98×1011．
【点睛】此题考查科学记数法，解题关键在于掌握其一般形式.
11. 在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一
个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.7附近，则袋子中红球约
有___个．
【答案】7．
【解析】
【分析】
根据口袋中有3个白球和若干个红球，利用红球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
【详解】设袋中红球有x个，
根据题意，得： ，
解得：x＝7，
经检验：x＝7是分式方程的解，
所以袋中红球有7个，
故答案为7．
【点睛】此题考查利用频率估计概率，解题关键在于利用红球在总数中所占比例进行求解.
12. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，边长AB＝2，则扇形AOB的面积为_____．
【答案】 .
【解析】
【分析】
根据已知条件得到∠AOB=60°，推出 AOB是等边三角形，得到OA=OB=AB=2，根据扇形的面积公式即
可得到结论． △
【详解】∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2，扇形 的面积 ，
故答案为 ．
【点睛】此题考查等边三角形的性质，扇形的面积，解题关键在于掌握计算公式.
13. 甲、乙两地相距1000km，如果乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用3h，已知高铁列车的平均速
度是特快列车的1.6倍，设特快列车的平均速度为xkm/h，根据题意可列方程为__．
【答案】 .
【解析】
【分析】
根据题意可以列出相应的分式方程，本题得以解决．
【详解】由题意可得， ，故答案为 ．
【点睛】此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题关键在于根据题意找到等量关系列出方程.
14. 如图，将一个含30°角的三角尺ABC放在直角坐标系中，使直角顶点C与原点O重合，顶点A，B分别
在反比例函数y＝﹣ 和y＝ 的图象上，则k的值为___．
【答案】12．
【解析】
【分析】
过 A 作 AE⊥y 轴于 E 过 B 作 BF⊥y 轴于 F，通过 AOE∽△BOF，得到 ，设
△
，于是得到AE=-m， ，从而得到 ，，于是求得结果．【详解】解：过 作 轴于 过 作 轴于 ，
， ，
，
，
，
，
，
设 ，
， ，
， ，
，
．
故答案为12．
【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于作辅助线和
利用三角函数进行解答.
15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将 AMN沿MN所
在直线折叠，得到 A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是__． △
△【答案】 .
【解析】
【分析】
由折叠的性质可得AM=A'M=1，可得点A'在以点M为圆心，AM为半径的圆上，当点A'在线段MC上时，
A'C有最小值，由勾股定理可求MC的长，即可求A′C的最小值．
【详解】∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝2，
∵M是AD边的中点，
∴AM＝MD＝1
∵将 AMN沿MN所在直线折叠，
∴AM△＝A'M＝1
∴点A'在以点M为圆心，AM为半径的圆上，
∴如图，当点A' 在线段MC上时，A'C有最小值，
的最小值
故答案为
【点睛】此题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，解题关键在于利用折叠的性质得到
AM=A'M=1.
16. 如图，边长为4的等边 ABC，AC边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为边作等边 OBA ，边
1
OA 与AB交于点O，以O△B为边作等边 OBA，边OA 与AB交于点O，以OB为边作等边△OBA，
1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 3
边OA 与AB交于点O，…，依此规律继△续作等边 O BA，记 OO A的面积为S， OOA△的面积为
2 3 2 3 n﹣1 n 1 1 1 2 1
S， OOA 的面积为S，…， O OA 的面积为△S，则S＝_△_．（n≥2，且n为整数△）
2 2 3 2 3 n﹣1 n n﹣1 n n
△ △【答案】 .
【解析】
【分析】
由题意： ， ， ，相似比：
△ △ △ △
，探究规律，利用规律即可解决问题．
【详解】由题意： ， ， ，相似比：
△ △ △ △
，
， ，
， ， ， ，
故答案为 ．
【点睛】此题考查等边三角形的性质，解题关键在于结合题意找到图形的规律.
三、解答题（本大题共2道题，第17题6分，第18题8分，共14分）
17. 先化简，再求值：（ ﹣1） ，其中a＝（π﹣ ）0+（ ）﹣1．
【答案】﹣a+1，原式＝﹣2．
【解析】【分析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
，
当 时，原式 ．
【点睛】此题考查分式的化简求值，解题关键在于掌握运算法则.
18. 为了响应“学习强国，阅读兴辽”的号召，某校鼓励学生利用课余时间广泛阅读，学校打算购进一批图书．
为了解学生对图书类别的喜欢情况，校学生会随机抽取部分学生进行问卷调查，规定被调查学生从“文学、
历史、科学、生活”中只选择自己最喜欢的一类，根据调查结果绘制了下面不完整的统计图．
请根据图表信息，解答下列问题．
（1）此次共调查了学生多少人；
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若该校共有学生2200人，请估计这所学校喜欢“科学”类书的学生人数．
【答案】（1）此次共调查了学生200人； （2）补全条形统计图如图所示，见解析；（3）该校2200名学
生中喜欢“科学”类书的大约有352人．
【解析】【分析】
（1）从两个统计图中可得文学的人数为78人占调查人数的39%，可求调查人数；
（2）求出“历史”的人数，再求出“科学”的人数，即可补全条形统计图；
（3）样本估计总体，求出样本中“科学”占的百分比即为总体中“科学”所占比，从而可求出人数.
【详解】（1）78÷39%＝200人
故答案为200．
（2）200×33%＝66人，200﹣78﹣66﹣24＝32人，补全条形统计图如图所示：
（3） 人，
答：该校2200名学生中喜欢“科学”类书的大约有352人．
【点睛】此题考查扇形统计图，条形统计图，解题关键在于理解题意看懂图中的数据.
四、解答题（本大题共2道题,每题8分,共16分)
19. 对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的
落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小
区进行检查，并且每个小区不重复检查．
（1）甲组抽到A小区的概率是多少；
（2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率．
【答案】（1）甲组抽到A小区的概率是 ；（2）甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率为 ．
【解析】
【分析】
（1）直接利用概率公式求解可得；（2）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
【详解】（1）甲组抽到A小区的概率是 ，
故答案为 ．
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的结果数为1，
∴甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率为 ．
【点睛】此题考查列表法与树状图法，解题关键在于根据题意画出树状图.
20. 某市政部门为了保护生态环境，计划购买A，B两种型号的环保设备．已知购买一套A型设备和三套B
型设备共需230万元，购买三套A型设备和两套B型设备共需340万元．
（1）求A型设备和B型设备的单价各是多少万元；
（2）根据需要市政部门采购A型和B型设备共50套，预算资金不超过3000万元，问最多可购买A型设备
多少套？
【答案】（1）A型设备的单价是80万元，B型设备的单价是50万元；（2）最多可购买A型设备16套．
【解析】
【分析】
（1）设A型设备的单价是x万元，B型设备的单价是y万元，根据“购买一套A型设备和三套B型设备共
需230万元，购买三套A型设备和两套B型设备共需340万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，
解之即可得出结论；
（2）设购进A型设备m套，则购进B型设备（50-m）套，根据总价=单价×数量结合预算资金不超过3000
万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【详解】（1）设 型设备的单价是 万元， 型设备的单价是 万元，
依题意，得： ，
解得： ．答： 型设备的单价是80万元， 型设备的单价是50万元．
（2）设购进 型设备 套，则购进 型设备 套，
依题意，得： ，
解得： ．
为整数，
的最大值为16．
答：最多可购买 型设备16套．
【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题关键在于根据题意列出方程.
五、解答题（本大题共2道题,每题8分,共16分)
21. 如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在
点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水
平线上，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据： ≈1.41， ＝1.73）
【答案】旗杆AB的高度约等于8.2m
【解析】
【分析】
过点C作CE⊥AB于点E，设BM=x，根据矩形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．
【详解】过点 作 于点 ，
， ，
，
设 ，
，，
，
，
已知四边形 是矩形，
， ，
，
在 中，
，
，
解得： ，
【点睛】此题考查解直角三角形的应用，矩形的性质，锐角三角函数的定义，解题关键在于作辅助线和列
出方程组.
22. 如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且 ＝ ，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，
MF⊥BD于点F．（1）求证：MF是⊙O的切线；
（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．
【答案】（1）见解析；（2）CM＝ .
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证得∠OMB=∠MBF，得出 OM∥BF，即可证得
OM⊥MF，即可证得结论；
（2）由勾股定理可求AB的长，可得AO，BO，ON的长，由勾股定理可求CO的长，通过证明
ACN∽△MCB，可得 ，即可求CM的长．
△
【详解】（1）连接OM，
∵OM＝OB，
∴∠OMB＝∠OBM，
∵BM平分∠ABD，
∴∠OBM＝∠MBF，
∴∠OMB＝∠MBF，
∴OM∥BF，
∵MF⊥BD，
∴OM⊥MF，即∠OMF＝90°，
∴MF是⊙O的切线；
（2）如图，连接 ，，
是直径， ，
，
，
，
【点睛】此题考查切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线和通过证明
ACN∽△MCB来求解.
△六、解答题（本大题共10分)
23. 2019年在法国举办的女足世界杯，为人们奉献了一场足球盛宴．某商场销售一批足球文化衫，已知该
文化衫的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每个月可售出100件．根据市场行情，现决定涨价销
售，调查表明，每件商品的售价每上涨1元，每个月会少售出2件，设每件商品的售价为x元，每个月的
销量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2250元；
（3）当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大月利润为多少？
【答案】（1）y＝220﹣2x；（2）当每件商品的售价定为65元或85元时，每个月的利润恰好为2250元；
（3）当x＝75，即售价为75元时，月利润最大，且最大月利润为2450元．
【解析】
【分析】
（1）根据月销量等于涨价前的月销量，减去涨价（x-60）与涨价1元每月少售出的件数2的乘积，化简可
得；
（2）月销售量乘以每件的利润等于利润2250，解方程即可；
（3）根据题意列出二次函数解析式，由顶点式，可知何时取得最大值及最大值是多少．
【详解】（1）由题意得，月销售量y＝100﹣2（x﹣60）＝220﹣2x（60≤x≤110，且x为正整数）
答：y与x之间的函数关系式为y＝220﹣2x．
（2）由题意得：（220﹣2x）（x﹣40）＝2250
化简得：x2﹣150x+5525＝0
解得x＝65，x＝85
1 2
答：当每件商品的售价定为65元或85元时，每个月的利润恰好为2250元．
（3）设每个月获得利润w元，由（2）知w＝（220﹣2x）（x﹣40）＝﹣2x2+300x﹣8800
∴w＝﹣2（x﹣75）2+2450
∴当x＝75，即售价为75元时，月利润最大，且最大月利润为2450元．
的
【点睛】此题考查一元二次方程 应用，二次函数的应用，解题关键在于理解题意得到等量关系列出方程.
七、解答题（本大题共2道题,每题12分,共24分)
24. 已知，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上一点，连接AD，分别以CD和AD为直角边作
Rt CDE和Rt △ADF，使∠DCE＝∠ADF＝90°，点E，F在BC下方，连接EF．
△ △
（1）如图1，当BC＝AC，CE＝CD，DF＝AD时，求证：①∠CAD＝∠CDF，
②BD＝EF；
（2）如图2，当BC＝2AC，CE＝2CD，DF＝2AD时，猜想BD和EF之间的数量关系？并说明理由．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）BD＝EF，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）①根据同角的余角相等证明；
②作FH⊥BC交BC的延长线于H，证明 ACD≌△DHF，根据全等三角形的性质得到DH=AC，结合图形
证明即可； △
（2）作FG⊥BC交BC的延长线于G，证明 ACD∽△DGF，根据相似三角形的性质得到DG=2AC，证明
结论． △
【详解】（1）证明：①∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°，
∵∠CDF+∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝∠CDF；
②作FH⊥BC交BC的延长线于H，
则四边形FECH为矩形，
∴CH＝EF，
在 ACD和 DHF中，
△ △
，
，
，
，
，即 ，
；
（2） ，
理由如下：作 交 的延长线于 ，
则四边形 为矩形，，
， ，
，
，即 ，GF＝2CD，
∵BC＝2AC，CE＝2CD，
∴BC＝DG，GF＝CE，
∴BD＝CG，
∵GF∥CE，GF＝CE，∠G＝90°，
∴四边形FECG为矩形，
∴CG＝EF，
∴BD＝EF．
【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，解题关键在
于作辅助线和掌握各判定定理.
25. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣ x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线
y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交直线AB于
点E．（1）求抛物线的函数表达式
（2）是否存在点D，使得 BDE和 ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，F是第一象限△内抛物线△上的动点（不与点D重合），点G是线段AB上的动点．连接DF，
FG，当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+ x+3；（2）存在．点D的坐标为（ ，3）或（ ， ）；（3）G（ ，
）．
【解析】
【分析】
（1）根据 ，求出A，B的坐标，再代入抛物线解析式中即可求得抛物线解析式；
（2） BDE和 ACE相似，要分两种情况进行讨论：①△BDE∽△ACE，求得 ，
△ △
；②△DBE∽△ACE，求得 ， ；
（3）由DEGF是平行四边形，可得DE∥FG，DE=FG，设 ， ，
， ，根据平行四边形周长公式可得：DEGF周长= ，由此
可求得点G的坐标．
【详解】解：（1）在 中，令 ，得 ，令 ，得 ，
， ，将 ， 分别代入抛物线 中，得： ，解得： ，
抛物线的函数表达式为： ．
（2）存在．如图1，过点 作 于 ，设 ，则 ， ， ；
， ， ， ，
和 相似，
或
①当 时， ，
，即：
，解得： （舍去）， （舍去）， ，
，
②当 时，
，
，即：
，解得： （舍 ， （舍 ， ，
， ；
综上所述，点 的坐标为 ， 或 ， ；
（3）如图2， 四边形 是平行四边形
，
设 ， ， ， ，则： ， ，
，即： ，
，即：
过点 作 于 ，则
，即：
，即：
周长
，
当 时， 周长最大值 ，
， ．
【点睛】此题考查二次函数综合题，综合难度较大，解答关键在于结合函数图形进行计算，再利用待定系
数法求解析式，配合辅助线利用相似三角形的性质进行解答
