文档内容
2020年北京市高级中等学校招生考试
数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1.下图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A.圆柱 B.圆锥 C.三棱柱 D.长方体
2.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点
于距离地球36000公里的地球同步轨道，将36000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
3.如图， 和 相交于点 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
5.正五边形的外角和为（ ）
A. B. C. D.
6.实数 在数轴上的对应点的位置如图所示.若实数 满足 ，则 的值可以是（ ）A.2 B. C. D.
7.不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别.从中随
机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数
字之和为3的概率是（ ）
A. B. C. D.
8.有一个装有水的容器，如图所示.容器内的水面高度是 ，现向容器内注水，并同时开始计时.在注
水过程中，水面高度以每秒 的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水
时间满足的函数关系是（ ）
A.正比例函数关系 B.一次函数关系
C.二次函数关系 D.反比例函数关系
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9.若代数式 有意义，则实数 的取值范围是__________.
10.已知关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值是___________.
11.写出一个比 大且比 小的整数___________.
12.方程组 的解为_________.
13.在平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 交于 两点.若点 的纵坐标分别为 ，
，则 的值为__________.14.如图，在 中， ，点 在 上（不与点 重合）.只需添加一个条件即可证明
，这个条件可以是________（写出一个即可）.
15.如图所示的网格是正方形网格， 是网格线交点，则 的面积与 的面积的大小关
系为： ___________ （填“ ”，“ ”或“ ”）.
16.下图是某剧场第一排座位分布图.
甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，
同时使自己所选的座位号之和最小.如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位
的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票.若丙第一个购票，要使
其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序___________.
三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24
题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说
明、演算步骤或证明过程.
17.计算： .18.解不等式组：
19.已知 ，求代数式 的值.
20.已知：如图， 为锐角三角形， ， .
求作：线段 ，使得点 在直线 上，且 .
作法：①以点 为圆心， 长为半径画圆，交直线 于 两点；
②连接 .
线段 就是所求作的线段.
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明.
证明：∵ ，
∴ ___________.
∵ ，∴点 在 上.
又∵点 都在 上，
∴ （____________）（填推理的依据）.
∴ .
21.如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ， 是 的中点，点 在 上， ，
.（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ， ，求 和 的长.
22.在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象由函数 的图象平移得到，且经过
点 .
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，直接写出
的取值范围.
23.如图， 为 的直径， 为 延长线上一点， 是 的切线， 为切点， 于点
，交 于点 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长.
24.小云在学习过程中遇到一个函数 .
下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当 时，对于函数 ，即 ，当 时， 随 的增大而_______，且 ；
对于函数 ，当 时， 随 的增大而__________，且 ；
结合上述分析，进一步探究发现，对于函数 ，当 时， 随 的增大而__________.
（2）当 时，
对于函数 ，当 时， 与 的几组对应值如下表：
0 1 2 3 …
0 1 …
结合上表，进一步探究发现，当 时， 随 的增大而增大.在平面直角坐标系 中，画出当
时的函数 的图象.
（3）过点 作平行于 轴的直线 ，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线 与函数
的图象有两个交点，则 的最大值是____________.
25.小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：
.小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：.小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：
时段 1日至10日 11日至20日 21日至30日
平均数 100 170 250
（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为___________（结果取整数）；
（2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平
均数约为4月的__________倍（结果保留小数点后一位）；
（3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为 ，5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方
差为 ，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为 .直接写出 ， ， 的大小关系.
26.在平面直角坐标系 中， ， 为抛物线 上任意两点，其
中 .
（1）若抛物线的对称轴为 ，当 ， 为何值时， ；
（2）设抛物线的对称轴为 .若对于 ，都有 ，求 的取值范围.
27.在 中， ， ， 是 的中点. 为直线 上一动点，连接 ，过点
作 ，交直线 于点 ，连接 .
（1）如图1，当 是线段 的中点时，设 ， ，求 的长（用含 的式子表示）；
（2）当点 在线段 的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关
系，并证明.
28.在平面直角坐标系 中， 的半径为1， 为 外两点， .给出如下定义：平移线段 ，得到 的弦 （ ， 分别为点 的对应点），线段 长度
的最小值称为线段 到 的“平移距离”.
（1）如图，平移线段 得到 的长度为1的弦 和 ，则这两条弦的位置关系是__________；
在点 ， ， ， 中，连接点 与点________的线段的长度等于线段 到 的“平移距离”；
（2）若点 都在直线 上，记线段 到 的“平移距离”为 ，求 的最小值；
（3）若点 的坐标为 ，记线段 到 的“平移距离”为 ，直接写出 的取值范围.
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
D C A D B B C B
1.【解析】：长方体的三视图都是长方形.故选：D
2.【解析】：将36000用科学记数法表示为 .故选：C
3.【解析】：由两直线相交，对顶角相等可知A正确；由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的
和可知B选项的 ，C选项 ，D选项的 .故选：A
4.【解析】：正方形既是中心对称图形又是轴对称图形.故选：D
5.【解析】：任意多边形的外角和都为 ，与边数无关.故选：B
6.【解析】：由于 ，且 在 与 区间范围内，所以 到原点的距离一定小于2.故选：B
7.【解析】：由题意，共4种情况： ； ； ； ，其中满足题意的有两种.故选：C
8.【解析】：因为水面高度“匀速”增加，且初始水面高度不为0.故选：B二、填空题
9. 10.1 11.3 12. 13.0
14. 为 中点 15. 16.丙，丁，甲，乙
9.【解析】：分母不能为0.
10.【解析】：由题意： .所以 .
11.【解析】：答案不唯一，2或3都对
12.【解析】：略.
13.【解析】：根据一次函数 与反比例函数交点关于原点对称，所以 .
14.【解析】：答案不唯一：因为 为 中点，所以 ， ， .
所以 .
15.【解析】：由网格可求 ， .所以面积相等.
16.【解析】：答案不唯一；丙先选择：1，2，3，4.丁选：5，7，9，11，13.甲选：6，8.乙选：10，
12，14.所以顺序为丙，丁，甲，乙.
三、解答题
17.【解析】：解：原式
18.【解析】：解：解①式得： ，解②式得：
∴此不等式组的解集为
19.【解析】：解：原式
∵ ∴ ∴
∴原式
20.【解析】：
（1）如图所示（2） ；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
21【解析】：
（1）∵四边形 为菱形∴点 为 中点
∵点 为 中点∴ 为 的中位线
∴ ∵
∴四边形 为平行四边形
∵
∴平行四边形 为矩形
（2）∵点 为 中点，
∴ ∵ ，
∴在 中，
∵四边形 为菱形
∴ ∴
∵四边形 为矩形∴
∴
22.【解析】（1）∵一次函数 且由 平移得到
∴将点 代入 可得
∴一次函数的解析式为
（2）当 时，函数 的函数值都大于 ，
即图像在 上方，由下图可知：
临界值为当 时，两条直线都过点 ，
∴当 ， 时，
的函数值都大于 .
又因为 ，所以 可取值2，即 ，
所以 的取值范围为 .
23.【解析】：（1）连接
∵ 是 的切线∴ ∴
∵ ∴
∵ 故（2）设半径为 ，在 中，
∴ ∴ ，
∵ ∴
∵ 为 的直径∴
∴ ∴ ∴
∵ ∴
∴
24.【解析】：（1）减小，减小，减小
（2）根据表格描点，连成平滑的曲线即可
（3） 当 时，
25.【解析】：（1）平均数为： （千克）
（2） 倍
（3）方差反应数据的稳定程度，即从点状图中表现数据的离散程度，所以从图中可知：
26.【解析】：（1）抛物线必过 ，因为 ，
所以点 关于 对称，又∵∴ ，
（2）情况1：当 ， 恒成立
情况2：当 ， ， 恒不成立
情况3：当 ， ，要 ，必有 ，
∴ ，∴
27.【解析】：（1）∵ 是 的中点， 是线段 的中点
∴ 为 的中位线∴
∵ ∴
∵ ∴
∴四边形 为矩形.
∴ ，∴ ，∴
∴
（2）过点 作 的平行线交 延长线于点 ，连接
∵ ∴ ，
∵ 是 的中点∴ ∴
∴ ，
∵ ∴ 是线段 的垂直平分线
∴∵ ， ∴ ，
在 中，
∴
28.【解析】：（1）平行；
（2）如图，
线段 在直线 上，
平移之后与圆相交，得到的弦为 ， ，
过点 作 于点 ，交弦 于点 ，
令 ，直线与 轴交点为 ，直线与 轴夹角为 ，
∴ ，
由垂径定理得：∴
（3）如图，线段 的位置变换，可以看作是以点 为圆心，半径为1的圆，只需在 找到与
之平行，且长度为1的弦即可：
点 到 的距离为
如图，平移距离 的最小值即点 到 的最小值：
平移距离 的最大值即点 到 的最大值：
所以 的取值范围为：
