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2020年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷
一、选择题（共10小题）.
1．（3分） 的倒数是
A． B． C．8 D．
2．（3分）下列运算一定正确的是
A． B． C． D．
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． 扇形 B． 正方形
C． 等腰直角三角形 D． 正五边形
4．（3分）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是
A． B．
C． D．
5．（3分）如图， 为 的切线，点 为切点， 交 于点 ，点 在 上，连接 、
， ，若 ，则 的度数为A． B． C． D．
6．（3分）将抛物线 向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物
线为
A． B． C． D．
7．（3分）如图，在 中， ， ， ，垂足为 ， 与
关于直线 对称，点 的对称点是点 ，则 的度数为
A． B． C． D．
8．（3分）方程 的解为
A． B． C． D．
9．（3分）一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，这些小球除颜色外无
其他差别，从袋子中随机摸出一个小球．则摸出的小球是红球的概率是
A． B． C． D．
10．（3分）如图，在 中，点 在 边上，连接 ，点 在 边上，过点 作
，交 于点 ，过点 作 ，交 于点 ，则下列式子一定正确的是
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）将数4790000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）在函数 中，自变量 的取值范围是 ．13．（3分）已知反比例函数 的图象经过点 ，则 的值为 ．
14．（3分）计算 的结果是 ．
15．（3分）把多项式 分解因式的结果是 ．
16．（3分）抛物线 的顶点坐标为 ．
17．（3分）不等式组 的解集是 ．
18．（3分）一个扇形的面积是 ，半径是 ，则此扇形的圆心角是 度．
19．（3分）在 中， ， 为 边上的高， ， ，则 的长为
．
20．（3分）如图，在菱形 中，对角线 、 相交于点 ，点 在线段 上，连接 ，
若 ， ， ，则线段 的长为 ．
三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）
21．（7分）先化简，再求代数式 的值，其中 ．
22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段 和线段 的端点均在小正
方形的顶点上．
（1）在图中画出以 为边的正方形 ，点 和点 均在小正方形的顶点上；
（2）在图中画出以 为边的等腰三角形 ，点 在小正方形的顶点上，且 的周长
为 ．连接 ，请直接写出线段 的长．23．（8分）为了丰富同学们的课余生活，冬威中学开展以“我最喜欢的课外活动小组”为主
题的调查活动，围绕“在绘画、剪纸、舞蹈、书法四类活动小组中，你最喜欢哪一类？（必选且
只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘
制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢绘画小组的学生人数占所调查人数的
．请你根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若冬威中学共有800名学生，请你估计该中学最喜欢剪纸小组的学生有多少名．
24．（8分）已知：在 中， ，点 、点 在边 上， ，连接 、 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，当 时，过点 作 交 的延长线于点 ，在不添加任
何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角
都等于 ．
25．（10分）昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3
个小地球仪需用136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需用132元．
（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；
（2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪？
26．（10分）已知： 是 的外接圆， 为 的直径， ，垂足为 ，连接 ，
延长 交 于点 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，过点 作 交 于点 ，点 为 的中点，连接 ，求证：
；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接 ，若 ， 的面积为 ，求线段 的长．
27．（10分）已知：在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，直线 与 轴的正半轴交于点 ，
与 轴的负半轴交于点 ， ，过点 作 轴的垂线与过点 的直线相交于点 ，直
线 的解析式为 ，过点 作 轴，垂足为 ， ．
（1）如图1，求直线 的解析式；
（2）如图2，点 在线段 上，连接 ，点 在线段 上，过点 作 轴，垂足为
，交 于点 ，若 ，求 的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，点 为线段 上一点，连接 ，过点 作 的垂线交线段
于点 ，连接 ，过点 作 轴的平行线交 于点 ，连接 交 轴于点 ，连接
，若 ， ，求点 的坐标．参考答案
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分） 的倒数是
A． B． C．8 D．
解： 的倒数是 ，
故选： ．
2．（3分）下列运算一定正确的是
A． B． C． D．
解： 、 ，原计算错误，故此选项不合题意；
、 ，原计算错误，故此选项不合题意；
、 ，原计算正确，故此选项合题意；
、 ，原计算错误，故此选项不合题意．
故选： ．
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． 扇形 B． 正方形
C． 等腰直角三角形 D． 正五边形
解： 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选： ．
4．（3分）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是A． B．
C． D．
解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层右边一个小正方形，
故选： ．
5．（3分）如图， 为 的切线，点 为切点， 交 于点 ，点 在 上，连接 、
， ，若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
解： 为圆 的切线，
，即 ，
，
，
．
故选： ．
6．（3分）将抛物线 向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物
线为
A． B． C． D．
解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线 向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线 向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：
；
故选： ．
7．（3分）如图，在 中， ， ， ，垂足为 ， 与
关于直线 对称，点 的对称点是点 ，则 的度数为
A． B． C． D．
解： ， ，
，
与 关于直线 对称，点 的对称点是点 ，
，
，
故选： ．
8．（3分）方程 的解为
A． B． C． D．
解：方程的两边同乘 得：
，
解得 ，
经检验， 是原方程的解．
故选： ．
9．（3分）一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，这些小球除颜色外无
其他差别，从袋子中随机摸出一个小球．则摸出的小球是红球的概率是
A． B． C． D．
解： 袋子中一共有9个除颜色不同外其它均相同的小球，其中红球有6个，摸出的小球是红球的概率是 ，
故选： ．
10．（3分）如图，在 中，点 在 边上，连接 ，点 在 边上，过点 作
，交 于点 ，过点 作 ，交 于点 ，则下列式子一定正确的是
A． B． C． D．
解： ，
，
，
，
，
故选： ．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）将数4790000用科学记数法表示为 ．
解： ，
故答案为： ．
12．（3分）在函数 中，自变量 的取值范围是 ．
解：由题意得 ，
解得 ．
故答案为： ．13．（3分）已知反比例函数 的图象经过点 ，则 的值为 ．
解： 反比例函数 的图象经过点 ，
，
故答案为： ．
14．（3分）计算 的结果是 ．
解：原式 ．
故答案为： ．
15．（3分）把多项式 分解因式的结果是 ．
解：原式
．
故答案为： ．
16．（3分）抛物线 的顶点坐标为 ．
解： 抛物线 是顶点式，
顶点坐标是 ．
故答案为： ．
17．（3分）不等式组 的解集是 ．
解： ，
由①得， ；
由②得， ，
故此不等式组的解集为： ．
故答案为： ．18．（3分）一个扇形的面积是 ，半径是 ，则此扇形的圆心角是 13 0 度．
解：设这个扇形的圆心角为 ，
，
解得， ，
故答案为：130．
19．（3分）在 中， ， 为 边上的高， ， ，则 的长为
5 或 7 ．
解：在 中， ， ，
，
如图1、图2所示：
，
，
故答案为：7或5．
20．（3分）如图，在菱形 中，对角线 、 相交于点 ，点 在线段 上，连接 ，
若 ， ， ，则线段 的长为 ．
解：设 ，则 ，四边形 为菱形，
， ， ，
，
，
，
，
，
，解得 ，
即 ， ，
在 中， ，
在 中， ．
故答案为 ．
三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）
21．（7分）先化简，再求代数式 的值，其中 ．
解：原式
，
，
原式 ．
22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段 和线段 的端点均在小正
方形的顶点上．
（1）在图中画出以 为边的正方形 ，点 和点 均在小正方形的顶点上；
（2）在图中画出以 为边的等腰三角形 ，点 在小正方形的顶点上，且 的周长
为 ．连接 ，请直接写出线段 的长．解：（1）如图，正方形 即为所求．
（2）如图， 即为所求．
23．（8分）为了丰富同学们的课余生活，冬威中学开展以“我最喜欢的课外活动小组”为主
题的调查活动，围绕“在绘画、剪纸、舞蹈、书法四类活动小组中，你最喜欢哪一类？（必选且
只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘
制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢绘画小组的学生人数占所调查人数的
．请你根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若冬威中学共有800名学生，请你估计该中学最喜欢剪纸小组的学生有多少名．
解：（1） （名 ，
答：在这次调查中，一共抽取了50名学生；
（2） （名 ，补全条形统计图如图所示：（3） （名 ，
答：冬威中学800名学生中最喜欢剪纸小组的学生有320名．
24．（8分）已知：在 中， ，点 、点 在边 上， ，连接 、 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，当 时，过点 作 交 的延长线于点 ，在不添加任
何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角
都等于 ．
【解答】（1）证明： ，
，
在 和 中，
，
，
；
（2） ，
，
，
，
， ，， ， ，
满足条件的等腰三角形有： ， ， ， ．
25．（10分）昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3
个小地球仪需用136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需用132元．
（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；
（2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可
以购买多少个大地球仪？
解：（1）设每个大地球仪 元，每个小地球仪 元，根据题意可得：
，
解得： ，
答：每个大地球仪52元，每个小地球仪28元；
（2）设大地球仪为 台，则每个小地球仪为 台，根据题意可得：
，
解得： ，
答：最多可以购买5个大地球仪．
26．（10分）已知： 是 的外接圆， 为 的直径， ，垂足为 ，连接 ，
延长 交 于点 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，过点 作 交 于点 ，点 为 的中点，连接 ，求证：
；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接 ，若 ， 的面积为 ，求线段 的长．
【解答】证明：（1） 为 的直径， ，，
，
又 ，
，
，
，
，
，
；
（2）如图2，连接 ，
是直径，
，
点 是 中点，
，
又 ，
， ，
，
，
，
又 ， ，
，
；
（3）如图3，过点 作 ，交 于 ，设 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积为 ，
，
，，
，
， ， ，
，
如图3，连接 ，过点 作 ，交 的延长线于 ，
由（2）可知： ，
四边形 是圆内接四边形，
，
又 ，
，
，
，
， ，
，
．
27．（10分）已知：在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，直线 与 轴的正半轴交于点 ，
与 轴的负半轴交于点 ， ，过点 作 轴的垂线与过点 的直线相交于点 ，直
线 的解析式为 ，过点 作 轴，垂足为 ， ．（1）如图1，求直线 的解析式；
（2）如图2，点 在线段 上，连接 ，点 在线段 上，过点 作 轴，垂足为
，交 于点 ，若 ，求 的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，点 为线段 上一点，连接 ，过点 作 的垂线交线段
于点 ，连接 ，过点 作 轴的平行线交 于点 ，连接 交 轴于点 ，连接
，若 ， ，求点 的坐标．
解：（1） 轴， ，
时， ，解得 ，
，
轴，
，
，
，
设直线 的解析式为 ，则有 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ．（2）如图2中，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
直线 的解析式为 ，设点 的横坐标为 ，则 ，
，
把 ，代入 中，得到 ，
，
，
把 代入， 中，得到 ，
，
，
，
．
（3）如图3中，设直线 交 的延长线于 ，交 轴于 ，过点 作 于 ．轴，
， ， ， ，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，，
，
设 ，则 ， ， ，
，
，
，
，
解得 ，
， ，
， ， ，
， ，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
由（2）可知 ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，，
， ，
， ．
