文档内容
泰州市二 0 二 0 年初中学业水平测试
数学试题
请注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两个部分．
2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效．
3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗．
4．考试时间：120分钟 满分150分．
第一部分 选择题(区18分)
一、选择题：(本大题共有6小题，第小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，
恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1.-2的倒数是( )
A. -2 B. C. D. 2
2.把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以得到的几何体是( )
A. 三棱柱 B. 四棱柱 C. 三棱锥 D. 四棱锥
3.下列等式成立的是( )
A. B. C. D.
4.如图，电路图上有 个开关 、 、 、 和 个小灯泡，同时闭合开关 、 或同时闭合开关 、
都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是( )
A. 只闭合 个开关 B. 只闭合 个开关 C. 只闭合 个开关 D. 闭合 个开关
5.点 在函数 的图像上，则代数式 的值等于( )
A. B. C. D.
6.如图，半径为 的扇形 中， ， 为 上一点， ， ，垂足分别为 、 ．若 为 ，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
第二部分 非选择题(共132分)
二、填空题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相应位
置上)
7.9的平方根是_________．
8.因式分解： ．
9.据新华社 年 月 日消息，全国各地和军队约 名医务人员支援湖北抗击新冠肺炎疫情，将
为
用科学计数法表示 _______．
的
10.方程 两根为 、 则 的值为______．
11.今年 月 日是第 个全国爱眼日，某校从八年级随机抽取 名学生进行了视力调查，并根据视力值
绘制成统计图(如图)，这 名学生视力的中位数所在范围是______．
的
12.如图，将分别含有 、 角 一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为 ，
则图中角 的度数为_______．13.以水平数轴的原点 为圆心过正半轴 上的每一刻度点画同心圆，将 逆时针依次旋转 、 、
、 、 得到 条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点 、 的坐标分别表示为 、
，则点 的坐标表示为_______．
14.如图，直线 ，垂足为 ，点 在直线 上， ， 为直线 上一动点，若以 为半
径的 与直线 相切，则 的长为_______．
15.如图所示的网格由边长为 个单位长度的小正方形组成，点 、 、 、在直角坐标系中的坐标分别为
， ， ，则 内心的坐标为______．16.如图，点 在反比例函数 的图像上且横坐标为 ，过点 作两条坐标轴的平行线，与反比例函数
的图像相交于点 、 ，则直线 与 轴所夹锐角的正切值为______．
三、解答题(本大题共有10题，共102分，请在答题卡规定区域内作答，解答时应写出必要
的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(1)计算：
(2)解不等式组：
18. 年 月 日起，公安部在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某校小交警社团在交警带领下，
从 月 日起连续 天，在同一时段对某地区一路口的摩托车和电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行了
调查，并将数据绘制成图表如下：
年 月 日 月 日骑乘人员头盔佩戴率折线统计图
年 月 日骑乘人员头盔佩戴情况统计表(1)根据以上信息，小明认为 月 日该地区全天摩托车骑乘人员头盔佩戴率约为 ．你是否同意他的观
点？请说明理由；
(2)相比较而言，你认为需要对哪类人员加大宣传引导力度？为什么？
(3)求统计表中 的值．
19.一只不透明袋子中装有 个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：
将球搅匀后从中任意摸出 个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
(1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______(精确到 )，由此估出
红球有______个．
的
(2)现从该袋中摸出 个球，请用树状图或列表 方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到 个白球，
个红球的概率．
20.近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线 为全程 的
普通道路，路线 包含快速通道，全程 ，走路线 比走路线 平均速度提高 ，时间节省 ，
求走路线 的平均速度．
21.如图，已知线段 ，点 在平面直角坐标系 内，
(1)用直尺和圆规在第一象限内作出点 ，使点 到两坐标轴的距离相等，且与点 的距离等于 ．(保留
作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，若 ， 点的坐标为 ，求 点的坐标．
的
22.我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔 一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面 的 处测得在 处的龙舟俯角为 ；他登高 到正上方的 处测得驶至 处的龙舟俯角
为 ，问两次观测期间龙舟前进了多少？(结果精确到 ，参考数据： ， ，
， )
23.如图，在 中， ， ， ， 为 边上的动点(与 、 不重合)，
，交 于点 ，连接 ，设 ， 的面积为 ．
(1)用含 的代数式表示 的长；
(2)求 与 的函数表达式，并求当 随 增大而减小时 的取值范围．
24.如图，在 中，点 为 的中点，弦 、 互相垂直，垂足为 ， 分别与 、 相
交于点 、 ，连接 、 ．
(1)求证： 为 的中点．(2)若 的半径为 ， 的度数为 ，求线段 的长．
25.如图，正方形 的边长为 ， 为 的中点， 为等边三角形，过点 作 的垂线分
别与边 、 相交于点 、 ，点 、 分别在线段 、 上运动，且满足 ，连
接 ．
(1)求证： ．
(2)当点 在线段 上时，试判断 的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明
理由．
(3)设 ，点 关于 的对称点为 ，若点 落在 的内部，试写出 的范围，并说明
理由．
26.如图，二次函数 、 的图像分别为 、 ， 交
轴于点 ，点 在 上，且位于 轴右侧，直线 与 在 轴左侧的交点为 ．(1)若 点的坐标为 ， 的顶点坐标为 ，求 的值；
(2)设直线 与 轴所夹的角为 ．
①当 ，且 为 的顶点时，求 的值；
②若 ，试说明：当 、 、 各自取不同的值时， 的值不变；
(3)若 ，试判断点 是否为 的顶点？请说明理由．泰州市二 0 二 0 年初中学业水平测试
数学试题
请注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两个部分．
2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效．
3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗．
4．考试时间：120分钟 满分150分．
第一部分 选择题(区18分)
一、选择题：(本大题共有6小题，第小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，
恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1.-2的倒数是( )
A. -2 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据倒数的定义求解.
【详解】-2的倒数是-
故选B
【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数相反数等知识点的掌握
2.把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以得到的几何体是( )
A. 三棱柱 B. 四棱柱 C. 三棱锥 D. 四棱锥
【答案】A
【解析】
【分析】
根据折线部分折回立体图形判断即可.
【详解】由图形折线部分可知,有两个三角形面平行,三个矩形相连,可知为三棱柱.
故选A.
【点睛】本题考查折叠与展开相关知识点,关键在于利用空间想象能力折叠回立体图形.
3.下列等式成立的是( )A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次根式的运算法则即可逐一判断．
【详解】解：A、3和 不能合并，故A错误；
B、 ，故B错误；
C、 ，故C错误；
D、 ，正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握基本的运算法则．
4.如图，电路图上有 个开关 、 、 、 和 个小灯泡，同时闭合开关 、 或同时闭合开关 、
都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是( )
A. 只闭合 个开关 B. 只闭合 个开关 C. 只闭合 个开关 D. 闭合 个开关
【答案】B
【解析】
【分析】
观察电路发现，闭合 或闭合 或闭合三个或四个，则小灯泡一定发光，从而可得答案．
【详解】解：由小灯泡要发光，则电路一定是一个闭合的回路，
只闭合 个开关，小灯泡不发光，所以是一个不可能事件，所以A不符合题意；
闭合 个开关，小灯泡发光是必然事件，所以D不符合题意；
只闭合 个开关，小灯泡有可能发光，也有可能不发光，所以B符合题意；只闭合 个开关，小灯泡一定发光，是必然事件，所以C不符合题意．
故选B．
【点睛】本题结合物理知识考查的是必然事件，不可能事件，随机事件的概念，掌握以上知识是解题的关
键．
5.点 在函数 的图像上，则代数式 的值等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
把 代入函数解析式得 ，化简得 ，化简所求代数式即可得到结果；
【详解】把 代入函数解析式 得： ，
化简得到： ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了通过函数解析式与已知点的坐标得到式子的值，求未知式子的值，准确化简式子
是解题的关键．
6.如图，半径为 的扇形 中， ， 为 上一点， ， ，垂足分别
为 、 ．若 为 ，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题可通过做辅助线，利用矩形性质对角线相等且平分以及等面积性，利用扇形ABC面积减去扇形AOC
面积求解本题．
【详解】连接OC交DE为F点，如下图所示：
由已知得：四边形DCEO为矩形．
∵∠CDE=36°，且FD=FO，
∴∠FOD=∠FDO=54°，△DCE面积等于△DCO面积．
．
故选：A．
【点睛】本题考查几何面积求法，在扇形或圆形题目中，需要构造辅助线利用割补法，即大图形面积减去
小图形面积求解题目，扇形面积公式为常用工具．
第二部分 非选择题(共132分)
二、填空题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相应位
置上)
7.9的平方根是_________．
【答案】±3
【解析】
分析：根据平方根的定义解答即可．
详解：∵(±3)2=9，
∴9的平方根是±3．
故答案为±3．
点睛：本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没
有平方根．
8.因式分解： ．
【答案】【解析】
【详解】解： = ；
故答案为
9.据新华社 年 月 日消息，全国各地和军队约 名医务人员支援湖北抗击新冠肺炎疫情，将
用科学计数法表示为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
科学记数法的形式是： ，其中 ＜10， 为整数．所以 ， 取决于原数小数点的移动
位数与移动方向， 是小数点的移动位数，往左移动， 为正整数，往右移动， 为负整数。本题小数点
往左移动到4的后面，所以
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定
好 的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．
10.方程 的两根为 、 则 的值为______．
【答案】-3
【解析】
【分析】
直接根据韦达定理x·x= 可得．
1 2
【详解】解：∵方程 的两根为x、x，
1 2
∴x·x= =-3，
1 2故答案为：-3．
【点睛】本题主要考查韦达定理，x、x 是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，则x+x=− ，
1 2 1 2
x·x= ．
1 2
11.今年 月 日是第 个全国爱眼日，某校从八年级随机抽取 名学生进行了视力调查，并根据视力值
绘制成统计图(如图)，这 名学生视力的中位数所在范围是______．
【答案】4.65-4.95．
【解析】
【分析】
根据频率直方图的数据和中位数概念可知，在这50个数据的中位数位于第四组，据此求解即可．
【详解】解：由中位数概念知道这个数据位于中间位置，共50个数据，根据频率直方图的数据可知，中位
数位于第四组，即这 名学生视力的中位数所在范围是4.65-4.95．
故答案为：4.65-4.95．
【点睛】本题考查学生对频率直方图 的认识和应用，以及对中位数的理解，熟悉相关性质是解题的关键．
12.如图，将分别含有 、 角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为 ，
则图中角 的度数为_______．【答案】
【解析】
【分析】
如图，首先标注字母，利用三角形的内角和求解 ，再利用对顶角的相等，三角形的外角的性质可
得答案．
【详解】解：如图，标注字母，
由题意得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．
13.以水平数轴的原点 为圆心过正半轴 上的每一刻度点画同心圆，将 逆时针依次旋转 、 、
、 、 得到 条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点 、 的坐标分别表示为 、，则点 的坐标表示为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据同心圆的个数以及每条射线所形成的角度，以及A，B点坐标特征找到规律，即可求得C点坐标．
【详解】解：图中为5个同心圆，且每条射线与x轴所形成的角度已知， 、 的坐标分别表示为 、
，根据点的特征，所以点 的坐标表示为 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查坐标与旋转的规律性问题，熟练掌握旋转性质，并找到规律是解题的关键．
14.如图，直线 ，垂足为 ，点 在直线 上， ， 为直线 上一动点，若以 为半
径的 与直线 相切，则 的长为_______．
【答案】3或5
【解析】
【分析】
根据切线的性质可得OH=1,故OP=PH-OH或OP=PH+OH，即可得解．
【详解】∵∴ 与直线 相切，OH=1
当 在直线a的左侧时，OP=PH-OH=4-1=3；
当 在直线a的右侧时，OP=PH+OH=4+1=5；
故答案为3或5．
【点睛】此题主要考查切线的性质，解题的关键是根据题意分情况讨论．
15.如图所示的网格由边长为 个单位长度的小正方形组成，点 、 、 、在直角坐标系中的坐标分别为
， ， ，则 内心的坐标为______．
【答案】(2，3)
【解析】
【分析】
根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系，计算出△ABC各边的长度，易得该三角形是直角三角
形，设BC的关系式为：y=kx+b，求出BC与x轴的交点G的坐标，证出点A与点G关于BD对称，射线
BD是∠ABC的平分线，三角形的内心在BD上，设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r，在BD上找
一点M，过点M作ME⊥AB，过点M作MF⊥AC，且ME=MF=r，求出r的值，在△BEM中，利用勾股
定理求出BM的值，即可得到点M的坐标．
【详解】解：根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系，
根据题意可得：AB= ，AC= ，BC= ，
∵ ，
∴∠BAC=90°，
设BC的关系式为：y=kx+b，
代入B ，C ，可得 ，
解得： ，
∴BC： ，
当y=0时，x=3，即G(3,0)，
∴点A与点G关于BD对称，射线BD是∠ABC的平分线，
设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r，在BD上找一点M，过点M作ME⊥AB，过点M作
MF⊥AC，且ME=MF=r，
∵∠BAC=90°，
∴四边形MEAF为正方形，
S = ，
△ABC
解得： ，
即AE=EM= ，
∴BE= ，
∴BM= ，
∵B(-3，3)，
∴M(2，3)，
故答案为：(2，3)．
【点睛】本题考查三角形内心、平面直角坐标系、一次函数的解析式、勾股定理和正方形的判定与性质等相关知识点，把握内心是三角形内接圆的圆心这个概念，灵活运用各种知识求解即可．
16.如图，点 在反比例函数 的图像上且横坐标为 ，过点 作两条坐标轴的平行线，与反比例函数
的图像相交于点 、 ，则直线 与 轴所夹锐角的正切值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意，先求出点P的坐标，然后表示出点A和点B的坐标，即可求出答案．
【详解】解：∵点 在反比例函数 的图像上且横坐标为 ，
∴点P的坐标为：(1，3)，
如图，AP∥x轴，BP∥y轴，
∵点A、B在反比例函数 的图像上，∴点A为( )，点B为(1， )，
∴直线 与 轴所夹锐角的正切值为：
；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，解直角三角形的应用，解题的关键是掌握反比例函数
的性质与一次函数的性质进行解题．
三、解答题(本大题共有10题，共102分，请在答题卡规定区域内作答，解答时应写出必要
的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(1)计算：
(2)解不等式组：
【答案】(1) ；(2)
【解析】
【分析】
(1)应用零指数幂、负指数幂和特殊角 的三角函数值化简求值即可；
(2)分别求出两个不等式的解集即可得到结果；
【详解】(1)原式= ．
(2)解不等式 得 ；
解不等式 得 ；
综上所述，不等式组的解集为： ．
【点睛】本题主要考查了实数的运算及不等式组的求解，计算准确是解本题的关键．18. 年 月 日起，公安部在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某校小交警社团在交警带领下，
从 月 日起连续 天，在同一时段对某地区一路口的摩托车和电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行了
调查，并将数据绘制成图表如下：
年 月 日 月 日骑乘人员头盔佩戴率折线统计图
年 月 日骑乘人员头盔佩戴情况统计表
(1)根据以上信息，小明认为 月 日该地区全天摩托车骑乘人员头盔佩戴率约为 ．你是否同意他的观
点？请说明理由；
(2)相比较而言，你认为需要对哪类人员加大宣传引导力度？为什么？
(3)求统计表中 的值．
【答案】(1)不同意，理由见解析；(2)应该对骑电动自行车骑乘人员加大宣传引导力度，理由见解析；(3)
．
【解析】
【分析】
(1)根据本次调查是从 月 日起连续 天，在同一时段对某地区一路口的摩托车和电动自行车骑乘人员
佩戴头盔情况进行了调查，可知数据代表比较单一，没有普遍性，据此判断即可；
(2)由折线统计图可知，骑电动自行车骑乘人员戴头盔率比摩托车骑乘人员头盔佩戴率要低很多，据此判断
即可；
(3)由折线统计图可知，骑电动自行车骑乘人员不戴头盔率为55%，则有 ，据此求解即可．
【详解】解：(1)不同意。由题目可知，本次调查是从 月 日起连续 天，在同一时段对某地区一路口的摩托车和电动自行车骑乘
人员佩戴头盔情况进行了调查，数据代表比较单一，没有普遍性，故不能代表 月 日该地区全天摩托车
骑乘人员头盔佩戴率；
(2)由折线统计图可知，骑电动自行车骑乘人员戴头盔率比摩托车骑乘人员头盔佩戴率要低很多，故应该对
骑电动自行车骑乘人员加大宣传引导力度；
(3)由折线统计图可知， 年 月 日骑电动自行车骑乘人员戴头盔率为45%，则骑电动自行车骑乘人
员不戴头盔率为：1-45%=55%，
∴
∴ ．
【点睛】本题考查了统计表和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问
题的关键．
19.一只不透明袋子中装有 个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：
将球搅匀后从中任意摸出 个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
(1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______(精确到 )，由此估出
红球有______个．
(2)现从该袋中摸出 个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到 个白球，
个红球的概率．
【答案】(1)0.33，2；(2) ．
【解析】
【分析】
(1)通过表格中的数据，随着次数的增多，摸到白球的频率越稳定在 0.33左右，进而得出答案；利用频率
估计概率，摸到白球的概率0.33，利用概率的计算公式即可得出红球的个数；
(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸到一个白球一个红球的情况，再
利用概率公式即可求得答案．【详解】解：(1)随着摸球次数的越来越多，频率越来越靠近0.33，因此接近的常数就是0.33；
设红球由 个，由题意得：
，解得： ，经检验： 是分式方程的解；
故答案为：0.33，2；
(2)画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，摸到一个白球，一个红球有4种情况，
∴摸到一个白球一个红球的概率为： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率的方法，理解频率、概率的意义以及频率估计概率的方法是解决问
题的关键；还考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选
出符合事件A的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A的概率．
20.近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线 为全程 的
普通道路，路线 包含快速通道，全程 ，走路线 比走路线 平均速度提高 ，时间节省 ，
求走路线 的平均速度．
【答案】75km/h
【解析】
【分析】
根据题意，设走线路A的平均速度为 ，则线路B的速度为 ，由等量关系列出方程，解方
程即可得到答案．
【详解】解：设走线路A的平均速度为 ，则线路B的速度为 ，则，
解得： ，
检验：当 时， ，
∴ 是原分式方程的解；
∴走路线 的平均速度为： (km/h)；
【点睛】本题考查分式方程的应用，以及理解题意的能力，解题的关键是以时间做为等量关系列方程求解．
21.如图，已知线段 ，点 在平面直角坐标系 内，
(1)用直尺和圆规在第一象限内作出点 ，使点 到两坐标轴的距离相等，且与点 的距离等于 ．(保留
作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，若 ， 点的坐标为 ，求 点的坐标．
【答案】(1)见解析；(2)P(5,5)．
【解析】
【分析】
(1)作第一象限的平分线OM，再以点A为圆心，a为半径画弧，交OM于点P即可；
(2)根据题意，设点P(t，t)，再根据两点之间的距离公式列出方程即可解答．
【详解】解：(1)如图所示，作第一象限的平分线OM，再以点A为圆心，a为半径画弧，交OM于点P，
则点P为所求；(2)∵点P到两坐标轴的距离相等，且在第一象限，
∴设点P(t，t)，
则AP= ，
解得：t=5或t=-1(舍去)，
∴P(5,5)．
【点睛】本题考查了尺规作图以及两点之间的距离公式，解题的关键是读懂题意，明确如何作图能满足题
意．
22.我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高
出水面 的 处测得在 处的龙舟俯角为 ；他登高 到正上方的 处测得驶至 处的龙舟俯角
为 ，问两次观测期间龙舟前进了多少？(结果精确到 ，参考数据： ， ，
， )
【答案】两次观测期间龙舟前进了18米．
【解析】
【分析】
设BA与CD的延长线交于点O，由题意得出∠BDO=50°，∠ACO=23°，OA=15m，AB=6m，在Rt△BOD
中，解直角三角形求得OD的长度，在Rt△AOC中，解直角三角形求出DC的长度即可．
【详解】解：设BA与CD的延长线交于点O，
根据题意易得：∠BDO=50°，∠ACO=23°，OA=15m，AB=6m，在Rt△BOD中， ，
解得： ，
在Rt△AOC中， ，
，
答：两次观测期间龙舟前进了18米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，要理解俯角概念，并且熟练掌握解直角三角形的方法．
23.如图，在 中， ， ， ， 为 边上的动点(与 、 不重合)，
，交 于点 ，连接 ，设 ， 的面积为 ．
(1)用含 的代数式表示 的长；
(2)求 与 的函数表达式，并求当 随 增大而减小时 的取值范围．
【答案】(1)AD= ；(2) ，2≤x＜4.
【解析】
【分析】
(1)由比例求出CD与CP的关系式,再求出AD.
(2)把AD当作底,CP当作高,利用三角形面积公式求出S与x的函数表达式,再由条件求出范围即可.
【详解】(1)∵PD∥AB,AC=3,BC=4,CP=x,
∴ ,即 .∴ .
∴AD= .
(2) .
对称轴为 ,二次函数开口向下,
∴S随x增大而减小时x的取值为2≤x＜4.
【点睛】本题考查三角形动点问题和二次函数图象问题,关键在于熟练掌握基础运算方法.
的
24.如图，在 中，点 为 中点，弦 、 互相垂直，垂足为 ， 分别与 、 相
交于点 、 ，连接 、 ．
(1)求证： 为 的中点．
(2)若 的半径为 ， 的度数为 ，求线段 的长．
【答案】(1)证明见详解；(2) ．
【解析】
【分析】
(1)通过同弧或等弧所对的圆周角相等，结合 、 互相垂直，证明 ，可得结果；
(2)连接AC，OA，OB，AB，证明M为AE中点，得MN为 的中位线，结合 的度数为90°，
半径为8，得到AB的长度，进而得到MN长度．【详解】(1)∵点 为 的中点
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴ °
在 和 中
∴
∴
∴点N为BE中点
(2)连接CA，AB，OA，OB，如图所示：
∵点 为 的中点
∴
在 和 中∴
∴ ，即M为AE中点
∵N为BE中点
∴MN为 的中位线
又∵ 的半径为 ， 的度数为
∴ ，OA=OB=8
∴
∴
【点睛】本题考查了利用圆周角定理的性质结合全等三角形证明中点问题，同时考查了直角三角形的边长
的计算，及中位线的作用，熟知以上知识是解题的关键．
25.如图，正方形 的边长为 ， 为 的中点， 为等边三角形，过点 作 的垂线分
别与边 、 相交于点 、 ，点 、 分别在线段 、 上运动，且满足 ，连
接 ．
(1)求证： ．(2)当点 在线段 上时，试判断 的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明
理由．
(3)设 ，点 关于 的对称点为 ，若点 落在 的内部，试写出 的范围，并说明
理由．
【答案】(1)证明见详解；(2)不变， ；(3)当 时，点 落在 的内部．
【解析】
【分析】
(1)由“ ”可证 ；
(2)连接 ，过点 作 于 ，由“ ”可证 ，可得 ，
， ，由直角三角形的性质可求 ，由锐角三角函数可求
，由全等三角形的性质可求 ，即可求 ；
(3)当点 落在 上时，，当点 落在 上时，分别求出点 落在 上和 上时 的值，即可求
解．
【详解】解：∵ 为等边三角形，
∴ ， ,
∴ ,
∴
即有： ，
∵四边形 是正方形，
∴
在 和 中∴
(2) 的值不变，
理由如下：如图1，连接 ，过点 作 于 ，
， ，
，
， ， ，
， ，
， ，
， ，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，，
；
(3)当点 落在 上时，如图2示，
，
，
，
是等边三角形，
当点 落在 上时，点 关于 的对称点为 ，
△ ，
点 与点 重合，点 与点 重合，
，
如图3，当点 落在 上时，同理可求： ，
综上所述，当 时，点 落在 的内部．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等
边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
26.如图，二次函数 、 的图像分别为 、 ， 交
轴于点 ，点 在 上，且位于 轴右侧，直线 与 在 轴左侧的交点为 ．
(1)若 点的坐标为 ， 的顶点坐标为 ，求 的值；
(2)设直线 与 轴所夹的角为 ．
①当 ，且 为 的顶点时，求 的值；
②若 ，试说明：当 、 、 各自取不同的值时， 的值不变；
(3)若 ，试判断点 是否为 的顶点？请说明理由．【答案】(1) ；(2)① ；②见解析；(3)点A是C 的顶点，理由见解析．
1
【解析】
【分析】
(1)将 的顶点坐标为 和点P的坐标代入 中即可解答；
(2)①如图所示，过点A作AM⊥y轴于点M，得到△MAP为等腰直角三角形，从而确定P(0，n-m)，代
入 化简即可；
②将x=0代入 ，得到 ，再求出A，B的坐标，表达出PA，PB即可解答；
(3)如图所示，过点P作CD∥x轴，过点B作BD⊥CD于点D，过点A作AC⊥CD于点C，得到
△BDP∽△ACP，设 ，根据PA=2PB，得到CP=2PD=-2x，AC=2BD= ，确定点
A的坐标，代入 ，解出x，进而得到 即可．
的
【详解】解：(1)∵ 顶点坐标为 ，
∴ ，
将点P(0,2)代入得： ，
解得： ；
(2)①由题意可知， ，
如图所示，过点A作AM⊥y轴于点M，则M(0，n)，MA=m，
∵直线 与 轴所夹的角为 ，
∴△MAP为等腰直角三角形，
∴MA=MP=m，
∴OP=n-m，
∴P(0，n-m)，代入 得： ，解得： ；
②如图所示，当 时，
将x=0代入 ，得 ，
∴ ，
当 时， ，
解得： ，
∴ ，
∴AP=2m，
当 时，即 ，
解得： ，
∵点B在y轴左侧，
∴ ，
∴PB= ，
∴ ，不变．(3)如图所示，过点P作CD∥x轴，过点B作BD⊥CD于点D，过点A作AC⊥CD于点C，
则BD∥AC，
∴△BDP∽△ACP，
设 ，则PD=-x，BD= ，
∵PA=2PB，
∴CP=2PD=-2x，AC=2BD= ，
∴ ，
代入 得： ，
化简得： ，解得： ， (舍去)，
∴ ，则点A是C 的顶点．
1
【点睛】本题考查了二次函数与几何综合问题，涉及了二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，
难度较大，计算量较多，解题的关键是综合运用二次函数和几何知识进行推理．
