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2020年湖北省黄冈市中考数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的4个选项中，有且只有一个
答案是正确的）
1．（3分） 的相反数是（ ）
A． B．﹣6 C．6 D．﹣
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．m+2m＝3m2 B．2m3•3m2＝6m6
C．（2m）3＝8m3 D．m6÷m2＝m3
3．（3分）已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．（3分）甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表所示，如果从这四位同学中，
选出一位同学参加数学竞赛．那么应选（ ）去．
甲 乙 丙 丁
平均分 85 90 90 85
方差 50 42 50 42
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中，主视图、左视图、俯视图都相同
的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）在平面直角坐标系中，若点A（a，﹣b）在第三象限，则点B（﹣ab，b）所在的象限是（
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（3分）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ）
A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：1
第1页（共21页）8．（3分）2020年初以来，红星消毒液公司生产的消毒液在库存量为m吨的情况下，日销售量
与产量持平．自1月底抗击“新冠病毒”以来，消毒液需求量猛增，该厂在生产能力不变
的情况下，消毒液一度脱销，下面表示2020年初至脱销期间，该厂库存量y（吨）与时间t
（天）之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）计算 ＝ ．
10．（3分）已知x ，x 是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则 ＝ ．
1 2
11．（3分）若|x﹣2|+ ＝0，则﹣ xy＝ ．
12．（3分）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝
度．
13．（3分）计算： ÷（1﹣ ）的结果是 ．
14．（3分）已知：如图，AB∥EF，∠ABC＝75°，∠CDF＝135°，则∠BCD＝ 度．
第2页（共21页）15．（3分）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：”今有池方一丈，葭（jiā）生其
中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈＝10
尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，
在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的
顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是 尺．
16．（3分）系统找不到该试题
三、解答题（本题共9题，满分72分）
17．（5分）解不等式 x+ ≥ x，并在数轴上表示其解集．
18．（6分）已知：如图，在 ABCD中，点O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于
点E，求证：AD＝CE▱．
19．（6分）为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组织创办了“黄冈地标馆”，一顾客在
“黄冈地标馆”发现，如果购买6盒羊角春牌绿茶和4盒九孔牌藕粉，共需960元，如果
购买1盒羊角春牌绿茶和3盒九孔牌藕粉共需300元，请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九
孔牌藕粉分别需要多少元？
20．（7分）为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，东坡中学随机抽取了部分学生进行调
查．要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作
为自我评价网络学习的效果．现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中
所给的信息解答下列问题：
第3页（共21页）（1）这次活动共抽查了 人．
（2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在
扇形的圆心角度数．
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，
“一般”的1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法，求出抽取的2人学习
效果全是“良好”的概率．
21．（7分）已知：如图，AB是 O的直径，点E为 O上一点，点D是 上一点，连接AE并
延长至点C，使∠CBE＝∠⊙BDE，BD与AE交于⊙点F．
（1）求证：BC是 O的切线；
（2）若BD平分∠⊙ABE，求证：AD2＝DF•DB．
22．（8分）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一
艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在A处时，船上游客发现岸上P 处的临摹亭和P
1 2
处的遗爱亭都在东北方向，当游船向正东方向行驶600m到达B处时，游客发现遗爱亭在
北偏西15°方向，当游船继续向正东方向行驶400m到达C处时，游客发现临摹亭在北偏
西60°方向．
（1）求A处到临摹亭P 处的距离；
1
（2）求临摹亭P 处与遗爱亭P 处之间的距离．（计算结果保留根号）
1 2
第4页（共21页）23．（8分）已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴正半轴交
于点C，与x轴负半轴交于点D，OB＝ ，tan∠DOB＝ ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当S△ACO ＝ S△OCD 时，求点C的坐标．
24．（11分）网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，我市市长亲自
在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公
司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日
销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+5000．经销售发现，销售单价
不低于成本价且不高于30元/kg．当每日销售量不低于4000kg时，每千克成本将降低1元，
设板栗公司销售该板栗的日获利为w（元）．
（1）请求出日获利w与销售单价x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
（3）当w≥40000元时，网络平台将向板栗公司收取a元/kg（a＜4）的相关费用，若此时日
获利的最大值为42100元，求a的值．
25．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y铀交于点C
（0，3）．顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若过点C的直线交线段AB于点E，且S△ACE ：S△CEB ＝3：5，求直线CE的解析式；
（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形
第5页（共21页）时，求点P的坐标；
（4）已知点H（0， ），G（2，0），在抛物线对称轴上找一点F，使HF+AF的值最小．此时，
在抛物线上是否存在一点K，使KF+KG的值最小？若存在，求出点K的坐标；若不存在，
请说明理由．
第6页（共21页）2020年湖北省黄冈市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的4个选项中，有且只有一个
答案是正确的）
1．【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，在数轴上表示，分别位于原点的两侧，且到
原点距离相等的两点所表示的数是互为相反数．
【解答】解： 的相反数是﹣ ，
故选：D．
【点评】本题考查相反数的意义和求法，理解相反数的意义是正确解答的前提．
2．【分析】利用合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方、积的乘方进行计算即可．
【解答】解：m+2m＝3m，因此选项A不符合题意；
2m3•3m2＝6m5，因此选项B不符合题意；
（2m）3＝23•m3＝8m3，因此选项C符合题意；
m6÷m2＝m6﹣2＝m4，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查合并同类项的法则、同底数幂的乘除法以及幂的乘方、积的乘方的计算
方法，掌握计算法则是得出正确答案的前提．
3．【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．
【解答】解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．
故选：D．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容．
4．【分析】先找到四人中平均数大的，即成绩好的；再从平均成绩好的人中选择方差小，即成
绩稳定的，从而得出答案．
【解答】解：∵ ＝ ＞ ＝ ，
∴四位同学中乙、丙的平均成绩较好，
又 ＜ ，
∴乙的成绩比丙的成绩更加稳定，
第7页（共21页）综上，乙的成绩好且稳定，
故选：B．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动
大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均
值的离散程度越小，稳定性越好．
5．【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图
是左边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：A．主视图、左视图、俯视图均为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正
方形，故本选项符合题意；
B主视图与左视图均为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形；而俯视图的底
层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形，故本选项不合题意；
C．主视图与俯视图均为一行三个小正方形，而左视图是一列两个小正方形，故本选项不
合题意．
D．主视图为底层两个小正方形，上层的右边是一个小正方形；左视图为底层是两个小正
方形，上层的左边是一个小正方形；俯视图的底层左边是一个小正方形，上层是两个小正
方形，故本选项不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的意义是解题关键．
6．【分析】根据点A（a，﹣b）在第三象限，可得a＜0，﹣b＜0，得b＞0，﹣ab＞0，进而可以判
断点B（﹣ab，b）所在的象限．
【解答】解：∵点A（a，﹣b）在第三象限，
∴a＜0，﹣b＜0，
∴b＞0，
∴﹣ab＞0，
∴点B（﹣ab，b）所在的象限是第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握点的坐标特征．
7．【分析】如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，利用菱形的性质得到AB＝4，利用正弦的定
义得到∠B＝30°，则∠C＝150°，从而得到∠C：∠B的比值．
【解答】解：如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，
∵菱形的周长为16，
第8页（共21页）∴AB＝4，
在Rt△ABH中，sinB＝ ＝ ＝ ，
∴∠B＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝150°，
∴∠C：∠B＝5：1．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了直角三角形斜边
上的中线性质．
8．【分析】根据开始产量与销量持平，后来脱销即可确定存量y（吨）与时间（t 天）之间函数关
系．
【解答】解：根据题意：时间t与库存量y之间函数关系的图象为先平，再逐渐减小，最后为
0．
故选：D．
【点评】本题要求能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，
通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．【分析】依据立方根的定义求解即可．
【解答】解： ＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键．
10．【分析】根据x ，x 是方程x2+px+q＝0的两根时x x ＝q，得出x x ＝﹣1，代入计算可得答
1 2 1 2 1 2
案．
【解答】解：∵x ，x 是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，
1 2
∴x x ＝﹣1，
1 2
第9页（共21页）则 ＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x ，x 是方程x2+px+q＝0的两
1 2
根时，x +x ＝﹣p，x x ＝q．
1 2 1 2
11．【分析】根据非负数的性质进行解答即可．
【解答】解：∵|x﹣2|+ ＝0，
∴x﹣2＝0，x+y＝0，
∴x＝2，y＝﹣2，
∴ ，
故答案为2．
【点评】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，这几个数都为0，是解题的
关键．
12．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵AD＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝35°，
∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝70°．
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝70°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故答案为：40．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和为180°等知识．此类已知三角形边
之间的关系求角的度数的题，一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出有关角的度数，
进而求出所求角的度数．
13．【分析】先计算括号内分式的减法、将被除式分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约
分即可得．
【解答】解：原式＝ ÷（ ﹣ ）
＝ ÷
＝ •
第10页（共21页）＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法
则．
14．【分析】根据邻补角的定义得到∠EDC＝180°﹣135°＝45°，根据平行线的性质得到∠1＝
∠ABC＝75°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠CDF＝135°，
∴∠EDC＝180°﹣135°＝45°，
∵AB∥EF，∠ABC＝75°，
∴∠1＝∠ABC＝75°，
∴∠BCD＝∠1﹣∠EDC＝75°﹣45°＝30°，
故答案为：30．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，邻补角的定义，熟练掌握平行线的
性质是解题的关键．
15．【分析】根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：设水池里水的深度是x尺，
由题意得，x2+52＝（x+1）2，
解得：x＝12，
答：水池里水的深度是12尺．
故答案为：12．
第11页（共21页）【点评】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理、根据勾股定理正确列出方程是解
题的关键．
16．
三、解答题（本题共9题，满分72分）
17．【分析】去分母、移项、合并、系数化为1即可得到不等式的解集为x≥﹣3，然后在数轴上
表示解集即可．
【解答】解：去分母得4x+3≥3x，
移项、合并得x≥﹣3，
所以不等式的解集为x≥﹣3，
在数轴上表示为：
【点评】本题考查了解一元一次不等式，掌握解法的基本步骤：去分母，去括号，移项，合并
同类项，系数化为1是解题的关键．
18．【分析】只要证明△AOD≌△EOC（ASA）即可解决问题；
【解答】证明：∵O是CD的中点，
∴OD＝CO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠D＝∠OCE，
在△ADO和△ECO中，
，
∴△AOD≌△EOC（ASA），
∴AD＝CE．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，解题的关
键是正确寻找全等三角形解决问题．
19．【分析】设每盒羊角春牌绿茶需要x元，每盒九孔牌藕粉需要y元，根据“如果购买6盒羊
角春牌绿茶和4盒九孔牌藕粉，共需960元，如果购买1盒羊角春牌绿茶和3盒九孔牌藕
粉共需300元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设每盒羊角春牌绿茶需要x元，每盒九孔牌藕粉需要y元，
第12页（共21页）依题意，得： ，
解得： ．
答：每盒羊角春牌绿茶需要120元，每盒九孔牌藕粉需要60元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．
20．【分析】（1）由“良好”的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）求出“不合格”的学生人数为20人，从而补全条形统计图；由360°乘以学习效果
“一般”的学生人数所占的百分比即可；
（3）画出树状图，利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）这次活动共抽查的学生人数为80÷40%＝200（人）；
故答案为：200；
（2）“不合格”的学生人数为200﹣40﹣80﹣60＝20（人），
将条形统计图补充完整如图：
学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数为360°× ＝108°；
（3）把学习效果“优秀”的记为A，“良好”记为B，“一般”的记为C，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，抽取的2人学习效果全是“良好”的结果有2个，
∴抽取的2人学习效果全是“良好”的概率＝ ＝ ．
【点评】本题考查了列表法或画树状图法、概率公式以及条形统计图和扇形统计图的有关
第13页（共21页）知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步
完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况
数之比．
21．【分析】（1）根据圆周角定理即可得出∠EAB+∠EBA＝90°，再由已知得出∠ABE+∠CBE
＝90°，则CB⊥AB，从而证得BC是 O的切线；
（2）通过证得△ADF∽△BDA，得出⊙相似三角形的对应边成比例即可证得结论．
【解答】证明：（1）∵AB是 O的直径，
∴∠AEB＝90°， ⊙
∴∠EAB+∠EBA＝90°，
∵∠CBE＝∠BDE，∠BDE＝∠EAB，
∴∠EAB＝∠CBE，
∴∠EBA+∠CBE＝90°，即∠ABC＝90°，
∴CB⊥AB，
∵AB是 O的直径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）证⊙明：∵BD平分∠ABE，
∴∠ABD＝∠DBE，
∵∠DAF＝∠DBE，
∴∠DAF＝∠ABD，
∵∠ADB＝∠ADF，
∴△ADF∽△BDA，
∴ ，
∴AD2＝DF•DB．
【点评】本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质；要证某线是圆的切线，已知此
线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
22．【分析】（1）如图，作P M⊥AC于M，设P M＝x，在两个直角三角形中，利用三角函数即
1 1
可x表示出AM与CM，根据AC＝AM+CM即可列方程，从而求得P M的长，进一步求得
1
AP 的长；
1
（2）作BN⊥AP 于N，在两个直角三角形中，利用三角函数即可求出AN与P N，根据（1）
2 2
的结果求得P N，从而求得P P ．
1 1 2
第14页（共21页）【解答】解：（1）作P M⊥AC于M，
1
设P M＝x，
1
在Rt△P AM中，∵∠P AB＝45°，
1 1
∴AM＝P M＝x，
1
在Rt△P CM中，∵∠P CA＝30°，
1 1
∴MC＝ ＝ x，
∵AC＝1000，
∴x+ ＝1000，解得x＝500（ ﹣1），
∴P M＝500（ ﹣1）m
1
∴P A＝ ＝500（ ﹣ ）m，
1
故A处到临摹亭P 处的距离为500（ ﹣ ）m；
1
（2）作BN⊥AP 于N，
2
∵∠P AB＝45°，∠P BA＝75°，
2 2
∴∠P ＝60°，
2
在Rt△ABN中，∵∠P AB＝45°，AB＝600m
1
∴BN＝AN＝ AB＝300 ，
∴P N＝500（ ﹣ ）﹣300 ＝500 ﹣800 ，
1
在Rt△P BN中，∵∠P ＝60°，
2 2
∴P N＝ BN＝ × ＝100 ，
2
∴P P ＝100 ﹣（500 ﹣800 ）＝800 ﹣400 ．
1 2
故临摹亭P 处与遗爱亭P 处之间的距离是（800 ﹣400 ）m．
1 2
【点评】本题主要考查了直角三角形的计算，一般的三角形可以通过作高线转化为解直角
三角形的计算，计算时首先计算直角三角形的公共边是常用的思路．
第15页（共21页）23．【分析】（1）根据OB＝ ，tan∠DOB＝ ，可求出点B的坐标，进而确定反比例函数的
关系式；
（2）利用S△ACO ＝ S△OCD ，可得OD＝2AN，再根据相似三角形的性质，设AN＝a、CN＝b，
表示出OD、OC，最后根据三角形OBM的面积为 |k|＝1，列方程求出b的值即可．
【解答】解：过点B、A作BM⊥x轴，AN⊥x轴，垂足为点M，N，
（1）在Rt△BOM中，OB＝ ，tan∠DOB＝ ．
∵BM＝1，OM＝2，
∴点B（﹣2，﹣1），
∴k＝（﹣2）×（﹣1）＝2，
∴反比例函数的关系式为y＝ ；
（2）∵S△ACO ＝ S△OCD ，
∴OD＝2AN，
又∵△ANC∽△DOC，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
设AN＝a，CN＝b，则OD＝2a，OC＝2b，
∵S△OAN ＝ |k|＝1＝ ON•AN＝ ×3b×a，
∴ab＝ ， ，
①
由△BMD∽△CNA得，
∴ ＝ ，即 ＝ ，也就是a＝ ，
②
由 可求得b＝1，b＝﹣ （舍去），
①②
∴OC＝2b＝2，
∴点C（0，2）．
第16页（共21页）【点评】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数k的几何意
义是列方程的关键．
24．【分析】（1）分两种情况讨论，由日获利＝销售单价×数量，可求解；
（2）分两种情况讨论，由二次函数的性质，分别求出6≤x≤10和10＜x≤30时的最大利润，
即可求解；
（3）由 w≥40000 元，可得 w 与 x 的关系式为 w＝﹣100x2+5600x﹣32000，可求当
20≤x≤36时，w≥40000，可得日获利w ＝（x﹣6﹣a）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣
1
100x2 +（5600+100a）x﹣32000﹣5000a，由二次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）当y≥4000，即﹣100x+5000≥4000，
∴x≤10，
∴当6≤x≤10时，w＝（x﹣6+1）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5500x﹣27000，
当10＜x≤30时，w＝（x﹣6）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5600x﹣32000，
综上所述：w＝ ；
（2）当6≤x≤10时，w＝﹣100x2+5500x﹣27000＝﹣100（x﹣ ）2+48625，
∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝ ，
∴当6≤x≤10时，y随x的增大而增大，即当x＝10时，w最大值 ＝18000元，
当10＜x≤30时，w＝﹣100x2+5600x﹣32000＝﹣100（x﹣28）2+46400，
∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝28，
∴当x＝28时，w有最大值为46400元，
∵46400＞18000，
∴当销售单价定为28时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46400元；
（3）∵40000＞18000，
∴10＜x≤30，
第17页（共21页）∴w＝﹣100x2+5600x﹣32000，
当w＝40000元时，40000＝﹣100x2+5600x﹣32000，
∴x ＝20，x ＝36，
1 2
∴当20≤x≤36时，w≥40000，
又∵10＜x≤30，
∴20≤x≤30，
此时：日获利w ＝（x﹣6﹣a）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+（5600+100a）x﹣32000﹣
1
5000a，
∴对称轴为直线x＝ ＝28+ a，
∵a＜4，
∴28+ a＜30，
∴当x＝28+ a时，日获利的最大值为42100元
∴（28+ a﹣6﹣a）[﹣100×（28+ a）+500]﹣2000＝42100，
∴a ＝2，a ＝86，
1 2
∵a＜4，
∴a＝2．
【点评】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，利用分类讨论思想解决问题是本
题的关键．
25．【分析】（1）因为抛物线经过A（﹣1，0），B（3，0），可以假设抛物线的解析式为y＝a
（x+1）（x﹣3），利用待定系数法解决问题即可．
（2）求出点E的坐标即可解决问题．
（3）分点P在x轴的上方或下方，点P的纵坐标为1或﹣1，利用待定系数法求解即可．
（4）如图3中，连接BH交对称轴于F，连接AF，此时AF+FH的值最小．求出直线HB的解
析式，可得点F的坐标，设K（x，y），作直线y＝ ，过点K作KM⊥直线y＝ 于M．证
明KF＝KM，利用垂线段最短解决问题即可．
【解答】解：（1）因为抛物线经过A（﹣1，0），B（3，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
第18页（共21页）把C（0，3）代入，可得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．
（2）如图1中，连接AC，BC．
∵S△ACE ：S△CEB ＝3：5，
∴AE：EB＝3：5，
∵AB＝4，
∴AE＝4× ＝ ，
∴OE＝0.5，
设直线CE的解析式为y＝kx+b，则有 ，
解得 ，
∴直线EC的解析式为y＝﹣6x+3．
（3）由题意C（0，3），D（1，4）．
第19页（共21页）当四边形P Q CD，四边形P Q CD是平行四边形时，点P的纵坐标为1，
1 1 2 2
当y＝1时，﹣x2+2x+3＝1，
解得x＝1± ，
∴P （1+ ，1），P （1﹣ ，1），
1 2
当四边形P Q DC，四边形P Q DC是平行四边形时，点P的纵坐标为﹣1，
3 3 4 4
当y＝﹣1时，﹣x2+2x+3＝﹣1，
解得x＝1± ，
∴P （1+ ，﹣1），P （1﹣ ，﹣1），
1 2
综上所述，满足条件的点P的坐标为（1+ ，1）或（1﹣ ，1）或（1﹣ ，﹣1）或（1+
，﹣1）．
（4）如图3中，连接BH交对称轴于F，连接AF，此时AF+FH的值最小．
∵H（0， ），B（3，0），
第20页（共21页）∴直线BH的解析式为y＝﹣ x+ ，
∵x＝1时，y＝ ，
∴F（1， ），
设K（x，y），作直线y＝ ，过点K作KM⊥直线y＝ 于M．
∵KF＝ ，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴（x﹣1）2＝4﹣y，
∴KF＝ ＝ ＝|y﹣ |，
∵KM＝|y﹣ |，
∴KF＝KM，
∴KG+KF＝KG+KM，
根据垂线段最短可知，当G，K，M共线，且垂直直线y＝ 时，GK+KM的值最小，最小值
为 ，
此时K（2，3）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的性质，平行四边形的判
定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，第四个问
题的关键是学会用转化的思想思考问题，把最短问题转化为垂线段最短，属于中考压轴题．
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日期：2020/9/5 17:27:54；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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