文档内容
2007 年黑龙江高考文科数学真题及答案
注意事项：
1．本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分，
考试时间120分钟．
2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定
的位置上．
3．选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．
4．非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔
迹清楚
5．非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域
或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．
6．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题）
本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
参考公式：
如果事件 互斥，那么 球的表面积公式
如果事件 相互独立，那么 其中 表示球的半径
球的体积公式
如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么
次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径
一、选择题
1． （ ）
A． B． C． D．
2．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．函数 的一个单调增区间是（ ）
第1页 | 共9页A． B． C． D．
4．下列四个数中最大的是（ ）
A． B． C． D．
5．不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．在 中，已知 是 边上一点，若 ，则 （
）
A． B． C． D．
7．已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
8．已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．把函数 的图像按向量 平移，得到 的图像，则
（ ）
A． B． C． D．
10．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名
方法共有（ ）
A．10种 B．20种 C．25种 D．32种
11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
12．设 分别是双曲线 的左、右焦点．若点 在双曲线上，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
第2页 | 共9页第Ⅱ卷（非选择题）
本卷共10题，共90分
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，
则指定的某个个体被抽到的概率为 ．
14．已知数列的通项 ，则其前 项和 ．
15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为
1cm，那么该棱柱的表面积为 cm ．
16． 的展开式中常数项为 ．（用数字作答）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
设等比数列 的公比 ，前 项和为 ．已知 ，求 的通项公
式．
18．（本小题满分12分）
在 中，已知内角 ，边 ．设内角 ，周长为 ．
（1）求函数 的解析式和定义域；
（2）求 的最大值．
19．（本小题满分12分）
从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件 ：“取出的2件
产品中至多有1件是二等品”的概率 ．
（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率 ；
（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件 ：“取出的2件产品中至少有一
件二等品”的概率 ．
S
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥 中，
底面 为正方形，侧棱 底面
分别为 的中点． F
（1）证明 平面 ；
（2）设 ，求二面角 的大小．
C
D
A
E B
第3页 | 共9页21．（本小题满分12分）
在直角坐标系 中，以 为圆心的圆与直线 相切．
（1）求圆 的方程；
（2）圆 与 轴相交于 两点，圆内的动点 使 成等比数列，求
的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知函数
在 处取得极大值，在 处取得极小值，且 ．
（1）证明 ；
（2）若z=a+2b,求z的取值范围。
参考答案
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的
主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内
容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分
数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题
1．C 2．B 3．C 4．D 5．C 6．A
7．A 8．A 9．C 10．D 11．D 12．B
二、填空题
13． 14． 15．
三、解答题
17．解：由题设知 ，
则 ②
第4页 | 共9页由②得 ， ， ，
因为 ，解得 或 ．
当 时，代入①得 ，通项公式 ；
当 时，代入①得 ，通项公式 ．
18．解：（1） 的内角和 ，由 得 ．
应用正弦定理，知
，
．
因为 ，
所以 ，
（2）因为
，
所以，当 ，即 时， 取得最大值 ．
19．（1）记 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，
表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．
则 互斥，且 ，故
第5页 | 共9页于是 ．
解得 （舍去）．
（2）记 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，
则 ．
若 该 批 产 品 共 100 件 ， 由 （ 1 ） 知 其 中 二 等 品 有 件 ， 故
．
20．解法一：
（1）作 交 于点 ，则 为 的中点．
连结 ，又 ，
故 为平行四边形．
S
，又 平面 平面 ．
所以 平面 ．
（2）不妨设 ，则 为等
腰直角三角形．
F
取 中点 ，连结 ，则 ．
G
又 平面 ，所以 ，而 ，
所以 面 ．
取 中点 ，连结 ，则 ． H
M
连结 ，则 ．
C
故 为二面角 的平面角 D
． A
E B
z
所以二面角 的大小为 ．
S
解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系 ．
设 ，则
F
G
，
M
C y
D
A
第6页 | 共9页 E B
x A．
取 的中点 ，则 ．
平面 平面 ，
所以 平面 ．
（2）不妨设 ，则 ．
中点
又 ， ，
所以向量 和 的夹角等于二面角 的平面角．
．
所以二面角 的大小为 ．
21．解：（1）依题设，圆 的半径 等于原点 到直线 的距离，
即 ．
得圆 的方程为 ．
（2）不妨设 ．由 即得
．
设 ，由 成等比数列，得
，
即 ．
第7页 | 共9页由于点 在圆 内，故
由此得 ．
所以 的取值范围为 ．
22．解：求函数 的导数 ．
（Ⅰ）由函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值，知 是
的两个根．
所以
当 时， 为增函数， ，由 ， 得 ．
（Ⅱ）在题设下， 等价于 即 ．
化简得 ．
此不等式组表示的区域为平面 上三条直线： ．
所围成的 的内部，其三个顶点分别为： ．
b
在这三点的值依次为 ．
B(2，2)
所以 的取值范围为 ． 2
C(4，2)
1
4 6
A ，
O 7 7 2 4 a
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