文档内容
江苏省盐城市二〇二〇年初中毕业与升学考试
数学试题
注意事项：
1．本次考试时间为120分钟，卷面总分为150分，考试形式为闭卷．
2．本试卷共6页，在检查是否有漏印、重印或错印后再开始答题．
3．所有试题必须作答在答题卡上规定的区域内，注意题号必须对应，否则不给分．
4．答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1.2020的相反数是( )
A. 2020 B. ﹣2020 C. D.
2.下列图形中，属于中心对称图形的是：( )
A. B.
C. D.
3.下列运算正确的是：( )
A. B. C. D.
4.实数 在数轴上表示的位置如图所示，则( )
A. B. C. D.
5.如图是由 个小正方体组合成的几何体，该几何体的俯视图是：( )A. B.
C. D.
6.2019年7月盐城黄海湿地中遗成功，它的面积约为 万平方米，将数据 用科学记数法表
示应为：( )
A. B. C. D.
7.把 这 个数填入 方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构
成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”(图 )，是世界上最早的“幻方”．图 是仅可以看到部分
数值的“九宫格”，则其中 的值为：( )
A. B. C. D.
8.如图，在菱形 中，对角线 相交于点 为 中点， ．则线段
的长为：( )A. B. C. D.
二、填空题(每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上)
9.如图，直线 被直线 所截， ．那么 _______________________ ．
10.一组数据 的平均数为________________________．
11.因式分解： ____．
12.分式方程 的解为 _______________________．
的
13.一个不透明 袋中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外都相同，从这个袋中任意摸出一个球为白
球的概率是______.
14.如图，在 中，点 在 上， 则 _______________________
15.如图， 且 ，则 的值为_________________．16.如图，已知点 ，直线 轴，垂足为点 其中 ，若 与
关于直线 对称，且 有两个顶点在函数 的图像上，则 的值为：
_______________________．
三、解答题 (本大题共11小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17.计算： ．
18.解不等式组： ．
19.先化简，再求值： ，其中 ．
20.如图，在 中， 的平分线 交 于点 ．求 的
长？21.如图，点 是正方形， 的中心．
(1)用直尺和圆规在正方形内部作一点 (异于点 )，使得 (保留作图痕迹，不写作法)
(2)连接 求证： ．
22.在某次疫情发生后，根据疾控部门发布的统计数据，绘制出如下统计图：图 为 地区累计确诊人数
的条形统计图，图 为 地区新增确诊人数的折线统计图．
(1)根据图 中的数据， 地区星期三累计确诊人数为 ，新增确诊人数为 ；
(2)已知 地区星期一新增确诊人数为 人，在图 中画出表示 地区新增确诊人数的折线统计图．
(3)你对这两个地区的疫情做怎样的分析，推断？
23.生活在数字时代的我们，很多场合用二维码(如图 )来表示不同的信息，类似地，可通过在矩形网格中，对每一个小方格涂加色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格，如图
，通过涂器色或不涂色可表示两个不同的信息．
(1)用树状图或列表格的方法，求图 可表示不同信息的总个数：(图中标号 表示两个不同位置的小方
格，下同)
(2)图 为 的网格图．它可表示不同信息的总个数为 ；
(3)某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用 的网格图来表示各人身份
信息，若该校师生共 人，则 的最小值为 ；
24.如图， 是 的外接圆， 是 的直径， ．(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，垂足为 交 与点；求证： 是等腰三角形．
的
25.若二次函数 图像与 轴有两个交点 ，且经过点
过点 的直线 与 轴交于点 与该函数的图像交于点 (异于点 )．满足 是等腰直角
三角形，记 的面积为 的面积为 ，且 ．
(1)抛物线的开口方向 (填“上”或“下”)；
(2)求直线 相应的函数表达式；
(3)求该二次函数的表达式．
的
26.木门常常需要雕刻美丽 图案．
(1)图①为某矩形木门示意图，其中 长为 厘米， 长为 厘米，阴影部分是边长为 厘米的
正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心点 处，在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边，所刻
图案如虚线所示，求图案的周长；(2)如图 ，对于 中 的木门，当模具换成边长为 厘米的等边三角形时，刻刀的位置仍在模具的
中心点 处，雕刻时也始终保持模具的一边紧贴本门的一边，使模具进行滑动雕刻．但当模具的一个顶点
与木门的一个顶点重合时，需将模具绕着重合点进行旋转雕刻，直到模具的另一边与木门的另一边重合．
再滑动模具进行雕刻，如此雕刻一周，请在图 中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长．
27.以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题
．
(1)在 中， ，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到，组数据
如下表：(单位：厘米)(2)根据学习函数的经验，选取上表中 和 的数据进行分析；
设 ，以 为坐标，在图 所示的坐标系中描出对应的点；
连线；
观察思考
(3)结合表中的数据以及所面的图像，猜想．当 时， 最大；
(4)进一步C猜想：若 中， ，斜边 为常数， )，则
时， 最大．
推理证明
(5)对(4)中的猜想进行证明．
问题1．在图 中完善 的描点过程，并依次连线；
问题2．补全观察思考中的两个猜想： _______ _______
问题3．证明上述 中的猜想：
问题4．图 中折线 是一个感光元件的截面设计草图，其中点 间的距离是 厘米，厘米， 平行光线从 区域射入， 线段 为
感光区城，当 的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值．江苏省盐城市二〇二〇年初中毕业与升学考试
数学试题
注意事项：
1．本次考试时间为120分钟，卷面总分为150分，考试形式为闭卷．
2．本试卷共6页，在检查是否有漏印、重印或错印后再开始答题．
3．所有试题必须作答在答题卡上规定的区域内，注意题号必须对应，否则不给分．
4．答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1.2020的相反数是( )
A. 2020 B. ﹣2020 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用相反数的定义得出答案．
【详解】解：2020的相反数是：﹣2020．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2.下列图形中，属于中心对称图形的是：( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念即图形旋转180°后与原图重合即可求解．
【详解】解：解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后
与原图重合．
3.下列运算正确的是：( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据整式的加减与幂的运算法则即可判断．
【详解】A. ，故错误；
B. ，故错误；
C. ，正确；
D. ，故错误；
故选C．
【点睛】此题主要考查整式与幂的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
4.实数 在数轴上表示的位置如图所示，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据数轴的特点即可求解．【详解】由图可得 ，
故选C．
【点睛】此题主要考查数轴的特点，解题的关键是熟知数轴的性质．
5.如图是由 个小正方体组合成的几何体，该几何体的俯视图是：( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
俯视图是指从上面往下面看得到的图形，根据此定义即可求解．
【详解】解：由题意知，该几何体从上往下看时，能看到三个并排放着的小正方体的上面，故其俯视图如
选项A所示，
故选：A．
【点睛】本题考查了几何体 的三视图，主视图是指从前面往后面看所得到的图形，俯视图是指从上面往下
面看得到的图形，左视图是指从左边往右边看得到的图形．
6.2019年7月盐城黄海湿地中遗成功，它的面积约为 万平方米，将数据 用科学记数法表
示应为：( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于1时，n是正数；当原
数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：由题意可知，将 用科学记数法表示为： ，
故选：D．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为
整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7.把 这 个数填入 方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构
成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”(图 )，是世界上最早的“幻方”．图 是仅可以看到部分
数值的“九宫格”，则其中 的值为：( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意求出“九宫格”中的y，再求出x即可求解．
【详解】如图，依题意可得2+5+8=2+7+y
解得y=6
∴8+x+6=2+5+8
解得x=1
故选A．【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到方程求解．
8.如图，在菱形 中，对角线 相交于点 为 中点， ．则线段
的长为：( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
因为菱形的对角线互相垂直且平分，从而有 ， ， ，又因为H为
BC中点，借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可作答．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形
∴ ， ，
∴△BOC是直角三角形
∴
∴BC=5
∵H为BC中点
∴故最后答案为 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，其中知道菱形的
性质，对角线互相垂直且平分是解题的关键．
二、填空题(每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上)
9.如图，直线 被直线 所截， ．那么 _______________________ ．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平行线的性质即可求解．
【详解】∵
∴
故答案为：60．
【点睛】此题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟知两直线平行，内错角相等．
10.一组数据 的平均数为________________________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平均数的定义，将这组数据分别相加，再除以这组数据的个数，即可得到这组数据的平均数．
【详解】由题意知，数据 的平均数为：
．
故答案为：2．
【点睛】本题考查平均数，按照平均数的定义进行求解即可．平均数反映一组数据的平均水平，它能代表
一组数据的集中趋势．11.因式分解： ____．
【答案】 ；
【解析】
试题分析：直接利用平方差公式分解：x2－y2＝(x＋y)(x－y)．
故答案为(x＋y)(x－y)．
12.分式方程 的解为 _______________________．
【答案】
【解析】
【分析】
方程两边同时乘 化成整式方程，进而求出 的值，最后再检验即可．
【详解】解：方程两边同时乘 得：
，
解得： ，
检验，当 时分母不为0，
故原分式方程的解为 ．
故答案为：1．
【点睛】本题考查分式方程的解法，先方程两边同时乘以最简公分母化成整式方程，然后求解，最后要记
得检验．
的
13.一个不透明 袋中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外都相同，从这个袋中任意摸出一个球为白
球的概率是______.
【答案】 .
【解析】
【分析】
根据概率的求法，找准两点：①全部的情况数；②符合条件的情况数；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：根据题意可得：不透明的袋子里共有将5个球，其中2个白球，∴任意摸出一个球为白球的概率是： ，
故答案为 .
【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结
果数．
14.如图，在 中，点 在 上， 则 _______________________
【答案】
【解析】
【分析】
画出 的圆周角 交 于点 ，构造出 的内接四边形；根据圆周角定理求出 的度
数，再根据圆内接四边形的性质，即可得出 的度数．
【详解】如图，画出 的圆周角 交 于点 ，则四边形 为 的内接四边形，
∵圆周角 的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半，
∴ ，
∵四边形 为 的内接四边形，
∴ ，∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形 的性质．圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心
角的度数的一半；圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，熟练掌握此定理及性质是解本题关键．
15.如图， 且 ，则 的值为_________________．
【答案】
【解析】
【分析】
设AB=a，根据 得到△ABC∽△ADE，得到对应线段成比例即可求出AB,再根据相似比的定义即
可求解．
【详解】∵
∴△ABC∽△ADE，
∴
设AB=a,则DE=10-a
故
解得a=2,a =8
1 2
∵
∴AB=2，
故
故答案为：2．【点睛】此题主要考查相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟知得到对应线段成比例．
16.如图，已知点 ，直线 轴，垂足为点 其中 ，若 与
关于直线 对称，且 有两个顶点在函数 的图像上，则 的值为：
_______________________．
【答案】 或
【解析】
【分析】
因为 与 关于直线l对称，且直线 轴，从而有互为对称点纵坐标相同，横坐标之和为
2m，利用等量关系计算出m的值，又由于 有两个顶点在函数 ，从而进行分情况讨论
是哪两个点在函数上，求出k的值．
【详解】解：∵ 与 关于直线l对称，直线 轴，垂足为点 ，
∴ ， ，
∵ 有两个顶点在函数
(1)设 ， 在直线 上，
代入有 ， 不符合 故不成立；(2)设 ， 在直线 上，
有 ， ， ， ，代入方程后k=-6；
(3)设 ， 在直线 上，
有 ， ， ， ，代入方程后有k=-4；
综上所述，k=-6或k=-4；
故答案为：-6或-4．
【点睛】本题考查轴对称图形的坐标关系以及反比例函数解析式，其中明确轴对称图形纵坐标相等，横坐
标之和为对称轴横坐标的2倍是解题的关键．
三、解答题 (本大题共11小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17.计算： ．
【答案】7
【解析】
【分析】
根据乘方，二次根式和零指数幂的运算法则化简，然后再计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了乘方，二次根式和零指数幂的运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18.解不等式组： ．
【答案】
【解析】
【分析】
分别求出不等式组中两不等式的解集，表示在数轴上，找出两解集的公共部分，即可得到原不等式组的解
集．【详解】解：由题意知：
解不等式 ：去分母得： ，
移项得： ，
系数化为1得： ，
解不等式 ，得 ，
在数轴上表示不等式 的解集如图：
不等式组的解集为 ．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解法，以及在数轴上表示不等式组的解集，其中不等式组的解集
取法为：同大取大，同小取小，大大小小无解，大小小大取中间．
19.先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，1
【解析】
【分析】
根据分式的加减乘除运算法则进行运算即可化简，最后将 代入求解即可．
【详解】解：原式当 时代入，
原式 ．
故答案为：1．
【点睛】本题考查分式的加减乘除运算法则及化简求值，先乘除，再加减，有括号先算括号内的，熟练掌
握运算法则及运算顺序是解决此类题的关键．
20.如图，在 中， 的平分线 交 于点 ．求 的
长？
【答案】6
【解析】
【分析】
由 求出∠A=30°，进而得出∠ABC=60°，由BD是∠ABC的平分线得出∠CBD=30°，进而求出BC
的长，最后用sin∠A即可求出AB的长．
【详解】解：在 中，
是 的平分线，又
，
在 中， ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了用三角函数解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数是解决此类
题的关键．
21.如图，点 是正方形， 的中心．
(1)用直尺和圆规在正方形内部作一点 (异于点 )，使得 (保留作图痕迹，不写作法)
(2)连接 求证： ．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)作BC的垂直平分线即可求解；
(2)根据题意证明 即可求解．
【详解】 如图所示，点 即为所求．连接
由 得：
是正方形 中心，
在 和 中，
．
【点睛】此题主要考查正方形的性质与证明，解题的关键是熟知正方形的性质、垂直平分线的作图及全等
三角形的判定与性质．
22.在某次疫情发生后，根据疾控部门发布的统计数据，绘制出如下统计图：图 为 地区累计确诊人数
的条形统计图，图 为 地区新增确诊人数的折线统计图．(1)根据图 中的数据， 地区星期三累计确诊人数为 ，新增确诊人数为 ；
(2)已知 地区星期一新增确诊人数为 人，在图 中画出表示 地区新增确诊人数的折线统计图．
(3)你对这两个地区的疫情做怎样的分析，推断？
【答案】(1)41,13；(2)见解析；(3)见解析(答案不唯一)
【解析】
【分析】
(1)根据图①的条形统计图即可求解；
(2)根据图 中的数据即可画出折线统计图；
(3)根据折线统计图，言之有理即可．
【详解】(1) 地区星期三累计确诊人数为41；新增确诊人数为41-28=13，
故答案为：41；13；
如图所示：
地区累计确诊人数可能会持续增加， 地区新增人数有减少趋势，疫情控制情况较好(答案不唯一)．
【点睛】此题主要考查统计图的应用，解题的关键是根据题意作出折线统计图．
23.生活在数字时代的我们，很多场合用二维码(如图 )来表示不同的信息，类似地，可通过在矩形网格中，对每一个小方格涂加色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格，如图
，通过涂器色或不涂色可表示两个不同的信息．
(1)用树状图或列表格的方法，求图 可表示不同信息的总个数：(图中标号 表示两个不同位置的小方
格，下同)
(2)图 为 的网格图．它可表示不同信息的总个数为 ；
(3)某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用 的网格图来表示各人身份
信息，若该校师生共 人，则 的最小值为 ；
【答案】(1)见解析；(2)16；(3)3
【解析】
【分析】
(1)根据题意画出树状图即可求解；
(2)根据题意画出树状图即可求解；
(3)根据(1)(2)得到规律即可求出n的值．【详解】 解：画树状图如图所示：
图 的网格可以表示不同信息的总数个数有 个．
(2)画树状图如图所示：
图④2×2的网格图可以表示不同信息的总数个数有16=24个，
故答案为：16．
(3)依题意可得3×3网格图表示不同信息的总数个数有29=512＞ ，故则 的最小值为3，
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查画树状图与找规律，解题的关键是根据题意画出树状图．
24.如图， 是 的外接圆， 是 的直径， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，垂足为 交 与点；求证： 是等腰三角形．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)连接 OC，由 AB 是圆 O 的直径得到∠BCA=90°，进一步得到∠A+∠B=90°，再根据已知条件
，且∠A=∠ACO即可证明∠OCD=90°进而求解；
(2)证明 ，再由DE⊥AB，得到∠A+∠AFE=90°，进而得到∠DCA=∠AFE=∠DFC，得到
DC=DF，进而得到△DFC为等腰三角形．
【详解】解：(1)证明：连接 ，为圆 的直径，
又
又 点 在圆 上，
是 的切线．
(2)又
是等腰三角形．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定等，熟练掌握性质或定
理是解决此类题的关键．
25.若二次函数 的图像与 轴有两个交点 ，且经过点
过点 的直线 与 轴交于点 与该函数的图像交于点 (异于点 )．满足 是等腰直角
三角形，记 的面积为 的面积为 ，且 ．
(1)抛物线的开口方向 (填“上”或“下”)；
(2)求直线 相应的函数表达式；
(3)求该二次函数的表达式．
【答案】(1)上；(2) ；(3)
【解析】
【分析】
(1)由抛物线经过点M、N、A点即可确定开口向上；(2)根据 是等腰直角三角形分三种情况讨论，只能是 ，此时
，由此算出C点坐标，进而求解；
(3)过B点作BH⊥x轴，由 得到 ，由OA的长求出BH的长，再将B点纵坐标代入直
线l中求出B点坐标，最后将A、B、N三点坐标代入二次函数解析式中求解即可．
【详解】解：(1)∵抛物线经过点M、N、A，且M、N点在x轴正半轴上，A点在y轴正半轴上，
∴抛物线开口向上，
故答案为：上．
(2)①若 ，
则 与 重合，直线 与二次函数图像交于 点
∵直线与该函数的图像交于点 (异于点 )
∴不合符题意，舍去；
②若 ，则 在 轴下方，
∵点 在 轴上，
∴不合符题意，舍去；
③若
则
设直线
将 代入：
，解得
直线 ．故答案为： ．
(3)过 点作 轴，垂足为 ，
， ，
又 ，
，
又 ，
，
即 点纵坐标为 ，
又(2)中直线l经过B点，
将 代入 中，得 ，
，
将 三点坐标代入 中，得
，解得 ，
抛物线解析式为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数和一次函数的交点坐标，等腰直角三角形分类讨论
的思想，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决此类题的关键．
26.木门常常需要雕刻美丽的图案．
(1)图①为某矩形木门示意图，其中 长为 厘米， 长为 厘米，阴影部分是边长为 厘米的
正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心点 处，在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边，所刻
图案如虚线所示，求图案的周长；
(2)如图 ，对于 中的木门，当模具换成边长为 厘米的等边三角形时，刻刀的位置仍在模具的
中心点 处，雕刻时也始终保持模具的一边紧贴本门的一边，使模具进行滑动雕刻．但当模具的一个顶点
与木门的一个顶点重合时，需将模具绕着重合点进行旋转雕刻，直到模具的另一边与木门的另一边重合．
再滑动模具进行雕刻，如此雕刻一周，请在图 中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长．【答案】(1) ；(2)雕刻所得图案的草图见解析，图案的周长为
【解析】
【分析】
(1)过点 作 求出PE，进而求得该图案的长和宽，利用长方形的周长公式即可解答；
(2)如图，过P作PQ⊥CD于Q，连接PG,先利用等边三角形的性质求出PQ、PG及∠PGE，当移动到点
时，求得旋转角和点P旋转的路径长，用同样的方法继续移动，即可画出图案的草图，再结合图形可求
得所得图案的周长．
【详解】 如图，过点 作 垂足为是边长为 的正方形模具的中心，
同理： 与 之间的距离为
与 之间的距离为
与 之间的距离为
．
答：图案的周长为 ．
如图，连接 过点 作 ，垂足为
是边长为 的等边三角形模具的中心，．
当三角形 向上平移至点 与点 重合时，
由题意可得： 绕点 顺时针旋转
使得 与 边重合
绕点 顺时针旋转 至
．
同理可得其余三个角均为弧长为 的圆弧，
图中的虚线即为所画的草图，
∴
．
答：雕刻所得图案的草图的周长为 ．
【点睛】本题考查了图形的平移与旋转、等边三角形的性质、解含30º角的直角三角形、图形的周长等知
识，解答的关键是熟练掌握图形平移和旋转过程中的变化特征，结合基本图形的性质进行推理、探究、发
现和计算．
27.以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题
．
(1)在 中， ，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到，组数据
如下表：(单位：厘米)(2)根据学习函数的经验，选取上表中 和 的数据进行分析；
设 ，以 为坐标，在图 所示的坐标系中描出对应的点；
连线；
观察思考
(3)结合表中的数据以及所面的图像，猜想．当 时， 最大；
(4)进一步C猜想：若 中， ，斜边 为常数， )，则
时， 最大．
推理证明
(5)对(4)中的猜想进行证明．
问题1．在图 中完善 的描点过程，并依次连线；
问题2．补全观察思考中的两个猜想： _______ _______
问题3．证明上述 中的猜想：问题4．图 中折线 是一个感光元件的截面设计草图，其中点 间的距离是 厘米，
厘米， 平行光线从 区域射入， 线段 为
感光区城，当 的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值．
【答案】问题1：见解析；问题2：2， ；问题3：见解析；问题4：当 时，感光区域长
度之和 最大
为
【解析】
【分析】
问题1：根据(1)中的表格数据，描点连线，作出图形即可；
问题2：根据(1)中的表格数据，可以得知当 2时， 最大；设 ，则
，可得 ，有 ，可得出 ；
问题3：可用两种方法证明，方法一：(判别式法)设 ，则 ，可得
，有 ，可得出 ；方法二：(基本不等式)，设
，得 ，可得 ，根据当 时，等式成立有
，可得出；
问题4：方法一：延长 交 于点 ，过点 作 于点 ，垂足为 ，过点 作
交于点 ，垂足为 ， 交 于点 ，由题可知：在 中， ，
得 ，根据 ，有 ，得 ，易证四边形
为矩形，四边形 为矩形，根据 可得
，由问题3可知，当 时， 最大，则有
时， 最大为 ；方法二：
延长 相交于点 同法一求得： ，根据四边形 为矩形，有
， ，得到 ，由问题3可
知，当 时， 最大
则可得 时 最大为 ．
【详解】问题1：图问题2： ；
问题3：
法一：(判别式法)
证明：设
在 中，
关于 的元二次方程有实根，
当 取最大值 时，当 时， 有最大值．
法二：(基本不等式)
设
在 中，
．
当 时，等式成立
．
，
当 时， 有最大值．
问题4：
法一：延长 交 于点过点 作 于点 垂足为
过点 作 交于点 垂足为
交 于点
由题可知：在 中，
即
又
，在 中，
，
即
四边形 为矩形
，
四边形 为矩形，
在 中， ．
由问题3可知，当 时， 最大
时， 最大为即当 时，感光区域长度之和 最大为
法二：
延长 相交于点
同法一求得：
设
四边形 为矩形，
．
由问题3可知，当 时， 最大时 最大为
即当 时，感光区域长度之和 最大为 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程，二次函数，不等式，解直角三角形，三角函数，矩形的性质等知识点，
熟悉相关性质是解题的关键．
