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2021年山东省滨州市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的
选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。每小题涂对得3分，满分
36分.
1．（3分）（2021•滨州）在数轴上，点 表示 ．若从点 出发，沿数轴的正方向移动
4个单位长度到达点 ，则点 表示的数是
A． B． C．2 D．4
2．（3分）（2021•滨州）在 中，若 ， ， ，则点 到直线
的距离为
A．3 B．4 C．5 D．2.4
3．（3分）（2021•滨州）下列计算中，正确的是
A． B． C． D．
4．（3 分）（2021•滨州）如图，在 中， 平分 交 于点 ．若
，则 的大小为
A． B． C． D．
5．（3分）（2021•滨州）如图所示的几何体，是由几个相同的小正方体组合而成的，其
俯视图为
第1页（共28页）A． B． C． D．
6．（3分）（2021•滨州）把不等式组 中每个不等式的解集在同一条数轴上表
示出来，正确的为
A． B．
C． D．
7．（3分）（2021•滨州）下列一元二次方程中，无实数根的是
A． B． C． D．
8．（3分）（2021•滨州）在四张反面无差别的卡片上，其正面分别印有线段、等边三角
形、平行四边形和正六边形．现将四张卡片的正面朝下放置，混合均匀后从中随机抽取两
张，则抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为
A． B． C． D．
9．（3分）（2021•滨州）如图， 是 的外接圆， 是 的直径．若 ，
弦 ，则 的值为
第2页（共28页）A． B． C． D．
10．（3分）（2021•滨州）对于二次函数 ，有以下结论：①当 时，
随 的增大而增大；②当 时， 有最小值3；③图象与 轴有两个交点；④图象是
由抛物线 向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的．其中结论正确
的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（3分）（2021•滨州）如图，在 中， ，点 为边 上一点，且
．如果函数 的图象经过点 和点 ，那么用下列坐标表示的点，在
直线 上的是
A． B． C． D．
12．（3分）（2021•滨州）在锐角 中，分别以 和 为斜边向 的外侧作
等腰 和等腰 ，点 、 、 分别为边 、 、 的中点，连接
、 、 、 ．根据题意小明同学画出草图（如图所示），并得出下列结论：①
，② ，③ ，④ ，其中结论正确的个
第3页（共28页）数为
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分.
13．（4分）（2021•滨州）若代数式 有意义，则 的取值范围为 ．
14．（4 分）（2021•滨州）如图，在 中，点 是边 上的一点．若
， ，则 的大小为 ．
15．（4分）（2021•滨州）计算： ．
16．（4分）（2021•滨州）某芭蕾舞团新进一批女演员，她们的身高及其对应人数情况如
表所示：
163 164 165 166 168
身高
人数 1 2 3 1 1
那么，这批女演员身高的方差为 ．
17．（4 分）（2021•滨州）若点 、 ， 、 都在反比例函数
为常数）的图象上，则 、 、 的大小关系为 ．
18．（4分）（2021•滨州）如图，在 中， ， ， ．若
点 是 内一点，则 的最小值为 ．
第4页（共28页）三、解答题：本大题共6个小题，满分60分.解答时请写出必要的演推过程.
19．（8分）（2021•滨州）计算： ．
20．（9分）（2021•滨州）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价
为48.6元，并且每次降价的百分率相同．
（1）求该商品每次降价的百分率；
（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件
全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于 200元，那么第一次降价至少售出多少
件后，方可进行第二次降价？
21．（9分）（2021•滨州）如图，矩形 的对角线 、 相交于点 ， ，
．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求菱形 的面积．
22．（10分）（2021•滨州）甲、乙两车沿同一条笔直的道路匀速同向行驶，车速分别为
20米 秒和25米 秒．现甲车在乙车前500米处，设 秒后两车相距 米，根据要求解答
以下问题：
（1）当 （秒 时，两车相距多少米？当 （秒 时呢？
（2）求 关于 的函数解析式，并写出自变量 的取值范围；
（3）在给出的平面直角坐标系中，请直接画出（2）中所求函数的图象．
第5页（共28页）23．（10分）（2021•滨州）如图，在 中， 为 的直径，直线 与 相切于
点 ，割线 于点 且交 于点 ，连接 ．
（1）求证： 平分 ；
（2）求证： ．
24．（14分）（2021•滨州）如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角
顶点与原点 重合，在其绕原点 旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线
相交于点 、 （点 在点 的左侧）．
（1）如图1，若点 、 的横坐标分别为 、 ，求线段 中点 的坐标；
（2）如图2，若点 的横坐标为4，求线段 中点 的坐标；
（3）如图3，若线段 中点 的坐标为 ，求 关于 的函数解析式；
（4）若线段 中点 的纵坐标为6，求线段 的长．
第6页（共28页）第7页（共28页）2021年山东省滨州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的
选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。每小题涂对得3分，满分
36分.
1．（3分）（2021•滨州）在数轴上，点 表示 ．若从点 出发，沿数轴的正方向移动
4个单位长度到达点 ，则点 表示的数是
A． B． C．2 D．4
【解答】解：由题意可得，
点 表示的数为 ，
故选： ．
2．（3分）（2021•滨州）在 中，若 ， ， ，则点 到直线
的距离为
A．3 B．4 C．5 D．2.4
【解答】解：作 于点 ，如右图所示，
， ， ，
，
，
，
解得 ，
故选： ．
3．（3分）（2021•滨州）下列计算中，正确的是
第8页（共28页）A． B． C． D．
【解答】解： ，故选项 不符合题意；
，故选项 不符合题意；
，故选项 符合题意；
，故选项 不符合题意；
故选： ．
4．（3 分）（2021•滨州）如图，在 中， 平分 交 于点 ．若
，则 的大小为
A． B． C． D．
【解答】解： 四边形 是平行四边形，
， ，
， ，
，
，
平分 ，
，
，
故选： ．
5．（3分）（2021•滨州）如图所示的几何体，是由几个相同的小正方体组合而成的，其
俯视图为
第9页（共28页）A． B． C． D．
【解答】解：由图可得，
俯视图为： ，
故选： ．
6．（3分）（2021•滨州）把不等式组 中每个不等式的解集在同一条数轴上表
示出来，正确的为
A． B．
C． D．
【解答】解： ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
故原不等式组的解集是 ，
其解集在数轴上表示如下：
第10页（共28页），
故选： ．
7．（3分）（2021•滨州）下列一元二次方程中，无实数根的是
A． B． C． D．
【解答】解：在 中，△ ，即该方程有两
个不等实数根，故选项 不符合题意；
在 中，△ ，即该方程有两个不等实数根，故选
项 不符合题意；
在 中，△ ，即该方程有两个相等实数根，故选
项 不符合题意；
在 中，△ ，即该方程无实数根，故选项 符
合题意；
故选： ．
8．（3分）（2021•滨州）在四张反面无差别的卡片上，其正面分别印有线段、等边三角
形、平行四边形和正六边形．现将四张卡片的正面朝下放置，混合均匀后从中随机抽取两
张，则抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为
A． B． C． D．
【解答】解： 线段是轴对称图形，等边三角形是轴对称图形，平行四边形不是轴对称图
形，正六边形是轴对称图形，
随机抽取两张，则抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为 ，
故选： ．
9．（3分）（2021•滨州）如图， 是 的外接圆， 是 的直径．若 ，
第11页（共28页）弦 ，则 的值为
A． B． C． D．
【解答】解：连接 ，如右图所示，
是 的直径， ，弦 ，
，
，
，
，
的值为 ，
故选： ．
10．（3分）（2021•滨州）对于二次函数 ，有以下结论：①当 时，
随 的增大而增大；②当 时， 有最小值3；③图象与 轴有两个交点；④图象是
由抛物线 向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的．其中结论正确
的个数为
第12页（共28页）A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解： 二次函数 ，
该函数的对称轴为直线 ，函数图象开口向上，
当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大，故①不符合题意；
当 时， 有最小值3，故②符合题意；
当 时，无实数根，即图象与 轴无交点，故③不符合题意；
图象是由抛物线 向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的，故④不
符合题意；
故正确的是②，正确的个数是1，
故选： ．
11．（3分）（2021•滨州）如图，在 中， ，点 为边 上一点，且
．如果函数 的图象经过点 和点 ，那么用下列坐标表示的点，在
直线 上的是
A． B． C． D．
【解答】解：作 ， ，
，
，
第13页（共28页）设 ，
，
或 （舍去），
，
，
．
，
， ，
，
，
，
，
图象经过点 ，
，
，
设 的解析式为 ，
，
解得 ，
，
当 时， ，
第14页（共28页）当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故选： ．
12．（3分）（2021•滨州）在锐角 中，分别以 和 为斜边向 的外侧作
等腰 和等腰 ，点 、 、 分别为边 、 、 的中点，连接
、 、 、 ．根据题意小明同学画出草图（如图所示），并得出下列结论：①
，② ，③ ，④ ，其中结论正确的个
数为
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解： 、 、 分别为边 、 、 的中点，且 是等腰直角三角形，
， ， ， ，
， ，故结论①正确；
连接 ， ，
、 、 分别为边 、 、 的中点，且 是等腰直角三角形，
， ， ， ，
， ， ，
第15页（共28页），
，
在 和 中 ，
，
，故结论②正确；
， ，
四边形 是平行四边形，
，
又 ，
，
，
，故结论③正确；
，
，
，
，
，故结论④错误，
正确的结论为①②③，共3个，
故选： ．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分.
13．（4分）（2021•滨州）若代数式 有意义，则 的取值范围为 ．
【解答】解： 代数式 有意义，
第16页（共28页），
，
的取值范围是 ，
故答案为： ．
14．（4 分）（2021•滨州）如图，在 中，点 是边 上的一点．若
， ，则 的大小为 ．
【解答】解： ，
，
，
，
， ，
，
故答案为： ．
15．（4分）（2021•滨州）计算： ．
【解答】解：
，
故答案为： ．
第17页（共28页）16．（4分）（2021•滨州）某芭蕾舞团新进一批女演员，她们的身高及其对应人数情况如
表所示：
163 164 165 166 168
身高
人数 1 2 3 1 1
那么，这批女演员身高的方差为 ．
【解答】解： ，
故答案为： ．
17．（4 分）（2021•滨州）若点 、 ， 、 都在反比例函数
为常数）的图象上，则 、 、 的大小关系为 ．
【解答】解： 反比例函数 为常数）， ，
该函数图象在第一、三象限，在每个象限内 随 的增大而减小，
点 、 ， 、 都在反比例函数 为常数）的图象上，
，点 、 在第三象限，点 在第一象限，
，
故答案为： ．
18．（4分）（2021•滨州）如图，在 中， ， ， ．若
点 是 内一点，则 的最小值为 ．
第18页（共28页）【解答】解：以点 为旋转中心，顺时针旋转 到△ ，旋转角是 ，连接 、
，如图所示，
则 ， ， ，
是等边三角形，
，
，
，
的最小值就是 的值，
即 的最小值就是 的值，
， ， ，
， ， ，
，
故答案为： ．
三、解答题：本大题共6个小题，满分60分.解答时请写出必要的演推过程.
19．（8分）（2021•滨州）计算： ．
第19页（共28页）【解答】解：
．
20．（9分）（2021•滨州）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价
为48.6元，并且每次降价的百分率相同．
（1）求该商品每次降价的百分率；
（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件
全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于 200元，那么第一次降价至少售出多少
件后，方可进行第二次降价？
【解答】解：（1）设该商品每次降价的百分率为 ，
，
解得 ， （舍去），
答：该商品每次降价的百分率是 ；
（2）设第一次降价售出 件，则第二次降价售出 件，
由题意可得， ，
解得 ，
为整数，
的最小值是6，
答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价．
第20页（共28页）21．（9分）（2021•滨州）如图，矩形 的对角线 、 相交于点 ， ，
．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求菱形 的面积．
【解答】（1）证明： ， ，
四边形 是平行四边形，
四边形 是矩形，
， ， ，
，
四边形 是菱形；
（2）解：作 于点 ，
四边形 是矩形， ，
， ， ，
，
，
，
菱形 的面积是： ．
22．（10分）（2021•滨州）甲、乙两车沿同一条笔直的道路匀速同向行驶，车速分别为
20米 秒和25米 秒．现甲车在乙车前500米处，设 秒后两车相距 米，根据要求解答
以下问题：
第21页（共28页）（1）当 （秒 时，两车相距多少米？当 （秒 时呢？
（2）求 关于 的函数解析式，并写出自变量 的取值范围；
（3）在给出的平面直角坐标系中，请直接画出（2）中所求函数的图象．
【解答】解：（1） （秒 ，
当 时，两车相距： （米 ，
当 时，两车相距：
（米 ，
答：当 （秒 时，两车相距250米，当 （秒 时，两车相距250米；
（2）由题意可得，乙车追上甲车用的时间为： （秒 ，
当 时， ，
当 时， ，
由上可得， 与 的函数关系式是 ；
（ 3 ） 在 函 数 中 ， 当 时 ， ， 当 时 ，
，
第22页（共28页）即函数 的图象过点 ， ；
在函数 中，当 时， ，当 时， ，
即函数 的图象过点 ， ，
画出（2）中所求函数的图象如右图所示．
23．（10分）（2021•滨州）如图，在 中， 为 的直径，直线 与 相切于
点 ，割线 于点 且交 于点 ，连接 ．
（1）求证： 平分 ；
（2）求证： ．
【解答】（1）证明：连接 ，如右图所示，
直线 与 相切于点 ， ，
，
，
，
，
，
第23页（共28页），
平分 ；
（2）证明：连接 ， ，如右图所示，
，垂足为 ， 是 的直径，
，
， ，
，
，
，
，
由（1）知， 平分 ，
，
，
．
24．（14分）（2021•滨州）如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角
顶点与原点 重合，在其绕原点 旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线
相交于点 、 （点 在点 的左侧）．
（1）如图1，若点 、 的横坐标分别为 、 ，求线段 中点 的坐标；
（2）如图2，若点 的横坐标为4，求线段 中点 的坐标；
（3）如图3，若线段 中点 的坐标为 ，求 关于 的函数解析式；
（4）若线段 中点 的纵坐标为6，求线段 的长．
第24页（共28页）【解答】解：（1） 点 、 在抛物线 上，点 、 的横坐标分别为 、 ，
当 时， ，当 时， ，
即点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ，
作 轴于点 ，作 轴于点 ，作 轴于点 ，如右图1所示，
则 ，
点 为线段 的中点，
，
由平行线分线段成比例，可得 ，
设点 的坐标为 ，
则 ，
，
同理可得， ，
点 的坐标为 ， ；
（2） 点 在抛物线 上，点 的横坐标为4，
第25页（共28页）点 的纵坐标为： ，
点 的坐标为 ，
， ，
作 轴于点 ，作 轴于点 ，如右图2所示，
， ， ，
， ， ，
，
，
，
设点 的坐标为 ，
， ，
，
解得 （舍去）， ，
点 的坐标为 ，
中点 的横坐标为： ，纵坐标为 ，
线段 中点 的坐标为 ， ；
（3）作 轴于点 ，作 轴于点 ，如右图3所示，
由（2）知， ，
，
设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
第26页（共28页），
解得， ，
点 是线段 的中点，
， ，
，
，
即 关于 的函数解析式是 ；
（4）当 时， ，
，
， 是直角三角形，点 时斜边 的中点，
，
即线段 的长是 ．
第27页（共28页）声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/9/14 18:45:00；用户：初中数学61；邮箱：ydyd61@xyh.com；学号：36810736
第28页（共28页）
