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2021年山东省烟台市中考数学试卷
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A,B,C,D
四个备选答案，其中有且只有一个是正确的
1．若x的相反数是3，则x的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣ C．3 D．±3
2．下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．a2+a3＝a5 C．（a2）3＝a6 D．a2÷a3＝a
4．一个正方体沿四条棱的中点切割掉一部分后，如图所示，则该几何体的左视图是
（ ）
A． B． C． D．
5．2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆火星，迈出了我国星际探测征程的重要一
步．已知火星与地球的近距离约为5500万公里，5500万用科学记数法表示为（ ）
A．0.55×108 B．5.5×107 C．55×106 D．5.5×103
6．一副三角板如图放置，两三角板的斜边互相平行，每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，图中∠ 的度数为（ ）
α
A．45° B．60° C．75° D．85°
7．如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为
（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点D的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（ ，2） C．（3， ） D．（2， ）
8．如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：
按键的结果为m；
按键的结果为n；
按键的结果为k．
下列判断正确的是（ ）A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k
9．已知关于x的一元二次方程x2﹣mnx+m+n＝0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，
则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
10．连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成黑色，制成如图所示的镖盘
将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点
C．下列结论：
①ac＞0；
②当x＞0时，y随x的增大而增大；
③3a+c＝0；
④a+b≥am2+bm．
其中正确的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．由12个有公共顶点 O的直角三角形拼成的图形如图所示，∠AOB＝∠BOC＝…＝
∠LOM＝30°．若OA＝16，则OG的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
13．若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
14．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A
处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直
径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为 米．
15．幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译
出来，就是一个三阶幻方．将数字1～9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则a的值为 ．
16．数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为 40米，当无人
机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为
米．
（结果精确到1米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
17．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， O是△ABC的外接圆，点A，
B，O在网格线的交点上，则sin∠ACB的值是 ⊙ ．
18．综合实践活动课上，小亮将一张面积为24cm2，其中一边BC为8cm的锐角三角形纸片
（如图1），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形BCDE（如图2），则矩
形的周长为 cm．
三、解答题（本大题共7个小题，满分66分19．（6分）先化简，再求值： ，从﹣2＜x≤2中选出合适的
x的整数值代入求值．
20．（8分）2021年是中国共产党成立100周年．为普及党史知识，培养爱国主义精神，
今年五月份，某市党校举行党史知识竞赛，每个班级各选派 15名学员参加了网上测试，
现对甲、乙两班学员的分数进行整理分析如下：
甲班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：
87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98．
乙班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：
77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89
（1）按如表分数段整理两班测试成绩
班级 70.5～ 75.5～ 80.5～ 85.5～ 90.5～ 95.5～
75.5 80.5 85.5 90.5 95.5 100.5
甲 1 2 a 5 1 2
乙 0 3 3 6 2 1
表中a＝ ；
（2）补全甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图；
（3）两班测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如表所示：
班级 平均数 众数 中位数 方差
甲 86 x 86 44.8
乙 86 88 y 36.7
表中x＝ ，y＝ ．
（4）以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是 班；
（5）本次测试两班的最高分都是98分，其中甲班2人，乙班1人．现从以上三人中随机抽取两人代表党校参加全市党史知识竞赛，利用树状图或表格求出恰好抽取甲、乙两
班各一人参加全市党史知识竞赛的概率．
21．（8分）如图，正比例函数y＝ x与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A，过点
A作AB⊥y轴于点B，OB＝4，点C在线段AB上，且AC＝OC．
（1）求k的值及线段BC的长；
（2）点P为B点上方y轴上一点，当△POC与△PAC的面积相等时，请求出点P的坐
标．
22．（9分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小
商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每
件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，
促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，
则该商品至少需打几折销售？
23．（10分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D；②作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点O；
③以点O为圆心，以OD长为半径画圆，交边AB于点M．
（2）在（1）的条件下，求证：BC是 O的切线；
（3）若AM＝4BM，AC＝10，求 O的⊙半径．
⊙
24．（11分）有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E，F
分别在边AB和AD上，连接BF，DE，M是BF的中点，连接AM交DE于点N．
【观察猜想】
（1）线段DE与AM之间的数量关系是 ，位置关系是 ；
【探究证明】
（2）将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图
2，其他条件不变，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由．
25．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴
交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线y＝mx+n经过
B，C两点．
（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；
（2）点F是抛物线对称轴上一点，当FA+FC的值最小时，求出点F的坐标及FA+FC的
最小值；
（3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是
否存在以点E为直角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
