文档内容
2021年江苏省镇江市中考数学试卷
一、填空题（本大题共12小题，每小题2分，24分）
1．（2分）（2021•镇江） 的绝对值等于 ．
2．（2分）（2021•镇江）使 有意义的 的取值范围是 ．
3．（2分）（2021•镇江）8的立方根是 ．
4．（2分）（2021•镇江）如图，花瓣图案中的正六边形 的每个内角的度数是
．
5．（2分）（2021•镇江）一元二次方程 的两根分别为 ．
6．（2分）（2021•镇江）小丽的笔试成绩为100分，面试成绩为90分，若笔试成绩、面
试成绩按 计算平均成绩，则小丽的平均成绩是 分．
7．（2分）（2021•镇江）某射手在一次训练中共射出了10发子弹，射击成绩如图所示，
则射击成绩的中位数是 环．
8．（2 分）（2021•镇江）如图，点 ， 分别在 的边 ， 上，
第1页（共36页）， ， 分别是 ， 的中点，若 ，则 ．
9．（2分）（2021•镇江）如图，点 ， ， ， 在网格中小正方形的顶点处，直线
经过点 ， ，将 沿 平移得到 ， 是 的对应点，再将这两个三角形沿
翻折， ， 分别是 ， 的对应点．已知网格中每个小正方形的边长都等于 1，则
的长为 ．
10．（2分）（2021•镇江）已知一次函数的图象经过点 ，且函数值 随自变量 的增
大而减小，写出符合条件的一次函数表达式 ．（答案不唯一，写出一个即可）
11．（2分）（2021•镇江）一只不透明的袋子中装有1个黄球，现放若干个红球，它们与
黄球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得 （摸出一红一黄） （摸出
两红），则放入的红球个数为 ．
12．（2 分）（2021•镇江）如图，等腰三角形 中， ， ，
，点 在边 上运动（可与点 ， 重合），将线段 绕点 逆时针旋
转 ，得到线段 ，连接 ，则 长的最大值为 ．
第2页（共36页）二、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，恰有一
项是符合题目要求的）
13．（3分）（2021•镇江）如图所示，该几何体的俯视图是
A．正方形 B．长方形 C．三角形 D．圆
14．（3分）（2021•镇江）2021年 月份，全国规模以上工业企业利润总额超25900亿
元，其中25900用科学记数法表示为
A． B． C． D．
15．（3分）（2021•镇江）如图， ，点 在边 上， 与边 相切于点
，交边 于点 ， ，连接 ，则 等于
第3页（共36页）A． B． C． D．
16．（3分）（2021•镇江）如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的
运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），输出的结果为
A．1840 B．1921 C．1949 D．2021
17．（3分）（2021•镇江）设圆锥的底面圆半径为 ，圆锥的母线长为 ，满足 ，
这样的圆锥的侧面积
A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值
18．（3分）（2021•镇江）如图，小明在 的方格纸上写了九个式子（其中的 是正整
数），每行的三个式子的和自上而下分别记为 ， ， ，每列的三个式子的和自左至
第4页（共36页）右分别记为 ， ， ，其中，值可以等于789的是
A． B． C． D．
三、解答题（本大题共10小题，共78分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（2021•镇江）（1）计算： ；
（2）化简： ．
20．（10分）（2021•镇江）（1）解方程： ；
（2）解不等式组： ．
21．（6分）（2021•镇江）甲、乙、丙三人各自随机选择到 ， 两个献血站进行爱心献
血．求这三人在同一个献血站献血的概率．
22．（6分）（2021•镇江）如图，四边形 是平行四边形，延长 ， ，使得
，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）连接 ， ， ，当 时，四边形 是菱形．
23．（6分）（2021•镇江）《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中
第5页（共36页）记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈
一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出 400钱，会剩余
3400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题．
24．（6分）（2021•镇江）如表是第四至七次全国人口普查的相关数据．
年份 我国大陆人口总数 其中具有大学文化程 每10万大陆人口中
度的人数 具有大学文化程度的
人数
1990年 1133682501 16124678 1422
2000年 1265830000 45710000 3611
2010年 1339724852 119636790 8930
2020年 1411778724 218360767 15467
（1）设下一次人口普查我国大陆人口共 人，其中具有大学文化程度的有 人，则该次人
口普查中每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数为 ；（用含有 ， 的代数式
表示）
（2）如果将2020年大陆人口中具有各类文化程度（含大学、高中、初中、小学、其他）
的人数分布制作成扇形统计图，求其中表示具有大学文化程度类别的扇形圆心角的度数；
（精确到
（3）你认为统计“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”这样的数据有什么好处？
（写出一个即可）
25．（6分）（2021•镇江）如图，点 和点 是反比例函数 图象上的两
点，点 在反比例函数 的图象上，分别过点 ， 作 轴的垂线，垂足分别
为点 ， ， ，连接 交 轴于点 ．
（1） ；
（2）设点 的横坐标为 ，点 的纵坐标为 ，求证： ；
（3）连接 ， ，当 时，直接写出点 的坐标： ．
第6页（共36页）26．（8分）（2021•镇江）如图1，正方形 的边长为4，点 在边 上， 经
过 ， ， 三点．
（1）若 ，判断边 所在直线与 的位置关系，并说明理由；
（2）如图 2， 是 的中点， 交射线 于点 ，当 平分 时，求
的值．
27．（11分）（2021•镇江）将一张三角形纸片 放置在如图所示的平面直角坐标系中，
点 ，点 ，点 ，二次函数 的图象经过点 ， ，
该抛物线的对称轴经过点 ，顶点为 ．
（1）求该二次函数的表达式及点 的坐标；
（2）点 在边 上（异于点 ， ，将三角形纸片 折叠，使得点 落在直线
上，且点 落在边 上，点 的对应点记为点 ，折痕所在直线 交抛物线的对称轴于
第7页（共36页）点 ，然后将纸片展开．
①请作出图中点 的对应点 和折痕所在直线 ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作
图痕迹）
②连接 ， ，在下列选项中： ．折痕与 垂直， ．折痕与 的交点可以落在
抛物线的对称轴上， ， ，所有正确选项的序号是 ．
③点 在二次函数 的图象上，当 时，求点 的坐标．
28．（11分）（2021•镇江）如图1， ， ， ，
为铅直方向的边， ， ， 为水平方向的边，点 在 ， 之间，且在 ，
之间，我们称这样的图形为“ 图形”，记作“ 图形 ”．若直线将 图
形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线为该 图形的面积平分线．
【活动】
小华同学给出了图 1的面积平分线的一个作图方案：如图 2，将这个 图形分成矩形
、矩形 ，这两个矩形的对称中心 ， 所在直线是该 图形的面积平分线．
请用无刻度的直尺在图1中作出其他的面积平分线．（作出一种即可，不写作法，保留作
图痕迹）
【思考】
第8页（共36页）如图3，直线 是小华作的面积平分线，它与边 ， 分别交于点 ， ，过
的中点 的直线分别交边 ， 于点 ， ，直线 （填“是”或“不是”
图形 的面积平分线．
【应用】
在 图形 形中，已知 ， ．
（1）如图4， ．
①该 图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点 ， ，求 长的最大值；
②该 图形的面积平分线与边 ， 分别相交于点 ， ，当 的长取最小值时，
的长为 ．
（2）设 ，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，如果只有与边
， 相交的面积平分线，直接写出 的取值范围 ．
第9页（共36页）2021年江苏省镇江市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共12小题，每小题2分，24分）
1．（2分）（2021•镇江） 的绝对值等于 5 ．
【解答】解： 的绝对值 ．
故答案是：5．
2．（2分）（2021•镇江）使 有意义的 的取值范围是 ．
【解答】解：使 有意义，则 ，
解得： ．
故答案为： ．
3．（2分）（2021•镇江）8的立方根是 2 ．
【解答】解： ，
的立方根为2，
故答案为：2．
4．（2分）（2021•镇江）如图，花瓣图案中的正六边形 的每个内角的度数是
．
【解答】解：设这个正六边形的每一个内角的度数为 ，
则 ，
解得 ．
第10页（共36页）故答案为： ．
5．（2分）（2021•镇江）一元二次方程 的两根分别为 ， ．
【解答】解：方程 ，
可得 或 ，
解得： ， ．
故答案为： ， ．
6．（2分）（2021•镇江）小丽的笔试成绩为100分，面试成绩为90分，若笔试成绩、面
试成绩按 计算平均成绩，则小丽的平均成绩是 9 6 分．
【解答】解：小丽的平均成绩是 （分 ，
故答案为：96．
7．（2分）（2021•镇江）某射手在一次训练中共射出了10发子弹，射击成绩如图所示，
则射击成绩的中位数是 9 环．
【解答】解：由统计图可得，
中间的两个数据是9，9，故射击成绩的中位数是 （环 ，
故答案为：9．
8．（2 分）（2021•镇江）如图，点 ， 分别在 的边 ， 上，
， ， 分别是 ， 的中点，若 ，则 ．
第11页（共36页）【解答】解： ， 分别是 ， 的中点，
、 分别为 、 的中线，
，
，
，
故答案为： ．
9．（2分）（2021•镇江）如图，点 ， ， ， 在网格中小正方形的顶点处，直线
经过点 ， ，将 沿 平移得到 ， 是 的对应点，再将这两个三角形沿
翻折， ， 分别是 ， 的对应点．已知网格中每个小正方形的边长都等于 1，则
的长为 ．
【解答】解：连接 ， ，
第12页（共36页）由图形变换可知： ，
由勾股定理得： ，
．
故答案为： ．
10．（2分）（2021•镇江）已知一次函数的图象经过点 ，且函数值 随自变量 的增
大而减小，写出符合条件的一次函数表达式 ．（答案不唯一，写出一个即
可）
【解答】解：设一次函数表达式为 ．
函数值 随自变量 的增大而减小，
，取 ．
又 一次函数的图象经过点 ，
，
，
一次函数表达式为 ．
故答案为： ．
11．（2分）（2021•镇江）一只不透明的袋子中装有1个黄球，现放若干个红球，它们与
黄球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得 （摸出一红一黄） （摸出
第13页（共36页）两红），则放入的红球个数为 3 ．
【解答】解：假设袋中红球个数为1，
此时袋中有1个黄球、1个红球，
搅匀后从中任意摸出两个球， ， ，不符合题意．
假设袋中的红球个数为2，
列树状图如下：
由图可知，共有6种情况，其中两次摸到红球的情况有2种，摸出一红一黄的有4种结果，
（摸出一红一黄） ， （摸出两红） ，不符合题意，
假设袋中的红球个数为3，
画树状图如下：
由图可知，共有12种情况，其中两次摸到红球的情况有6种，摸出一红一黄的有6种结果，
（摸出一红一黄） （摸出两红） ，符合题意，
所以放入的红球个数为3，
故答案为：3．
12．（2 分）（2021•镇江）如图，等腰三角形 中， ， ，
，点 在边 上运动（可与点 ， 重合），将线段 绕点 逆时针旋
转 ，得到线段 ，连接 ，则 长的最大值为 ．
第14页（共36页）【解答】解： 将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，
，
是等腰三角形，
，
过点 作 于点 ，
，
，
，
，
当 最大时， 取最大值，即点 与点 重合时， 最大，
过点 作 于点 ，
， ，
，
第15页（共36页），
，
，
最大值为： ．
故答案为： ．
二、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，恰有一
项是符合题目要求的）
13．（3分）（2021•镇江）如图所示，该几何体的俯视图是
A．正方形 B．长方形 C．三角形 D．圆
【解答】解：从上面看该几何体，所看到的图形是三角形．
故选： ．
14．（3分）（2021•镇江）2021年 月份，全国规模以上工业企业利润总额超25900亿
元，其中25900用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
故选： ．
15．（3分）（2021•镇江）如图， ，点 在边 上， 与边 相切于点
，交边 于点 ， ，连接 ，则 等于
第16页（共36页）A． B． C． D．
【解答】解：连接 ，
与边 相切于点 ，
，
，
，
，
故选： ．
16．（3分）（2021•镇江）如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的
运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），输出的结果为
第17页（共36页）A．1840 B．1921 C．1949 D．2021
【解答】解：把1921代入得： ，
把 代入得： ，
则输出结果为 ．
故选： ．
17．（3分）（2021•镇江）设圆锥的底面圆半径为 ，圆锥的母线长为 ，满足 ，
这样的圆锥的侧面积
A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值
【解答】解： ，
，
圆锥的侧面积 ，
当 时， 有最大值 ．
故选： ．
18．（3分）（2021•镇江）如图，小明在 的方格纸上写了九个式子（其中的 是正整
第18页（共36页）数），每行的三个式子的和自上而下分别记为 ， ， ，每列的三个式子的和自左至
右分别记为 ， ， ，其中，值可以等于789的是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得： ，
整理得： ，
则 不是整数，故 的值不可以等于789；
，
整理得： ，
则 不是整数，故 的值不可以等于789；
，
整理得： ，
则 是整数，故 的值可以等于789；
，
第19页（共36页）整理得： ，
则 不是整数，故 的值不可以等于789；
故选： ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（2021•镇江）（1）计算： ；
（2）化简： ．
【解答】解：（1）原式 ．
（2）原式
．
20．（10分）（2021•镇江）（1）解方程： ；
（2）解不等式组： ．
【解答】解：（1）去分母得： ，
去括号得： ，
解得： ，
检验：把 代入得： ，
分式方程的解为 ；
（2） ，
第20页（共36页）由①得： ，
由②得： ，
则不等式组的解集为 ．
21．（6分）（2021•镇江）甲、乙、丙三人各自随机选择到 ， 两个献血站进行爱心献
血．求这三人在同一个献血站献血的概率．
【解答】解：画树状图得：
共8种等可能情况，其中这三人在同一个献血站献血的有2种结果，
所以这三人在同一个献血站献血的概率为 ．
22．（6分）（2021•镇江）如图，四边形 是平行四边形，延长 ， ，使得
，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）连接 ， ， ，当 1 0 时，四边形 是菱形．
【解答】证明：（1） 四边形 是平行四边形，
， ，
，
在 和 中，
，
第21页（共36页）；
（2）当 时，四边形 是菱形，
理由如下： ，
， ，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
，
平行四边形 是菱形，
故答案为10．
23．（6分）（2021•镇江）《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中
记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈
一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出 400钱，会剩余
3400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题．
【解答】解：（方法一）设共 人合伙买金，金价为 钱，
依题意得： ，
解得： ．
答：共33人合伙买金，金价为9800钱．
（方法二）设共 人合伙买金，
依题意得： ，
解得： ，
．
答：共33人合伙买金，金价为9800钱．
24．（6分）（2021•镇江）如表是第四至七次全国人口普查的相关数据．
年份 我国大陆人口总数 其中具有大学文化程 每10万大陆人口中
第22页（共36页）度的人数 具有大学文化程度的
人数
1990年 1133682501 16124678 1422
2000年 1265830000 45710000 3611
2010年 1339724852 119636790 8930
2020年 1411778724 218360767 15467
（1）设下一次人口普查我国大陆人口共 人，其中具有大学文化程度的有 人，则该次人
口普查中每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数为 ；（用含有 ， 的
代数式表示）
（2）如果将2020年大陆人口中具有各类文化程度（含大学、高中、初中、小学、其他）
的人数分布制作成扇形统计图，求其中表示具有大学文化程度类别的扇形圆心角的度数；
（精确到
（3）你认为统计“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”这样的数据有什么好处？
（写出一个即可）
【解答】解：由题意得，
下一次人口普查中每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数为 ，
故答案为： ；
（2） ，
答：表示具有大学文化程度类别的扇形圆心角的度数大约为 ；
（3）比较直观的反应出“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的大小，说明国
民素质和文化水平的情况．
25．（6分）（2021•镇江）如图，点 和点 是反比例函数 图象上的两
点，点 在反比例函数 的图象上，分别过点 ， 作 轴的垂线，垂足分别
为点 ， ， ，连接 交 轴于点 ．
（1） 2 ；
第23页（共36页）（2）设点 的横坐标为 ，点 的纵坐标为 ，求证： ；
（3）连接 ， ，当 时，直接写出点 的坐标： ．
【解答】解：（1） 点 是反比例函数 图象上的点，
，
解得 ，
故答案为：2；
（2）在 和 中，
，
，
，
点 坐标为 ，则可得 ，
， ，
即 ，
整理得 ；
第24页（共36页）（3）设 点坐标为 ，
则 ， ，
， ，
，
即 ，
解得 （舍去）或 ，
点的坐标为 ， ．
26．（8分）（2021•镇江）如图1，正方形 的边长为4，点 在边 上， 经
过 ， ， 三点．
（1）若 ，判断边 所在直线与 的位置关系，并说明理由；
（2）如图 2， 是 的中点， 交射线 于点 ，当 平分 时，求
的值．
【解答】解：（1）如图 中，连接 ，过点 作 于 ，交 于 ．
第25页（共36页）四边形 是正方形，
， ，
是直径，
，
，
，
， ，
，
，
四边形 是矩形，
， ，
，
，
直线 与 相切．
（2）如图2中，延长 交 的延长线于 ，连接 ．
第26页（共36页）， ， ，
，
，
，
，
，
是直径，
，
平分 ， ， ，
，
设 ，
，
，
，
第27页（共36页）．
27．（11分）（2021•镇江）将一张三角形纸片 放置在如图所示的平面直角坐标系中，
点 ，点 ，点 ，二次函数 的图象经过点 ， ，
该抛物线的对称轴经过点 ，顶点为 ．
（1）求该二次函数的表达式及点 的坐标；
（2）点 在边 上（异于点 ， ，将三角形纸片 折叠，使得点 落在直线
上，且点 落在边 上，点 的对应点记为点 ，折痕所在直线 交抛物线的对称轴于
点 ，然后将纸片展开．
①请作出图中点 的对应点 和折痕所在直线 ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作
图痕迹）
②连接 ， ，在下列选项中： ．折痕与 垂直， ．折痕与 的交点可以落在
抛物线的对称轴上， ， ，所有正确选项的序号是 ， ．
③点 在二次函数 的图象上，当 时，求点 的坐标．
【解答】解（1）由题意得： ，
解之得： ， ， ，
第28页（共36页），
当 时， ，
．
（2）①如图1中，点 ，直线 即为所求．
②如图2中，设线段 的垂直平分线交抛物线对称轴于 ，交 于点 ，过点 作
，过点 作 于 ， 于 ．
由题意 ， ， ，
直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，直线 的解析式为
第29页（共36页），
，
可以假设直线 的解析式为 ，
由 ，解得 ，
， ，
由 ．解得 ，
， ，
， ，
， ，
， ，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
第30页（共36页），
是等腰直角三角形，
，故选项 正确， ， 错误，
将三角形纸片 折叠，使得点 落在直线 上，且点 落在边 上，
折痕与 垂直，故选项 正确，
故答案为： ， ．
③设 ．
， 是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
， ，
， ，即 ， ，
把 的坐标代入 ，得到， ，
整理得， ，
解得 或 （舍弃），
，
第31页（共36页）根据对称性可知 也满足条件，
综上所述，满足条件的点 的坐标为 或 ．
28．（11分）（2021•镇江）如图1， ， ， ，
为铅直方向的边， ， ， 为水平方向的边，点 在 ， 之间，且在 ，
之间，我们称这样的图形为“ 图形”，记作“ 图形 ”．若直线将 图
形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线为该 图形的面积平分线．
【活动】
小华同学给出了图 1的面积平分线的一个作图方案：如图 2，将这个 图形分成矩形
、矩形 ，这两个矩形的对称中心 ， 所在直线是该 图形的面积平分线．
请用无刻度的直尺在图1中作出其他的面积平分线．（作出一种即可，不写作法，保留作
图痕迹）
【思考】
如图3，直线 是小华作的面积平分线，它与边 ， 分别交于点 ， ，过
的中点 的直线分别交边 ， 于点 ， ，直线 是 （填“是”或“不是”
图形 的面积平分线．
第32页（共36页）【应用】
在 图形 形中，已知 ， ．
（1）如图4， ．
①该 图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点 ， ，求 长的最大值；
②该 图形的面积平分线与边 ， 分别相交于点 ， ，当 的长取最小值时，
的长为 ．
（2）设 ，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，如果只有与边
， 相交的面积平分线，直接写出 的取值范围 ．
【解答】解：【活动】如图1，直线 是该 图形的面积平分线；
【思考】如图2， ，
，
第33页（共36页），
点 是 的中点，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
即 ，
，
即 ，
直线 是 图形 的面积平分线．
故答案为：是；
【应用】
（1）①如图3，当 与 重合时， 最大，过点 作 于 ，
第34页（共36页）图形 的面积 ，
是 图形 的面积平分线，
梯形 的面积 ，
即 ，
，
，
，
由勾股定理得： ；
即 长的最大值是 ；
②如图4，当 时 最短，过点 作 于 ，
第35页（共36页）设 ，则 ，
根据上下两部分面积相等可知， ，
解得 ，即 ；
故答案为： ；
（2） ，
，
在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边 ， 相交的面积平分线，
如图5，直线 将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，在所有的与
铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边 ， 相交的面积平分线，
即 ，
，
，
，
．
故答案为： ．
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日期：2021/9/13 17:17:17；用户：初中数学61；邮箱：ydyd61@xyh.com；学号：36810736
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