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2021年浙江省嘉兴市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分，请选出各题中唯一的正确选项，不选、
多选错选，均不得分）
1．2021年5月22日，我国自主研发的“祝融号”火星车成功到达火星表面．已知火星与
地球的最近距离约为55000000千米，数据55000000用科学记数法表示为（ ）
A．55×106 B．5.5×107 C．5.5×108 D．0.55×108
2．如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
3．能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（ ）
A．x＝ ﹣1 B．x＝ +1 C．x＝3 D．x＝ ﹣
4．已知三个点（x ，y ），（x ，y ），（x ，y ）在反比例函数y＝ 的图象上，其中x
1 1 2 2 3 3 1
＜x ＜0＜x ，下列结论中正确的是（ ）
2 3
A．y ＜y ＜0＜y B．y ＜y ＜0＜y C．y ＜0＜y ＜y D．y ＜0＜y ＜y
2 1 3 1 2 3 3 2 1 3 1 2
5．将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，
则阴影部分展开铺平后的图形是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形
6．5月1日至7日，我市每日最高气温如图所示，则下列说法错误的是（ ）A．中位数是33℃
B．众数是33℃
C．平均数是 ℃
D．4日至5日最高气温下降幅度较大
7．已知平面内有 O和点A，B，若 O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线
AB与 O的位置⊙关系为（ ） ⊙
A．相⊙离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
8．为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，
其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是
荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为x元，根据题意可列方程为（ ）
A． ﹣ ＝20 B． ﹣ ＝20
C． ﹣ ＝20 D． ﹣ ＝20
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，点D在AC上，且AD＝2，点E是AB
上的动点，连结DE，点F，G分别是BC和DE的中点，连结AG，FG，当AG＝FG时，
线段DE长为（ ）A． B． C． D．4
10．已知点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，且2a﹣5b≤0，则下列不等式一定成立的是
（ ）
A． ≤ B． ≥ C． ≥ D． ≤
二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11．（4 分）已知二元一次方程 x+3y＝14，请写出该方程的一组整数解
．
12．（4分）如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐
标是 ．
13．（4分）观察下列等式：1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…按此规律，则第n个等
式为2n﹣1＝ ．
14．（4分）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点
H，若AB＝2，BC＝2▱ ，则AH的长为 ．
15．（4分）看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三
个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已
知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的
概率为 ．
马匹 下等马 中等马 上等马
姓名
齐王 6 8 10田忌 5 7 9
16．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P从点A出发沿
AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A′，连
结 A′C，A′P．在运动过程中，点 A′到直线 AB 距离的最大值是
；点P到达点B时，线段A′P扫过的面积为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题
每题10分，第24题12分，共66分）
17．（6分）（1）计算：2﹣1+ ﹣sin30°；
（2）化简并求值：1﹣ ，其中a＝﹣ ．
18．（6分）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
小敏： 小霞：
两边同除以（x﹣3），得 移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
3＝x﹣3， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x＝6． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x ＝3，x ＝0．
1 2
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并
写出你的解答过程．
19．（6分）如图，在7×7的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B在格点上，
每一个小正方形的边长为1．
（1）以AB为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．
（2）计算你所画菱形的面积．20．（8分）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米
~80米为“中途期”，80米~100米为“冲刺期”．市田径队把运动员小斌某次百米跑训
练时速度y（m/s）与路程x（m）之间的观测数据，绘制成曲线如图所示．
（1）y是关于x的函数吗？为什么？
（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？
（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．
21．（8分）某市为了解八年级学生视力健康状况，在全市随机抽查了400名八年级学生
2021年初的视力数据，并调取该批学生2020年初的视力数据，制成如图统计图（不完
整）：
青少年视力健康标准
类别 视力 健康状况
A 视力≥5.0 视力正常
B 4.9 轻度视力不
良
C 4.6≤视力 中度视力不≤4.8 良
D 视力≤4.5 重度视力不
良
根据以上信息，请解答：
（1）分别求出被抽查的400名学生2021年初轻度视力不良（类别B）的扇形圆心角度
数和2020年初视力正常（类别A）的人数．
（2）若2021年初该市有八年级学生2万人，请估计这些学生2021年初视力正常的人数
比2020年初增加了多少人？
（3）国家卫健委要求，全国初中生视力不良率控制在69%以内．请估计该市八年级学
生2021年初视力不良率是否符合要求？并说明理由．
22．（10分）一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和
EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm．当按压柄
△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此时BD′∥EF（如图3）．
（1）求点D转动到点D′的路径长；
（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，
tan72°≈3.08）
23．（10分）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值．
24．（12分）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩
形ABCD绕点A顺时针旋转 （0°＜ ≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．
α α[探究1]如图1，当 ＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．
[探究2]如图2，连结α AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM
相等吗？请说明理由．
[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线
段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．2021年浙江省嘉兴市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分，请选出各题中唯一的正确选项，不选、
多选错选，均不得分）
1．2021年5月22日，我国自主研发的“祝融号”火星车成功到达火星表面．已知火星与
地球的最近距离约为55000000千米，数据55000000用科学记数法表示为（ ）
A．55×106 B．5.5×107 C．5.5×108 D．0.55×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝
对值≥10时，n是正数．
【解答】解：55000000＝5.5×107．
故选：B．
2．如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从上面看，底层右边是一个小正方形，上层是两个小正方形，右齐．
故选：C．
3．能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（ ）
A．x＝ ﹣1 B．x＝ +1 C．x＝3 D．x＝ ﹣
【分析】根据题意，只要x2是有理数，即求出各个选项中x2的值，再判断即可．
【解答】解：（ ﹣1）2＝3﹣2 ，是无理数，不符合题意；
（ +1）2＝3+2 ，是无理数，不符合题意；
（3 ）2＝18，是有理数，符合题意；
（ ﹣ ）2＝5﹣2 ，是无理数，不符合题意；故选：C．
4．已知三个点（x ，y ），（x ，y ），（x ，y ）在反比例函数y＝ 的图象上，其中x
1 1 2 2 3 3 1
＜x ＜0＜x ，下列结论中正确的是（ ）
2 3
A．y ＜y ＜0＜y B．y ＜y ＜0＜y C．y ＜0＜y ＜y D．y ＜0＜y ＜y
2 1 3 1 2 3 3 2 1 3 1 2
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x ＜x ＜0＜x
1 2 3
即可得出结论
【解答】解：∵反比例函数y＝ 中，k＝2＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．
∵x ＜x ＜0＜x ，
1 2 3
∴A、B两点在第三象限，C点在第一象限，
∴y ＜y ＜0＜y ．
2 1 3
故选：A．
5．将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，
则阴影部分展开铺平后的图形是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形
【分析】对折是轴对称得到的图形，根据最后得到的图形可得是沿对角线折叠2次后，
剪去一个三角形得到的，按原图返回即可．
【解答】解：如图，由题意可知，剪下的图形是四边形BACD，
由折叠可知CA＝AB，
∴△ABC是等腰三角形，
又△ABC和△BCD关于直线CD对称，∴四边形BACD是菱形，
故选：D．
6．5月1日至7日，我市每日最高气温如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．中位数是33℃
B．众数是33℃
C．平均数是 ℃
D．4日至5日最高气温下降幅度较大
【分析】分别确定7个数据的中位数、众数及平均数后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、7个数排序后为23，25，26，27，30，33，33，位于中间位置的数为
27，所以中位数为27℃，故A错误，符合题意；
B、7个数据中出现次数最多的为33，所以众数为33℃，正确，不符合题意；
C、平均数为 （23+25+26+27+30+33+33）＝ ，正确，不符合题意；
D、观察统计表知：4日至5日最高气温下降幅度较大，正确，不符合题意，
故选：A．
7．已知平面内有 O和点A，B，若 O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线
AB与 O的位置⊙关系为（ ） ⊙
A．相⊙离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解： O的半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，
即点A到圆心⊙O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在 O外，点B在 O上，
∴直线AB⊙与 O的位置关⊙系为相交或相切，
⊙故选：D．
8．为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，
其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是
荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为x元，根据题意可列方程为（ ）
A． ﹣ ＝20 B． ﹣ ＝20
C． ﹣ ＝20 D． ﹣ ＝20
【分析】若设荧光棒的单价为x元，则缤纷棒单价是1.5x元，根据等量关系“缤纷棒比
荧光棒少20根”可列方程即可．
【解答】解：若设荧光棒的单价为x元，则缤纷棒单价是1.5x元，
根据题意可得： ﹣ ＝20．
故选：B．
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，点D在AC上，且AD＝2，点E是AB
上的动点，连结DE，点F，G分别是BC和DE的中点，连结AG，FG，当AG＝FG时，
线段DE长为（ ）
A． B． C． D．4
【分析】分别过点G，F作AB的垂线，垂足为M，N，过点G作GP⊥FN于点P，由中
位线定理及勾股定理可分别表示出线段AG和FG的长，建立等式可求出结论．
【解答】解：如图，分别过点G，F作AB的垂线，垂足为M，N，过点G作GP⊥FN于
点P，∴四边形GMNP是矩形，
∴GM＝PN，GP＝MN，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，
∴CA⊥AB，
又∵点G和点F分别是线段DE和BC的中点，
∴GM和FN分别是△ADE和△ABC的中位线，
∴GM＝ ＝1，AM＝ AE，
FN＝ AC＝ ，AN＝ AB＝ ，
∴MN＝AN﹣AM＝ ﹣ AE，
∴PN＝1，FP＝ ，
设AE＝m，
∴AM＝ m，GP＝MN＝ ﹣ m，
在Rt△AGM中，AG2＝（ m）2+12，
在Rt△GPF中，GF2＝（ ﹣ m）2+（ ）2，
∵AG＝GF，
∴（ m）2+12＝（ ﹣ m）2+（ ）2，
解得m＝3，即DE＝3，
在Rt△ADE中，DE＝ ＝ ．
故选：A．10．已知点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，且2a﹣5b≤0，则下列不等式一定成立的是
（ ）
A． ≤ B． ≥ C． ≥ D． ≤
【分析】结合选项可知，只需要判断出a和b的正负即可，点P（a，b）在直线y＝﹣3x
﹣4上，代入可得关于a和b的等式，再代入不等式2a﹣5b≤0中，可判断出a与b正负，
即可得出结论．
【解答】解：∵点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，
∴﹣3a﹣4＝b，
又2a﹣5b≤0，
∴2a﹣5（﹣3a﹣4）≤0，
解得a≤﹣ ＜0，
当a＝﹣ 时，得b＝﹣ ，
∴b≥﹣ ，
∵2a﹣5b≤0，
∴2a≤5b，
∴ ≤ ．
故选：D．
二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）已知二元一次方程x+3y＝14，请写出该方程的一组整数解 （答案不
唯一） ．
【分析】把y看做已知数求出x，确定出整数解即可．
【解答】解：x+3y＝14，
x＝14﹣3y，
当y＝1时，y＝11，
则方程的一组整数解为 ．
故答案为： （答案不唯一）．12．（4分）如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐
标是 （ 4 ， 2 ） ．
【分析】根据图示，对应点的连线都经过同一点，该点就是位似中心．
【解答】解：如图，
点G（4，2）即为所求的位似中心．
故答案是：（4，2）．
13．（4分）观察下列等式：1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…按此规律，则第n个等
式为2n﹣1＝ n 2 ﹣（ n ﹣ 1 ） 2 ．
【分析】根据题目中的式子可以发现：等号左边是一些连续的奇数，等号右边第一个数
是和左边是第几个奇数一样，第二个数比第一个数少1，然后即可写出第n个等式．
【解答】解：∵1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…，
∴第n个等式为2n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2，
故答案为：n2﹣（n﹣1）2．
14．（4分）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点
▱
H，若AB＝2，BC＝2 ，则AH的长为 ．【分析】在Rt△ABC和Rt△OAB中，分别利用勾股定理可求出 BC和OB的长，又
AH⊥OB，可利用等面积法求出AH的长．
【解答】解：如图，
∵AB⊥AC，AB＝2，BC＝2 ，
∴AC＝ ＝2 ，
在 ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
∴▱OA＝OC＝ ，
在Rt△OAB中，
OB＝ ＝ ，
又AH⊥BD，
∴ OB•AH＝ OA•AB，即 ＝ ，
解得AH＝ ．
故答案为： ．
15．（4分）看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三
个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已
知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的
概率为 ．
马匹 下等马 中等马 上等马
姓名
齐王 6 8 10
田忌 5 7 9
【分析】列表得出所有等可能的情况，田忌能赢得比赛的情况有1种，再由概率公式求
解即可．【解答】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的三匹马出场
顺序为10，8，6时，田忌的马按5，9，7的顺序出场，田忌才能赢得比赛，
当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下：
双方马的对阵中，只有一种对阵情况田忌能赢，
∴田忌能赢得比赛的概率为 ．
16．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P从点A出发沿
AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A′，连
结A′C，A′P．在运动过程中，点A′到直线AB距离的最大值是 ；点P到
达点B时，线段A′P扫过的面积为 ．
【分析】如图1中，过点B作BH⊥AC于H．解直角三角形求出CA,当CA′⊥AB时，
点A′到直线AB的距离最大，求出CA′,CK．可得结论．如图2中，点P到达点B时，
线段A′P扫过的面积＝S扇形A′CA ﹣2S△ABC ，由此求解即可．
【解答】解：如图1中，过点B作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，BH＝AB•sin30°＝1,AH＝ BH＝ ,
在Rt△BCH中，∠BCH＝45°,
∴CH＝BH＝1,
∴AC＝CA′＝1+ ,
当CA′⊥AB时，点A′到直线AB的距离最大，
设CA′交AB的延长线于K．
在Rt△ACK中，CK＝AC•sin30°＝ ,
∴A′K＝CA′﹣CK＝1+ ﹣ ＝ ．
如图 2 中，点 P 到达点 B 时，线段 A′P 扫过的面积＝S 扇形 A′CA ﹣2S△ABC ＝
﹣2× ×(1+ )×1＝(1+ ) ﹣1﹣ ．
π故答案为： ，(1+ ) ﹣1﹣ ．
π
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题
每题10分，第24题12分，共66分）
17．（6分）（1）计算：2﹣1+ ﹣sin30°；
（2）化简并求值：1﹣ ，其中a＝﹣ ．
【分析】（1）根据负整数指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值可以解答本题；
（2）先通分，然后根据分式的减法法则即可化简题目中的式子，然后将 a的值代入化
简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）2﹣1+ ﹣sin30°
＝ +2 ﹣
＝2 ；
（2）1﹣
＝
＝
＝ ，当a＝﹣ 时，原式＝ ＝2．
18．（6分）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
小敏： 小霞：
两边同除以（x﹣3），得 移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
3＝x﹣3， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x＝6． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x ＝3，x ＝0．
1 2
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并
写出你的解答过程．
【分析】小敏：没有考虑x﹣3＝0的情况；
小霞：提取公因式时出现了错误．
利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：小敏：×；
小霞：×．
正确的解答方法：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，
解得x ＝3，x ＝6．
1 2
19．（6分）如图，在7×7的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B在格点上，
每一个小正方形的边长为1．
（1）以AB为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．
（2）计算你所画菱形的面积．
【分析】（1）先以AB为边画出一个等腰三角形，再作对称即可；
（2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求得．
【解答】解：（1）如下图所示：四边形ABCD即为所画菱形，（答案不唯一，画出一个即可）．
（2）图1菱形面积S＝ ×2×6＝6，
图2菱形面积S＝ ×2 ×4 ＝8，
图3菱形面积S＝（ ）2＝10．
20．（8分）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米
~80米为“中途期”，80米~100米为“冲刺期”．市田径队把运动员小斌某次百米跑训
练时速度y（m/s）与路程x（m）之间的观测数据，绘制成曲线如图所示．
（1）y是关于x的函数吗？为什么？
（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？
（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．
【分析】（1）根据函数的定义，可直接判断；
（2）由图象可知，“加速期”结束时，即跑30米时，小斌的速度为10.4m/s．
（3）答案不唯一．建议合理即可．
【解答】解：（1）y是x的函数，在这个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都
有唯一确定的值与之对应．（2）“加速期”结束时，小斌的速度为10.4m/s．
（3）答案不唯一．例如：根据图象信息，小斌在80米左右时速度下降明显，建议增加
耐力训练，提高成绩．
21．（8分）某市为了解八年级学生视力健康状况，在全市随机抽查了400名八年级学生
2021年初的视力数据，并调取该批学生2020年初的视力数据，制成如图统计图（不完
整）：
青少年视力健康标准
类别 视力 健康状况
A 视力≥5.0 视力正常
B 4.9 轻度视力不
良
C 4.6≤视力 中度视力不
≤4.8 良
D 视力≤4.5 重度视力不
良
根据以上信息，请解答：
（1）分别求出被抽查的400名学生2021年初轻度视力不良（类别B）的扇形圆心角度
数和2020年初视力正常（类别A）的人数．
（2）若2021年初该市有八年级学生2万人，请估计这些学生2021年初视力正常的人数
比2020年初增加了多少人？
（3）国家卫健委要求，全国初中生视力不良率控制在69%以内．请估计该市八年级学
生2021年初视力不良率是否符合要求？并说明理由．
【分析】（1）利用2021年初视力不良的百分比乘360°即可求解．（2）分别求出2021、2020年初视力正常的人数即可求解．
（3）用1﹣31.25%即可得该市八年级学生2021年视力不良率，即可判断．
【解答】解：（1）被抽查的400名学生2021年初轻度视力不良的扇形圆心角度数＝
360°×（1﹣31.25%﹣24.5%﹣32%）＝44.1°．
该批400名学生2020年初视力正常人数＝400﹣48﹣91﹣148＝113（人）．
（2）该市八年级学生221年初视力正常人数＝20000×31.25%＝6250（人）．
这些学生2020年初视力正常的人数＝ （人）．
∴增加的人数＝6250﹣5650＝600（人）．
（3）该市八年级学生2021年视力不良率＝1﹣31.25%＝68.75%．
∵68.75%＜69%．
∴该市八年级学生2021年初视力良率符合要求．
22．（10分）一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和
EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm．当按压柄
△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此时BD′∥EF（如图3）．
（1）求点D转动到点D′的路径长；
（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，
tan72°≈3.08）
【分析】（1）由BD'∥EF,求出∠D'BE＝72°，可得∠DBD'＝36°，根据弧长公式即可求
出点D转动到点D′的路径长为 ＝ ；
π
（2）过D作DG⊥BD'于G,过E作EH⊥BD'于H，Rt△BDG中，求出DG＝BD•sin36°＝3.54,Rt△BEH中，HE＝3.80,故DG+HE≈7.3,即点D到直线EF的距离为7.3cm,
【解答】解：∵BD'∥EF,∠BEF＝108°，
∴∠D'BE＝180°﹣∠BEF＝72°，
∵∠DBE＝108°，
∴∠DBD'＝∠DBE﹣∠D'BE＝108°﹣72°＝36°，
∵BD＝6，
∴点D转动到点D′的路径长为 ＝ ；
π
（2）过D作DG⊥BD'于G,过E作EH⊥BD'于H，如图：
Rt△BDG中，DG＝BD•sin36°≈6×0.59＝3.54,
Rt△BEH中，HE＝BE•sin72°≈4×0.95＝3.80,
∴DG+HE＝3.54+3.80＝7.34≈7.3,
∵BD'∥EF,
∴点D到直线EF的距离约为7.3cm,
答：点D到直线EF的距离约为7.3cm．
23．（10分）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值．
【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得最大值和最小值；
（3）分三种情况讨论，根据二次函数的性质得到最大值 m和最小值n，进而根据m﹣n
＝3得到关于t的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝（x﹣3）2+4，
∴顶点坐标为（3，4）；
（2）∵顶点坐标为（3，4），∴当x＝3时，y最大值 ＝4，
∵当1≤x≤3时，y随着x的增大而增大，
∴当x＝1时，y最小值 ＝0，
∵当3＜x≤4时，y随着x的增大而减小，
∴当x＝4时，y最小值 ＝3．
∴当1≤x≤4时，函数的最大值为4，最小值为0；
（3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论，
①当t+3＜3时，即t＜0，y随着x的增大而增大，
当x＝t+3时，m＝（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，
当x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5，
∴m﹣n＝﹣＝﹣t2+4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝﹣6t+9，
∴﹣6t+9＝3，解得t＝1（不合题意，舍去），
②当0≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，
∴m＝4，
i）当0≤t≤ 时，在x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝t2﹣6t+9，
∴t2﹣6t+9＝3，解得t ＝3﹣ ，t ＝3+ （不合题意，舍去）；
1 2
ii）当 ＜t＜3时，在x＝t+3时，n＝﹣t2+4，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+4）＝t2，
∴t2＝3，解得t ＝ ，t ＝﹣ （不合题意，舍去），
1 2
③当t≥3时，y随着x的增大而减小，
当x＝t时，m＝﹣t2+6t﹣5，
当x＝t+3时，n＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，
.m﹣n＝﹣t2+6t﹣5﹣（﹣t2+4）＝6t﹣9，
∴6t﹣9＝3，解得t＝2（不合题意，舍去），
综上所述，t＝3﹣ 或 ．
24．（12分）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩
形ABCD绕点A顺时针旋转 （0°＜ ≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．
[探究1]如图1，当 ＝90°时α，点C′α恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．
[探究2]如图2，连结α AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．
[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线
段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．
【分析】（1）如图1，设BC＝x，由旋转的性质得出AD'＝AD＝BC＝x，D'C＝AB'＝AB
＝1，证明△D'C'B∽△ADB，由相似三角形的性质得出 ，由比例线段得
出方程 ，求出x的值即可得出答案；
（2）连接DD'，证明△AC'D'≌△DAB（SAS），由全等三角形的性质得出∠D'AC'＝
∠ADB，由等腰三角形的性质得出∠ADD'＝∠AD'D，证出∠MDD'＝∠MD'D，则可得
出结论；
（3）连接AM，证明△AD'M≌△ADM（SSS），由全等三角形的性质得出∠MAD'＝
∠MAD，得出MN＝AN，证明△NPA∽△NAD，由相似三角形的性质得出 ，则
可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，设BC＝x，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°得到矩形AB′C′D′，
∴点A，B，D’在同一直线上，∴AD'＝AD＝BC＝x，D'C＝AB'＝AB＝1，
∴D'B＝AD'﹣AB＝x﹣1，
∵∠BAD＝∠D'＝90°，
∴D'C'∥DA，
又∵点C'在DB的延长线上，
∴△D'C'B∽△ADB，
∴ ，
∴ ，
解得x ＝ ，x ＝ （不合题意，舍去），
1 2
∴BC＝ ．
（2）D'M＝DM．
证明：如图2，连接DD'，
∵D'M∥AC'，
∴∠AD'M＝∠D'AC'，
∵AD'＝AD，∠AD'C'＝∠DAB＝90°，D'C'＝AB，
∴△AC'D'≌△DAB（SAS），
∴∠D'AC'＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠AD'M，
∵AD'＝AD，
∴∠ADD'＝∠AD'D，
∴∠MDD'＝∠MD'D，
∴D'M＝DM；
（3）关系式为MN2＝PN•DN．证明：如图3，连接AM，
∵D'M＝DM，AD'＝AD，AM＝AM，
∴△AD'M≌△ADM（SSS），
∴∠MAD'＝∠MAD，
∵∠AMN＝∠MAD+∠NDA，∠NAM＝∠MAD'+∠NAP，
∴∠AMN＝∠NAM，
∴MN＝AN，
在△NAP和△NDA中，∠ANP＝∠DNA，∠NAP＝∠NDA，
∴△NPA∽△NAD，
∴ ，
∴AN2＝PN•DN，
∴MN2＝PN•DN．
