文档内容
【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
2021年浙江省杭州市中考数学试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．﹣（﹣2021）＝（ ）
A．﹣2021 B．2021 C．﹣ D．
2．“奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了 10909米的我国载人深潜记录．数
据10909用科学记数法可表示为（ ）
A．0.10909×105 B．1.0909×104
C．10.909×103 D．109.09×102
3．因式分解：1﹣4y2＝（ ）
A．（1﹣2y）（1+2y） B．（2﹣y）（2+y）
C．（1﹣2y）（2+y） D．（2﹣y）（1+2y）
4．如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结
PT，则（ ）
A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ
5．下列计算正确的是（ ）
A． ＝2 B． ＝﹣2 C． ＝±2 D． ＝±2
6．某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次．设该景点今年四月到
五月接待游客人次的增长率为x（x＞0），则（ ）
A．60.5（1﹣x）＝25 B．25（1﹣x）＝60.5
C．60.5（1+x）＝25 D．25（1+x）＝60.5
7．某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘
客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（ ）
A． B． C． D．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
8．在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐
标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同学们探索了经
过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其
中a的值最大为（ ）
A． B． C． D．
9．已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线
AD；③以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB于点
P，则AP：AB＝（ ）
A．1： B．1：2 C．1： D．1：
10．已知y 和y 均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M 和M ，若存在实
1 2 1 2
数m，使得M +M ＝0，则称函数y 和y 具有性质P．以下函数y 和y 具有性质P的是
1 2 1 2 1 2
（ ）
A．y ＝x2+2x和y ＝﹣x﹣1 B．y ＝x2+2x和y ＝﹣x+1
1 2 1 2
C．y ＝﹣ 和y ＝﹣x﹣1 D．y ＝﹣ 和y ＝﹣x+1
1 2 1 2
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）计算：sin30°＝ ．
12．（4分）计算：2a+3a＝ ．
13．（4分）如图，已知 O的半径为1，点P是 O外一点，且OP＝2．若PT是 O的
切线，T为切点，连结⊙OT，则PT＝ ⊙ ． ⊙【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
14．（4分）现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示．
甲种糖果 乙种糖果
单价（元/千克） 30 20
千克数 2 3
将这2千克甲种糖果和3千克乙种糖果混合成5千克什锦糖果，若商家用加权平均数来
确定什锦糖果的单价，则这5千克什锦糖果的单价为 元/千克．
15．（4分）如图，在直角坐标系中，以点A（3，1）为端点的四条射线AB，AC，AD，
AE分别过点B（1，1），点C（1，3），点D（4，4），点E（5，2），则∠BAC
∠DAE（填“＞”、“＝”、“＜”中的一个）．
16．（4分）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把
△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．若MF＝
AB，则∠DAF＝ 度．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
17．（6分）以下是圆圆解不等式组 的解答过程：
解：由①，得2+x＞﹣1，
所以x＞﹣3．
由②，得1﹣x＞2，
所以﹣x＞1，
所以x＞﹣1．
所以原不等式组的解集是x＞﹣1．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
18．（8分）为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分
钟跳绳次数的测试，并把测得数据分成四组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数
分布直方图（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）．
某校某年级360名学生一分钟跳绳次数的频数表
组别（次） 频数
100～130 48
130～160 96
160～190 a
190～220 72
（1）求a的值；
（2）把频数分布直方图补充完整；
（3）求该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比．
19．（8分）在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC这三个条件中选择其中一个，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在AB边上（不与点A，点B重合），
点E在AC边上（不与点A，点C重合），连接BE，CD，BE与CD相交于点F．若
，求证：BE＝CD．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
20．（10分）在直角坐标系中，设函数y ＝ （k 是常数，k ＞0，x＞0）与函数y ＝k x
1 1 1 2 2
（k 是常数，k ≠0）的图象交于点A，点A关于y轴的对称点为点B．
2 2
（1）若点B的坐标为（﹣1，2），
①求k ，k 的值；
1 2
②当y ＜y 时，直接写出x的取值范围；
1 2
（2）若点B在函数y ＝ （k 是常数，k ≠0）的图象上，求k +k 的值．
3 3 3 1 3
21．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．
已知∠ABC＝60°，∠C＝45°．
（1）求证：AB＝BD；
（2）若AE＝3，求△ABC的面积．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
22．（12分）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图
象的顶点坐标；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说
明理由．
（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为
P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．
23．（12分）如图，锐角三角形ABC内接于 O，∠BAC的平分线AG交 O于点G，交
BC边于点F，连接BG． ⊙ ⊙
（1）求证：△ABG∽△AFC．
（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．
（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，
点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
2021年浙江省杭州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．﹣（﹣2021）＝（ ）
A．﹣2021 B．2021 C．﹣ D．
【分析】直接利用相反数的概念：只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案．
【解答】解：﹣（﹣2021）＝2021．
故选：B．
2．“奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了 10909米的我国载人深潜记录．数
据10909用科学记数法可表示为（ ）
A．0.10909×105 B．1.0909×104
C．10.909×103 D．109.09×102
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，
据此判断即可．
【解答】解：10909＝1.0909×104．
故选：B．
3．因式分解：1﹣4y2＝（ ）
A．（1﹣2y）（1+2y） B．（2﹣y）（2+y）
C．（1﹣2y）（2+y） D．（2﹣y）（1+2y）
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：1﹣4y2
＝1﹣（2y)2
＝（1﹣2y）（1+2y）．
故选：A．
4．如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结
PT，则（ ）【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ
【分析】根据垂线的性质“垂线段最短”即可得到结论．
【解答】解：∵PQ⊥l，点T是直线l上的一个动点，连结PT，
∴PT≥PQ，
故选：C．
5．下列计算正确的是（ ）
A． ＝2 B． ＝﹣2 C． ＝±2 D． ＝±2
【分析】求出 ＝2， ＝2，再逐个判断即可．
【解答】解：A． ＝2，故本选项符合题意；
B． ＝2，故本选项不符合题意；
C． ＝2，故本选项不符合题意；
D． ＝2，故本选项不符合题意；
故选：A．
6．某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次．设该景点今年四月到
五月接待游客人次的增长率为x（x＞0），则（ ）
A．60.5（1﹣x）＝25 B．25（1﹣x）＝60.5
C．60.5（1+x）＝25 D．25（1+x）＝60.5
【分析】依题意可知四月份接待游客25万，则五月份接待游客人次为：25（1+x），进
而得出答案．
【解答】解：设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x（x＞0），则
25（1+x）＝60.5．
故选：D．
7．某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，
再由概率公式求解即可．
【解答】解：把3节车厢分别记为A、B、C，
画树状图如图：
共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，
∴甲和乙从同一节车厢上车的概率为 ＝ ，
故选：C．
8．在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐
标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同学们探索了经
过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其
中a的值最大为（ ）
A． B． C． D．
【分析】比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下，则a＜0，只需把
开口向上的二次函数解析式求出即可．
【解答】解：由图象知，A、B、D组成的点开口向上，a＞0；
A、B、C组成的二次函数开口向上，a＞0；
B、C、D三点组成的二次函数开口向下，a＜0；
A、D、C三点组成的二次函数开口向下，a＜0；
即只需比较A、B、D组成的二次函数和A、B、C组成的二次函数即可．
设A、B、C组成的二次函数为y ＝a x2+b x+c ，
1 1 1 1【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
把A（0，2），B（1，0），C（3，1）代入上式得，
，
解得a ＝ ；
1
设A、B、D组成的二次函数为y＝ax2+bx+c，
把A（0，2），B（1，0），D（2，3）代入上式得，
，
解得a＝ ，
即a最大的值为 ，
故选：A．
9．已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线
AD；③以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB于点
P，则AP：AB＝（ ）
A．1： B．1：2 C．1： D．1：
【分析】直接利用基本作图方法得出AP＝PE，再结合等腰直角三角形的性质表示出
AE，AP的长，即可得出答案．
【解答】解：∵AC⊥AB，
∴∠CAB＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAB＝ ×90°＝45°，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵EP⊥AB，
∴∠APE＝90°，
∴∠EAP＝∠AEP＝45°，
∴AP＝PE，
∴设AP＝PE＝x，
故AE＝AB＝ x，
∴AP：AB＝x： x＝1： ．
故选：D．
10．已知y 和y 均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M 和M ，若存在实
1 2 1 2
数m，使得M +M ＝0，则称函数y 和y 具有性质P．以下函数y 和y 具有性质P的是
1 2 1 2 1 2
（ ）
A．y ＝x2+2x和y ＝﹣x﹣1 B．y ＝x2+2x和y ＝﹣x+1
1 2 1 2
C．y ＝﹣ 和y ＝﹣x﹣1 D．y ＝﹣ 和y ＝﹣x+1
1 2 1 2
【分析】根据题干信息可知，直接令y +y ＝0，若方程有解，则具有性质P，若无解，
1 2
则不具有性质P．
【解答】解：A．令y +y ＝0，则x2+2x﹣x﹣1＝0，解得x＝ 或x＝ ，即
1 2
函数y 和y 具有性质P，符合题意；
1 2
B．令y +y ＝0，则x2+2x﹣x+1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程无解，即函数y 和y 不
1 2 1 2
具有性质P，不符合题意；
C．令y +y ＝0，则﹣ ﹣x﹣1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程无解，即函数y 和y 不
1 2 1 2
具有性质P，不符合题意；
D．令y +y ＝0，则﹣ ﹣x+1＝0，整理得，x2﹣x+1＝0，方程无解，即函数y 和y 不
1 2 1 2
具有性质P，不符合题意；
故选：A．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）计算：sin30°＝ ．
【分析】根据sin30°＝ 直接解答即可．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【解答】解：sin30°＝ ．
12．（4分）计算：2a+3a＝ 5 a ．
【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字
母的指数不变求解．
【解答】解：2a+3a＝5a，故答案为5a．
13．（4分）如图，已知 O的半径为1，点P是 O外一点，且OP＝2．若PT是 O的
切线，T为切点，连结⊙OT，则PT＝ ． ⊙ ⊙
【分析】根据圆的切线性质可得出△OPT为直角三角形，再利用勾股定理求得PT长度．
【解答】解：∵PT是 O的切线，T为切点，
∴OT⊥PT， ⊙
在Rt△OPT中，OT＝1，OP＝2，
∴PT＝ ＝ ＝ ，
故：PT＝ ．
14．（4分）现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示．
甲种糖果 乙种糖果
单价（元/千克） 30 20
千克数 2 3
将这2千克甲种糖果和3千克乙种糖果混合成5千克什锦糖果，若商家用加权平均数来
确定什锦糖果的单价，则这5千克什锦糖果的单价为 2 4 元/千克．
【分析】将两种糖果的总价算出，用它们的和除以混合后的总重量即可．
【解答】解：这5千克什锦糖果的单价为：（30×2+20×3）÷5＝24（元/千克）．
故答案为：24．
15．（4分）如图，在直角坐标系中，以点A（3，1）为端点的四条射线AB，AC，AD，
AE分别过点B（1，1），点C（1，3），点D（4，4），点E（5，2），则∠BAC ＝【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∠DAE（填“＞”、“＝”、“＜”中的一个）．
【分析】在直角坐标系中构造直角三角形，根据三角形边之间的关系推出角之间的关系．
【解答】解：连接DE，
由上图可知AB＝2，BC＝2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
又∵AE＝ ＝ ＝ ，
同理可得DE＝ ＝ ，
AD＝ ＝ ，
则在△ADE中，有AE2+DE2＝AD2，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝45°，
∴∠BAC＝∠DAE，
故答案为：＝．
16．（4分）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．若MF＝
AB，则∠DAF＝ 1 8 度．
【分析】连接DM，利用斜边上的中线等于斜边的一半可得△AMD和△MCD为等腰三
角形，∠DAF＝∠MDA，∠MCD＝∠MDC；由折叠可知 DF＝DC，可得∠DFC＝
∠DCF；由 MF＝AB，AB＝CD，DF＝DC，可得 FM＝FD，进而得到∠FMD＝
∠FDM；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得∠DFC＝2∠FMD；
最后在△MDC中，利用三角形的内角和定理列出方程，结论可得．
【解答】解：连接DM，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°．
∵M是AC的中点，
∴DM＝AM＝CM，
∴∠FAD＝∠MDA，∠MDC＝∠MCD．
∵DC，DF关于DE对称，
∴DF＝DC，
∴∠DFC＝∠DCF．
∵MF＝AB，AB＝CD，DF＝DC，
∴MF＝FD．
∴∠FMD＝∠FDM．
∵∠DFC＝∠FMD+∠FDM，
∴∠DFC＝2∠FMD．
∵∠DMC＝∠FAD+∠ADM，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴∠DMC＝2∠FAD．
设∠FAD＝x°，则∠DFC＝4x°，
∴∠MCD＝∠MDC＝4x°．
∵∠DMC+∠MCD+∠MDC＝180°，
∴2x+4x+4x＝180．
∴x＝18．
故答案为：18．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。
17．（6分）以下是圆圆解不等式组 的解答过程：
解：由①，得2+x＞﹣1，
所以x＞﹣3．
由②，得1﹣x＞2，
所以﹣x＞1，
所以x＞﹣1．
所以原不等式组的解集是x＞﹣1．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中
间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：圆圆的解答过程有错误，
正确过程如下：由①得2+2x＞﹣1，
∴2x＞﹣3，
∴x＞﹣ ，
由②得1﹣x＜2，
∴﹣x＜1，
∴x＞﹣1，
∴不等式组的解集为x＞﹣1．
18．（8分）为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分
钟跳绳次数的测试，并把测得数据分成四组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数
分布直方图（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
某校某年级360名学生一分钟跳绳次数的频数表
组别（次） 频数
100～130 48
130～160 96
160～190 a
190～220 72
（1）求a的值；
（2）把频数分布直方图补充完整；
（3）求该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比．
【分析】（1）用360减去第1、2、4组的频数和即可；
（2）根据以上所求结果即可补全图形；
（3）用第4组的频数除以该年级的总人数即可得出答案．
【解答】解：（1）a＝360﹣（48+96+72）＝144；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比为【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
×100%＝20%．
19．（8分）在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC这三个条件中选择其中一个，
补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在AB边上（不与点A，点B重合），
点E在AC边上（不与点A，点C重合），连接BE，CD，BE与CD相交于点F．若
① AD ＝ AE （ ② ∠ ABE ＝∠ ACD 或 ③ FB ＝ FC ） ，求证：BE＝CD．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
【分析】若选择条件①，利用∠ABC＝∠ACB得到AB＝AC，则可根据“SAS”可判断
△ABE≌△ACD，从而得到BE＝CD；
选择条件②，利用∠ABC＝∠ACB 得到 AB＝AC，则可根据“ASA”可判断
△ABE≌△ACD，从而得到BE＝CD；
选择条件③，利用∠ABC＝∠ACB得到AB＝AC，再证明∠ABE＝∠ACD，则可根据
“ASA”可判断△ABE≌△ACD，从而得到BE＝CD．
【解答】证明：选择条件①的证明为：
∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD；
选择条件②的证明为：
∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴BE＝CD；
选择条件③的证明为：
∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵FB＝FC，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴∠ABC﹣∠FBC＝∠ACB﹣∠FCB，
即∠ABE＝∠ACD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴BE＝CD．
故答案为①AD＝AE（②∠ABE＝∠ACD或③FB＝FC）
20．（10分）在直角坐标系中，设函数y ＝ （k 是常数，k ＞0，x＞0）与函数y ＝k x
1 1 1 2 2
（k 是常数，k ≠0）的图象交于点A，点A关于y轴的对称点为点B．
2 2
（1）若点B的坐标为（﹣1，2），
①求k ，k 的值；
1 2
②当y ＜y 时，直接写出x的取值范围；
1 2
（2）若点B在函数y ＝ （k 是常数，k ≠0）的图象上，求k +k 的值．
3 3 3 1 3【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【分析】（1）①由题意得，点A的坐标是（1，2），分别代入y ＝ （k 是常数，k
1 1 1
＞0，x＞0），y ＝k x（k 是常数，k ≠0）即可求得k ，k 的值；
2 2 2 2 1 2
②根据图象即可求得；
（2）设点A的坐标是（x ，y），则点B的坐标是（﹣x ，y），根据待定系数法即可求
0 0
得k ＝x •y，k ＝﹣x •y，即可求得k +k ＝0．
1 0 3 0 1 3
【解答】解：（1）①由题意得，点A的坐标是（1，2），
∵函数y ＝ （k 是常数，k ＞0，x＞0）与函数y ＝k x（k 是常数，k ≠0）的图象交
1 1 1 2 2 2 2
于点A，
∴2＝ ，2＝k ，
2
∴k ＝2，k ＝2；
1 2
②由图象可知，当y ＜y 时，x的取值范围是x＞1；
1 2
（2）设点A的坐标是（x ，y），则点B的坐标是（﹣x ，y），
0 0
∴k ＝x •y，k ＝﹣x •y，
1 0 3 0
∴k +k ＝0．
1 3
21．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．
已知∠ABC＝60°，∠C＝45°．
（1）求证：AB＝BD；
（2）若AE＝3，求△ABC的面积．
【分析】（1）计算出∠ADB和∠BAC，利用等角对等边即可证明；
（2）利用锐角三角函数求出BC即可计算△ABC的面积．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝ ∠ABC＝30°，
∵∠C＝45°，
∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝75°，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝75°，
∴∠BAC＝∠ADB，
∴AB＝BD；
（2）解：在Rt△ABE中，∠ABC＝60°，AE＝3，
∴BE＝ ＝ ，
在Rt△AEC中，∠C＝45°，AE＝3，
∴EC＝ ＝3，
∴BC＝3+ ，
∴S△ABC ＝ BC×AE＝ ．
22．（12分）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图
象的顶点坐标；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说
明理由．
（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为
P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．
【分析】（1）考查使用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，将两点坐标代入，
解二元一次方程组即可；
（2）写出一组a，b，使得b2﹣4ac＞0即可；
（3）已知a＝b＝1，则y＝x2+x+1．容易得到P+Q＝p2+p+1+q2+q+1，利用p+q＝2，即p
＝2﹣q代入对代数式P+Q进行化简，并配方得出P+Q＝2（q﹣1）2+6≥6．最后注意利
用p≠q条件判断q≠1，得证．
【解答】解：（1）由题意，得 ，
解得 ，
所以，该函数表达式为y＝x2﹣2x+1．
并且该函数图象的顶点坐标为（1，0）．
（2）例如a＝1，b＝3，此时y＝x2+3x+1，
∵b2﹣4ac＝5＞0，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴函数y＝x2+3x+1的图象与x轴有两个不同的交点．
（3）由题意，得P＝p2+p+1，Q＝q2+q+1，
所以 P+Q＝p2+p+1+q2+q+1
＝p2+q2+4
＝（2﹣q）2+q2+4
＝2（q﹣1）2+6≥6，
由条件p≠q，知q≠1．所以 P+Q＞6，得证．
23．（12分）如图，锐角三角形ABC内接于 O，∠BAC的平分线AG交 O于点G，交
BC边于点F，连接BG． ⊙ ⊙
（1）求证：△ABG∽△AFC．
（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．
（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，
点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．
【分析】（1）根据∠BAC的平分线AG交 O于点G，知∠BAC＝∠FAC，由圆周角定
理知∠G＝∠C，即可证△ABG∽△AFC； ⊙
（2）由（1）知 ＝ ，由AC＝AF得AG＝AB，即可计算FG的长度；
（3）先证△DGB∽△BGE，得出线段比例关系，即可得证BG2＝GE•GD．
【解答】（1）证明：∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG＝∠FAC，
又∵∠G＝∠C，
∴△ABG∽△AFC；
（2）解：由（1）知，△ABG∽△AFC，
∴ ＝ ，
∵AC＝AF＝b，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴AB＝AG＝a，
∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b；
（3）证明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG，
∴∠BAG＝∠CBG，
∵∠ABD＝∠CBE，
∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG，
又∵∠DGB＝∠BGE，
∴△DGB∽△BGE，
∴ ＝ ，
∴BG2＝GE•GD．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
