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2021年湖北省宜昌市中考数学试卷
一、选择题（下列各小题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置
填涂符合要求的选项前面的字母代号，每小题3分，计33分）
1．﹣2021的倒数是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
2．下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．2021年5月15日07时18分，“天问一号”火星探测器成功登陆火星表面，开启了中
国人自主探测火星之旅．地球与火星的最近距离约为5460万公里．“5460万”用科学
记数法表示为（ ）
A．5.46×102 B．5.46×103 C．5.46×106 D．5.46×107
4．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝
60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE，则∠AFD的度数是（ ）A．15° B．30° C．45° D．60°
5．下列运算正确的是（ ）
A．x3+x3＝x6 B．2x3﹣x3＝x3 C．（x3）2＝x5 D．x3•x3＝x9
6．在六张卡片上分别写有6，﹣ ，3.1415， ，0， 六个数，从中随机抽取一张，卡
π
片上的数为无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．某气球内充满了一定质量 m的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p（单位：
kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数：p＝ ，能够反映两个变量p和V函数
关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，
盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八
钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少？设人数为x人，物价为
y钱，下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（ ）A． B． C． D．
10．如图，C，D是 O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°，则∠BDC＝（ ）
⊙
A．85° B．75° C．70° D．65°
11．从前，古希腊一位庄园主把一块边长为 a米（a＞6）的正方形土地租给租户张老汉，
第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成
矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老
汉的租地面积会（ ）
A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定
二、填空题（将答案写在答题卡上指定的位置.每小题3分，计12分.）
12．用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负．登山队攀登一座山峰，每登高
1km气温的变化量为﹣6℃，攀登2km后，气温下降 ℃．
13．如图，在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移2个单位长度得到点B，则点
B关于x轴的对称点C的坐标是 ．
14．社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不
同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与
“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是
．（填“黑球”或“白球”）
15．“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为 2厘
米的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就
是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为 平方厘米．
（圆周率用 表示）
π
三、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置，本大题共有9小题，计75分.）
16．（6分）先化简，再求值： ÷ ﹣ ，从1，2，3这三个数中选择一个你认
为适合的x代入求值．
17．（6分）解不等式组 ．
18．（7分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．
（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的 ，射线AE
是∠DAC的 ；
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．19．（7分）国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于 1h”．为此，某市就“每
天在校体育活动时间”的问题随机调查了辖区内部分初中学生，根据调查结果绘制成的
统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：
A组：t＜0.5h
B组：0.5h≤t＜1h
C组：1h≤t＜1.5h
D组：t≥1.5h
请根据上述信息解答下列问题：
（1）本次调查的人数是 人；
（2）请根据题中的信息补全频数分布直方图；
（3）D组对应扇形的圆心角为 °；
（4）本次调查数据的中位数落在 组内；
（5）若该市辖区约有80000名初中学生，请估计其中达到国家规定体育活动时间的学
生人数约有多少．
20．（8分）甲超市在端午节这天进行苹果优惠促销活动，苹果的标价为10元/kg，如果一
次购买4kg以上的苹果，超过4kg的部分按标价6折售卖．
x（单位：kg）表示购买苹果的重量，y（单位：元）表示付款金额．
（1）文文购买3kg苹果需付款 元；购买5kg苹果需付款 元；
（2）求付款金额y关于购买苹果的重量x的函数解析式；（3）当天，隔壁的乙超市也在进行苹果优惠促销活动，同样的苹果的标价也为10元/
kg，且全部按标价的8折售卖，文文如果要购买10kg苹果，请问她在哪个超市购买更划
算？
21．（8分）如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点（BO＞DO），OE⊥AB，垂
足为E，以OE为半径的 O分别交DC于点H，交EO的延长线于点F，EF与DC交于
点G． ⊙
（1）求证：BC是 O的切线；
（2）若G是OF的⊙中点，OG＝2，DG＝1．
①求 的长；
②求AD的长．
22．（10分）随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更
节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的30%和20%．去年，新丰收
公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨．
（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？
（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了m%，漫灌
试验田的面积减少了2m%．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下
的每亩用水量都进一步减少了m%．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少 m%，求m
的值．
（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水
管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩
100元，在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节
省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？
23．（11分）如图，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，BE＝BC，EF⊥CD，垂足为F．
将四边形CBEF绕点C顺时针旋转 （0°＜ ＜90°），得到四边形CB'E'F′，B′E′所
α α在的直线分别交直线BC于点G，交直线AD于点P，交CD于点K．E′F′所在的直线
分别交直线BC于点H，交直线AD于点Q，连接B′F′交CD于点O．
（1）如图1，求证：四边形BEFC是正方形；
（2）如图2，当点Q和点D重合时．
①求证：GC＝DC；
②若OK＝1，CO＝2，求线段GP的长；
（3）如图3，若BM∥F′B′交GP于点M，tan∠G＝ ，求 的值．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣（x+4）（x﹣n）与x轴交于点A和点B
1
（n，0）（n≥﹣4），顶点坐标记为（h ，k ）．抛物线y ＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9的
1 1 2
顶点坐标记为（h ，k ）．
2 2
（1）写出A点坐标；
（2）求k ，k 的值（用含n的代数式表示）
1 2
（3）当﹣4≤n≤4时，探究k 与k 的大小关系；
1 2
（4）经过点M（2n+9，﹣5n2）和点N（2n，9﹣5n2）的直线与抛物线y ＝﹣（x+4）
1
（x﹣n），y ＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9的公共点恰好为3个不同点时，求n的值．
22021年湖北省宜昌市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各小题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置
填涂符合要求的选项前面的字母代号，每小题3分，计33分）
1．﹣2021的倒数是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数判断即可．
【解答】解：﹣2021的倒数是 ．
故选：D．
2．下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那
么这个图形就叫做中心对称图形．据此判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
3．2021年5月15日07时18分，“天问一号”火星探测器成功登陆火星表面，开启了中
国人自主探测火星之旅．地球与火星的最近距离约为5460万公里．“5460万”用科学记数法表示为（ ）
A．5.46×102 B．5.46×103 C．5.46×106 D．5.46×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：5460万＝54600000＝5.46×107，
故选：D．
4．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝
60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE，则∠AFD的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】利用三角形的内角和定理可得∠A＝30°，∠D＝45°，由平行线的性质定理可得
∠1＝∠D＝45°，利用三角形外角的性质可得结果．
【解答】解：如图，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∵∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，
∴∠D＝180°﹣∠EFD﹣∠DEF＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∵AB∥DE，∴∠1＝∠D＝45°，
∴∠AFD＝∠1﹣∠A＝45°﹣30°＝15°，
故选：A．
5．下列运算正确的是（ ）
A．x3+x3＝x6 B．2x3﹣x3＝x3 C．（x3）2＝x5 D．x3•x3＝x9
【分析】分别根据合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则逐一判
断即可；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的
指数不变；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【解答】解：A．x3+x3＝2x3，故本选项不合题意；
B.2x3﹣x3＝x3，故本选项符合题意；
C．（x3）2＝x6，故本选项不合题意；
D．x3•x3＝x6，故本选项不合题意；
故选：B．
6．在六张卡片上分别写有6，﹣ ，3.1415， ，0， 六个数，从中随机抽取一张，卡
π
片上的数为无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先找出无理数，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵六张卡片上分别写有6，﹣ ，3.1415， ，0， 六个数，无理数的
π
是 ， ，
π
∴从中任意抽取一张卡片上的数为无理数的概率是： ＝ ．
故选：C．
7．某气球内充满了一定质量 m的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p（单位：
kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数：p＝ ，能够反映两个变量p和V函数
关系的图象是（ ）A． B．
C． D．
【分析】直接利用反比例函数的性质，结合p，V的取值范围得出其函数图象分布在第
一象限，即可得出答案．
【解答】解：∵气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例
函数：p＝ （V，p都大于零），
∴能够反映两个变量p和V函数关系的图象是： ．
故选：B．
8．我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，
盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八
钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少？设人数为x人，物价为
y钱，下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设有x人，买此物的钱数为y，根据关键语句“人出八，盈三；人出七，不足
四”列出方程组即可．
【解答】解：设有x人，买此物的钱数为y，
由题意得： ，
故选：A．9．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由图可知，可把∠ABC放在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出斜边AB的长，
再利用余弦的定义可得cos∠ABC＝ ＝ ＝ ．
【解答】解：法一、如图，
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，
∴AB＝ ＝ ＝3 ，
∴cos∠ABC＝ ＝ ＝ ．
故选：B．
法二、在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°，
∴cos∠ABC＝cos45°＝ ．
故选：B．
10．如图，C，D是 O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°，则∠BDC＝（ ）
⊙A．85° B．75° C．70° D．65°
【分析】连接OC，根据圆周角定理可得∠AOC的度数，再根据平角的性质可得∠BOC
的度数，再根据圆周角定理即可求出∠BDC的度数．
【解答】解：连接OC，如图，
∵∠ABC＝25°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝2×25°＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝30°，
∴ ．
故选：D．
11．从前，古希腊一位庄园主把一块边长为 a米（a＞6）的正方形土地租给租户张老汉，
第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成
矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老
汉的租地面积会（ ）
A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定
【分析】矩形的长为（a+6）米，矩形的宽为（a﹣6）米，矩形的面积为（a+6）（a﹣
6），根据平方差公式即可得出答案．
【解答】解：矩形的面积为（a+6）（a﹣6）＝a2﹣36，
∴矩形的面积比正方形的面积a2小了36平方米，
故选：C．
二、填空题（将答案写在答题卡上指定的位置.每小题3分，计12分.）
12．用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负．登山队攀登一座山峰，每登高
1km气温的变化量为﹣6℃，攀登2km后，气温下降 1 2 ℃．
【分析】根据每登高1km气温的变化量为﹣6℃，可以得到登2km后，气温下降的度数．
【解答】解：由题意可得，
2÷1×（﹣6）
＝2×（﹣6）＝﹣12（℃），
即气温下降12℃，
故答案为：12．
13．如图，在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移2个单位长度得到点B，则点
B关于x轴的对称点C的坐标是 （ 1 ，﹣ 2 ） ．
【分析】直接利用平移的性质得出B点坐标，再利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐
标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案．
【解答】解：∵将点A（﹣1，2）向右平移2个单位长度得到点B，
∴B（1，2），
则点B关于x轴的对称点C的坐标是（1，﹣2）．
故答案为：（1，﹣2）．
14．社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不
同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，
再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与
“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是 白
球 ．（填“黑球”或“白球”）
【分析】根据频率估计概率得出摸到黑球的近似概率，再得出摸到白球的概率，即可推
断出是白球多还是黑球多．
【解答】解：由图可知，摸出黑球的概率约为0.2，∴摸出白球的概率约为0.8，
∴白球的个数比较多，
故答案为白球．
15．“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为 2厘
米的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就
是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为 （ 2 ﹣ 2 ） 平方厘米．（圆周
率用 表示） π
π
【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积等于三块扇形的面积
相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC＝BC＝2厘米，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝1厘米，AD＝ BD＝ 厘米，
∴△ABC的面积为 BC•AD＝ （厘米2），
S扇形BAC ＝ ＝ （厘米2），
π
∴莱洛三角形的面积S＝3× ﹣2× ＝（2 ﹣2 ）厘米2，
π π
故答案为：（2 ﹣2 ）．
π
三、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置，本大题共有9小题，计75分.）
16．（6分）先化简，再求值： ÷ ﹣ ，从1，2，3这三个数中选择一个你认为适合的x代入求值．
【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后从 1，2，3这三个数中选
择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解： ÷ ﹣
＝ •（x+1）﹣
＝
＝ ，
∵（x+1）（x﹣1）≠0，
∴x≠1，﹣1，
∴x＝2或3，
当x＝2时，原式＝ ＝1．
17．（6分）解不等式组 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解： ，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x≤5，
∴不等式组解集为x≤1．
18．（7分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．
（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的 垂直平分线 ，射
线AE是∠DAC的 角平分线 ；
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．【分析】（1）根据作图痕迹判断即可．
（2）想办法求出∠CAD，可得结论．
【解答】解：（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的垂直平分
线，射线AE是∠DAC的 角平分线．
故答案为：垂直平分线，角平分线．
（2）∵DF垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴∠BAD＝B＝40°，
∵∠B＝40°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝90°，
∴∠CAD＝50°，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE＝ ∠CAD＝25°．
19．（7分）国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于 1h”．为此，某市就“每
天在校体育活动时间”的问题随机调查了辖区内部分初中学生，根据调查结果绘制成的
统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：
A组：t＜0.5h
B组：0.5h≤t＜1h
C组：1h≤t＜1.5h
D组：t≥1.5h
请根据上述信息解答下列问题：
（1）本次调查的人数是 40 0 人；（2）请根据题中的信息补全频数分布直方图；
（3）D组对应扇形的圆心角为 3 6 °；
（4）本次调查数据的中位数落在 C 组内；
（5）若该市辖区约有80000名初中学生，请估计其中达到国家规定体育活动时间的学
生人数约有多少．
【分析】（1）根据A组的人数和百分比即可求出总人数；
（2）根据总人数和条形统计图即可求出C组人数；
（3）先算出D组所占的百分比，再求出对应的圆心角；
（4）根据第200个和第201个数据所在的组即可求出中位数所在的组；
（5）根据优秀人数的百分比即可估算出全市优秀的人数．
【解答】解：（1）∵A组有40人，占10%，
∴总人数为 （人），
故答案为400；
（2）C组的人数为400﹣40﹣80﹣40＝240（人），
统计图如下：
（3）D组所占的百分比为 ，
∴D组所对的圆心角为360°×10%＝36°，
故答案为36；
（4）中位数为第200个数据和第201个数据的平均数，都在C组，
∴中位数在C组，
故答案为C；
（5）优秀人数所占的百分比为 ，∴全市优秀人数大约为80000×70%＝56000（人）．
20．（8分）甲超市在端午节这天进行苹果优惠促销活动，苹果的标价为10元/kg，如果一
次购买4kg以上的苹果，超过4kg的部分按标价6折售卖．
x（单位：kg）表示购买苹果的重量，y（单位：元）表示付款金额．
（1）文文购买3kg苹果需付款 3 0 元；购买5kg苹果需付款 4 6 元；
（2）求付款金额y关于购买苹果的重量x的函数解析式；
（3）当天，隔壁的乙超市也在进行苹果优惠促销活动，同样的苹果的标价也为10元/
kg，且全部按标价的8折售卖，文文如果要购买10kg苹果，请问她在哪个超市购买更划
算？
【分析】（1）根据题意直接写出购买3kg和5kg苹果所需付款；
（2）分0＜x≤4和x＞4两种情况写出函数解析式即可；
（3）通过两种付款比较那个超市便宜即可．
【解答】解：（1）由题意可知：文文购买3kg苹果，不优惠，
∴文文购买3kg苹果需付款：3×10＝30（元），
购买5kg苹果，4kg不优惠，1kg优惠，
∴购买5kg苹果需付款：4×10+1×10×0.6＝46（元），
故答案为：30，46；
（2）由题意得：
当0＜x≤4时，y＝4x，
当x＞4时，y＝4×10+（x﹣4）×10×0.6＝6x+16，
∴付款金额y关于购买苹果的重量x的函数解析式为：y＝ ；
（3）文文在甲超市购买10kg苹果需付费：6×10+16＝76（元），
文文在乙超市购买10kg苹果需付费：10×10×0.8＝80（元），
∴文文应该在甲超市购买更划算．
21．（8分）如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点（BO＞DO），OE⊥AB，垂
足为E，以OE为半径的 O分别交DC于点H，交EO的延长线于点F，EF与DC交于
点G． ⊙
（1）求证：BC是 O的切线；
（2）若G是OF的⊙中点，OG＝2，DG＝1．
①求 的长；②求AD的长．
【分析】（1）过点O作OM⊥BC于点M，证明OM＝OE即可；
（2）①先求出∠HOE＝120°，再求出OH＝4，代入弧长公式即可；
②过A作AN⊥BD，由△DOG∽△DAN，对应边成比例求出AD的长．
【解答】解：（1）证明：如图1，过点O作OM⊥BC于点M，
∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵OM⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OM，
∴BC是 O的切线．
⊙
（2）①如图2，
∵G是OF的中点，OF＝OH，
∴OG＝ OH，
∵AB∥CD，OE⊥AB，∴OF⊥CD，
∴∠OGH＝90°，
∴sin∠GHO＝ ，
∴∠GHO＝30°，
∴∠GOH＝60°，
∴∠HOE＝120°，
∵OG＝2，
∴OH＝4，
∴由弧长公式得到 的长： ＝ ．
②如图3，过A作AN⊥BD于点N，
∵DG＝1，OG＝2，OE＝OH＝4，
∴OD＝ ，OB＝2 ，DN＝ ，
∴△DOG∽△DAN，
∴ ，
∴ ，
∴AD＝ ．
22．（10分）随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更
节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的30%和20%．去年，新丰收
公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨．
（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？
（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了m%，漫灌试验田的面积减少了2m%．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下
的每亩用水量都进一步减少了m%．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少 m%，求m
的值．
（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水
管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩
100元，在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节
省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？
【分析】（1）设漫灌方式每亩用水x吨，则100x+100×30%x+100×20%x＝15000，解得
x＝100，可得结论；
（2）由“今年的灌溉用水量比去年减少 m%”可列出等式，进而求出m的值；
（3）分别计算去年因用水量减少所节省的水费和今天的两项投入之和，再进行比较即
可．
【解答】解：（1）设漫灌方式每亩用水x吨，则
100x+100×30%x+100×20%x＝15000，
解得x＝100，
∴漫灌用水：100×100＝10000吨，
喷灌用水：30%×10000＝3000吨，
滴灌用水：20%×10000＝2000吨，
∴漫灌方式每亩用水100吨，漫灌试验田用水10000吨，喷灌试验田用水3000吨，滴灌
试验田用水2000吨．
（2）由题意可得，100×（1﹣2m%）×100×（1﹣m%）+100×（1+m%）×30×（1﹣m%）
+100×（1+m%）×20×（1﹣m%）＝15000×（1﹣ m%），
解得m＝0（舍），或m＝20，
∴m＝20．
（3）节省水费：15000× m%×2.5＝13500元，
维修投入：300×30＝9000元，
新增设备：100×2m%×100＝4000元，13500＞9000+4000，
∴节省水费大于两项投入之和．
23．（11分）如图，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，BE＝BC，EF⊥CD，垂足为F．
将四边形CBEF绕点C顺时针旋转 （0°＜ ＜90°），得到四边形CB'E'F′，B′E′所
在的直线分别交直线BC于点G，交α直线ADα于点P，交CD于点K．E′F′所在的直线
分别交直线BC于点H，交直线AD于点Q，连接B′F′交CD于点O．
（1）如图1，求证：四边形BEFC是正方形；
（2）如图2，当点Q和点D重合时．
①求证：GC＝DC；
②若OK＝1，CO＝2，求线段GP的长；
（3）如图3，若BM∥F′B′交GP于点M，tan∠G＝ ，求 的值．
【分析】（1）根据邻边相等的矩形的正方形证明即可．
（2）①证明△CGB′≌△CDF′（ASA），可得结论．
②设正方形的边长为a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明GK＝PK，求出PG＝
2PK，求出PK可得结论．
（3）如图3中，延长B′F′交CH的延长线于R．由tan∠G＝tan∠F′CH＝ ＝
，设F′H＝x．CF′＝2x，则CH＝ x，由△RB′C∽△RF′H，推出 ＝
＝ ＝ ，推出 CH＝RH，B′F′＝RF′，可得 CR＝2CH＝2 x，S△CF′R ＝
2S△CF′H ，再由△GB′C∽△GE′H，推出 ＝ ＝ ＝ ，可得 ＝＝ 推出GB＝2（ ﹣1）x，由△GBM∽△CRF′，可得 ＝（ ）2＝
[ ]2＝ ，由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，
在矩形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，
∵EF⊥AB，
∴∠EFB＝90°，
∴四边形BEFC是矩形，
∴BE＝BC，
∴四边形BEFC是正方形．
（2）①证明：如图2中，
∵∠GCK＝∠DCH＝90°，
∴∠CDF′+∠H＝90°，∠KGC+∠H＝90°，
∴∠KGC＝∠CDF′，
∵B′C＝CF′，∠GB′C＝∠CF′D，
∴△CGB′≌△CDF′（ASA），
∴CG＝CD．②解：设正方形的边长为a，
∵KB′∥CF′，
∴△B′KO∽△F′CO，
∴ ＝ ＝ ，
∴B′K＝ B′C＝ a，
在Rt△B′KC中，B′K2+B′C2＝CK2，
∴a2+（ a）2＝32，
∴a＝ ，
由 ＝ ，可得B′K＝KE′＝ a，
∵KE′∥CF′
∴△DKE′∽△DCF′，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴DE′＝E′F′＝a，
∴PE′＝2a，
∴PK＝ a，
∵DK＝KC，∠P＝∠G，∠DKP＝∠GKC，
∴△PKD≌△GKC（AAS），
∴GK＝PK，
∴PG＝2PK＝5a，
∴PG＝5a＝6 ．
（3）解：如图3中，延长B′F′交CH的延长线于R．∵CF′∥GP，RB∥BM，
∴△GB∽△GRB′，∠G＝∠F′CR，
∴tan∠G＝tan∠F′CH＝ ＝ ，
设F′H＝x．CF′＝2x，则CH＝ x，
∴CB′＝CF′＝E′F′＝BC＝2x，
∵CB′∥HE′，
∴△RB′C∽△RF′H，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴CH＝RH，B′F′＝RF′，
∴CR＝2CH＝2 x，
∴S△CF′R ＝2S△CF′H ，
∵CB′∥HE′，
∴△GB′C∽△GE′H，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝
∴GB＝2（ ﹣1）x，
∵△GBM∽△CRF′，
∴ ＝（ ）2＝[ ]2＝ ，
∵S△CRF′ ＝2S△CHF′ ，
∴ ＝ ．24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣（x+4）（x﹣n）与x轴交于点A和点B
1
（n，0）（n≥﹣4），顶点坐标记为（h ，k ）．抛物线y ＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9的
1 1 2
顶点坐标记为（h ，k ）．
2 2
（1）写出A点坐标；
（2）求k ，k 的值（用含n的代数式表示）
1 2
（3）当﹣4≤n≤4时，探究k 与k 的大小关系；
1 2
（4）经过点M（2n+9，﹣5n2）和点N（2n，9﹣5n2）的直线与抛物线y ＝﹣（x+4）
1
（x﹣n），y ＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9的公共点恰好为3个不同点时，求n的值．
2
【分析】（1）令y ＝0，得到x值即为A、B的横坐标，
1
（2）由顶点坐标公式可得顶点的纵坐标．
（3）讨论k ﹣k ＝ n2﹣5与0比较大小得n的取值范围，即在不同的取值范围内得
1 2
k 、k 大小．
1 2
（4）两点确定一条直线的解析式，直线MN的解析式为：y＝﹣x﹣5n2+2n+9．①当直
线MN经过抛物线y ，y 的交点时，联立抛物线y 与y 得解析式（5n﹣4）x＝﹣5n2﹣
1 2 1 2
2n+9①，联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y 得解析式x2+（4n﹣1）x＝0，解得n
2
＝ ，此时直线MN与抛物线y ，y 的公共点恰好为三个不同点，即（5n﹣4）
1 2
（1﹣4n）＝﹣5n2﹣2n+9，该方程判别式△＜0，②当直线MN与抛物线y 或者与抛物
1
线y 只有一个公共点时，当直线MN与抛物线y 只有一个公共点时，联立直线y＝﹣x﹣
2 15n2+2n+9与抛物线y＝﹣x2+（n﹣4）x+4n可得，﹣x2+（n﹣3）x+5n2+2n﹣9＝0，解得
∴n＝ ，由①而知直线MN与抛物线y 公共点的横坐标为x ＝0，x ＝1﹣
2 1 2
4n，x ≠x ，所以此时直线MN与抛物线y ，y 的公共点恰好为三个不同点，联立直线y
1 2 1 2
＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y 得：﹣x2+（n﹣3）x+5n2+2n﹣9＝0，△＝21n2+2n﹣27，
1
当n＝ 时，△＜0，此时直线MN与抛物线y ，y 的公共点只有一个，n≠ ．
1 2
【解答】解：（1）∵y ＝﹣（x﹣4）（x﹣n），
1
令y ＝0，﹣（x﹣4）（x﹣n）＝0，
1
∴x ＝﹣4，x ＝n，
1 2
∴A（﹣4，0）；
（2）y ＝﹣（x﹣4）（x﹣n）＝﹣x2+（n﹣4）x+4n，
1
∴k ＝ n2+2n+4，
1
∵y ＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9，
2
∴k ＝﹣n2+2n+9，
2
（3）k ﹣k ＝ n2﹣5，
1 2
①当 n2﹣5＞0时，可得n＞2或n＜﹣2，
即当﹣4≤n＜﹣2或2＜n≤4时，k ＞k ；
1 2
②当 n2﹣5＜0时，可得﹣2＜n＜2，
即当﹣2＜n＜2时，k ＜k ；
1 2
③当 n2﹣5＝0，可得n＝2或n＝﹣2，
即当n＝2或n＝﹣2时，k ＝k ；
1 2
（4）设直线MN的解析式为：y＝kx+b，
则 ，
由①﹣②得，k＝﹣1，
∴b＝﹣5n2+2n+9，直线MN的解析式为：y＝﹣x﹣5n2+2n+9．
①如图：
当直线MN经过抛物线y ，y 的交点时，
1 2
联立抛物线y ＝﹣x2+（n﹣4）x+4n与y ＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9的解析式可得：
1 2
（5n﹣4）x＝﹣5n2﹣2n+9①，
联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y ＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9的解析式可得：
2
x2+（4n﹣1）x＝0，
则x ＝0，x ＝1﹣4n②，
1 2
当x ＝0时，把x ＝0代入y 得：y＝4n，
1 1 1
把x ＝0，y＝4n代入直线的解析式得：
1
4n＝﹣5n2+2n+9，
∴5n2+2n﹣9＝0，
∴n＝ ，
此时直线MN与抛物线y ，y 的公共点恰好为三个不同点，
1 2
当x ＝1﹣4n时，把x ＝1﹣4n代入①得：
2 2
（5n﹣4）（1﹣4n）＝﹣5n2﹣2n+9，
该方程判别式△＜0，
所以该方程没有实数根；
②如图：当直线MN与抛物线y 或者与抛物线y 只有一个公共点时，
1 2
当直线MN与抛物线y ＝﹣x2+（n﹣4）x+4n只有一个公共点时，
1
联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y＝﹣x2+（n﹣4）x+4n可得，
﹣x2+（n﹣3）x+5n2+2n﹣9＝0，
此时△＝0，即（n﹣3）2+4（5n2+2n﹣9）＝0，
∴21n2+2n﹣27＝0，
∴n＝ ，
由①而知直线MN与抛物线y ＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9公共点的横坐标为x ＝0，x ＝1
2 1 2
﹣4n，
当n＝ 时，1﹣4n≠0，
∴x ≠x ，
1 2
所以此时直线MN与抛物线y ，y 的公共点恰好为三个不同点，
1 2
③如图：
当直线MN与抛物线y ＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9只有一个公共点，
2
∵x ＝0，x ＝1﹣4n，
1 2∴n＝ ，
联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y ＝﹣x2+（n﹣4）x+4n，
1
﹣x2+（n﹣3）x+5n2+2n﹣9＝0，
△＝（n﹣3）2+4（5n2+2n﹣9）＝21n2+2n﹣27，
当n＝ 时，△＜0，
此时直线MN与抛物线y ，y 的公共点只有一个，
1 2
∴n≠ ，
综上所述：n ＝ ，n ＝ ，n ＝ ，n ＝﹣2﹣ ．
1 2 3 4
