文档内容
2021年湖北省黄冈市中考数学试卷
一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中
只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上把正确答案的代号涂黑。
1．﹣3的相反数是（ ）
A．﹣3 B． C．﹣ D．3
2．2021年5月15日07时18分，我国首个火星探测器“天问一号”经过 470000000公里
旅程成功着陆在火星上，从此，同时也为我国的宇宙探测之路迈出重要一步．将
470000000用科学记数法表示为（ ）
A．47×107 B．4.7×107 C．4.7×108 D．0.47×109
3．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．圆
4．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5 B．a3÷a2＝a
C．3a3•2a2＝6a6 D．（a﹣2）2＝a2﹣4
5．如图是由四个相同的正方体组成的几何体，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．高尔基说：“书，是人类进步的阶梯”．阅读可以丰富知识，拓展视野，给我们带来愉
快．英才中学计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，对全校学生进行抽样调查，
收集整理喜爱的书籍类型（A．科普，B．文学，C．体育，D．其他），绘制出两幅不
完整的统计图，则下列说法错误的是（ ）A．样本容量为400
B．类型D所对应的扇形的圆心角为36°
C．类型C所占百分比为30%
D．类型B的人数为120人
7．如图， O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交 O于点E，AE，CB的延长线交于点
F．若O⊙D＝3，则FC的长是（ ） ⊙
A．10 B．8 C．6 D．4
8．如图，AC为矩形ABCD的对角线，已知AD＝3，点P沿折线C﹣A﹣D以每秒1个单位
长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作PE⊥BC于点E（ ）
A． B．
C． D．二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.请把答案填在答题卡相应题号
的横线上）.
9．式子 在实数范围内有意义，则a的取值范围是 ．
10．正五边形的一个内角是 度．
11．东方红学校举行“学党史，听党话，跟党走”讲故事比赛，87，89，85，92 ．
12．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是
．（写出一个即可）
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，适当长为半径画弧，分别交AC，F；再分别以
点E，F为圆心 EF的长为半径画弧，两弧交于点P ．
14．如图，建筑物BC上有一高为8m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，则
建筑物 BC 的高约为 m（结果保留小数点后一位）．（参考数据：
sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53≈1.33）
15．人们把 这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用
了 黄 金 分 割 数 ． 设 a ＝ ， 得 ab ＝ 1 ， 记 S ＝ ， S ＝
1 2
，…，S ＝ ，则S +S +…+S ＝ ．
10 1 2 10
16．如图，正方形ABCD中，AB＝1，∠ACD的平分线交AD于点E，在AB上截取AF＝DE，分别交 CE，CA 于点 G，H，PQ⊥AC 于点 Q，连接 PH．下列结论：
①CE⊥DF；③EA＝ AH ，其中所正结论的序号是 ．
三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分，请认真读题，冷静思考，解答题应写出必
要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置.
17．（7分）计算： 0．
18．（7分）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若S△ABC ：S△DEC ＝4：9，BC＝6，求EC的长．
19．（8分）2021年，黄冈、咸宁、孝感三市实行中考联合命题，为确保联合命题的公平
性，各市从语文、数学、英语三个学科中随机抽取一科；第二轮；第三轮，各市从道德
与法治、地理、生物三个学科中随机抽取一科．
（1）黄冈在第一轮抽到语文学科的概率是 ；
（2）用画树状图或列表法求黄冈在第二轮和第三轮抽签中，抽到的学科恰好是历史和
地理的概率．
20．（9分）如图，反比例函数y＝ 的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，﹣
1），B（﹣1，3）
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设直线AB交y轴于点C，点N（t，0）是x轴正半轴上的一个动点 的图象于点M，连接CN四边形COMN ＞3，求t的取值范围．
21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC
（1）求证：AB是 O的切线；
（2）若BE＝AC＝⊙3， O的半径是1，求图中阴影部分的面积．
⊙
22．（10分）2021年是中国共产党建党100周年，红旗中学以此为契机，组织本校师生参
加红色研学实践活动（每种型号至少一辆）送 549名学生和11名教师参加此次实践活
动，每辆汽车上至少要有一名教师．
甲、乙两种型号的大客车的载客量和租金如表所示：
甲种客车 乙种客车
载客量/（人/辆） 40 55
租金/（元/辆） 500 600
（1）共需租 辆大客车；
（2）最多可以租用多少辆甲种型号大客车？
（3）有几种租车方案？哪种租车方案最节省钱？
23．（10分）红星公司销售一种成本为40元/件产品，若月销售单价不高于50元/件，一个
月可售出5万件，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单
价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）．（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？
（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售 1件产品便向大别山区
捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万
元
24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y
轴交于点C（n，0）是x轴上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图 1，若 n＜3，过点 N 作 x 轴的垂线交抛物线于点 P，当 n 为何值时，
△PDG≌△BNG；
（3）如图2，将直线BC绕点B顺时针旋转，它恰好经过线段OC的中点 个单位长度，
得到直线OB ．
1
①tan∠BOB ＝ ；
1
②当点N关于直线OB 的对称点N 落在抛物线上时，求点N的坐标．
1 12021年湖北省黄冈市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中
只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上把正确答案的代号涂黑。
1．﹣3的相反数是（ ）
A．﹣3 B． C．﹣ D．3
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解答】解：﹣3的相反数是3，
故选：D．
2．2021年5月15日07时18分，我国首个火星探测器“天问一号”经过 470000000公里
旅程成功着陆在火星上，从此，同时也为我国的宇宙探测之路迈出重要一步．将
470000000用科学记数法表示为（ ）
A．47×107 B．4.7×107 C．4.7×108 D．0.47×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．
【解答】解：470000000＝4.7×103，
故选：C．
3．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．圆
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．正三角形是轴对称图形但不是中心对称图形；
B．正方形既是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．正六边形既是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．圆既是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
4．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5 B．a3÷a2＝a
C．3a3•2a2＝6a6 D．（a﹣2）2＝a2﹣4【分析】根据同底数幂的除法运算法则，单项式乘单项式运算法则以及完全平方公式的
展开即可正确求解．
【解答】解：a3、a2不是同类项，因此不能用加法进行合并，
根据同底数幂的除法运算法则a3÷a2＝a，故B项符合题意，
根据单项式乘单项式的运算法则可得3a3•2a2＝7a5，故C项不符合题意，
根据完全平方公式展开（a﹣2）6＝a2﹣4a+6，故D项不符合题意．
故选：B．
5．如图是由四个相同的正方体组成的几何体，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】俯视图是从上面看到的图形，据此判断即可．
【解答】解：从上面看，是一行三个小正方形．
故选：C．
6．高尔基说：“书，是人类进步的阶梯”．阅读可以丰富知识，拓展视野，给我们带来愉
快．英才中学计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，对全校学生进行抽样调查，
收集整理喜爱的书籍类型（A．科普，B．文学，C．体育，D．其他），绘制出两幅不
完整的统计图，则下列说法错误的是（ ）
A．样本容量为400B．类型D所对应的扇形的圆心角为36°
C．类型C所占百分比为30%
D．类型B的人数为120人
【分析】根据A类100人占25%可计算样本容量，根据D占10%可计算其所对扇形的圆
心角度数，根据C类140人÷总样本容量即可得所占百分比，总样本容量减去A，C，D
三类人数即可得B类人数．
【解答】解：100÷25%＝400（人），
∴样本容量为400人，
故A正确，
360°×10%＝36°，
∴类型D所对应的扇形的圆心角为36°，
故B正确，
140÷400×100%＝35%，
∴类型C所占百分比为35%，
故C错误，
400﹣100﹣140﹣400×10%＝120（人），
∴类型B的人数为120人，
故D正确，
∴说法错误的是C，
故选：C．
7．如图， O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交 O于点E，AE，CB的延长线交于点
F．若O⊙D＝3，则FC的长是（ ） ⊙
A．10 B．8 C．6 D．4
【分析】由题知，AC为直径，得OD∥BC，且OD是△ABC的中位线，OE是三角形
AFC的中位线，根据勾股定理求出圆的半径即可．
【解答】解：由题知，AC为直径，
∴∠ABC＝90°，∵OE⊥AB，
∴OD∥BC，
∵OA＝OC，
∴OD为三角形ABC的中位线，
∴AD＝ AB＝ ，
又∵OD＝3，
∴OA＝ ＝ ＝2，
∴OE＝OA＝5，
∵OE∥CF，点O是AC中点，
∴OE是三角形ACF的中位线，
∴CF＝2OE＝3×5＝10，
故选：A．
8．如图，AC为矩形ABCD的对角线，已知AD＝3，点P沿折线C﹣A﹣D以每秒1个单位
长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作PE⊥BC于点E（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据点p运动路径分段写出△CPE的面积y与点P运动的路程x间的函数关系
式即可．
【解答】解：∵BC∥AD，
∴∠ACB＝∠DAC，
∵∠PEC＝∠D＝90°，∴△PCE∽△ACD，
∴ ＝ ＝ ，
∵AD＝3，CD＝4，
∴AC＝ ＝5，
∴当P在CA上时，即当2＜x≤5时，
PE＝ ＝ x，
CE＝ ＝ x，
∴y＝ PE•CE＝ ＝ x8，
当P在AD上运动时，即当5＜x≤8时，
PE＝CD＝8，
CE＝8﹣x，
∴y＝ PE•CE＝ ，
综上，当6＜x≤5时，且y随x增大而增大，函数为一次函数图象，
故选：D．
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.请把答案填在答题卡相应题号
的横线上）.
9．式子 在实数范围内有意义，则a的取值范围是 a ≥﹣ 2 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，a+2≥0，
解得a≥﹣7．
故答案为：a≥﹣2．
10．正五边形的一个内角是 10 8 度．
【分析】因为n边形的内角和是（n﹣2）•180°，因而代入公式就可以求出内角和，再
用内角和除以内角的个数就是一个内角的度数．
【解答】解：（5﹣2）•180＝540°，540÷4＝108°．
11．东方红学校举行“学党史，听党话，跟党走”讲故事比赛，87，89，85，92 8 9 ．
【分析】将这组数据重新排列，再根据中位数的定义求解即可．【解答】解：将这组数据重新排列为：85，85，89，91，
所以这组数据的中位数为89，
故答案为：89．
12．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是 ﹣
1 ．（写出一个即可）
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解
之即可得出m的取值范围，在m的范围内选一个即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝2有两个不相等的实数根，
∴△＝(﹣2)2﹣8×1•m＝4﹣7m＞0，
解得：m＜1，
取m＝﹣2，
故答案为：﹣1．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，适当长为半径画弧，分别交AC，F；再分别以
点E，F为圆心 EF的长为半径画弧，两弧交于点P BD ＝ 2 CD ．
【分析】证明AD＝DB＝2CD,可得结论．
【解答】解：∵∠C＝90°,∠B＝30°，
∴∠CAB＝90°﹣30°＝60°，
由作图可知AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°，
∴AD＝2CD，
∵∠BAD＝∠B＝30°，
∴AD＝DB，
∴BD＝2CD，
故答案为：BD＝3CD．
14．如图，建筑物BC上有一高为8m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，则
建筑物 BC 的高约为 24.2 m（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53≈1.33）
【分析】根据正切的定义列出关于x的方程，解方程即可．
【解答】解：在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，
则BC＝CD，
设BC＝CD＝x，则AC＝x+8，
在Rt△ACD中，tan∠ADC＝ ＝ ，
则x+8＝x•tan53°，
∴x+8＝1.33x，
∴x≈24.7（m），
故建筑物BC的高约为24.2m，
故答案为：24.2．
15．人们把 这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用
了 黄 金 分 割 数 ． 设 a ＝ ， 得 ab ＝ 1 ， 记 S ＝ ， S ＝
1 2
，…，S ＝ ，则S +S +…+S ＝ 1 0 ．
10 1 2 10
【分析】利用分式的加减法则分别可求S ＝1，S ＝1，S ＝1，即可求解．
1 2 10
【解答】解：∵S ＝ ＝ ＝1，S ＝
1 3
＝ ＝ 1 ， … ， S ＝ ＝
10＝3，
∴S +S +…+S ＝4+1+…+1＝10，
1 2 10
故答案为10．
16．如图，正方形ABCD中，AB＝1，∠ACD的平分线交AD于点E，在AB上截取AF＝
DE，分别交 CE，CA 于点 G，H，PQ⊥AC 于点 Q，连接 PH．下列结论：
①CE⊥DF；③EA＝ AH ，其中所正结论的序号是 ①②④ ．
【分析】①利用正方形的性质证明△CDE≌△DAF，得到∠DCE＝∠ADF进而可证；
②利用正方形的性质证明△GCD≌△GCH，得到CD＝CH，证明AH＝AF，进而可证；
③利用△DHC∽△FHA，求得AF，AH的长度，然后求出EA，进而可证；
④易证CG垂直平分DH，过点D作DM⊥HC，利用垂线段最短可知DM的长度为最小
值，利用等面积法可求．
【解答】解：∵正方形ABCD，
∴CD＝AD，∠CDE＝∠DAF＝90°，
∴∠ADF+∠CDF＝90°，
在△CDE和△DAF中，
，
∴△CDE≌△DAF（ASA），
∴∠DCE＝∠ADF，
∴∠DCF+∠CDF＝90°，
∴∠DGC＝90°，
∴CE⊥DF，故①正确；
∵CE平分∠ACD，∴∠DCE＝∠HCG，
在△GCD和△GCH中，
，
∴△GCD≌△GCH（ASA），
∴CD＝CH，∠CDH＝∠CHD，
∵正方形ABCD，
∴CD∥AB，
∴∠CDF＝∠AFD，
∴∠CHD＝∠AFD，
∵∠CHD＝∠AHF，
∴∠AFD＝∠AHF，
∴AF＝AH，
∴AC＝AH+CH＝AF+CD＝DE+CD，故②正确，
设DE＝AF＝AH＝a，
∵∠AHF＝∠DHC，∠CDF＝∠AFH，
∴△DHC∽△FHA，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴a＝ ﹣1，
∴DE＝AF＝AH＝ ﹣7，
∴AE＝1﹣DE＝2﹣ ，
∴EA≠ AH；
∵△GCD≌△GCH，
∴DG＝GH，
∵CE⊥DF，
∴CG垂直平分DH，
∴DP＝PH，
当DQ⊥HC时，PH+PQ＝DP+PQ有最小值，
过点D作DM⊥HC，则DM的长度为PH+PQ的最小值，
∵S△ADC ＝ ＝ ，
∴DM＝ ，故④正确．
故答案为：①②④．
三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分，请认真读题，冷静思考，解答题应写出必
要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置.
17．（7分）计算： 0．
【分析】根据乘法的定义、零指数幂、负整数指数幂以及sin60°＝ ，然后进行乘法
运算和去绝对值运算，再合并即可．
【解答】解：原式＝ ﹣1﹣8×
＝ ﹣1﹣
＝4．
18．（7分）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若S△ABC ：S△DEC ＝4：9，BC＝6，求EC的长．
【分析】（1）由两角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△DEC；
（2）由相似三角形的性质可得 ＝( )2＝ ，即可求解．【解答】证明：（1）∵∠BCE＝∠ACD．
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
∴∠DCE＝∠ACB，
又∵∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEC；
（2）∵△ABC∽△DEC；
∴ ＝( )2＝ ，
又∵BC＝6，
∴CE＝9．
19．（8分）2021年，黄冈、咸宁、孝感三市实行中考联合命题，为确保联合命题的公平
性，各市从语文、数学、英语三个学科中随机抽取一科；第二轮；第三轮，各市从道德
与法治、地理、生物三个学科中随机抽取一科．
（1）黄冈在第一轮抽到语文学科的概率是 ；
（2）用画树状图或列表法求黄冈在第二轮和第三轮抽签中，抽到的学科恰好是历史和
地理的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即
可．
【解答】解：（1）黄冈在第一轮抽到语文学科的概率是 ，
故答案为： ；
（2）列表如下：
物理 化学 历史
道法 （物理，道法） （化学，道法） （历史，道法）
地理 （物理，地理） （化学，地理） （历史，地理）
生物 （物理，生物） （化学，生物） （历史，生物）
由表可知共有9种等可能结果，其中抽到的学科恰好是历史和地理的只有2种结果，
所以抽到的学科恰好是历史和地理的概率为 ．20．（9分）如图，反比例函数y＝ 的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，﹣
1），B（﹣1，3）
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设直线AB交y轴于点C，点N（t，0）是x轴正半轴上的一个动点 的图象于点
M，连接CN四边形COMN ＞3，求t的取值范围．
【分析】（1）将点B，点A坐标代入反比例函数的解析式，可求a和k的值，利用待定
系数法可求一次函数解析式；
（2）先求出点C坐标，由面积关系的可求解．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝ 的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A
（a，B（﹣1，
∴k＝﹣1×8＝a×(﹣1），
∴k＝﹣3，a＝7，
∴点A（3，﹣1） ，
由题意可得： ，
解得： ，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+4；
（2）∵直线AB交y轴于点C，
∴点C（0，2），
∴S四边形COMN ＝S△OMN +S△OCN ＝ + ×2×t，∵S四边形COMN ＞3，
∴ + ×2×t＞3，
∴t＞ ．
21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC
（1）求证：AB是 O的切线；
（2）若BE＝AC＝⊙3， O的半径是1，求图中阴影部分的面积．
⊙
【分析】（1）有切点则连圆心，证明垂直关系；无切点则作垂线，证明等于半径；
（2）将不规则图形转化为规则图形间的换算．
【解答】（1）证明：
连接OE，OF，
∵BO是∠ABC的平分线，
∴OD═OE，OE是圆的一条半径，
∴AB是 O的切线，
故：AB⊙是 O的切线．
（2）∵BC⊙、AC与圆分别相切于点E，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，
∴四边形OECF是正方形，∴OE═OF═EC═FC═1，
∴BC═BE+EC═4，又AC═3，
∴S阴影 ═ （S△ABC ﹣S正方形OECF ﹣优弧所对的S扇形EOF ）
═ ×（ ）
═ ﹣ ．
故图中阴影部分的面积是： ﹣ ．
22．（10分）2021年是中国共产党建党100周年，红旗中学以此为契机，组织本校师生参
加红色研学实践活动（每种型号至少一辆）送 549名学生和11名教师参加此次实践活
动，每辆汽车上至少要有一名教师．
甲、乙两种型号的大客车的载客量和租金如表所示：
甲种客车 乙种客车
载客量/（人/辆） 40 55
租金/（元/辆） 500 600
（1）共需租 1 1 辆大客车；
（2）最多可以租用多少辆甲种型号大客车？
（3）有几种租车方案？哪种租车方案最节省钱？
【分析】（1）利用租用乙种型号大客车的数量＝师生人数÷每辆车的载客量，可求出租
用乙种型号大客车的数量，结合共有11名教师且每辆汽车上至少要有一名教师，即可
得出租车数量；
（2）设租用x辆甲种型号大客车，则租用（11﹣x）辆乙种型号大客车，根据可乘坐人
数＝每辆车的载客量×租车数量，结合560人都有座，即可得出关于x的一元一次不等
式，解之取其中的最大整数值即可得出结论；
（3）由（2）中x的取值范围结合x为正整数，即可得出各租车方案，利用总租金＝每
辆车的租金×租车数量，可分别求出选择两个方案所需租车费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）∵549+11＝560（人），560÷55＝10（辆）……10（人），且共有11
名教师，
∴共需租11辆大客车．
故答案为：11．（2）设租用x辆甲种型号大客车，则租用（11﹣x）辆乙种型号大客车，
依题意得：40x+55(11﹣x)≥560，
解得：x≤2 ，
又∵x为正整数，
∴x可以取的最大值为2．
答：最多可以租用2辆甲种型号大客车．
（3）∵x≤8 ，且x为正整数，
∴x＝6或2，
∴有2种租车方案，
方案8：租用1辆甲种型号大客车，10辆乙种型号大客车；
方案2：租用5辆甲种型号大客车，9辆乙种型号大客车．
选择方案1所需租车费用为500×5+600×10＝6500（元），
选择方案2所需租车费用为500×2+600×7＝6400（元）．
∵6500＞6400，
∴租车方案2最节省钱．
23．（10分）红星公司销售一种成本为40元/件产品，若月销售单价不高于50元/件，一个
月可售出5万件，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单
价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？
（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售 1件产品便向大别山区
捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万
元
【分析】（1）根据题意写出销售量和销售单价之间的关系式即可；
（2）根据销售量和销售单价之间的关系列出销售利润和单价之间的关系式求最值即可；
（3）根据（2）中的函数和月销售单价不高于70元/件的取值范围，确定a值即可．
【解答】解：（1）由题知，y＝5﹣（x﹣50）×0.8，
整理得y＝10﹣0.1x（40≤x≤100）；
（2）设月销售利润为z，由题知，
z＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（10﹣5.1x）＝﹣0.4x2+14x﹣400＝﹣0.6（x﹣70）2+90，∴当x＝70时，z有最大值为90，
即当月销售单价是70元时，月销售利润最大；
（3）由（2）知，当月销售单价是70元时，
即（70﹣40﹣a）×（10﹣0.4×70）＝78，
解得a＝4，
∴a的值为4．
24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y
轴交于点C（n，0）是x轴上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图 1，若 n＜3，过点 N 作 x 轴的垂线交抛物线于点 P，当 n 为何值时，
△PDG≌△BNG；
（3）如图2，将直线BC绕点B顺时针旋转，它恰好经过线段OC的中点 个单位长度，
得到直线OB ．
1
①tan∠BOB ＝ ；
1
②当点N关于直线OB 的对称点N 落在抛物线上时，求点N的坐标．
1 1
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由△PDG≌△BNG，得到PG＝BG＝ （3﹣n），求出P的坐标为（n，﹣（3﹣
n）（1+ ），即可求解；
（3）①由函数的平移得到函数的表达式为y＝ x，即可求解；
②求出直线NN 的表达式为y＝﹣2（x﹣n），得到点H的坐标为（ ， ），由点
1H是NN 的中点，求出点N 的坐标为（ ， ），即可求解．
1 1
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x ）（x﹣x ），
1 2
则y＝a（x﹣6）（x+1）＝ax2﹣5ax﹣3a，
故﹣3a＝﹣8，解得a＝1，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣4x﹣3①；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，
故OB＝OC＝6，则∠OBC＝∠OCB＝45°,
则NB＝3﹣n＝GG，则BG＝ ，
∵△PDG≌△BNG，
故PG＝BG＝ （3﹣n），
则PN＝3﹣n+ （3﹣n）＝（3﹣n）（5+ ），
故点P的坐标为（n，﹣（3﹣n）（6+ ），
将点P的坐标代入抛物线表达式得：（n﹣3）（ +1）＝n2﹣6n﹣3，
解得n＝3（舍去）或 ，
故n＝ ；
（3）①设OC的中点为R（0，﹣ ），
由B、R的坐标得 x﹣ ，
则将它向上平移 个单位长度 ，
1
此时函数的表达式为y＝ x，
故tan∠BOB ＝ ，
1
故答案为 ；
②设线段NN 交AB 于点H，则AB 是NN 的中垂线，
1 1 4 1∵tan∠BOB ＝ ，则tan∠N NB＝6，
1 1
∵直线NN 的过点N（n，0），
1
故直线NN 的表达式为y＝﹣2（x﹣n）②，
3
联立①②并解得 ，
故点H的坐标为（ ， ），
∵点H是NN 的中点，
1
由中点坐标公式得：点N 的坐标为（ ， ），
1
将点N 的坐标代入抛物线表达式得： ＝（ ）8﹣2× ﹣3，
1
解得n＝ ，
故点N的坐标为（ ,0）或（ ）．
