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辽宁省丹东市 2021 中考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共24分）
1. 的相反数是（ ）
A. 5 B. C. D. 0.5
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图是由几个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 若一组数据1，3，4，6，m的平均数为4，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 4，6 B. 4，4 C. 3，6 D. 3，4
5. 若实数k、b是一元二次方程 的两个根，且 ，则一次函数 的图象不经
过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6. 如图，在矩形 中，连接 ，将 沿对角线 折叠得到 交 于点O， 恰好平分
，若 ，则点O到 的距离为（ ）
A. B. 2 C. D. 37. 如图，点A在曲线到 上，点B在双曲线 上， 轴，点C是x轴上一点，
连接 、 ，若 的面积是6，则k的值（ ）
.
A B. C. D.
8. 已知抛物线 ，且 ．判断下列结论：① ；
② ；③抛物线与x轴正半轴必有一个交点；④当 时， ；⑤该抛物线
与直线 有两个交点，其中正确结论的个数（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
第二部分 主观题
二、填空题（每小题3分，共24分）
9. 按照现行贫困标准计算，中国770000000村贫困人口摆脱贫困，将数据770000000用科学记数法表示 为
_________．
10. 在函数 中，自变量x的取值范围_________．
11. 分解因式： ＝________．
12. 关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
13. 不等式组 无解，则m的取值范围_________．
14. 如图，在 中， 的垂直平分线交 于点D，交 于点 ，点F是 的中点，
连接 、 ，若 ，则 的周长为_________．
15. 如图，在矩形 中，连接 ，过点C作 平分线 的垂线，垂足为点E，且交 于点F；过点C作 平分线 的垂线，垂足为点H，且交 于点G，连接 ，若 ， ，则线段 的长
度为_________．
16. 已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果 是锐角（或直角）三
角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足 ．（例如：等边三角形的费
马点是其三条高的交点）．若 ，P为 的费马点，则
_________；若 ，P为 的费马点，则 _________．
三、（每小题8分，共16分）
17. 先化简，再求代数式 的值： ，其中 ．
18. 如图，在 中，点O是 的中点，连接 并延长交 的延长线于点E，连接 、 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ，判断四边形 的形状，并说明理由．
四、（每小题10分，共20分）
19. 某中学为了增强学生体质，计划开设A：跳绳，B：毽球，C：篮球，D：足球四种体育活动，为了解
学生对这四种体育活动的喜欢情况，对部分学生进行抽样调查（每人只能选择一种体育活动），并绘制成
如图所示的两幅不完全的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：（1）求这次抽样调查的学生有多少人？
（2）求出B所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；
（3）若该校有800名学生，请根据抽样调查结果估计喜欢B的人数．
20. 一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球，其中2个红球，2个白球，摇匀后从中一次性摸出
两个小球．
（1）请用列表格或画树状图的方法列出所有可能性；
（2）若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球颜色不同，乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公
平吗？请说明理由．
五、（每小题10分，共20分）
21. 为落实“乡村振兴计划”的工作要求，某区政府计划对乡镇道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成，
已知乙队比甲队每天少改造20米，甲队改造400米的道路与乙队改造300米的道路所用时间相同，求甲、
乙两个工程队每天改造的道路长度分别是多少米？
22. 如图， 是 的外接圆，点D是 的中点，过点D作 分别交 、 的延长线于点E和
点F，连接 、 ， 的平分线 交 于点M．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求线段 的长．
六、（每小题10分，共20分）
23. 如图，一架无人机在空中A处观测到山顶B的仰角为 ，山顶B在水中的倒影C的俯角为 ，此时无人机距水面的距离 米，求点B到水面距离 的高度．
（参考数据： ， ， ， ，
， ）
24. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量
为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．
（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范
围）
（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为
了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
七、（本题12分）
25. 已知,在正方形 中,点M､N为对角线 上的两个动点,且 ,过点M、N分别作 ､ 的垂线
相交于点E,垂足分别为F､G,设 的面积为 , 的面积为 , 的面积为 ．（1）如图（1）,当四边形 为正方形时,
①求证: ;
②求证: ;
（2）如图（2）,当四边形 为矩形时,写出 , , 三者之间的数量关系,并说明理由;
（3）在（2）的条件下,若 ,请直接写出 的值．
八、（本题14分）
26. 如图，已知点 ，点 ，直线 过点B交y轴于点C，交x轴于点D，抛物线
经过点A、C、D，连接 、 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断 的形状，并说明理由；
（3）E为直线 上方的抛物线上一点，且 ，求点E的坐标；
（4）N为线段 上的动点，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段 运动到点N，再以每
秒 个单位长度的速度沿线段 运动到点C，又以每秒1个单位长度的速度沿线段 向点O运动，当点P
运动到点O后停止，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点N的坐标．
