文档内容
长沙市一中 2024 届高三月考试卷 (七)
数学试卷
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 样本数据 15、13、12、31、29、23、43、19 、17、38 的中位数为 ( )
(A) 19 (B) 23 (C) 21 (D) 18
{ (cid:12) }
(cid:12)
2. 已知集合 A= x(cid:12) ex2(cid:0)2x ⩽1 , B =f(cid:0)1; 0; 1g, 则集合 A\B 的非空子集个数为 ( )
(A) 4 (B) 3 (C) 8 (D) 7
3. 已知实部为 3 的复数 z 满足 z(cid:1)(1(cid:0)2i) 为纯虚数, 则 jzj= ( )
p
p
3 3 5
(A) 2 (B) (C) (D) 5
2 2
4. 已知数列 fa g 满足 a =3n(cid:0)b (n2N(cid:3); b2R), 则“b<3”是“fja jg 是递增数列”的 ( )
n n n
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
sin2(cid:18)
5. 已知 tan(cid:18) =2, 则 = ( )
2cos2(cid:18)+4sin2(cid:18)
1 2
(A) (B) 2 (C) 1 (D)
3 9
6. 过抛物线 E: y2 =2px (p>0) 的焦点 F 的直线交 E 于点 A, B, 交 E 的准线 l 于点 C, AD ?l, 点 D 为垂足.
若 F 是 AC 的中点, 且 jAFj=3, 则 jABj= ( )
p p
(A) 4 (B) 2 3 (C) 3 2 (D) 3
7. 已知双曲线 C: kx2(cid:0)y2 =1 的左焦点为 F, P(3m;(cid:0)4m) (m>0) 为 C 上一点, 且 P 与 F 关于 C 的一条渐近
线对称, 则 C 的离心率为 ( )
p
p p
5
(A) (B) 3 (C) 2 (D) 5
2
8. 已知函数 f(x) 的定义域为 R, 且满足 f(x)+f(3(cid:0)x) = 4, f(x) 的导函数为 g(x), 函数 y = g(x(cid:0)1) 的图象关
( )
3
于点 (2;1) 中心对称, 则 f +g(2024)= ( )
2
(A) 3 (B) (cid:0)3 (C) 1 (D) (cid:0)1
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得
6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
1 1
9. 已知函数 f(x)= cos2x+ sin2x, 则 ( )
2 2
( )
(cid:25)
(A) 函数 f x(cid:0) 关于原点对称
8
(cid:25) k(cid:25)
(B) 曲线 y =f(x) 的对称轴为 x= + , k 2Z
12 2
1
{#{QQABAQ4UogAAAoBAABgCAQUwCgAQkBAAAIoGgEAEMAAACQFABAA=}#}( )
(cid:25) 5(cid:25)
(C) f(x) 在区间 ; 单调递减
8 8
(D) 曲线 y =f(x) 在点 (0;f(0)) 处的切线方程为 2x(cid:0)2y+1=0
2(cid:25)
10. 已知二面角 A(cid:0)CD(cid:0)B 的大小为 , AC ?CD, BD ?CD, 且 CD =1, AC+BD =2, 则 ( )
3
(A) △ABD 是钝角三角形 (B) 异面直线 AD 与 BC 可能垂直
p
p
3
(C) 线段 AB 长度的取值范围是 [2; 5) (D) 四面体 A(cid:0)BCD 体积的最大值为
4
11. 甲、乙两同学参加普法知识对抗赛, 规则是每人每次从题库中随机抽取一题回答. 若回答正确, 得 1 分, 答题继
1
续; 若回答错误, 得 0 分, 同时换成对方进行下一轮答题. 据经验统计, 甲、乙每次答题正确的概率分别是 和
2
2
, 且第 1 题的顺序由抛掷硬币决定. 设第 i 次答题者是甲的概率为 P , 第 i 次回答问题结束后中甲的得分是 K ,
3 i i
则 ( )
1 5
(A) P = (B) P (K =1)=
2 4 2 24
1 1 1
(C) P i+1 = 6 P i + 3 (D) E(K i )= 2 P i +K i(cid:0)1 (i⩾2)
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. (x+3y)(x(cid:0)y)8 的展开式中 x3y6 的系数为 .
13. 已知动点 P 在圆 M: (x(cid:0)m+1)2+(y(cid:0)m)2 =1 上, 动点 Q 在曲线 y =lnx 上. 若对任意的 m2R, jPQj⩾n
恒成立, 则 n 的最大值是 .
p p
14. 已知正六棱锥的高是底面边长的 2 3 倍, 侧棱长为 13, 正六棱柱内接于正六棱锥, 即正六棱柱的所有顶点均在
正六棱锥的侧棱或底面上, 则该正六棱柱的外接球表面积的最小值为 .
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 盒中有形状、大小均相同的卡片 6 张, 卡片依次标记数字 1, 2, 2, 3, 3, 3.
(1) 若随机一次取出两张卡片, 求这两张卡片标记数字之差为 1 的概率;
(2) 若每次随机取出两张卡片后不放回, 直到将所有标记数字为 2 的卡片全部取出, 记此时盒中剩余的卡片数量
X, 求 X 的分布列和 E(X).
16. 如图三棱锥 P (cid:0)ABC 中, PA=BC, AB =PC, AC ?PB.
(1) 证明: AB =BC;
p
(2) 若平面 PAC ? 平面 ABC, AC = 2AB, 求二面角 A(cid:0)PB(cid:0)C 的余弦值.
P
A C
B
2
{#{QQABAQ4UogAAAoBAABgCAQUwCgAQkBAAAIoGgEAEMAAACQFABAA=}#}17. 已知定义在 (0;(cid:25)) 上的函数 f(x)=cos2x+sinx.
(1) 求 f(x) 的极大值点;
1
(2) 证明: 对任意 x2(0;1), f(x)> x4(cid:0)x2+1.
4
x2 y2 # (cid:20) # (cid:20) # (cid:20) # (cid:20)
18. 已知椭圆C: + =1(a>b>0)的上、下顶点分别为A(0;1),B(0;(cid:0)1),其右焦点为F,且FA(cid:1)BA=FA(cid:1)FB.
a2 b2
(1) 求椭圆 C 的方程;
# (cid:20) # (cid:20) # (cid:20)
(2) 若点 P(2;(cid:0)1), 在直线 BP 上存在两个不同的点 P , P 满足 PP (cid:1)PP =PB2. 若直线 AP 与直线 AP 分
1 2 1 2 1 2
别交 C 于点 M, N (异于点 A), 证明: P, M, N 三点共线.
19. 定义△ABC 三边长分别为a,b,c,则称三元无序数组(a;b;c)为三角形数. 记D 为三角形数的全集,即(a;b;c)2
D.
p p p
(1) 证明: “(a;b;c)2D”是“( a; b; c)2D”的充分不必要条件;
# (cid:20) # (cid:20) # (cid:20)
(2) 若锐角 △ABC 内接于圆 O, 且 xOA+yOB+zOC =0, 设 I =(x;y;z) (x; y; z >0).
① 若 I =(3;4;5), 求 S△AOB :S△AOC ;
② 证明: I 2D.
3
{#{QQABAQ4UogAAAoBAABgCAQUwCgAQkBAAAIoGgEAEMAAACQFABAA=}#}
