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辽宁省盘锦市 2021 年中考数学真题试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1. 3的相反数是（ ）
A. 3 B. -3 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相反数的定义进行解答即可．
【详解】解：3的相反数是-3，
故选B．
【点睛】本题考查的是相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
2. 图中三视图对应的正三棱柱是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由俯视图得到正三棱柱两个底面在竖直方向，由主视图得到有一条侧棱在正前方
从而求解
【详解】解：由俯视图得到正三棱柱两个底面在竖直方向，由主视图得到有一条侧棱在正
前方，于是可判定A选项正确．
故选A．
【点睛】本题考查由三视图判断几何体，掌握几何体 的三视图是本题的解题关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用合并同项类，负整数指数幂的运算法则，积的乘方的法则，单项式除以单项式的法则对各选项进行运算即可．
【详解】解： 、 和 不是同类项，不能合并，故 不符合题意；
、 ，故 不符合题意；
、 ，故 不符合题意；
、 ，故 符合题意．
故选： ．
【点睛】本题主要考查合并同类项，积的乘方，负整数指数幂，单项式除以单项式，解答
的关键是对合并同类项的法则，积的乘方的法则，负整数指数幂的法则，单项式除以单项
式的法则的掌握与运用．
4. 空气是由多种气体混合而成 的，为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统
计图是（ ）
A. 条形图 B. 扇形图 C. 折线图 D. 频数分
布直方图
【答案】B
【解析】
【分析】由扇形统计图 的意义即可求得．
【详解】由题意可知，为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是扇形
统计图，
故选：B．
【点睛】此题考查了扇形统计图的意义，解题的关键是熟记扇形统计图的意义．
5. 下列命题正确的是（ ）
A. 同位角相等 B. 相等的圆心角所对的弧相等
C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边
的一半
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线 的性质、圆周角定理、矩形的判定方法及直角三角形的性质分别判断
后即可确定正确的选项．
【详解】解： 、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，不符合题意；
、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意；
、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确，符合题意；
故选： ．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、圆周角定理、矩形的判定方法及直角三角形的性质等知识，难度不大．
6. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ）
A. 调查某班学生的身高情况
B. 调查亚运会100m游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况
C. 调查某批汽车的抗撞击能力
D. 调查一架“歼10”隐形战斗机各零部件的质量
【答案】C
【解析】
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查
得到的调查结果比较近似解答．
【详解】解：A．调查某班学生的身高情况，适合全面调查，故本选项不符合题意；
B．调查亚运会100m游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况，适合全面调查，故本选项不符合
题意；
C．调查某批汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故本选项符合题意；
D．调查一架“歼10”隐形战斗机各零部件的质量，适合全面调查，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考
查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意
义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普
查．
7. 如图，已知直线AB和AB上的一点C，过点C作直线AB的垂线，步骤如下：
第一步：以点C为圆心，以任意长为半径作弧，交直线AB于点D和点E；
第二步：分别以点D和点E为圆心，以 为半径作弧，两弧交于点F；
第三步：作直线CF，直线CF即为所求．
下列关于 的说法正确的是（ ）
A. ≥ B. ≤ C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的步骤，结合三角形三边关系判断即可．【详解】解：由作图可知，分别以点 和点 为圆心，以 为半径作弧，两弧交于点 ，
此时 ，
故选： ．
【点睛】本题考查作图 基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从末望水岸，入径四寸，问井深几
何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由示意
图获得．设井深为 尺，所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图，设AD交BE于K．利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，设AD交BE于K．
∵DK∥BC，
∴△EKD∽△EBC，
∴ ，
∴ ，故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
9. 甲、乙、丙、丁四人10次随堂测验的成绩如图所示，从图中可以看出这10次测验平均
成绩较高且较稳定的是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】C
【解析】
【分析】利用平均数和方差的意义进行判断．
【详解】解：由折线统计图得：丙、丁的成绩在92附近波动，甲、乙的成绩在91附近波
动，
∴丙、丁的平均成绩高于甲、乙，
由折线统计图得：丙成绩的波动幅度小于丁成绩的波动幅度，
∴这四人中丙的平均成绩好又发挥稳定，
故选：C．
【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做
这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，与平均值的离散
程度越差，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查
了折线统计图．
10. 如图，四边形ABCD是菱形，BC＝2，∠ABC＝60°，对角线AC与BD相交于点O，线
段BD沿射线AD方向平移，平移后的线段记为PQ，射线PQ与射线AC交于点M，连结
PC，设OM长为 ，△PMC面积为 ．下列图象能正确反映出 与 的函数关系的是（
）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由四边形ABCD是菱形，BC＝2，∠ABC＝60°，可求出AC、AO、OC的长，再设
OM＝x，利用解直角三角形表示出PM，分点M在线段OC上（不含点O）时和当点 在
线段OC延长线上时两种情况分别表示出y再结合函数图象即可判断出正确答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC＝2，∠BAD＝180°−∠ABC＝120°，
∴∠DAO＝ ∠BAD＝60°，
∴△DAC是等边三角形，
∴AD＝AC＝2，
∴AO＝CO＝ AC＝1，
设OM＝x，
∵AC⊥BD，PQ为BD平移而来，
∴∠AOD＝∠AMP＝90°，
∴△AMP为直角三角形，
∴PM＝AM•tan∠PAM＝ （1＋x），
①当点M在线段OC上（不含点O）时，
即0≤x＜1，此时CM＝1−x，
则y＝ （1−x）× （1＋x）＝− ，∴0≤x＜1，函数图象开口应朝下，
故B、C不符合题意，
②当点 在线段OC延长线上时，即x＞1，如图所示：
此时C ＝x−1，
则y＝ （x−1）× (x＋1)＝ ，
∴只有D选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形面积，解直角三角形，二次函数图象等知识，熟
练掌握上述知识并能分点M在线段OC上（不含点O）时和当点 在线段OC延长线上时
两种情况分别表示出y再结合函数图象进行判断是解题的关键．
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11. 建党100周年期间，我市人社系统不断提升服务能力和水平，让我市约1 300 000参保
人员获得更高质量的社会保障福祉．数据1 300 000用科学记数法表示为________
【答案】1.3×106
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为整数，确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解
即可得到答案.
【详解】解： 1300000=
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义.
12. 分解因式： ＝________
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式2，然后利用平方差公式求解即可得到答案.
【详解】解：故答案为： .
【点睛】本题主要考查了分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握分解因式的方法.
13. 计算： ＝________
【答案】
【解析】
【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式
．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了绝对值的性质以及二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．
14. 从不等式组 的所有整数解中任取一个数，它是偶数的概率是________
【答案】
【解析】
【分析】首先求得不等式组 的所有整数解，然后由概率公式求得答案．
【详解】解：∵ ，
由①得：x≥1，
由②得：x≤5，
∴不等式组的解集为：1≤x≤5，
∴整数解有：1，2，3，4，5；
∴它是偶数的概率是 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了概率公式的应用以及不等式组的解集．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15. 如图,⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是2cm,则图中三个扇形(即阴影部分)面积
之和是_____cm2
【答案】2π
【解析】
【分析】因为三个小扇形所在圆半径相等，根据三角形的内角和是 180度，将三个小扇形
组合成一个半圆，即可求面积．
【详解】解：S = =2π．
阴影
故答案是：2π．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算；三角形内角和定理．熟记公式是关键．
16. 如图，在平面直角坐标系 中，点A在 轴负半轴上，点B在 轴正半轴上，⊙D
经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是________
【答案】D（ ，1）
【解析】
【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO＝60°，再根据圆周角定理得到AB为⊙D
的直径，则D点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝2，OA
＝2 ，所以A（−2 ，0），B（0，2），然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标．
【详解】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，
∴∠ABO＋∠ACO＝180°，
∴∠ABO＝180°−120°＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙D的直径，
∴D点为AB的中点，
在Rt△ABO中，∵∠ABO＝60°，∴OB＝ AB＝2，
∴OA＝ OB＝2 ，
∴A（−2 ，0），B（0，2），
∴D点坐标为（− ，1）．
故答案为（− ，1）．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等
于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的
弦是直径．也考查了坐标与图形性质．
17. 如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AD于点E，
分别以点C，E为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AD的
延长线于点F，∠CBE＝60°，BC＝6，则BF的长为________
【答案】
【解析】
【分析】利用基本作图得到 ， 平分 ，则 ，
再根据平行四边形的性质和平行线的性质证明 ，所以 ，过
点作 于 ，如图，则 ，然后利用30°的三角函数值即可求出 ，
从而得到 的长．
【详解】解：由作法得 ， 平分 ，
又∵∠CBE＝60°，
，
四边形 为平行四边形，
，
，
，
，
如图，过 点作 于 ，∵ ， ，
∴ ，
在 中， ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了作图 复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，
结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的
性质、等腰三角形的判定及性质以及解直角三角形的应用．
18. 如图，四边形ABCD为矩形，AB＝ ，AD＝ ，点P为边AB上一点．以DP为
折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A'．连结AA'，AA' 交PD于点M，点Q为线段BC
上一点，连结AQ，MQ，则AQ＋MQ的最小值是________
【答案】
【解析】
【分析】如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．想
办法求出RM，RT，求出MT的最小值，再根据QA＋QM＝QM＋QT≥MT，可得结论．
【详解】解：如图，作点A关于BC的对称点T，
取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．∵四边形ABCD是矩形，
∴∠RAT＝90°，
∵AR＝DR＝ ，AT＝2AB＝4 ，
∴RT＝ ，
∵A，A′关于DP对称，
∴AA′⊥DP，
∴∠AMD＝90°，
∵AR＝RD，
∴RM＝ AD＝ ，
∵MT≥RT−RM，
∴MT≥4 ，
∴MT的最小值为4 ，
∵QA＋QM＝QT＋QM≥MT，
∴QA＋QM≥4 ，
∴QA＋QM的最小值为4 ．
故答案为：4 ．
【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是求出MT
的最小值，属于中考常考题型．
三、解答题（共96分）
19. 先化简，再求值： ，其中
【答案】 ，
【解析】
【分析】先利用平方差公式和完全平方公式对原式进行分解因式化简，然后代入值计算即
可得到答案.【详解】解：原式＝
＝
当 时，
原式＝
【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简求解，解题的关键在于能够熟练掌握因式
分解的方法.
20. 某校七、八年级各有500名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，
从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成
绩均为整数，满分10分，8分及以上为优秀），相关数据统计、整理如下：七年级抽取学
生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10；
（1）填空： ＝________， ＝________；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请
说明理由（写出一条即可）；
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加市党史知识竞赛，请用列
表或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
【答案】（1） ＝8， ＝8；（2）见解析；（3）700人；（4）图表见解析，
【解析】
【分析】（1）根据中位数的定义： 可以直接从所给数据求得， 从所给条形图分析解决；
（2）七、八年级的平均数和中位数相同，七年级的优秀率大于八年级的优秀率，即可求解；
（3）由七、八年级的总人数分别乘以优秀率，再相加即可；
（4）根据题意列表，然后求出所有的等可能的结果数，然后求出恰好每个年级都有一个的
结果数，然后计算即可.
【详解】解：（1）由题意可知： ＝8， ＝8；（2）七年级学生的党史知识掌握得较好，理由如下：
∵七年级和八年级的平均数相同，但是七年级的优秀率大于八年级的优秀率
∴七年级学生 的党史知识掌握得较好；
（3）从现有样本估计全年级，七年级达到优秀的人数可能有500人×80%＝400人，
八年级达到优秀的人数可能有500人×60%＝300人，
所以两个年级能达优秀的总人数可能会有700人；
（4）把七年级的学生记做A，八年级的三名学生即为B、C、D，列表如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
由表知，一共有12种等可能性的结果，恰好每个年级都有一个的结果数是6，
两人中恰好是七八年级各1人的概率是 ．
【点睛】本题主要考查了统计与概率，用样本估计总体，列表或画树状图求概率，中位数
的定义等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
21. 如图，直线 交 轴于点M，四边形OMAE是矩形，S ＝4，反比例函
矩形OMAE
数 的图象经过点A，EA的延长线交直线 于点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点B在 轴上，且AB＝AD，求点B的坐标．
【答案】（1） ；（2）点B为B（－2，0），B（4，0）
1 2
【解析】
【分析】（1）根据直线 可求出与x轴交点M的坐标，再根据S ＝4，可
矩形OMAE以确定点A的坐标，进而求出k的值，确定反比例函数关系式；
（2）根据一次函数的关系式求出点D的坐标，得出AD的长，于是分两种情况进行解答，
即点B在点M的左侧和右侧，由勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）求得直线 与 轴交点坐标为M（1，0），则OM＝1，
而S ＝4，即OM·AM＝4，
矩形OMAE
∴AM＝4，
∴A（1，4）；
∵反比例函数的图象过点A（1，4），
∴ ，
∴所求函数为 ；
（2）∵点D在EA延长线上，
∴直线AD： ，
求得直线 与直线 的交点坐标为D（6，4），
∴AD＝5；
设B（ ，0），则BM＝ ，
Rt△ABM中，AB＝AD＝5，AM＝4，
∴BM＝3，即 ＝3，则 ， ，
∴所求点B为B（－2，0），B（4，0）．
1 2
【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的交点，理解一次函数、反比例函数图象的意义
是解决问题的前提，将点的坐标代入是常用的方法．
22. 如图，小华遥控无人机从点A处飞行到对面大厦MN的顶端M，无人机飞行方向与水平
方向的夹角为37°，小华在点A测得大厦底部N的俯角为31°，两楼之间一棵树EF的顶
点E恰好在视线AN上，已知树的高度为6米，且 ，楼AB，MN，树EF均垂直于
地面，问：无人机飞行的距离AM约是多少米？（结果保留整数．参考数据：
cos31°≈0.86， tan31°≈0.60， cos37°≈0.80， tan37°≈0.75）【答案】38米
【解析】
【分析】过 作 于 ，易证 ，得 ，则
，再由锐角三角函数求出 ，然后在 中，由锐角三角函数定
义求出 的长即可．
【详解】解：过 作 于 ，如图所示：
则 ， ，
，
，
由题意得： ， ， ，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
即无人机飞行的距离 约是 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，相似三角形的应用等知识，正
确作出辅助线构造直角三角形，证明 是解题的关键．
23. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点D作 ，DG交线段AC于点G，交AB于点E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠A＝∠D．
（1）求证：BD与⊙O相切；
（2）若AE＝OE，CF平分∠ACB，BD＝12，求DE的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）如图1，延长 至 ，证明 ，即可根据切线的判定可得
与 相切；
（2）如图2，连接 ，先根据圆周角定理证明 ，再证明 ，列
比例式可得 ，即 的半径为4，根据勾股定理可得 的长．
【详解】（1）证明：如图1，延长 至 ，
，
，
，
，
是 的直径，
，
，
，
，∴AB⊥BD，
与 相切；
（2）解：如图2，连接 ，
平分 ，
，
，
∴∠AOF＝∠BOF＝90°，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理等知
识，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定，第2问关键是证明 ．
24. 某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10
万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出
4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床台．
（1）当 时，完成以下两个问题：
①请补全下面的表格：
A型 B型
车床数量/台 ________
每台车床获利/万元 10 ________
②若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B
型车床多少台？
（2）当0＜ ≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，如何分
配生产并销售A，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润．
【答案】（1）① ， ；②10台；（2）分配产销A型车床9台、B型车床5台；
或产销A型车床8台、B型车床6台，此时可获得总利润最大值170万元
【解析】
【分析】（1）①由题意可知，生产并销售B型车床x台时，生产A型车床（14-x）台，当
时，每台就要比17万元少（ ）万元，所以每台获利 ，也就是（
）万元；
②根据题意可得根据题意： 然后解方程即可；
（2）当0≤ ≤4时，W＝ ＋ ＝ ，当4＜ ≤14时，
W＝ ，分别求出两个范围内的最大值即可得到答案.
【详解】解：（1）当 时，每台就要比17万元少（ ）万元
所以每台获利 ，也就是（ ）万元
①补全表格如下面：
A型 B型
车床数量/台
每台车床获利/万元 10
②此时，由A型获得的利润是10（ ）万元，
由B型可获得利润为 万元，
根据题意： ， ，
，∵0≤ ≤14， ∴ ，
即应产销B型车床10台；
（2）当0≤ ≤4时，当0≤ ≤4 A型 B型
车床数量/台
每台车床获利/万元 10 17
利润
此时，W＝ ＋ ＝ ，
该函数值随着 的增大而增大，当 取最大值4时，W ＝168（万元）；
最大1
当4＜ ≤14时，
当4＜ ≤14 A型 B型
车床数量/台
每台车床获利/万元 10
利润
则W＝ ＋ ＝ ＝ ，
当 或 时（均满足条件4＜ ≤14），W达最大值W ＝170（万元），
最大2
∵W ＞ W ，
最大2 最大1
∴应分配产销A型车床9台、B型车床5台；或产销A型车床8台、B型车床6台，此时可
获得总利润最大值170万元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一次函数和二次函数的实际应用，解
题的关键在于能够根据题意列出合适的方程或函数关系式求解.
25. 如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点E在BC
上，点F在CD上，N为EF的中点，连结NA，以NA，NF为邻边作□ANFG．连结DG，
DN，将Rt△ECF绕点C顺时针方向旋转，旋转角为 （0°≤ ≤360°）．
（1）如图1，当 ＝0°时，DG与DN的关系为____________________；
（2）如图2，当 时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；
若不成立，请说明理由；
（3）在Rt△ECF旋转的过程中，当□ANFG的顶点G落在正方形ABCD的边上，且AB＝12，EC＝ 时，连结GN，请直接写出GN的长．
【答案】（1）DG＝DN，且DG⊥DN；（2）成立，理由见解析；（3）GN＝ 或
【解析】
【分析】（1）如图 1 中，连接 AE，AF，CN．证明△GAD≌△NCD（SAS），推出
DG=DN，∠ADG=∠CDN，推出∠GDN=∠ADC=90°，可得结论；
（2）如图 2 中，作直线 EF 交 AD 于 J，交 BC 于 K，连接 CN．证明△GAD≌△NCD
（SAS），推出DG=DN，∠ADG=∠CDN，推出∠GDN=∠ADC=90°，可得结论；
（3）分两种情形：如图3-1中，当点G落在AD上时，如图3-2中，当点G落在AB上时，
分别利用勾股定理求出GN即可．
【详解】解：（1）如图1中，连接AE，AF，CN．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CB=CD，∠B=∠ADF=90°，
∵CE=CF，
∴BE=DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF，
∵EN=NF，
∴AN⊥EF，CN=NF=EN，
∵CE=CF，EN=NF，
∴CN⊥EF，
∴A，N，C共线，
∵四边形ANFG是平行四边形，∠ANF=90°，
∴四边形ANFG是矩形，
∴AG=FN=CN，∠GAN=90°，
∵∠DCA=∠DAC=45°，
∴∠GAD=∠NCD=45°，
∴△GAD≌△NCD（SAS），∴DG=DN，∠ADG=∠CDN，
∴∠GDN=∠ADC=90°，
∴DG⊥DN，DG=DN．
故答案为：DG⊥DN，DG=DN；
（2）结论成立．
理由：如图2中，作直线EF交AD于J，交BC于K，连接CN．
∵四边形ANFG是平行四边形，
∴AG∥KJ，AG=NF，
∴∠DAG=∠J，
∵AJ∥BC，
∴∠J=∠CKE，
∵CE=CF，EN=NF，
∴CN=NE=NF=AG，CN⊥EF，
∴∠ECN=∠CEN=45°，
∴∠EKC+∠ECK=∠ECK+∠DCN，
∴∠DCN=∠CKE，
∴∠GAD=∠DCN，
∵GA=CN，AD=CD，
∴△GAD≌△NCD（SAS），
∴DG=DN，∠ADG=∠CDN，
∴∠GDN=∠ADC=90°，
∴DG⊥DN，DG=DN；
（3）如图3-1中，当点G落在AD上时，∵△ECN是等腰直角三角形，EC=5 ，
∴EN=CN=NF=5，
∵四边形ANFG是平行四边形，
∴AG=NF=5，
∵AD-CD=12，
∴DG=DN=7，
∴GN=7 ．
如图3-2中，当点G落在AB上时，
同法可证，CN=5，
∵△DAG≌△DCN，
∴AG=CN=5，
∴BG=AB-AG=7，BN=BC+CN=17，
综上所述，满足条件的GN的值为 或
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直
角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
26. 如图，抛物线 与 轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与
轴交于点C，直线 与 轴交于点D，与 轴交于点E，与直线BC交于点F．（1）点F的坐标是________；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点
M，QN⊥BC于点N， ，求点P的坐标；
（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出
发，沿射线DE方向以每秒 个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且
时，求点G的运动时间．
【答案】（1）点F坐标为（4，2）；（2）P（1， ），P（3， ）；（3）2秒
1 2
【解析】
【分析】（1）先由抛物线 求出 ， ，再求出直线 的
解析式为 ，联立 即可求 点坐标；
（2）过点 作 轴于点 ，过点 作 轴交于点 ，证明
，得 ，再由 ，得 ，可求 ，即为 点
纵坐标为 ，则可求得点P的坐标；
（3）过点 作 于点 ， 轴于点 ，交 于点 ，证明 是等腰
直角三角形， 为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形，则有 ，
， ， ， ， ，求出 ，最后
将点S的坐标代入二次函数解析式即可求得 ，则可得点 的运动时间为 ．
【详解】解：（1）在抛物线 中，令 ，则 ，
解得： 或 ，
， ，
令 ，则 ，
，
在直线 中，令 ，则 ，
，
令 ，则 ，
，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入，
得： ，
，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得 ，
，
故答案为： ；
（2）如图1，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
， ，，
又∵ ，
，
，
，
，
，
，
，
，
点纵坐标为 ，
令 ，
解得： ， （均满足 ），
∴点P的坐标为P（1， ），P（3， ）；
1 2
（3）如图2，过点 作 于点 ， 轴于点 ，交 于点 ，
由题意得， ，
， ，
，
∵在 中， ，，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
为等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，
， ，
，
，
， ，
，
将 代入 ，
得 ，
解得： 或 （舍），
点 的运动时间为 ．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活运用平
移、三角形相似、解直角三角形等相关知识是解题的关键．
