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2021年辽宁省营口市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分）
1．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民
间艺术．下列四个剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么
这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
2．中央财政下达2021年支持学前教育发展资金预算为19840000000元．数据19840000000
用科学记数法表示为（ ）
A．0.1984×1011 B．1.984×1010
C．1.984×109 D．19.84×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：19840000000＝1.984×1010．
故选：B．
3．估计 的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间【分析】先写出21的范围，再写出 的范围．
【解答】解：∵16＜21＜25，
∴4＜ ＜5，
故选：B．
4．某班15名男生引体向上成绩如表：
个数 17 12 10 7 2
人数 2 3 4 5 1
则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．10，7 B．10，10 C．7，10 D．7，12
【分析】根据中位数与众数的定义，众数是出现次数最多的一个，从小到大排列后，中
位数是第8个数，解答即可．
【解答】解：7出现的次数最多，出现了5次，所以众数为7；
第8个数是10，所以中位数为10．
故选：C．
5．下列计算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5ab B．5a3b÷ab＝5a2b
C．（2a+b）2＝4a2+b2 D．（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9
【分析】A．直接利用合并同类项法则计算判断即可；
B．直接利用单项式除以单项式计算得出答案；
C．直接利用完全平方公式计算得出答案；
D．直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．
【解答】解：A．2a和3b，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；
B．5a3b÷ab＝5a2，故此选项不合题意；
C．（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，故此选项不合题意；
D．（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9，故此选项符合题意；
故选：D．
6．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1＝19°，则∠2的度数
为（ ）A．41° B．51° C．42° D．49
【分析】过点C作MC∥AB，则MC∥PH，由正六边形的内角和及三角形的内角和求得
∠2＝41°，根据平行线的性质得到∠BCM＝41°，∠MCD＝79°，∠PHD＝79°，由四边
形的内角和即可求解．
【解答】解：如图，过点C作MC∥AB，则MC∥PH，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠B＝∠BCD＝∠CDE＝∠D＝∠DEF＝ ＝120°，
∵∠1＝19°，
∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠B＝41°，
∵MC∥AB，
∴∠BCM＝∠2＝41°，
∴∠MCD＝∠BCD﹣∠BCM＝79°，
∵MC∥PH，
∴∠PHD＝∠MCD＝79°，
四边形PHDE的内角和是360°，
∴∠2＝360°﹣∠PGD﹣∠D﹣∠DEF＝41°，
故选：A．
7．如图，EF与AB，BC，CD分别交于点E，G，F，且∠1＝∠2＝30°，EF⊥AB，则下列
结论错误的是（ ）A．AB∥CD B．∠3＝60° C．FG＝ FC D．GF⊥CD
【分析】先根据平行线的判定可得AB∥CD，根据直角三角形的性质可得∠3，根据含
30°的直角三角形的性质可得FG＝ GC，再由平行线的性质得到GF⊥CD，即可得出结
论．
【解答】解：∵∠1＝∠2＝30°，
∴AB∥CD，故A不符合题意；
∵EF⊥AB，
∴∠BEG＝90°，
∴∠3＝90°﹣30°＝60°，故B不符合题意；
∵∠2＝30°，
∴FG＝ GC，故C符合题意；
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴GF⊥CD，故D不符合题意．
故选：C．
8．如图， O中，点C为弦AB中点，连接OC，OB，∠COB＝56°，点D是 上任意一
点，则∠⊙ADB度数为（ ）
A．112° B．124° C．122° D．134°
【分析】作 所对的圆周角∠APB，如图，先利用等腰三角形的性质得到 OC平分∠AOB，则∠AOC＝∠BOC＝56°，再根据圆周角定理得到∠APB＝56°，然后根据圆内
接四边形的性质计算∠ADB的度数．
【解答】解：作 所对的圆周角∠APB，如图，
∵OC⊥AB，OA＝OB，
∴OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝56°，
∴∠APB＝ ∠AOB＝56°，
∵∠APB+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣56°＝124°．
故选：B．
9．已知一次函数y＝kx﹣k过点（﹣1，4），则下列结论正确的是（ ）
A．y随x增大而增大
B．k＝2
C．直线过点（1，0）
D．与坐标轴围成的三角形面积为2
【分析】把点（﹣1，4）代入一次函数y＝kx﹣k，求得k的值，根据一次函数图象与性
质的关系对A、B、C进行判断；根据题意求得直线与坐标轴的交点，然后算出三角形
的面积，即可对D进行判断断．
【解答】解：把点（﹣1，4）代入一次函数y＝kx﹣k，得，
4＝﹣k﹣k，
解得k＝﹣2，
∴y＝﹣2x+2，
A、k＝﹣2＜0，y随x增大而增大，选项A不符合题意；
B、k＝﹣2，选项B不符合题意；
C、当y＝0时，﹣2x+2＝0，解得：x＝1，∴一次函数y＝﹣2x+2的图象与x轴的交点为（1，0），选项C符合题意；
D、当x＝0时，y＝﹣2×0+2＝2，与坐标轴围成的三角形面积为 ＝1，选项D
不符合题意．
故选：C．
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴平行，A，B两点纵坐标分别
为4，2，反比例函数y＝ 经过A，B两点，若菱形ABCD面积为8，则k值为（ ）
A．﹣8 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣6
【分析】根据函数解析式和A、B点的纵坐标，分别写出A、B点的坐标，根据菱形的面
积＝BC×（y ﹣y ）＝8，得出关于k的方程，解方程得出正确取值即可．
A B
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD∥BC，
∵A、B两点的纵坐标分别是4、2，反比例函数y＝ 经过A、B两点，
∴x ＝ ，x ＝ ，即A（ ，4），B（ ，2），
B A
∴AB2＝（ ﹣ ）2+（4﹣2）2＝ +4，
∴BC＝AB＝ ，
又∵菱形ABCD的面积为8，
∴BC×（y ﹣y ）＝8，
A B
即 ×（4﹣2）＝8，整理得 ＝4，
解得k＝±8 ，
∵函数图象在第二象限，
∴k＜0，即k＝﹣8 ，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．若代数式 有意义，则x的取值范围是 x ≤ ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得1﹣2x≥0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：1﹣2x≥0，
解得：x≤ ，
故答案为：x≤ ．
12．若∠A＝34°，则∠A的补角为 146 ° ．
【分析】根据互为补角的两个角的和等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∠A的补角＝180°﹣∠A＝180°﹣34°＝146°．
故答案为：146°．
13．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣1+m＝0有两个实数根，则实数m的取值范围是
m ≤ 2 ．
【分析】利用判别式的意义得到△＝22﹣4（﹣1+m）≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△＝22﹣4（﹣1+m）≥0，
解得m≤2．
故答案为m≤2．
14．如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S△EFG
＝1，则S△ABC ＝ 2 4 ．【分析】取AG的中点M，连接DM，根据ASA证△DMF≌△EGF，得出MF＝GF＝
AM，根据等高关系求出△ADM的面积为2，根据△ADM和△ABG边和高的比例关系得
出S△ADM ＝ S△ABG ，从而得出梯形DMBG的面积为6，进而得出△BDE的面积为6，同
理可得S△BDE ＝ S△ABC ，即可得出△ABC的面积．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴D、E分别为AB、BC的中点，
如图过D作DM∥BC交AG于点M，
∵DM∥BC，
∴∠DMF＝∠EGF，
∵点F为DE的中点，
∴DF＝EF，
在△DMF和△EGF中，
，
∴△DMF≌△EGF（ASA），
∴S△DMF ＝S△EGF ＝1，GF＝FM，DM＝GE，
∵点D为AB的中点，且DM∥BC，
∴AM＝MG，
∴FM＝ AM，
∴S△ADM ＝2S△DMF ＝2，
∵DM为△ABG的中位线，
∴ ＝ ，
∴S△ABG ＝4S△ADM ＝4×2＝8，
∴S梯形DMGB ＝S△ABG ﹣S△ADM ＝8﹣2＝6，
∴S△BDE ＝S梯形DMGB ＝6，
∵DE是△ABC的中位线，∴S△ABC ＝4S△BDE ＝4×6＝24，
故答案为：24．
15．如图，∠MON＝40°，以O为圆心，4为半径作弧交OM于点A，交ON于点B，分别
以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点C，画射
线OC交 于点D，E为OA上一动点，连接BE，DE，则阴影部分周长的最小值为
4+ ．
π
【分析】利用作图得到OA＝OB＝OD＝4，∠BOD＝∠AOD＝20°，则根据弧长公式可
计算出 的长度为 ，过B点关于OM的对称点F，连接DF交OM于E′，连接
π
OF，如图，证明△ODF为等边三角形得到DF＝4，接着利用两点之间线段最短可判断
此时E′B+E′D的值最小，从而得到阴影部分周长的最小值．
【解答】解：由作法得OC平分∠MON，OA＝OB＝OD＝4，
∴∠BOD＝∠AOD＝ ∠MON＝ ×40°＝20°，
∴ 的长度为 ＝ ，
π
过B点关于OM的对称点F，连接DF交OM于E′，连接OF，如图，
∴OF＝OB，∠FOA＝∠BOA＝40°，
∴OD＝OF，∴△ODF为等边三角形，
∴DF＝OD＝4，
∵E′B＝E′F，
∴E′B+E′D＝E′F+E′D＝DF＝4，
∴此时E′B+E′D的值最小，
∴阴影部分周长的最小值为4+ ．
π
故答案为4+ ．
π
16．如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是AB边上一点，AE＝3，连接DE，点F
是BC延长线上一点，连接AF，且∠F＝ ∠EDC，则CF＝ 6 ．
【分析】如图，连接EC，过点D作DH⊥EC于H．证明CE∥AF，利用平行线分线段
成比例定理，解决问题即可．
【解答】解：如图，连接EC，过点D作DH⊥EC于H．∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝5，
∵AE＝3，
∴DE＝ ＝ ＝5，
∴DE＝DC，
∵DH⊥EC，
∴∠CDH＝∠EDH，
∵∠F＝ ∠EDC，∠CDH＝ ∠EDC，
∴∠CDH＝∠F，
∵∠BCE+∠DCH＝90°，∠DCH+∠CDH＝90°，
∴∠BCE＝∠CDH，
∴∠BCE＝∠F，
∴EC∥AF，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴CF＝6，
故答案为：6．
三、解答题（17小题10分，18小题10分，共20分）
17．（10 分）先化简，再求值： ，其中 x＝ +|﹣2|﹣
3tan60°．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由二次根式的性质、绝对
值的性质及特殊锐角的三角函数值得出x的值，继而代入计算即可．
【解答】解：原式＝[ ﹣ ]•
＝（ ﹣ ）•
＝ •＝ ，
当x＝ +|﹣2|﹣3tan60°＝3 +2﹣3 ＝2时，
原式＝ ＝ ．
18．（10分）为加强交通安全教育，某中学对全体学生进行“交通知识”测试，学校随机
抽取了部分学生的测试成绩，并根据测试成绩绘制两种统计图表（不完整），请结合图
中信息解答下列问题：
学生测试成绩频数分布表
组别 成绩x分 人数
A 60≤x＜ 8
70
B 70≤x＜ m
80
C 80≤x＜ 24
90
D 90≤x≤1 n
00
（1）表中的m值为 1 2 ，n值为 3 6 ；
（2）求扇形统计图中C部分所在扇形的圆心角度数；
（3）若测试成绩80分以上（含80分）为优秀，根据调查结果请估计全校2000名学生
中测试成绩为优秀的人数．
【分析】（1）用60≤x＜70的频数和百分比先求出总人数，再根据频数＝总数×百分比
求出n的值，然后用总数减去A、C、D的人数即可求出m的值；
（2）先求得C部分所占的比例，然后乘以360度，即可求得C部分所对应的圆心角的度数；
（3）用全校的总人数乘以试成绩80分以上（含80分）的人数所占的比即可．
【解答】解：（1）根据题意得：抽取学生的总数：8÷10%＝80（人），
n＝80×45%＝36（人），
m＝80﹣8﹣24﹣36＝12（人），
故答案为：12，36；
（2）扇形统计图中C部分所在扇形的圆心角度数是：360°× ＝108°；
（3）2000× ＝1500（人）．
答：估计全校2000名学生中测试成绩为优秀的人数为1500人．
四、解答题（19小题10分，20小题10分，共20分）
19．（10分）李老师为缓解小如和小意的压力，准备了四个完全相同（不透明）的锦囊，
里面各装有一张纸条，分别写有：A．转移注意力，B．合理宣泄，C．自我暗示，D．
放松训练．
（1）若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是 ；
（2）若小如和小意每人先后随机抽取一个锦囊（走后不放回），请用列表法或画树状
图的方法求小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，小如和小意都没有取走“合理宣泄”的结果
有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是
，
故答案为： ；
（2）画树状图如图：共有12种等可能的结果，小如和小意都没有取走“合理宣泄”的结果有6种，
∴小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率为 ＝ ．
20．（10分）为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买
“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”
图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”
图书的数量多20本．
（1）求这两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买
“科普类”图书多少本？
【分析】（1）首先设“文学类”图书的单价为x元/本，则“科普类”图书的单价为
（1+20%）x元/本，根据题意可得等量关系：3600元购买的科普类图书的本数﹣20＝用
2700元购买的文学类图书的本数，根据等量关系列出方程，再解即可．
（2）设“科普类”书购a本，则“文学类”书购（100﹣a）本，根据“费用不超过
1600元”列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设“文学类”图书的单价为x元/本，则“科普类”图书的单价为
（1+20%）x元/本，
依题意： ﹣20＝ ，
解之得：x＝15．
经检验，x＝15是所列分程的根，且合实际，
所以（1+20%）x＝18．
答：科普类书单价为18元/本，文学类书单价为15元/本；
（2）设“科普类”书购a本，则“文学类”书购（100﹣a）本，
依题意：18a+15（100﹣a）≤1600，
解之得：a≤ ．
因为a是正整数，所以a最大值 ＝33．
答：最多可购“科普类”图书33本．
五、解答题（21小题10分，22小题12分，共22分）
21．（10分）小张早起在一条东西走向的笔直马路上晨跑，他在A处时，D处学校和E处
图书馆都在他的东北方向，当小张沿正东方向跑了 600m到达B处时，E处图书馆在他
的北偏东15°方向，然后他由B处继续向正东方向跑600m到达C处，此时D处学校在
他的北偏西63.4°方向，求D处学校和E处图书馆之间的距离．（结果保留整数）
（参考数据：sin63.4°≈0.9，cos63.4°≈0.4，tan63.4°≈2.0， ≈1.4， ≈1.7，
≈2.4）
【分析】过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥AN于E，设MD＝x，在直角三角形中，
利用三角函数即可x表示出AM与CM，根据AC＝AM+CM即可列方程，从而求得MD
的长，进一步求得AD的长，在直角三角形中，利用三角函数即可求出AN与NE，即可
求得DN，从而求得DE．
【解答】解：过D作DM⊥AC于M，
设MD＝x，
在Rt△MAD中，∠MAD＝45°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴AM＝MD＝x，
∴AD＝ x，
在Rt△MCD中，∠MDC＝63.4°，
∴MC≈2MD＝2x，
∵AC＝600+600＝1200，
∴x+2x＝1200，
解得：x＝400，∴MD＝400m，
∴AD＝ MD＝400 ，
过B作BN⊥AN于N，
∵∠EAB＝45°，∠EBC＝75°，
∴∠E＝30°，
在Rt△ABN中，∠NAB＝45°，AB＝600，
∴BN＝AN＝ AB＝300 ，
∴DN＝AD﹣AN＝400 ﹣300 ＝100 ，
在Rt△NBE中，∠E＝30°，
∴NE＝ BN＝ ×300 ＝300 ，
∴DE＝NE﹣DN＝300 ﹣100 ≈580（m），
即临D处学校和E处图书馆之间的距离是580m．
22．（12分）如图，AB是 O直径，点C，D为 O上的两点，且 ＝ ，连接AC，
BD交于点E， O的切线⊙AF与BD延长线相交于⊙点F，A为切点．
（1）求证：AF⊙＝AE；
（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的长．
【分析】（1）利用AB是 O直径，AF是 O的切线，得到∠DAF＝∠ABF，利用
⊙ ⊙＝ 得到∠ABF＝∠CAD，进而证得∠F＝∠AEF，根据等角对等边即可证得AF＝AE；
（2）利用勾股定理求得AC，利用△BCE∽△BAF得到 ＝ ，求得CE＝ AF＝
AE，根据AE+CE＝AC即可求得AF．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB是 O直径，
∴∠ADB⊙＝∠ADF＝90°，
∴∠F+∠DAF＝90°，
∵AF是 O的切线，
∴∠FAB⊙＝90°，
∴∠F+∠ABF＝90°，
∴∠DAF＝∠ABF，
∵ ＝ ，
∴∠ABF＝∠CAD，
∴∠DAF＝∠CAD，
∴∠F＝∠AEF，
∴AF＝AE；
（2）解：∵AB是 O直径，
∴∠C＝90°， ⊙
∵AB＝8，BC＝2，
∴AC＝ ＝ ＝2 ，
∵∠C＝∠FAB＝90°，∠CEB＝∠AEF＝∠F，
∴△BCE∽△BAF，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴CE＝ AF，
∵AF＝AE，
∴CE＝ AE，
∵AE+CE＝AC＝2 ，∴AE＝ ，
∴AF＝AE＝ ．
六、解答题（本题满分12分）
23．（12分）某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价
增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加
1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如
图所示的函数关系（其中40≤x≤70，且x为整数）．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）先设出一次函数关系式，分40≤x≤60和60＜x≤70两种情况用待定系数
法分别求出函数解析式即可；
（2）设获得的利润为w元，分①当40≤x≤60时和②当60＜x≤70时两种情况分别求
出函数解析式，然后根据自变量的取值范围和函数的性质求函数的最大值．
【解答】解：（1）设线段AB的表达式为：y＝kx+b（40≤x≤60），将点（40，300）、（60，100）代入上式得：
，
解得： ，
∴函数的表达式为：y＝﹣10x+700（40≤x≤60），
设线段BC的表达式为：y＝mx+n（60＜x≤70），
将点（60，100）、（70，150）代入上式得：
，
解得： ，
∴函数的表达式为：y＝5x﹣200（60＜x≤70），
∴y与x的函数关系式为：y＝ ；
（2）设获得的利润为w元，
①当40≤x≤60时，w＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝50时，w有值最大，最大值为4000元；
②当60＜x≤70时，w＝（x﹣30）（5x﹣200）﹣150（x﹣60）＝5（x﹣50）2+2500，
∵5＞0，
∴当60＜x≤70时，w随x的增大而增大，
∴当x＝70时，w有最大，最大值为：5（70﹣50）2+2500＝4500（元），
综上，当售价为70元时，该商家获得的利润最大，最大利润为4500元．
七、解答题（本题满分14分
24．（14分）如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，DE＝
DF，∠EDF＝90°，D为BC边中点，连接AF，且A、F、E三点恰好在一条直线上，EF
交BC于点H，连接BF，CE．
（1）求证：AF＝CE；
（2）猜想CE，BF，BC之间的数量关系，并证明；
（3）若CH＝2，AH＝4，请直接写出线段AC，AE的长．【分析】（1）连接AD，证明△ADF≌△CDE（SAS），可得AF＝CE．
（2）结论：CE2+BF2＝ BC2利用全等三角形的性质证明BF＝AE，再证明∠AEC＝
90°，可得结论．
（3）设EH＝m．证明△ADH∽△CEH，可得 ＝ ＝ ＝ ＝2，推出DH＝2m，
推出AD＝CD＝2m+2，EC＝m+1，在Rt△CEH中，根据CH2＝EH2+CE2，构建方程求
出m即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接AD．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，
∴AD⊥CB，
AD＝DB＝DC．
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADF＝∠CDE，
∵DF＝DE，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴AF＝CE．
（2）结论：CE2+BF2＝ BC2．
理由：∵△ABC，△DEF都是等腰直角三角形，
∴AC＝ BC，∠DFE＝∠DEF＝45°，
∵△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠AFD＝∠DEC＝135°，∠DAF＝∠DCB，
∵∠BAD＝∠ACD＝45°，∴∠BAD+∠DAF＝∠ACD+∠DCE，
∴∠BAF＝∠ACE，
∵AB＝CA，AF＝CE，
∴△BAF≌△ACE（SAS），
∴BF＝AE，
∵∠AEC＝∠DEC＝∠DEF＝135°﹣45°＝90°，
∴AE2+CE2＝AC2，
∴BF2+CE2＝ BC2．
（3）解：设EH＝m．
∵∠ADH＝∠CEH＝90°，∠AHD＝∠CHE，
∴△ADH∽△CEH，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝2，
∴DH＝2m，
∴AD＝CD＝2m+2，
∴EC＝m+1，
在Rt△CEH中，CH2＝EH2+CE2，
∴22＝m2+（m+1）2，
∴2m2+2m﹣3＝0，
∴m＝ 或 （舍弃），
∴AE＝AH+EH＝ ，
∴AD＝1+ ，
∴AC＝ AD＝ + ．八、解答题（本题满分14分）
25．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝3x2+bx+c过点A（0，﹣2），B
（2，0），点C为第二象限抛物线上一点，连接AB，AC，BC，其中AC与x轴交于点
E，且tan∠OBC＝2．
（1）求点C坐标；
（2）点P（m，0）为线段BE上一动点（P不与B，E重合），过点P作平行于y轴的
直线l与△ABC的边分别交于M，N两点，将△BMN沿直线MN翻折得到△B′MN，设
四边形B′NBM的面积为S，在点P移动过程中，求S与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若S＝3S△ACB′ ，请直接写出所有满足条件的m值．
【分析】（1）如图1中，设BC交y轴于D．利用待定系数法求出b，c，解直角三角形
求出点D的坐标，求出直线BD的解析式，构建方程组确定点C的坐标即可．（2）分两种情形：当 0＜m＜2时，当﹣ ＜m≤0时，分别求出 MN，根据 S＝
•BB′•MN，构建关系式即可．
（3）分两种情形：根据S＝3S△ACB′ ，构建方程求出m即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝3x2+bx+c过点A（0，﹣2），B（2，0），
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝3x2﹣5x﹣2，
如图1中，设BC交y轴于D．
∵tan∠OBD＝2＝ ，OB＝2，
∴OD＝4，
∴D（0，4），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，则有 ，
解得 ，
∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+4，
由 ，解得 （即点B）或 ，
∴C（﹣1，6）．
（2）对于抛物线y＝3x2﹣5x﹣2，令y＝0，得到3x2﹣5x﹣2＝0，解得x＝2或﹣ ，
∴E（﹣ ，0），
∵A（0，﹣2），B（2，0），C（﹣1，6），
∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，直线AC的解析式为y＝﹣8x﹣2，
当0＜m＜2时，∵P（m，0），
∴M（m，﹣2m+4），N（m，m﹣2），
∴MN＝﹣2m+4﹣m+2＝﹣3m+6，∴S＝ •BB′•MN＝ ×2（2﹣m）×（﹣3m+6）＝3m2﹣12m+12．
当﹣ ＜m≤0时，如图2中，∵P（m，0），
∴M（m，﹣2m+4），N（m，﹣8m﹣2），
∴MN＝﹣2m+4+8m+2＝6m+6，
∴S＝ •BB′•MN＝ ×2（2﹣m）×（6m+6）＝﹣6m2+6m+12．
综上所述，S＝ ．
（3）∵直线AC交x轴于（﹣ ，0），B′（2m﹣2），
当﹣6m2+6m+12＝3× ×|2m﹣2+ |×8，
解得m＝ 或 （都不符合题意舍弃），
当3m2﹣12m+12＝3× ×|2m﹣2+ |×8，
解得m＝1或11（舍弃）或﹣2+ 或﹣2﹣ （舍弃），
综上所述，满足条件的m的值为1或﹣2+ ．
