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2022年辽宁省鞍山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的.每题3分，共24分）
1．（3分）2022的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．2022 D．﹣2022
【分析】直接根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：2022的相反数等于﹣2022，
故选：D．
【点评】此题考查的是相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
2．（3分）如图所示的几何体是由4个大小相同的小正方体搭成的，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到几何体从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：从左面可看，底层是两个小正方形，上层右边是一个小正方形．
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． + ＝ B．a3•a4＝a12
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6
【分析】利用二次根式的加法的法则，完全平方公式，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的
法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、 ，故A不符合题意；
B、a3•a4＝a7，故B不符合题意；
C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故C不符合题意；D、（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式的加减法，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式，解
答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4．（3分）为了解居民用水情况，小丽在自家居住的小区随机抽查了10户家庭月用水量，统计
如下表：
月用水量/m3 7 8 9 10
户数 2 3 4 1
则这10户家庭的月用水量的众数和中位数分别是（ ）
A．8，7.5 B．8，8.5 C．9，8.5 D．9，7.5
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平
均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：表中数据为从小到大排列，数据9出现了4次最多为众数，
在第5位、第6位是8和9，其平均数8.5为中位数，所以本题这组数据的中位数是8.5，众
数是9．
故选：C．
【点评】本题主要考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，
将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．
5．（3分）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为
（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3＝
80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠A+∠3+∠2＝180°，
∴∠3＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝80°．
故选：A．
【点评】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也
考查了平行线的性质．
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，
则∠D的度数为（ ）
A．39° B．40° C．49° D．51°
【分析】利用等边对等角求得∠B＝∠ACB＝78°，然后利用三角形的内角和求得答案即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝24°，
∴∠B＝∠ACB＝78°．
∵CD＝AC，∠ACB＝78°，∠ACB＝∠D+∠CAD，
∴∠D＝∠CAD＝ ∠ACB＝39°．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解“等边对等角”的性质，难度
不大．
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝ ，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD
于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（ ）A． B． C． D．
【分析】解直角三角形求出∠CBE＝30°，推出∠ABE＝60°，再利用扇形的面积公式求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，
∵BA＝BE＝2，BC＝ ，
∴cos∠CBE＝ ＝ ，
∴∠CBE＝30°，
∴∠ABE＝90°﹣30°＝60°，
∴S扇形BAE ＝ ＝ ，
故选：C．
【点评】本题考查扇形的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是求出∠CBE的度数．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4 cm，CD⊥AB，垂足为点D，
动点M从点A出发沿AB方向以 cm/s的速度匀速运动到点B，同时动点N从点C出发
沿射线DC方向以1cm/s的速度匀速运动．当点M停止运动时，点N也随之停止，连接
MN．设运动时间为ts，△MND的面积为Scm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关
系的是（ ）A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出M在AD和在BD上时△MND的面积为S关于t的解析式即可判断．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4 ，
∴∠B＝60°，BC＝ AB＝2 ，AC＝ BC＝6，
∵CD⊥AB，
∴CD＝ AC＝3，AD＝ CD＝3 ，BD＝ BC＝ ，
∴当M在AD上时，0≤t≤3，
MD＝AD﹣AM＝3 ﹣ t，DN＝DC+CN＝3+t，
∴S＝ MD•DN＝ （3 ﹣ t）（3+t）＝﹣ t2+ ，
当M在BD上时，3＜t≤4，
MD＝AM﹣AD＝ t﹣3 ，∴S＝ MD•DN＝ （ t﹣3 ）（3+t）＝ t2﹣ ，
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广
泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问
题的能力．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）教育部2022年5月17日召开第二场“教育这十年”“1+1”系列新闻发布会，会
上介绍我国已建成世界最大规模高等教育体系，在学总人数超过 44300000人．将数据
44300000用科学记数法表示为 4.43×1 0 7 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：44300000＝4.43×107．
故答案为：4.43×107．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
10．（3分）一个不透明的口袋中装有5个红球和m个黄球，这些球除颜色外都相同，某同学
进行了如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试验．根
据记录在下表中的摸球试验数据，可以估计出m的值为 2 0 ．
摸球的总次数a 100 500 1000 2000 …
摸出红球的次数b 19 101 199 400 …
0.190 0.202 0.199 0.200 …
摸出红球的频率
【分析】利用大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅
度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的
近似值就是这个事件的概率求解即可．
【解答】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，
∴ ＝0.2，
解得：m＝20．
经检验m＝20是原方程的解，故答案为：20．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计
事件的概率．关键是根据摸出红球的频率得到相应的等量关系．
11．（3分）如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，若AE：DE＝1：2，AB＝2.5，则CD的长为 5
．
【分析】由平行线的性质求出∠B＝∠C，∠A＝∠D，其对应角相等得△EAB∽△EDC，再
由相似三角形的性质求出线段CD即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，∠A＝∠D，
∴△EAB∽△EDC，
∴AB：CD＝AE：DE＝1：2，
又∵AB＝2.5，
∴CD＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的
判定与性质．
12．（3分）某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工的产品数量是
甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天．
设甲车间每天加工x件产品，根据题意可列方程为 ﹣ ＝ 3 ．
【分析】根据两车间工作效率间的关系，可得出乙车间每天加工1.5x件产品，再根据甲车
间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵甲车间每天加工x件产品，乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的
产品数量的1.5倍，
∴乙车间每天加工1.5x件产品，
又∵甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天，∴ ﹣ ＝3．
故答案为： ﹣ ＝3．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解
题的关键．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D，E分别在AB，BC上，将
△BDE沿直线DE翻折，点B的对应点B′恰好落在AB上，连接CB'，若CB'＝BB'，则AD
的长为 7. 5 ．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，然后根据CB'＝BB'得出AB′＝BB′
＝ AB，再根据折叠的性质可得BD＝B′D＝ BB′．根据AD＝AB′+B′D求得AD的
长．
【解答】解：在Rt△ABC中，
AB＝ ，
∵AC＝6，BC＝8，
∴AB＝ ．
∵CB'＝BB'，
∴∠B＝∠BCB′，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝∠ACB′+∠BCB′＝90°．
∴∠A＝∠ACB′．
∴AB′＝CB′．
∴AB′＝BB′＝ AB＝5．
∵将△BDE沿直线DE翻折，点B的对应点B′恰好落在AB上，∴B′D＝BD＝ BB′＝2.5．
∴AD＝AB′+B′D＝5+2.5＝7.5．
故答案为：7.5．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，在直角三角形中根据CB'＝BB'通过推理论证得到
CB′是斜边上的中线是解题的关键．
14．（3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，E为OB
中点，F为AD中点，连接EF，则EF的长为 ．
【分析】由菱形的性质可得AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，由三角形中位
线定理得FH＝ AO＝ ，FH∥AO，由勾股定理可求解．
【解答】解：如图，取OD的中点H，连接FH，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，
∴AO＝ AB＝1，BO＝ AO＝ ＝DO，
∵点H是OD的中点，点F是AD的中点，
∴FH＝ AO＝ ，FH∥AO，
∴FH⊥BD，
∵点E是BO的中点，点H是OD的中点，∴OE＝ ，OH＝ ，
∴EH＝ ，
∴EF＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的
关键．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点．在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，边OA
在y轴上，点D是边OB上一点，且OD：DB＝1：2，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点
D交AB于点C，连接OC．若S△OBC ＝4，则k的值为 1 ．
【分析】设D（m， ），由OD：DB＝1：2，得出B（3m， ），根据三角形的面积公式以及反
比例函数系数k的几何意义得到 ﹣ k＝4，解得k＝1．
【解答】解：∵反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点D，∠OAB＝90°，
∴设D（m， ），
∵OD：DB＝1：2，
∴B（3m， ），
∴AB＝3m，OA＝ ，∴反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点D交AB于点C，∠OAB＝90°，
∴S△AOC ＝ k，
∵S△OBC ＝4，
∴S△AOB ﹣S△AOC ＝4，即 ﹣ k＝4，
解得k＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，三
角形的面积，掌握反比例函数的性质、正确表示出B的坐标是解题的关键．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，CE，BD交于点H，DF⊥CE于点F，
FM平分∠DFE，分别交AD，BD于点M，G，延长MF交BC于点N，连接BF．下列结论：
① tan∠CDF＝ ；② S△EBH ：S△DHF ＝3：4；③ MG：GF：FN＝5：3：2；
④△BEF∽△HCD．其中正确的是 ①③④ .（填序号即可）．
【分析】①正确，证明∠CDF＝∠ECB，可得结论；
②错误，S△EBH ：S△DHF ＝5：8；
③正确，过点G作GQ⊥DF于点Q，GP⊥EF于点P．设正方形ABCD的边长为2a．用a
表示出GM，GF，FN可得结论．
④正确，证明 ＝ ＝ ，可得结论．
【解答】解：如图，过点G作GQ⊥DF于点Q，GP⊥EF于点P．设正方形ABCD的边长为
2a．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵AE＝EB＝a，BC＝2a，
∴tan∠ECB＝ ＝ ，
∵DF⊥CE，
∴∠CFD＝90°，
∴∠ECB+∠DCF＝90°，
∵∠DCF+∠CDF＝90°，
∴∠CDF＝∠ECB，
∴tan∠CDF＝ ，故①正确，
∵BE∥CD，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∵EC＝ ＝ ＝ a，BD＝ CB＝2 a，
∴EH＝ EC＝ a，BH＝ BD＝ a，DH＝ BD＝ a，
在Rt△CDF中，tan∠CDF＝ ＝ ，CD＝2a，
∴CF＝ a，DF＝ a，
∴HF＝CE﹣EH﹣CF＝ a﹣ a﹣ a＝ a，
∴S△DFH ＝ •FH•DF＝ × a× a＝ a2，
∵S△BEH ＝ S△ECB ＝ × ×a×2a＝ a2，
∴S△EBH ：S△DHF ＝ a2： a2＝5：8，故②错误．
∵FM平分∠DFE，GQ⊥⊥EF，
∴GQ＝GP，∵ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴DG＝ DH＝ a，
∴BG＝DG，
∵DM∥BN，
∴ ＝ ＝1，
∴GM＝GN，
∵S△DFH ＝S△FGH +S△FGD ，
∴ × a× a＝ × ×GP+ × a×GQ，
∴GP＝GQ＝ a，
∴FG＝ a，
过点N作NJ⊥CE于点J，设FJ＝NJ＝m，则CJ＝2m，
∴3m＝ a，
∴m＝ a，
∴FN＝ m＝ a，
∴MG＝GN＝GF+FN＝ a+ a＝ a，
∴MG：GF：FN＝ a： a： a＝5：3：2，故③正确，
∵AB∥CD，
∴∠BEF＝∠HCD，
∵ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，∴ ＝ ，
∴△BEF∽△HCD，故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，解直角三角形等知识，
解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（每小题8分，共16分）
17．（8分）先化简，再求值： ÷（1﹣ ），其中m＝2．
【分析】对第一个分式分解因式，括号内的式子通分，然后将除法转化为乘法，再化简，最
后将m的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解： ÷（1﹣ ）
＝ ÷
＝
＝ ，
当m＝2时，原式＝ ＝﹣ ．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．（8分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点
E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．【分析】结合已知条件推知 AB∥CD；然后由全等三角形的判定定理 AAS 证得
△ABE≌△CDF，则其对应边相等：AB＝CD；最后根据“对边平行且相等是四边形是平行
四边形”证得结论．
【解答】证明：∵∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥CD．
∴∠BAE＝∠DCF．
在△ABE与△CDF中，
．
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴AB＝CD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边
形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是
平行四边形．
四、解答题（每小题10分，共20分）
19．（10分）某校开展“凝心聚力颂家乡”系列活动，组建了四个活动小组供学生参加：A（朗
诵），B（绘画），C（唱歌），D（征文）．学校规定：每名学生都必须参加且只能参加其中一个
活动小组．学校随机抽取了部分学生，对其参加活动小组情况进行了调查．根据调查结果
绘制成如下两幅不完整的统计图（图1和图2）．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 10 0 名学生，扇形统计图中“C”对应的圆心角度数为 126 ° ．
（2）请补全条形统计图．
（3）若该校共有2000名学生，根据调查结果，请你估计这所学校参加D活动小组的学生人数．
【分析】（1）由A的人数及其所占百分比可得抽查的学生人数；用360°乘“C”所占比例
可得扇形统计图中“C”对应的圆心角度数；
（2）总人数减去A、C、D的人数求得B对应人数，据此可补全图形；
（3）总人数乘以样本中D的人数所占比例即可．
【解答】解：（1）这次学校抽查的学生人数是24÷24%＝100（人），
扇形统计图中“C”对应的圆心角度数为 ×360°＝126°．
故答案为：100；126°；
（2）B人数为：100﹣（24+35+16）＝25（人），
补全条形图如下：
（3）2000× ＝320（人），
答：估计这所学校参加D活动小组的学生人数有320人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．（10分）2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校七、八年级举行了一次国
家安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生（用A，B表示）和八年级的两名学生（用
C，D表示）获得优秀奖．
（1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是
．
（2）从获得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的
两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概
率是 ＝ ，
故答案为： ；
（2）列表如下：
A B C D
A （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D）
由表知，共有12种等可能结果，其中抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年
级的有8种结果，
所以抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出
n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的
概率．
五、解答题（每小题10分，共20分）
21．（10分）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅（即GF＝8m）．小亮同学
想知道条幅的底端F到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点B处，
在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼条幅方向前行12m到
达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F
的仰角为45°，若AB，CD均为1.65m（即四边形ABDC为矩形），请你帮助小亮计算条幅底
端F到地面的距离FE的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，
tan37°≈0.75）
【分析】设AC与GE相交于点H，根据题意可得：AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，
∠AHG＝90°，然后设CH＝x米，则AH＝（12+x）米，在Rt△CHF中，利用锐角三角函数的
定义求出FH的长，从而求出GH的长，最后再在Rt△AHG中，利用锐角三角函数的定义
列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：设AC与GE相交于点H，
由题意得：
AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，
设CH＝x米，
∴AH＝AC+CH＝（12+x）米，
在Rt△CHF中，∠FCH＝45°，
∴FH＝CH•tan45°＝x（米），∵GF＝8米，
∴GH＝GF+FH＝（8+x）米，
在Rt△AHG中，∠GAH＝37°，
∴tan37°＝ ＝ ≈0.75，
解得：x＝4，
经检验：x＝4是原方程的根，
∴FE＝FH+HE＝5.65≈5.7（米），
∴条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义
是解题的关键．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y＝ （x＞0）
的图象交于点A（1，m），与x轴交于点C．
（1）求点A的坐标和反比例函数的解析式
（2）点B是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，连接AB，CB，求△ACB的面积．
【分析】（1）由一次函数的解析式求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函
数的解析式；
（2）作BD∥x轴，交直线AC于点D，则D点的纵坐标为1，利用函数解析式求得B、D的
坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+2的图象过点A（1，m），
∴m＝1+2＝3，
∴A（1，3），
∵点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，
∴k＝1×3＝3，∴反比例函数的解析式为y＝ ；
（2）∵点B是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，
∴B（3，1），
作BD∥x轴，交直线AC于点D，则D点的纵坐标为1，
代入y＝x+2得，1＝x+2，解得x＝﹣1，
∴D（﹣1，1），
∴BD＝3+1＝4，
∴S△ABC ＝ ×4×3＝6．
【点评】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，
待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，本题具有一定的代表性，是一道不错
的题目，数形结合思想的运用．
六、解答题（每小题10分，共20分）
23．（10分）如图， O是△ABC的外接圆，AB为 O的直径，点E为 O上一点，EF∥AC交
⊙ ⊙ ⊙
AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若∠BCE＝ ∠ABC．
（1）求证：EF是 O的切线．
⊙
（2）若BF＝2，sin∠BEC＝ ，求 O的半径．
⊙
【分析】（1）根据切线的判定定理，圆周角定理解答即可；
（2）根据相似三角形的判定定理和性质定理解答即可．【解答】（1）证明：连接OE，
∵∠BCE＝ ∠ABC，∠BCE＝ ∠BOE，
∴∠ABC＝∠BOE，
∴OE∥BC，
∴∠OED＝∠BCD，
∵EF∥AC，
∴∠FEC＝∠ACE，
∴∠OED+∠FEC＝∠BCD+∠ACE，
即∠FEO＝∠ACB，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠FEO＝90°，
∴FE⊥EO，
∵EO是 O的半径，
∴EF是⊙O的切线．
（2）解⊙：∵EF∥AC，
∴△FEO∽△ACB，
∴ ，
∵BF＝2，sin∠BEC＝ ，
设 O的半径为r，
⊙
∴FO＝2+r，AB＝2r，BC＝ r，
∴ ，
解得：r＝3，
检验得：r＝3是原分式方程的解，
∴ O的半径为3．
⊙【点评】本题主要考查了切线的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关的定理是解答
本题的关键．
24．（10分）某超市购进一批水果，成本为8元/kg，根据市场调研发现，这种水果在未来10天
的售价m（元/kg）与时间第x天之间满足函数关系式m＝ x+18（1≤x≤10，x为整数），又
通过分析销售情况，发现每天销售量y（kg）与时间第x天之间满足一次函数关系，下表是
其中的三组对应值．
时间第x天 … 2 5 9 …
销售量y/kg … 33 30 26 …
（1）求y与x的函数解析式；
（2）在这10天中，哪一天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为多少元？
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设销售这种水果的日利润为w元，得出w＝（﹣x+35）（ x+18﹣8）＝﹣ （x﹣ ）2+
，再结合1≤x≤10，x为整数，利用二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设每天销售量y与时间第x天之间满足的一次函数关系式为y＝kx+b，
根据题意，得： ，
解得 ，
∴y＝﹣x+35（1≤x≤10，x为整数）；
（2）设销售这种水果的日利润为w元，
则w＝（﹣x+35）（ x+18﹣8）
＝﹣ x2+ x+350＝﹣ （x﹣ ）2+ ，
∵1≤x≤10，x为整数，
∴当x＝7或x＝8时，w取得最大值，最大值为378，
答：在这10天中，第7天和第8天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为378元．
【点评】本题主要考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握
二次函数的性质是解题的关键．
七、解答题（本题满分12分）
25．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在直线AC上，连接BD，将DB
绕点D逆时针旋转120°，得到线段DE，连接BE，CE．
（1）求证：BC＝ AB；
（2）当点D在线段AC上（点D不与点A，C重合）时，求 的值；
（3）过点A作AN∥DE交BD于点N，若AD＝2CD，请直接写出 的值．
【分析】（1）作AH⊥BC于H，可得BH＝ AB，BC＝2BH，进而得出结论；
（2）证明△ABD∽△CBE，进而得出结果；
（3）当点D在线段AC上时，作BF⊥AC，交CA的延长线于F，作AG⊥BD于G，设AB＝
AC＝3a，则AD＝2a，解直角三角形BDF，求得BD的长，根据△DAG∽△DBF求得AQ，
进而求得AN，进一步得出结果；当点D在AC的延长线上时，设AB＝AC＝2a，则AD＝
4a，同样方法求得结果．
【解答】（1）证明：如图1，作AH⊥BC于H，
∵AB＝AB，
∴∠BAH＝∠CAH＝ ＝60°，BC＝2BH，
∴sin60°＝ ，
∴BH＝ ，
∴BC＝2BH＝ ；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝ ＝30°，
由（1）得，
，
同理可得，
∠DBE＝30°， ，
∴∠ABC＝∠DBE， ＝ ，
∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
∴ ；
（3）解：如图2，当点D在线段AC上时，
作BF⊥AC，交CA的延长线于F，作AG⊥BD于G，
设AB＝AC＝3a，则AD＝2a，
由（1）得，CE＝ ，
在Rt△ABF中，∠BAF＝180°﹣∠BAC＝60°，AB＝3a，
∴AF＝3a•cos60°＝ ，BF＝3a．sin60°＝ ，
在Rt△BDF中，DF＝AD+AF＝2a+ a＝ ，
BD＝ ＝ ＝ a，
∵∠AGD＝∠F＝90°，∠ADG＝∠BDF，
∴△DAG∽△DBF，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴AG＝ ，
∵AN∥DE，
∴∠AND＝∠BDE＝120°，
∴∠ANG＝60°，
∴AN＝ ＝ a＝ a，
∴ ＝ ，
如图3，当点D在AC的延长线上时，
设AB＝AC＝2a，则AD＝4a，
由（1）得，
CE＝ ＝4 ，
作BR⊥CA，交CA的延长线于R，作AQ⊥BD于Q，
同理可得，
AR＝a，BR＝ ，
∴BD＝ ＝2 a，
∴ ，
∴AQ＝ ，
∴AN＝ ＝ a，
∴ ＝ ＝ ，
综上所述： 或 ．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，
解决问题的关键是正确分类和较强的计算能力．
八、解答题（本题满分14分）
26．（14分）如图，抛物线y＝﹣ x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），连接BC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是第三象限抛物线上一点，直线PB与y轴交于点D，△BCD的面积为12，求点P
的坐标．
（3）在（2）的条件下，若点E是线段BC上点，连接OE，将△OEB沿直线OE翻折得到
△OEB'，当直线EB'与直线BP相交所成锐角为45°，时，求点B'的坐标．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）先由△BDC的面积求出OD的长，从而确定D点坐标为（0，﹣4），再由待定系数法求
出直线BD的解析式，直线BD与抛物线的交点即为所求；
（3）当B'在第一象限时，由∠ODB＝45°，可知EB'∥CD，求出直线BC的解析式，可设E
（t，﹣ t+2），在Rt△OHB'中，B'H＝ ，则BE＝ + t﹣2，在Rt△BHE中，
由勾股定理得（ + t﹣2）2＝（4﹣t）2+（﹣ t+2）2，求出t的值即可求B'坐标；当
B'在第二象限时，B'G∥x轴，可得四边形 B'OBE是平行四边形，则B（' t﹣4，﹣ t+2），由
折 叠 的 性 质 可 判 断 平 行 四 边 形 OBEB' 是 菱 形 ， 再 由 BE ＝ OB ， 可 得
＝4，求出t的值即可求B'坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（0，2）代入y＝﹣ x2+bx+c，∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣ x2+ x+2；
（2）令y＝0，则﹣ x2+ x+2＝0，
解得x＝﹣1或x＝4，
∴B（4，0），
∴OB＝4，
∴S△BCD ＝ ×4×（2+OD）＝12，
∴OD＝4，
∴D（0，﹣4），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝x﹣4，
联立方程组 ，
解得 或 ，
∴P（﹣3，﹣7）；
（3）如图1，当B'在第一象限时，
设直线BC的解析式为y＝k'x+b'，
∴ ，
解得 ，∴y＝﹣ x+2，
设E（t，﹣ t+2），
∴OE＝t，EH＝﹣ t+2，
∵D（0，﹣4），B（4，0），
∴OB＝OD，
∴∠ODB＝45°，
∵直线EB'与直线BP相交所成锐角为45°，
∴EB'∥CD，
由折叠可知，OB'＝BO＝4，BE＝B'E，
在Rt△OHB'中，B'H＝ ，
∴B'E＝ ﹣（﹣ t+2）＝ + t﹣2，
∴BE＝ + t﹣2，
在Rt△BHE中，（ + t﹣2）2＝（4﹣t）2+（﹣ t+2）2，
解得t＝ ，
∵0≤t≤4，
∴t＝ ，
∴B'（ ， ）；
如图2，当B'在第二象限，∠BGB'＝45°时，
∵∠ABP＝45°，
∴B'G∥x轴，
∵B'E＝BO，
∴四边形 B'OBE是平行四边形，
∴B'E＝4，
∴B'（t﹣4，﹣ t+2），由折叠可知OB＝OB'＝4，
∴平行四边形OBEB'是菱形，
∴BE＝OB，
∴ ＝4，
解得t＝4+ 或t＝4﹣ ，
∵0≤t≤4，
∴t＝4﹣ ，
∴B'（﹣ ， ）；
综上所述：B'的坐标为（ ， ）或（﹣ ， ）．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形
的性质，折叠的性质，勾股定理的应用是解题的关键．
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