文档内容
2023年陕西省中考数学试卷（副卷）
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D C B A B C
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）计算：|﹣17|＝（ ）
1 1
A．17 B．﹣17 C． D．-
17 17
【分析】利用绝对值的意义得结论．
【解答】解：|﹣17|＝17．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义是解决本题的关键．
2．（3分）如图，沿线段OA将该圆锥的侧面剪开并展平，得到的圆锥的侧面展开图是（ ）
A．三角形 B．正方形 C．扇形 D．圆
【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形解答即可．
【解答】解：沿线段OA将该圆锥的侧面剪开并展平，得到的圆锥的侧面展开图是扇形，
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的侧面展开图，熟知圆锥的侧面展开图为扇形是解题的关键．
3．（3分）如图，直线l ∥l ，点A在l 上，AB⊥l ，垂足为B．若∠1＝138°，则∠2的度数为（ ）
1 2 2 3
A．32° B．38° C．42° D．48°
【分析】由平行线的性质得到∠3＝∠1＝138°，由垂直的定义得到∠ABC＝90°，由三角形外角的性质
就求出∠2＝48°．
【解答】解：∵直线l ∥l ，
1 2
∴∠3＝∠1＝138°，
∵AB⊥l ，
3
∴∠ABC＝90°，
∵∠3＝∠2+∠ABC，
∴∠2＝48°．
故选：D．
第1页（共18页）【点评】本题考查平行线的性质，垂线，关键是由平行线的性质得到∠3＝∠1＝138°，由三角形外角
的性质即可求解．
1
4．（3分）计算：(- x2y) 3=（ ）
2
1 1 1 3
A．- x6 y3 B．- x2y3 C．- x6 y3 D．- x5y4
6 8 8 2
【分析】根据积的乘方法则计算即可．
1
【解答】解：原式=- x6y3，
8
故选：C．
【点评】本题考查积的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
5．（3分）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m（m为常数）与x轴交于点A，将该直线沿x轴向左平
移6个单位长度后，与x轴交于点A′．若点A′与A关于原点O对称，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6
【分析】根据平移的规律求得平移后的直线解析式，然后根据 x轴上点的坐标特征求得A、A′的坐标，
由题意可知m﹣6+m＝0，解得m＝3．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+m（m为常数）与x轴交于点A，
∴A（m，0），
将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，得到y＝﹣（x+6）+m＝﹣x﹣6+m，
∵将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，与x轴交于点A′，
∴A′（m﹣6，0），
∵点A′与A关于原点O对称，
∴m﹣6+m＝0，
解得m＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，求得 A、A′的坐标是
解题的关键．
6．（3分）如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sinB的
值为（ ）
第2页（共18页）2√13 3√13 2 √5
A． B． C． D．
13 13 3 4
【分析】连接 AD，得到∠ADB＝90°，由勾股定理求出 AD＝2√2，AB=√26，即可求出 sinB
AD 2√13
= = ．
AB 13
【解答】解：连接AD，则∠ADB＝90°，
∵AD=√22+22=2√2，AB=√12+52=√26，
AD 2√2 2√13
∴sinB= = = ，
AB √26 13
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，关键是由勾股定理求出AD，AB的长．
7．（3分）如图， O是△ABC的外接圆，∠A＝72°．过点O作BC的垂线交^BC于点D，连接BD，则
∠D的度数为（ ）
⊙
A．64° B．54° C．46° D．36°
【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠BDC＝180°﹣∠A＝108°，根据垂径定理得到E是
1
边BC的中点，得到BD＝CD，根据等腰三角形的性质得到∠ODB＝∠ODC= ∠BDC，即可求出
2
∠ODB的度数．
【解答】解：连接CD，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，∠A＝72°，
∴∠CDB+∠A＝180°，
∴∠BDC＝180°﹣∠A＝108°，
∵OD⊥BC，
∴E是边BC的中点，
∴BD＝CD，
1
∴∠ODB＝∠ODC= ∠BDC＝54°．
2
故选：B．
第3页（共18页）【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，
根据垂径定理证得E是边BC的中点，圆周角定理求出∠BDC的度数是解决问题的关键．
8．（3分）如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … ﹣3 0 3 5 …
y … 16 ﹣5 ﹣8 0 …
则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（ ）
A．图象的顶点在第一象限
B．有最小值﹣8
C．图象与x轴的一个交点是（﹣1，0）
D．图象开口向下
【分析】由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质得到结果．
【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
{9a-3b+c=16
由题意知 c=-5 ，
9a+3b+c=-8
{
a=1
解得 b=-4，
c=-5
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣5）（x+1）＝（x﹣2）2﹣9，
∴函数的图象开口向上，顶点为（2，﹣9），图象与x轴的交点是（﹣1，0）和（5，0），
∴顶点在第四象限，函数有最小值﹣9，
故A、B、D选项不正确，选项C正确，符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是学会根据表格中的信息求得函数的解析式．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）在实数√2，﹣1，0，-√5， 中，最小的无理数是 -√5 ．
【分析】先从实数中找出无理数，再比较无理数的大小．
π
【解答】解：∵在实数√2，﹣1，0，-√5， 中，
无理数有：√2，-√5， ．
π
∵√2≈1.414，-√5≈-2.236， ≈3.142，
π
∴-√5＜√2＜ ．
π
∴无理数最小的是-√5．
π
故答案为：-√5．
【点评】本题考查了无理数大小的比较，掌握比较无理数大小的方法是解决本题的关键．
10．（3分）分解因式：3x2﹣12＝ 3 （ x ﹣ 2 ）（ x + 2 ） ．
【分析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝3（x2﹣4）
第4页（共18页）＝3（x+2）（x﹣2）．
故答案为：3（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完
全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和
需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往
因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项．要求灵活使
用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．
11．（3分）如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设
若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在∠AOB处，则这块正多边形地砖的边
数是 6 ．
【分析】正多边形的组合进行平面镶嵌，关键是位于同一顶点处的几个角之和为360°．从而可得
∠AOB＝120°，计算正多边形的外角＝180°﹣120°＝60°，由此可得边数．
【解答】解：∵正三角形、正方边的内角分别为60°、90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
360°
∴这块正多边形地砖的边数是： = 6．
180°-120°
故答案为：6．
【点评】本题考查了平面密铺的知识，属于基础题，解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，
关键是看位于同一顶点处的几个角之和为360°
12．（3分）若点A（﹣1，2），B（1，m），C（4，n）都在同一个反比例函数的图象上，则m，n的大
小关系是m ＜ n．（填“＞”“＝”或“＜”）
【分析】依据题意，先由A求出解析式，再把所给点的横纵坐标代入反比例函数的解析式，求出 mn
的值，比较大小即可．
k
【解答】解：设反比例函数为y= ，
x
又A（﹣1，2）在反比例函数图象上，
∴k＝（﹣1）×2＝﹣2．
2
∴反比例函数为y=- ．
x
2
又点B（1，m）在反比例函数y=- 的图象上，
x
∴m＝﹣2．
2
∵C（4，n）都在反比例函数y=- 图象上，
x
1
∴n=- ，
2
∴m＜n．
第5页（共18页）故答案为：＜．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积等
于比例系数．
13．（3分）如图，在 ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在AD的延长线上，且DE＝2，过点E作直线l
9
分别交边CD，AB于▱点M，N．若直线l将 ABCD的面积平分，则线段CM的长为 ．
4
▱
【分析】依据题意，连接AC交l于点O，由直线l将 ABCD的面积平分，从而O为AC的中点，结合
DM ED
平行四边形的性质可得△AON≌△COM，进而AN＝▱CM，再由AN∥DM有 = ，求出AN，故
AN EA
而可以得解．
【解答】解：连接AC交l于点O．
∵直线l将 ABCD的面积平分，AC为 ABCD的对角线，
∴O为AC的中点，为平行四边形的中心．
▱ ▱
∴OA＝OC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
DM ED
∴∠NAO＝∠MCO， = ．
AN EA
又∠AON＝∠COM，
∴△AON≌△COM（ASA）．
∴AN＝CM．
DM ED
∴ = ．
CM EA
又ED＝2，AD＝4，AB＝3，
3-CM 2
∴ = ．
CM 6
9
∴CM= ．
4
9
故答案为： ．
4
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
1
14．（5分）计算：6×(- )+√3×√8+(-15) 0 ．
2
第6页（共18页）【分析】利用有理数的乘法法则，二次根式的运算法则，零指数幂进行计算即可．
【解答】解：原式＝﹣3+√24+1
＝2√6-3+1
＝2√6-2．
【点评】本题主要考查有理数及二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
{ x
x＜ +4
15．（5分）解不等式组： 5 ．
4x+1＞3(2x-1)
【分析】解各不等式后求的它们解集的公共部分即可．
【解答】解：解第一个不等式可得x＜5，
解第二个不等式可得x＜2，
故原不等式组的解集为：x＜2．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．
2x x+5
16．（5分）解方程： -1= ．
x+5 x
【分析】利用解分式方程的步骤解方程即可．
【解答】解：原方程两边同乘x（x+5）去分母得：2x2﹣x（x+5）＝（x+5）2，
去括号得：2x2﹣x2﹣5x＝x2+10x+25，
移项，合并同类项得：﹣15x＝25，
5
解得：x=- ，
3
5
经检验，x=- 是分式方程的解，
3
5
故原方程的解为：x=- ．
3
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
17．（5分）如图，已知四边形ABCD，AD∥BC．请用尺规作图法，在边AD上求作一点E，在边BC上
求作一点F，使四边形BFDE为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作BD的垂直平分线与AD，BC的交点即可．
【解答】解：如图所示：E、F即为所求．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握菱形的判定定理是解题的关键．
18．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，作CD⊥AC，且使CD＝AC，作DE⊥BC，交BC的延长线
第7页（共18页）于点E．求证：CE＝AB．
【分析】根据余角的性质证得∠A＝∠DCE，然后根据AAS即可证得△ABC≌△CED，据全等三角形
的对应边相等，即可证得．
【解答】证明：∵DC⊥AC于点C，
∴∠ACB+∠DCB＝90°
∵∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠A＝90°
∴∠A＝∠DCE
∵DE⊥BC于点E，
∴∠E＝90°
∴∠B＝∠E．
在△ABC和△CED中，
{
∠B=∠E
∠A=∠DCE，
AC=CD
∴△ABC≌△CED（AAS）．
∴AB＝CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明线段相等的基本思路是证明三角形全等．
19．（5分）“绿水青山就是金山银山”，希望中学每年都会组织学生进行植树活动．今年该校又买了一
批树苗，并组建了植树小组．如果每组植 5棵，就会多出6棵树苗；如果每组植6棵，就会缺少9棵
树苗．求学校这次共买了多少棵树苗？
【分析】根据“如果每组植5棵，就会多出6棵树苗；如果每组植6棵，就会缺少9棵树苗，小组数
目不变”列方程求解．
【解答】解：设学校这次共买了x棵树苗，
x-6 x+9
则： = ，
5 6
解得：x＝81，
答：学校这次共买了81棵树苗．
【点评】本题考查了一元一次方程是应用，找到相等关系是解题的关键．
20．（5分）从同一副扑克牌中选出四张牌，牌面数字分别为2，5，6，8．将这四张牌背面朝上，洗匀．
3
（1）从这四张牌中随机抽出一张牌，这张牌上的牌面数字是偶数的概率是 ；
4
（2）小明从这四张牌中随机抽出一张牌，记下牌面数字后，放回．背面朝上，洗匀．然后，小华从中
随机抽出一张牌，请用画树状图或列表的方法，求小华抽出的牌上的牌面数字比小明抽出的牌上的牌
面数字大的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
第8页（共18页）（2）画树状图，共有16种等可能的结果，找出小华抽出的牌上的牌面数字比小明抽出的牌上的牌面
数字大的情况数，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵共有四张扑克牌，分别是2，5，6，8，其中偶数有3张，
3
∴从这四张牌中随机抽出一张牌，这张牌上的牌面数字是偶数的概率是 ．
4
3
故答案为： ；
4
（2）列表如下：
2 5 6 8
2 （2，2） （5，2） （6，2） （8，2）
5 （2，5） （5，5） （6，5） （8，5）
6 （2，6） （5，6） （6，6） （8，6）
8 （2，8） （8，6） （6，8） （8，8）
一共有16种等可能的情况，其中小华抽出的牌上的牌面数字比小明抽出的牌上的牌面数字大的有6种，
6 3
则小华抽出的牌上的牌面数字比小明抽出的牌上的牌面数字大的概率是 = ．
16 8
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合
两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率
＝所求情况数与总情况数之比．
21．（6分）小华想利用所学知识测量自家对面的两栋楼 AB与CD的高度差．如图所示，她站在自家阳
台上发现，在阳台的点E处恰好可经过楼CD的顶端C看到楼AB的底端B，即点E，C，B在同一直线
上．此时，测得点 B的俯角 ＝22°，点A的仰角 ＝16.7°，并测得EF＝48m，FD＝50m．已知，
EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，点F，D，B在同一水平直线上．求楼AB与CD的高度差．（参考数据：
α β
sin16.7°≈0.29，cos16.7°≈0.96，tan16.7°≈0.30，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
【分析】过点C作CG⊥EF于G，过点E作EH⊥AB于H，根据正切的定义分别求出EG、FB、AH，
计算即可．
【解答】解：如图，过点C作CG⊥EF于G，过点E作EH⊥AB于H，
第9页（共18页）∵EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，
∴得矩形CDFG，矩形EFBH，
∴CG＝FD＝50m，HB＝EF＝48m，
在Rt△CGE中，CG＝50m，∠ECG＝ ＝22°，
则EG＝CG•tan∠ECG≈50×0.40＝20.00（m），
α
∴CD＝FG＝EF﹣EG＝48﹣20.00＝28.00（m），
在Rt△EFB中，EF＝48m，∠EBF＝ ＝22°，
则EF＝FB•tan∠EBF，
α
∴48≈FB×0.40，
∴FB＝120.00（m），
在Rt△AHE中，EH＝FB＝120m，∠AEH＝ ＝16.7°，
则AH＝EH•tan∠AEH≈120×0.30＝36.00（m），
β
∴AB＝AH+BH＝AH+EF＝36.00+48＝84.00（m），
∴AB﹣CD＝84.00﹣28.00＝56.00（m），
答：楼AB与CD的高度差约为56.00m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握正切的定义是解题的关键．
22．（7分）某农科所对当地小麦从抽穗期到灌浆期连续 51天的累计需水量进行研究，得到当地每公顷
小麦在这51天内累计需水量y（m3）与天数x之间的关系如图所示，其中，线段OA，AC分别表示抽
穗期、灌浆期的y与x之间的函数关系．
（1）求这51天内，y与x之间的函数关系式；
（2）求当地每公顷小麦在整个灌浆期的需水量．
【分析】（1）依据题意，分0≤x≤20和20＜x≤51两段通过待定系数法可以得解；
（2）依据题意，令x＝51时求出需水总量，再减去前20天的需水量，即可得解．
【解答】解：（1）由题意，当0≤x≤20时，设y＝kx，
∴20k＝960．
∴k＝48．
∴y＝48x．
当20＜x≤51时，设关系式为y＝mx+n，
{20m+n=960
∴ ．
40m+n=1660
{m=35
∴ ．
n=260
∴y＝35x+260．
{ 48x，(0≤x≤20)
综上，所求函数关系式为y = ．
35x+260，(20＜x≤51)
（2）由题意，令x＝51，
第10页（共18页）∴y＝35×51+260＝2045．
又当x＝20时，y＝960，
∴每公顷小麦在整个灌浆期的需水量＝2045﹣960＝1085（m3）．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并理解是关键．
23．（7分）某大型超市为优化停车收费标准，需了解车辆在本超市的停车场内停车一次的时长（简称：
停车时长）的情况．超市的管理部门随机采集了该停车场的 60个停车时长数据（单位：分钟），并将
数据整理，绘制了如下统计图表：
组别 停车时长x/分钟 组内平均停车时长/分钟
A 0＜x≤30 15
B 30＜x≤60 47
C 60＜x≤90 80
D 90＜x≤120 105
E x＞120 200
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；这60个数据的中位数落在 B 组；
（2）求本次采集的这60个数据的平均数；
（3）如果超市想对停车时长不超过60分钟的车辆免收停车费，试估计该停车场内1000辆车中，有多
少辆车免收停车费？
【分析】（1）根据条形图求出B组的频数，即可补全条形统计图；根据中位数的定义即可得出答案；
（2）根据平均数公式计算即可；
（3）用1000乘以停车时长不超过60分钟的百分比即可．
【解答】解：（1）B组的频数为60﹣16﹣11﹣8﹣5＝20，
补全条形统计图如下：
∵中位数是数据从小到大排列后第30个和31个数据的平均数，第30个和31个数据都在B组，
∴这60个数据的中位数落在B组；
故答案为：B；
第11页（共18页）15×16+47×20+80×11+105×8+200×5
（2） =65（分钟），
60
答：本次采集的这60个数据的平均数为65分钟；
16+20
（3）1000× =600（辆），
60
答：估计该停车场内1000辆车中，有600辆车免收停车费．
【点评】本题考查了条形统计图、频数分布表、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求
问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
24．（8分）如图，∠MPN＝30°，点O在PM上， O与PN相切于点A，与PM的交点分别为B，C．作
CD∥PN，与 O交于点D，作CE⊥PN，垂足为E，连接EO并延长，交CD于点F．
⊙
（1）求证：CD＝PA；
⊙
（2）若PA＝4，求EF的长．
【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质即可解决问题；
CF OC 1
（2）证明△CFO∽△PEO，得 = = ，然后利用勾股定理即可解决问题．
PE OP 2
【解答】（1）证明：如图，连接BD，OA，
∵ O与PN相切于点A，
∴OA⊥PA，
⊙
∴∠OAP＝90°，
∵BC是 O的直径，
∴∠BDC＝90°，
⊙
∵CD∥PN，
∴∠MPN＝∠BCD＝30°，
1
∴BD= BC＝OA，
2
∴CD=√3BD，PA=√3OA，
∴CD＝PA；
（2）解：如图，过点O作OH⊥CE于点H，
∵CE⊥PN，OA⊥PA，
∴∠OHE＝∠HEA＝∠OAE＝90°，
∴四边形OAEH是矩形，
∴OA＝HE，OH＝AE，OH∥AE，
∵∠MPN＝30°，PA＝4，
√3 4√3
∴OA= PA= ，
3 3
4√3
∴EH＝OA= ，
3
第12页（共18页）∵PO＝2OA，OA＝OC，
∴CP＝OC+PO＝3OC，
∵OH∥AE，
OH OC 1
∴ = = ，
PE CP 3
OH 1
∴ = ，
4+OH 3
∴OH＝2，
∵∠COH＝30°，OH＝2，
√3 2√3
∴CH= OH= ，
3 3
∴CE＝EH+CH＝2√3，
∵CD∥PN，
CF OC OC 1
∴ = = = ，
PE OP 2OA 2
CF 1
∴ = ，
4+2 2
∴CF＝3，
∵CD∥PN，CE⊥PN，
∴CE⊥CF，
∴EF=√CE2+CF2=√12+9=√21．
【点评】本题主要考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，平行线的判定和性质，矩形的
判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握这些知识点并能熟练应用是解题的关键．
25．（8分）某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度OM＝12米，
顶点P到底部OM的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点M在x轴上．其内部支架有
两个符合要求的设计方案：
方案一是“川”字形内部支架（由线段AB，PN，DC构成），点B，N，C在OM上，且OB＝BN＝
NC＝CM，点A，D在抛物线上，AB，PN，DC均垂直于OM；
方案二是“H”形内部支架（由线段A′B′，D′C′，EF构成），点B′，C′在OM上，且OB′
＝B′C′＝C′M，点A′，D′在抛物线上，A′B′，D′C′均垂直于OM，E，F分别是A′B′，
D′C′的中点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理
由．
第13页（共18页）【分析】（1）先确定顶点坐标，再利用待定系数法即可求出该抛物线的表达式；
（2）分别求出方案一和方案二的内部支架材料长度，再比较即可．
【解答】解：（1）∵该抛物线型构件的底部宽度OM＝12米，顶点P到底部OM的距离为9米，
∴顶点P的坐标为P（6，9），点O的坐标为O（0，0），点M的坐标为M（12，0），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣6）2+9，将O（0，0）的横纵坐标代入，
得0＝a（0﹣6）2+9，
1
解得a=- ，
4
1 1
∴该抛物线的函数表达式为y=- (x-6) 2+9，即y=- x2+3x；
4 4
（2）方案二的内部支架节省材料．理由如下：
方案一：∵OB＝BN＝NC＝CM，OM＝12米，
∴OB＝3米，OC＝9米，
1 27 27
当x＝3时，y=- (3-6) 2+9= ，即AB= 米，
4 4 4
1 27 27
当x＝9时，y=- (9-6) 2+9= ，即CD= 米，
4 4 4
27 27 45
∴方案一内部支架材料长度为AB+NP+CD= +9+ = （米），
4 4 2
方案二：∵OB′＝B′C′＝C′M，OM＝12米，
∴OB′＝4米，OC′＝8米，EF＝B′C′＝4米，
1
当x＝4时，y=- (4-6) 2+9=8，即A′B′＝8米，
4
1
当x＝8时，y=- (8-6) 2+9=8，即C′D′＝8米，
4
∴方案二内部支架材料长度为A′B′+EF+C′D′＝8+4+8＝20（米），
45
∵ ＞20，
2
∴方案二的内部支架节省材料．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答中涉及待定系数法求函数解析式，函数图象上点的坐标确定，
掌握待定系数法是是解题的关键．
26．（10分）（1）如图①，∠AOB＝120°，点P在∠AOB的平分线上，OP＝4．点E，F分别在边
OA，OB上，且∠EPF＝60°，连接EF．求线段EF的最小值；
（2）如图②，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点P是拱桥^AB的中点，桥下水面的宽度AB＝24m，
点P到水面AB的距离PH＝8m．点P ，P 均在^AB上，^PP =^PP ，且P P ＝10m，在点P ，P 处各
1 2 1 2 1 2 1 2
第14页（共18页）装有一个照明灯，图中△P CD和△P EF分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点P ，P 左右
1 2 1 2
转动，且光束始终照在水面AB上．即∠CP D，∠EP F可分别绕点P ，P 按顺（逆）时针方向旋转
1 2 1 2
（照明灯的大小忽略不计），线段CD，EF在AB上，此时，线段ED是这两灯照在水面AB上的重叠
部分的水面宽度．已知∠CP D＝∠EP F＝90°，在这两个灯的照射下，当整个水面AB都被灯光照到时，
1 2
求这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度．（可利用备用图解答）
【分析】（1）过P作PC⊥OB于C，作PD⊥OA于D，证明△PCF≌△PDE（AAS），可得CF＝
DE，即可得OE+OF＝（OD﹣DE）+（OC+CF）＝OD+OC，而∠POD＝∠POC＝60°，知OD＝OC
1 1 √3
= OP＝2，故OE+OF＝4，设OF＝x，则OE＝4﹣x，过F作FG⊥AO于G，有OG= x，GF= x，
2 2 2
√ 1 √3
由勾股定理得EF=√EG2+GF2= (4- x) 2+( x) 2=√x2-4x+16=√(x-2) 2+12，即知线段EF
2 2
的最小值是2√3；
（2）当整个水面AB都被灯光照到时，①C与A重合，F与B重合，设PH交P P 于K，圆心为O，
1 2
连接HO，AO，P O，过P1作P T⊥AB于T，由点P是拱桥^AB的中点，PH⊥AB，设 O半径为r
1 1
m，则 OH＝OP﹣PH＝（r﹣8）m，可得 122+（r﹣8）2＝r2，r＝13，求出 P K＝P K＝5m，OK
1 2
⊙
=√OP 2-OK2=√132-52=12（m），PK＝OP﹣OK＝13﹣12＝1（m），KH＝PH﹣PK＝8﹣1＝7
1
（m），可得P T＝KH＝7m，故AT＝P T，∠P AT＝45°，可得△AP D是等腰直角三角形，即得AD＝
1 1 1 1
2AT＝14（m），即 CD＝14m，同理可得 BE＝14m，即 FE＝14m，故 DE＝EF﹣DB＝14﹣10＝4
（m），这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度为4m；②当E与A重合，D与B重合时，可
AM AP 338 338
得AP =√AM2+P M2=√338（m），而cos∠P AM= = 2 ，可得AF= ，同理BC=
2 2 2 AP AF 17 17
2
268
，故CF＝AF+BC﹣AB= （m）．
17
【解答】解：（1）过P作PC⊥OB于C，作PD⊥OA于D，如图：
∵∠AOB＝120°，∠EPF＝60°，
第15页（共18页）∴∠OEP+∠OFP＝180°，
∵∠OEP+∠PED＝180°，
∴∠OFP＝∠PED，即∠PFC＝∠PED，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OB，PD⊥OA，
∴PC＝PD，
∵∠PCF＝∠PDE＝90°，
∴△PCF≌△PDE（AAS），
∴CF＝DE，
∴OE+OF＝（OD﹣DE）+（OC+CF）＝OD+OC，
∵∠POD＝∠POC＝60°，
∴∠OPD＝∠OPC＝30°，
1
∴OD＝OC= OP＝2，
2
∴OE+OF＝4，
设OF＝x，则OE＝4﹣x，
过F作FG⊥AO于G，如图：
∵∠OFG＝∠AOB﹣∠G＝120°﹣90°＝30°，
1 √3
∴OG= x，GF= x，
2 2
1
∴EG＝OE+OG＝4- x，
2
√ 1 √3
∴EF=√EG2+GF2= (4- x) 2+( x) 2=√x2-4x+16=√(x-2) 2+12，
2 2
∴当x＝2时，EF取最小值√12=2√3，
∴线段EF的最小值是2√3；
（2）当整个水面AB都被灯光照到时，
①C与A重合，F与B重合，设PH交P P 于K，圆心为O，连接HO，AO，P O，过P1作P T⊥AB
1 2 1 1
于T，如图：
∵点P是拱桥^AB的中点，PH⊥AB，
1
∴O，P，H共线，AH＝BH= AB＝12m，
2
设 O半径为r m，则OH＝OP﹣PH＝（r﹣8）m，
⊙
第16页（共18页）在Rt△AHO中，AH2+OH2＝OA2，
∴122+（r﹣8）2＝r2，
解得r＝13，
∴OP ＝13m，
1
∵^PP =^PP ，且P P ＝10m，
1 2 1 2
∴P K＝P K＝5m，
1 2
∴OK=√OP 2-OK2=√132-52=12（m），
1
∴PK＝OP﹣OK＝13﹣12＝1（m），
∴KH＝PH﹣PK＝8﹣1＝7（m），
∴P T＝KH＝7m，
1
∵AT＝AH﹣TH＝12﹣5＝7（m），
∴AT＝P T，
1
∴∠P AT＝45°，
1
∵∠CP D＝90°，即∠AP D＝90°，
1 1
∴△AP D是等腰直角三角形，
1
∴AD＝2AT＝14（m），即CD＝14m，
∴DB＝AB﹣AD＝24﹣14＝10（m），
同理可得BE＝14m，即FE＝14m，
∴DE＝EF﹣DB＝14﹣10＝4（m），
∴这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度为4m；
②当E与A重合，D与B重合时，如图：
∵AT＝P T＝7m＝P M，P P ＝10m，
1 2 1 2
∴AM＝AT+TM＝17m，
∴AP =√AM2+P M2=√172+72=√338（m），
2 2
AM AP
∵cos∠P AM= = 2 ，
2 AP AF
2
17 √338
∴ = ，
√338 AF
338
∴AF= ，
17
338
同理BC= ，
17
338 338 268
∴CF＝AF+BC﹣AB= + -24= （m）；
17 17 17
第17页（共18页）268
∴这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度为 m；
17
268
综上所述，这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度为4m或 m．
17
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及全等三角形，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形等知识，
解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和直角三角形解决问题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/1/12 22:01:03；用户：庞俊梅；邮箱：18715777852；学号：54801167
第18页（共18页）
