文档内容
2024 年高考押题预测卷 02【新九省卷】
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，则 ，故选D
2．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，得 ，
，故选B.
3．已知 ， ，若 ，则 （ ）
1
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学科网（北京）股份有限公司A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ， ，所以 ，解得 ，故选A.
4．若 ，则 （ ）
A．100 B．110 C．120 D．130
【答案】C
【解析】在 中， ， ，
所以 ，故选C
5．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 （ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】D
【解析】设数列 的公差为 ，由 ， ，
得 ，解得 ，
所以 ，故选D.
6．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善
良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征
（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是
3和6，且 ，则该圆台的体积为（ ）
2
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设圆台上下底面的半径分别为 ，由题意可知 ，解得 ，
，解得： ，作出圆台的轴截面，如图所示：
图中 ， ，
过点 向 作垂线，垂足为 ，则 ，
所以圆台的高 ，
则上底面面积 ， ，由圆台的体积计算公式可得：
，故选 .
7．已知直线 与圆 相交于M，N两点.则 的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】C
3
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学科网（北京）股份有限公司【解析】由圆的方程 ，可知圆心 ，半径 ，
直线 过定点 ，
因为 ，则定点 在圆内，
则点 和圆心 连线的长度为 ，
当圆心到直线 距离最大时，弦长 最小，此时 ，
由圆的弦长公式可得 ，
故选：C
8．已知可导函数 的定义域为 ， 为奇函数，设 是 的导函数，若 为奇函
数，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 为奇函数，则 ，
即 ，两边求导得 ，
则 ，可知 关于直线 对称，
又因为 为奇函数，则 ，
即 ，可知 关于点 对称，
令 ，可得 ，即 ，
由 可得 ，
4
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学科网（北京）股份有限公司由 ，可得 ，即 ，
可得 ，即 ，
令 ，可得 ；
令 ，可得 ；
且 ，可知8为 的周期，
可知 ，
所以 .
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数z，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则z为实数 B．若 ，则
C．若 ，则 的最大值为2 D．若 ，则z为纯虚数
【答案】AC
【解析】设 ，则 ，
若 ，即 ，即 ，则z为实数，故A正确；
若 ，即 ，
化简可得 ，即 ，即 ，
当 时， ， ，此时不一定满足 ，
当 时， ， ，此时不一定满足 ，故B错误；
5
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学科网（北京）股份有限公司若 ，即 ，
所以 ，即 表示以 为圆心，以 为半径的圆上的点，
且 表示圆上的点到原点的距离，所以 的最大值为2，故C正确；
若 ，即 ，
，即 ，
化简可得 ，则 且 ，
此时 可能为实数也可能为纯虚数，故D错误；
故选：AC
10．已知函数 的图象在y轴上的截距为 ， 是该函数的最小正零点，
则（ ）
A．
B． 恒成立
C． 在 上单调递减
D．将 的图象向右平移 个单位，得到的图象关于 轴对称
【答案】AC
【解析】函数 的图象在y轴上的截距为 ，
所以 ，因为 ，所以 .故A正确；
又因为 是该函数的最小正零点，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 ，
解得 ，所以 ， ，
所以 ，故B错误；
当 时， ，故C正确；
将 的图象向右平移 个单位，得到 ，
是非奇非偶函数，图象不关于 轴对称，故D错误.
故选：AC.
11．如图，已知抛物线 的焦点为 ，抛物线 的准线与 轴交于点 ，过点 的
直线 （直线 的倾斜角为锐角）与抛物线 相交于 两点（A在 轴的上方， 在 轴的下
方），过点 A作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，直线 与抛物线 的准线相交于点 ，则
（ ）
A．当直线 的斜率为1时， B．若 ，则直线 的斜率为2
C．存在直线 使得 D．若 ，则直线 的倾斜角为
【答案】AD
【解析】易知 ，可设 ，设 ，
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学科网（北京）股份有限公司与抛物线方程联立得 ，
则 ，
对于A项，当直线 的斜率为1时，此时 ，
由抛物线定义可知 ，故A正确；
易知 是直角三角形，若 ，
则 ，
又 ，所以 为等边三角形，即 ，此时 ，故B错误；
由上可知
，
即 ，故C错误；
若 ，
又知 ，所以 ，
则 ，即直线 的倾斜角为 ，故D正确.
故选：AD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共3小题，每小题6
分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；
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学科网（北京）股份有限公司③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三
个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．已知在某次新结构数学试题的考试中，
小明同学三个多选题中第一小题确定得满分，第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一
个选项，则小明同学多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）的中位数为 ．
【答案】11
【解析】由题意得小明同学第一题得6分；
第二题选了2个选项，可能得分情况有3种，分别是得0分、4分和6分；
第二题选了1个选项，可能得分情况有3种，分别是得0分、2分和3分；
由于相同总分只记录一次，因此小明的总分情况有：6分、8分、9分、10分、12分、13分、14分、
15分共8种情况，
所以中位数为 ，
13．在直三棱柱 中， ， ，过 作该直三棱柱外接球的截面，所
得截面的面积的最小值为 ．
【答案】
【解析】由直三棱柱 可知， 平面 ，
又 ，所以 两两垂直，
设直三棱柱 外接球的半径为R，
通过构造长方体可知该三棱柱的外接球与以 为边长的长方体外接球相同；
过 作该直三棱柱外接球的截面，当 为所截圆的直径时截面面积最小，
因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则所求截面面积最小值为 .
14．在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ，则 =
；若 ，则 面积的最大值为 ．
【答案】
【解析】因为 ，由正弦定理得 ，
因为 ，则有 ，
所以 ，得 ，即 ，故 ；
因 ， ，故 ，可得 ，
由 ，解得 ，得 ，
由余弦定理得， ，所以 ，
由 ，当且仅当 时等号成立，可得 ，
，即 面积的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（本小题满分13分）已如曲线 在 处的切线与直线 垂
直.
(1)求 的值；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
【解】（1）由于 的斜率为 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ,故 ，解得 ，
（2）由（1）知 ，所以 ，
故当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
故当 时， 取最小值 ，
要使 恒成立，故 ，解得 ，
故 的取值范围为
16．（本小题满分15分）为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好
书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读
时间（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075，
0.0125，后三个小矩形的高度比为3：2：1．
(1)根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用
该组区间的中点值为代表）；
(2)开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生
作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于[80，100）的人数记
为 ，求随机变量 的分布列与数学期望．
【解】（1）由题知：各组频率分别为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，
日均阅读时间的平均数为：
（分钟）
（2）由题意，在[60，80），[80，100），[100，120]三组分别抽取3，2，1人
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学科网（北京）股份有限公司的可能取值为：0，1，2
则
所以 的分布列为：
0 1 2
17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， ，
点 在 上，点 为 的中点，且 平面 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
【解】（1）连接 交 与点 ，连接 ，可得平面 与平面 的交线为 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 为 的中点，所以点 为 的中点，
取 的中点 ，连接 ，可得 且 ，
又因为 为 的中点，可得 且 ，
所以 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又因为 平面 ，且 平面 ，所以 平面 ．
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学科网（北京）股份有限公司（2）取 的中点 ，连结 ，
因为 ，可得 ，且 ，
又因为 ，且 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
可得 ，
因为 为 的中点， 为 的中点，可得 ，
则 ，
设 是平面 的法向量，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
设 是平面 的法向量，则 ，
取 ，可得 ，所以 ；
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
即平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．
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学科网（北京）股份有限公司18．（本小题满分17分）已知椭圆 ，直线 与椭圆 交于A、B两点， 为坐标原点，且
， ，垂足为点 ．
(1)求点 的轨迹方程；
(2)求 面积的取值范围．
【解】（1）①当直线l斜率不存在时，由椭圆的对称性，不妨设直线l在y轴右侧，
直线OA的方程为 ，
由 ，解得 ， ，所以， ，
所以，直线AB的方程为 ，此时 ．
同理，当直线l在y轴左侧时， ．
②当直线l斜率存在时，设直线l的方程为 ， ， ，
由 消去y整理得， ，
∴ ，且 ， ，
又∵ ，∴ 即： ，
所以， ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
故 ，
所以 满足 ，
所以， ．
综上， ，所以，点P的轨迹方程为 ．
（2）①由（1）可知，当直线l斜率不存在或斜率为0时， ．
②当直线l斜率存在且不为0时，
，
∵ ，∴ ，当且仅当 ，即 等号成立．
∴ ，∴ ，
∴ ，
综上， ．
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学科网（北京）股份有限公司19．（本小题满分17分）置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合 的函数称
为 次置换.满足对任意 的置换称作恒等置换.所有 次置换组成的集合记作 .对于
，我们可用列表法表示此置换： ，记
.
(1)若 ，计算 ；
(2)证明：对任意 ，存在 ，使得 为恒等置换；
(3)对编号从1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第
27张变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，......，依次类推.这样操作最少重复几次就
能恢复原来的牌型？请说明理由.
【解】（1） ，
由题意可知 ；
（2）解法一：①若 ，则 为恒等置换；
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学科网（北京）股份有限公司②若存在两个不同的 ，使得 ，不妨设 ，则 .
所以 ，即 为恒等置换；
③若存在唯一的 ，使得 ，不妨设 ，则 或 .
当 时，由（1）可知 为恒等置换；
同理可知，当 时， 也是恒等置换；
④若对任意的 ，
则情形一： 或 或 ；
情形二： 或 或
或 或 或 ；
对于情形一： 为恒等置换；
对于情形二： 为恒等置换；
综上，对任意 ，存在 ，使得 为恒等置换；
解法二：对于任意 ，都有 ，
所以 中，至少有一个满足 ，
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学科网（北京）股份有限公司即使得 的 的取值可能为 .
当 分别取 时，记使得 的 值分别为 ，
只需取 为 的最小公倍数即可.
所以对任意 ，存在 ，使得 为恒等置换；
（3）不妨设原始牌型从上到下依次编号为1到52，则洗牌一次相当于对 作一次如下置换：
，即
其中 .
注意到各编号在置换中的如下变化：
， ，
，
，
，
，
，
，
，
所有编号在连续置换中只有三种循环：一阶循环2个，二阶循环2个，八阶循环48个，
注意到 的最小公倍数为8，由此可见，最少8次这样的置换即为恒等置换，
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学科网（北京）股份有限公司故这样洗牌最少8次就能恢复原来的牌型.
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学科网（北京）股份有限公司
