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云南省曲靖市2018年中考数学真题试题
一、选择题（共8题，每题4分）
1．（4分）﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
2．（4分）如图所示的支架（一种小零件）的两个台阶的高度和宽度相等，则它的左视图为（
）
A． B． C． D．
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a=a2 B．a6÷a2=a3
C．a2b﹣2ba2=﹣a2bD．（﹣ ）3=﹣
4．（4分）截止2018年5月末，中国人民银行公布的数据显示，我国外汇的储备规模约为
3.11×104亿元美元，则3.11×104亿表示的原数为（ ）
A．2311000亿B．31100亿 C．3110亿 D．311亿
5．（4分）若一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角是（ ）
A．60° B．90° C．108° D．120°
6．（4分）下列二次根式中能与2 合并的是（ ）
A． B． C． D．
7．（4分）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB（顶点为网格线交点）绕原点O顺时针旋转
90°，得到△OA′B′，若反比例函数y= 的图象经过点A的对应点A′，则k的值为（ ）
1A．6 B．﹣3 C．3 D．6
8．（4分）如图，在正方形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB、AC于点
M，N，分别以M，N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点H，连结AH并延长交BC
于点E，再分别以A、E为圆心，以大于AE长的一半为半径画弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，
分别交CD，AC，AB于点F，G，L，交CB的延长线于点K，连接GE，下列结论：①∠LKB=22.5°，
②GE∥AB，③tan∠CGF= ，④S ：S =1：4．其中正确的是（ ）
△CGE △CAB
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
二、填空题（共6题，每题3分）
9．（3分）如果水位升高2m时，水位的变化记为+2m，那么水位下降3m时，水位的变化情况是
．
10．（3分）如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n°，则∠DCE=
°．
11．（3分）如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果
2DE=2.5，那么△ACD的周长是 ．
12．（3分）关于x的方程ax2+4x﹣2=0（a≠0）有实数根，那么负整数a= （一个即可）．
13．（3分）一个书包的标价为115元，按8折出售仍可获利15%，该书包的进价为 元．
14．（3分）如图：图象①②③均是以P 为圆心，1个单位长度为半径的扇形，将图形①②③分
0
别沿东北，正南，西北方向同时平移，每次移动一个单位长度，第一次移动后图形①②③的圆
心依次为PPP ，第二次移动后图形①②③的圆心依次为PPP…，依此规律，PP =
1 2 3 4 5 6 0 2018
个单位长度．
三、解答题
15．（5分）计算﹣（﹣2）+（π﹣3.14）0+ +（﹣ ）﹣1
16．先化简，再求值（ ﹣ ）÷ ，其中a，b满足a+b﹣ =0．
17．如图：在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF=CE，连接EF，点M，N是线段
EF上两点，且EM=FN，连接AN，CM．
（1）求证：△AFN≌△CEM；
（2）若∠CMF=107°，∠CEM=72°，求∠NAF的度数．
318．甲乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做4个，甲做120个所用的时间与乙做
100个所用的时间相等，求甲乙两人每小时各做几个零件？
19．某初级中学数学兴趣小组为了了解本校学生的年龄情况，随机调查了该校部分学生的年
龄，整理数据并绘制如下不完整的统计图．
依据以上信息解答以下问题：
（1）求样本容量；
（2）直接写出样本容量的平均数，众数和中位数；
（3）若该校一共有1800名学生，估计该校年龄在15岁及以上的学生人数．
20．某公司计划购买A，B两种型号的电脑，已知购买一台A型电脑需0.6万元，购买一台B型
电脑需0.4万元，该公司准备投入资金y万元，全部用于购进35台这两种型号的电脑，设购
进A型电脑x台．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若购进B型电脑的数量不超过A型电脑数量的2倍，则该公司至少需要投入资金多少万
元？
21．数学课上，李老师准备了四张背面看上去无差别的卡片A，B，C，D，每张卡片的正面标有
字母a，b，c表示三条线段（如图），把四张卡片背面朝上放在桌面上，李老师从这四张卡片中
随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张．
（1）用树状图或者列表表示所有可能出现的结果；
（2）求抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率．
22．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好
4与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的
另一侧作∠MPB=∠ADC．
（1）判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC= ，求四边形OCDB的面积．
23．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y= x﹣ 与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2
﹣3x+c的对称轴是x= ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴
于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：
PE⊥PF；
（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物
线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说
明理由．
5参考答案与试题解析
一、选择题（共8题，每题4分）
1．（4分）﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【解答】解：﹣2的绝对值是2，
即|﹣2|=2．
故选：A．
2．（4分）如图所示的支架（一种小零件）的两个台阶的高度和宽度相等，则它的左视图为（
）
A． B． C． D．
【解答】解：从左面看去，是两个有公共边的矩形，如图所示：
故选：D．
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a=a2 B．a6÷a2=a3
C．a2b﹣2ba2=﹣a2bD．（﹣ ）3=﹣
【解答】解：A、原式=a3，不符合题意；
B、原式=a4，不符合题意；
C、原式=﹣a2b，符合题意；
6D、原式=﹣ ，不符合题意，
故选：C．
4．（4分）截止2018年5月末，中国人民银行公布的数据显示，我国外汇的储备规模约为
3.11×104亿元美元，则3.11×104亿表示的原数为（ ）
A．2311000亿B．31100亿 C．3110亿 D．311亿
【解答】解：3.11×104亿=31100亿
故选：B．
5．（4分）若一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角是（ ）
A．60° B．90° C．108° D．120°
【解答】解：（n﹣2）×180°=720°，
∴n﹣2=4，
∴n=6．
则这个正多边形的每一个内角为720°÷6=120°．
故选：D．
6．（4分）下列二次根式中能与2 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、 ，不能与2 合并，错误；
B、 能与2 合并，正确；
C、 不能与2 合并，错误；
D、 不能与2 合并，错误；
故选：B．
7．（4分）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB（顶点为网格线交点）绕原点O顺时针旋转
90°，得到△OA′B′，若反比例函数y= 的图象经过点A的对应点A′，则k的值为（ ）
7A．6 B．﹣3 C．3 D．6
【解答】解：如图所示：∵将△OAB（顶点为网格线交点）绕原点O顺时针旋转90°，得到
△OA′B′，反比例函数y= 的图象经过点A的对应点A′，
∴A′（3，1），
则把A′代入y= ，
解得：k=3．
故选：C．
8．（4分）如图，在正方形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB、AC于点
M，N，分别以M，N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点H，连结AH并延长交BC
于点E，再分别以A、E为圆心，以大于AE长的一半为半径画弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，
分别交CD，AC，AB于点F，G，L，交CB的延长线于点K，连接GE，下列结论：①∠LKB=22.5°，
②GE∥AB，③tan∠CGF= ，④S ：S =1：4．其中正确的是（ ）
△CGE △CAB
8A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC= ∠BAD=45°，
由作图可知：AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=22.5°，
∵PQ是AE的中垂线，
∴AE⊥PQ，
∴∠AOL=90°，
∵∠AOL=∠LBK=90°，∠ALO=∠KLB，
∴∠LKB=∠BAE=22.5°；
故①正确；
②∵OG是AE的中垂线，
∴AG=EG，
∴∠AEG=∠EAG=22.5°=∠BAE，
∴EG∥AB，
故②正确；
③∵∠LAO=∠GAO，∠AOL=∠AOG=90°，
∴∠ALO=∠AGO，
∵∠CGF=∠AGO，∠BLK=∠ALO，
∴∠CGF=∠BLK，
在Rt△BKL中，tan∠CGF=tan∠BLK= ，
故③正确；
④连接EL，
∵AL=AG=EG，EG∥AB，
∴四边形ALEG是菱形，
9∴AL=EL=EG＞BL，
∴ ，
∵EG∥AB，
∴△CEG∽△CBA，
∴ = ，
故④不正确；
本题正确的是：①②③，
故选：A．
二、填空题（共6题，每题3分）
9．（3分）如果水位升高2m时，水位的变化记为+2m，那么水位下降3m时，水位的变化情况是
﹣ 3 m ．
【解答】解：∵水位升高2m时水位变化记作+2m，
∴水位下降3m时水位变化记作﹣3m．
故答案是：﹣3m．
10．（3分）如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n°，则∠DCE= n
°．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠DCB=180°，
又∵∠DCE+∠DCB=180°
10∴∠DCE=∠A=n°
故答案为：n
11．（3分）如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果
DE=2.5，那么△ACD的周长是 1 8 ．
【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴AC=2DE=5，AC∥DE，
AC2+BC2=52+122=169，
AB2=132=169，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∵AC∥DE，
∴∠DEB=90°，又∵E是BC的中点，
∴直线DE是线段BC的垂直平分线，
∴DC=BD，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18，
故答案为：18．
12．（3分）关于x的方程ax2+4x﹣2=0（a≠0）有实数根，那么负整数a= ﹣ 2 （一个即可）．
【解答】解：∵关于x的方程ax2+4x﹣2=0（a≠0）有实数根，
∴△=42+8a≥0，
解得a≥﹣2，
∴负整数a=﹣1或﹣2．
故答案为﹣2．
13．（3分）一个书包的标价为115元，按8折出售仍可获利15%，该书包的进价为 8 0 元．
【解答】解：设该书包的进价为x元，
根据题意得：115×0.8﹣x=15%x，
11解得：x=80．
答：该书包的进价为80元．
故答案为：80．
14．（3分）如图：图象①②③均是以P 为圆心，1个单位长度为半径的扇形，将图形①②③分
0
别沿东北，正南，西北方向同时平移，每次移动一个单位长度，第一次移动后图形①②③的圆
心依次为PPP，第二次移动后图形①②③的圆心依次为PPP…，依此规律，PP = 67 3
1 2 3 4 5 6 0 2018
个单位长度．
【解答】解：由图可得，PP=1，PP=1，PP=1；
0 1 0 2 0 3
PP=2，PP=2，PP=2；
0 4 0 5 0 6
PP=3，PP=3，PP=3；
0 7 0 8 0 9
∵2018=3×672+2，
∴点P 在正南方向上，
2018
∴PP =672+1=673，
0 2018
故答案为：673．
三、解答题
15．（5分）计算﹣（﹣2）+（π﹣3.14）0+ +（﹣ ）﹣1
【解答】解：原式=2+1+3﹣3
=3．
16．先化简，再求值（ ﹣ ）÷ ，其中a，b满足a+b﹣ =0．
12【解答】解：原式= • = ，
由a+b﹣ =0，得到a+b= ，
则原式=2．
17．如图：在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF=CE，连接EF，点M，N是线段
EF上两点，且EM=FN，连接AN，CM．
（1）求证：△AFN≌△CEM；
（2）若∠CMF=107°，∠CEM=72°，求∠NAF的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠AFN=∠CEM，
∵FN=EM，AF=CE，
∴△AFN≌△CEM（SAS）．
（2）解：∵△AFN≌△CEM，
∴∠NAF=∠ECM，
∵∠CMF=∠CEM+∠ECM，
∴107°=72°+∠ECM，
∴∠ECM=35°，
∴∠NAF=35°．
18．甲乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做4个，甲做120个所用的时间与乙做
100个所用的时间相等，求甲乙两人每小时各做几个零件？
【解答】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x﹣4）个零件，
根据题意得： = ，
解得：x=24，
13经检验，x=24是分式方程的解，
∴x﹣4=20．
答：甲每小时做24个零件，乙每小时做20个零件．
19．某初级中学数学兴趣小组为了了解本校学生的年龄情况，随机调查了该校部分学生的年
龄，整理数据并绘制如下不完整的统计图．
依据以上信息解答以下问题：
（1）求样本容量；
（2）直接写出样本容量的平均数，众数和中位数；
（3）若该校一共有1800名学生，估计该校年龄在15岁及以上的学生人数．
【解答】解：（1）样本容量为6÷12%=50；
（2）14岁的人数为50×28%=14、16岁的人数为50﹣（6+10+14+18）=2，
则这组数据的平均数为 =14（岁），
中位数为 =14（岁），众数为15岁；
（3）估计该校年龄在15岁及以上的学生人数为1800× =720人．
20．某公司计划购买A，B两种型号的电脑，已知购买一台A型电脑需0.6万元，购买一台B
型电脑需0.4万元，该公司准备投入资金y万元，全部用于购进35台这两种型号的电脑，设
购进A型电脑x台．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若购进B型电脑的数量不超过A型电脑数量的2倍，则该公司至少需要投入资金多少万
元？
14【解答】解：（1）由题意得，0.6x+0.4×（35﹣x）=y，
整理得，y=0.2x+14（0＜x＜35）；
（2）由题意得，35﹣x≤2x，
解得，x≥ ，
则x的最小整数为12，
∵k=0.2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=12时，y有最小值16.4，
答：该公司至少需要投入资金16.4万元．
21．数学课上，李老师准备了四张背面看上去无差别的卡片A，B，C，D，每张卡片的正面标有
字母a，b，c表示三条线段（如图），把四张卡片背面朝上放在桌面上，李老师从这四张卡片中
随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张．
（1）用树状图或者列表表示所有可能出现的结果；
（2）求抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率．
【解答】解：（1）由题意可得，
共有12种等可能的结果；
（2）∵共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角
形有2种结果，
15∴抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率为 = ．
22．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好
与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的
另一侧作∠MPB=∠ADC．
（1）判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC= ，求四边形OCDB的面积．
【解答】解：（1）PM与⊙O相切．
理由如下：
连接DO并延长交PM于E，如图，
∵弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，
∴OC=DC，BO=BD，
∴OC=DC=BO=BD，
∴四边形OBDC为菱形，
∴OD⊥BC，
∴△OCD和△OBD都是等边三角形，
∴∠COD=∠BOD=60°，
∴∠COP=∠EOP=60°，
∵∠MPB=∠ADC，
而∠ADC=∠ABC，
∴∠ABC=∠MPB，
∴PM∥BC，
∴OE⊥PM，
∴OE= OP，
16∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴OC= OP，
∴OE=OC，
而OE⊥PC，
∴PM是⊙O的切线；
（2）在Rt△OPC中，OC= PC= × =1，
∴四边形OCDB的面积=2S =2× ×12= ．
△OCD
23．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y= x﹣ 与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2
﹣3x+c的对称轴是x= ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴
于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：
PE⊥PF；
（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物
线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说
明理由．
17【解答】解：（1）当y=0时， x﹣ =0，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x= ，得
，
解得 ，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；
（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，
∴直线m的解析式为y= x．
∵点P是直线1上任意一点，
∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．
又∵PE=3PF，
∴ = ．
∴∠FPC=∠EPB．
∵∠CPE+∠EPB=90°，
∴∠FPC+∠CPE=90°，
∴FP⊥PE．
（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．
18∵CF=3BE=18﹣3a，
∴OF=20﹣3a．
∴F（0，20﹣3a）．
∵PEQF为矩形，
∴ = ， = ，
∴Q+6=0+a，Q+2=20﹣3a+0，
x y
∴Q=a﹣6，Q=18﹣3a．
x y
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍
去）．
∴Q（﹣2，6）．
如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6．
∵CF=3BE=3a﹣18，
∴OF=3a﹣20．
19∴F（0，20﹣3a）．
∵PEQF为矩形，
∴ = ， = ，
∴Q+6=0+a，Q+2=20﹣3a+0，
x y
∴Q=a﹣6，Q=18﹣3a．
x y
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍
去）．
∴Q（2，﹣6）．
综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．
20
