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2019年内蒙古包头市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.
1．（3分）计算|﹣ |+（ ）﹣1的结果是（ ）
A．0 B． C． D．6
2．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．下列结论正确的是（ ）
A．a＞b B．a＞﹣b C．﹣a＞b D．﹣a＜b
3．（3分）一组数据2，3，5，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是（ ）
A．4 B． C．5 D．
4．（3分）一个圆柱的三视图如图所示，若其俯视图为圆，则这个圆柱的体积为（ ）
A．24 B．24π C．96 D．96π
5．（3分）在函数y＝ ﹣ 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x＞﹣1且x≠2 D．x≥﹣1且x≠2
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．立方根等于它本身的数一定是1和0
B．顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形
C．在函数y＝kx+b（k≠0）中，y的值随着x值的增大而增大
D．如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧长一定相等
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC
于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于 DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边
1BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，以BC为直径作半圆，交AB于点
D，则阴影部分的面积是（ ）
A．π﹣1 B．4﹣π C． D．2
9．（3分）下列命题：
①若x2+kx+ 是完全平方式，则k＝1；
②若A（2，6），B（0，4），P（1，m）三点在同一直线上，则m＝5；
③等腰三角形一边上的中线所在的直线是它的对称轴；
④一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是六边形．
其中真命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣
12x+m+2＝0的两根，则m的值是（ ）
A．34 B．30 C．30或34 D．30或36
11．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝
60°，则CF的长是（ ）
2A． B． C． ﹣1 D．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，﹣2），B（0，﹣2），C（﹣3，0），M是线段AB
上的一个动点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M、N在直线y＝kx+b上，则b
的最大值是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣1 D．0
二、填空题：本大题有6小题，每小题3分，共24分.
13．（3分）2018年我国国内生产总值（GDP）是900309亿元，首次突破90万亿大关，90万亿用
科学记数法表示为 ．
14．（3分）已知不等式组 的解集为x＞﹣1，则k的取值范围是 ．
15．（3分）化简：1﹣ ÷ ＝ ．
16．（3分）甲、乙两班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表：
班级 参赛人数 平均数 中位数 方差
甲 45 83 86 82
乙 45 83 84 135
某同学分析上表后得到如下结论：
①甲、乙两班学生的平均成绩相同；
②乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分≥85分为优秀）；
③甲班成绩的波动性比乙班小．
上述结论中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
17．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°，在同一平面内，将△ABC绕A点逆
时针旋转70°得到△ADE，连接EC，则tan∠DEC的值是 ．
318．（3分）如图，BD是⊙O的直径，A是⊙O外一点，点C在⊙O上，AC与⊙O相切于点C，∠CAB
＝90°，若BD＝6，AB＝4，∠ABC＝∠CBD，则弦BC的长为 ．
19．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0），B（0，2），将△ABO沿直线AB翻折后
得到△ABC，若反比例函数y＝ （x＜0）的图象经过点C，则k＝ ．
20．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，D为斜边AC的中点，连接BD，点F是BC
边上的动点（不与点B、C重合），过点B作BE⊥BD交DF延长线交于点E，连接CE，下列结
论：
①若BF＝CF，则CE2+AD2＝DE2；
②若∠BDE＝∠BAC，AB＝4，则CE＝ ；
③△ABD和△CBE一定相似；
④若∠A＝30°，∠BCE＝90°，则DE＝ ．
其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
4三、解答题：本大题共有6小题，共60分.
21．（8分）某校为了解九年级学生的体育达标情况，随机抽取50名九年级学生进行体育达标
项目测试，测试成绩如下表，请根据表中的信息，解答下列问题：
测试成绩（分） 23 25 26 28 30
人数（人） 4 18 15 8 5
（1）该校九年级有450名学生，估计体育测试成绩为25分的学生人数；
（2）该校体育老师要对本次抽测成绩为23分的甲、乙、丙、丁4名学生进行分组强化训练，
要求两人一组，求甲和乙恰好分在同一组的概率．（用列表或树状图方法解答）
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，∠BAD＝90°，AC交BD于点E，∠ABD＝
30°，AD＝ ，求线段AC和BE的长．
（注： ＝ ＝ ）
23．（10分）某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺
季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨 ．据统计，淡季该公司平均每天有
10辆货车未出租，日租金总收入为1500元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总
收入为4000元．
（1）该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金多少元？
（2）经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元，每天租出去的货车就会
减少1辆，不考虑其它因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收
入最高？
524．（10分）如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2 ，弦BM平分∠ABC
交AC于点D，连接MA，MC．
（1）求⊙O半径的长；
（2）求证：AB+BC＝BM．
25．（12分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是对角线BD上的一个动点（0＜DM＜ BD），连
接AM，过点M作MN⊥AM交BC于点N．
（1）如图①，求证：MA＝MN；
（2）如图②，连接AN，O为AN的中点，MO的延长线交边AB于点P，当 时，求AN
和PM的长；
（3）如图③，过点N作NH⊥BD于H，当AM＝2 时，求△HMN的面积．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，
0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；
（2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、BD，若∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标；
（3）已知F（1，1），若E（x，y）是抛物线上一个动点（其中1＜x＜2），连接CE、CF、EF，求
△CEF面积的最大值及此时点E的坐标．
（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四
边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明
理由．
672019年内蒙古包头市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.
1．【解答】解：原式＝3+3＝6．
故选：D．
2．【解答】解：∵﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2，∴答案A错误；
∵a＜0＜b，且|a|＞|b|，∴a+b＜0，∴a＜﹣b，∴答案B错误；
∴﹣a＞b，故选项C正确，选项D错误．
故选：C．
3．【解答】解：∵这组数据的众数4，
∴x＝4，
将数据从小到大排列为：2，3，4，4，5，6，7，9
则中位数为：4.5．
故选：B．
4．【解答】解：由三视图可知圆柱的底面直径为4，高为6，
∴底面半径为2，
∴V＝πr2h＝22×6•π＝24π，
故选：B．
5．【解答】解：根据题意得，
，
解得，x≥﹣1，且x≠2．
故选：D．
6．【解答】解：A、立方根等于它本身的数一定是±1和0，故错误；
B、顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形，故正确；
C、在函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y的值随着x值的增大而增大，故错误；
D、在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧长一定相等，故错误．
故选：B．
7．【解答】解：由作法得AG平分∠BAC，
∴G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1，
所以△ACG的面积＝ ×4×1＝2．
8故选：C．
8．【解答】解：连接CD，
∵BC是半圆的直径，
∴CD⊥AB，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴CD＝BD，
∴阴影部分的面积＝ ×2 2 ＝2，
故选：D．
9．【解答】解：若x2+kx+ 是完全平方式，则k＝±1，所以①错误；
若A（2，6），B（0，4），P（1，m）三点在同一直线上，而直线AB的解析式为y＝x+4，则x＝1
时，m＝5，所以②正确；
等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，所以③错误；
一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是六边形，所以④正确．
故选：B．
10．【解答】解：当a＝4时，b＜8，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+b＝12，
∴b＝8不符合；
当b＝4时，a＜8，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+a＝12，
∴a＝8不符合；
当a＝b时，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴12＝2a＝2b，
9∴a＝b＝6，
∴m+2＝36，
∴m＝34；
故选：A．
11．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1，
在Rt△ABE和Rt△ADF中， ，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BAE＝∠DAF，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠DAF＝30°，
∴∠DAF＝15°，
在AD上取一点G，使∠GFA＝∠DAF＝15°，如图所示：
∴AG＝FG，∠DGF＝30°，
∴DF＝ FG＝ AG，DG＝ DF，
设DF＝x，则DG＝ x，AG＝FG＝2x，
∵AG+DG＝AD，
∴2x+ x＝1，
解得：x＝2﹣ ，
∴DF＝2﹣ ，
∴CF＝CD﹣DF＝1﹣（2﹣ ）＝ ﹣1；
故选：C．
12．【解答】解：连接AC，则四边形ABOC是矩形，∴∠A＝∠ABO＝90°，
又∵MN⊥MC，
∴∠CMN＝90°，
∴∠AMC＝∠MNB，
10∴△AMC∽△NBM，
∴ ，
设BN＝y，AM＝x．则MB＝3﹣x，ON＝2﹣y，
∴ ，
即：y＝ x2+ x
∴当x＝﹣ ＝﹣ 时，y ＝ ×（ ）2+ ＝ ，
最大
∵直线y＝kx+b与y轴交于N（0，b）
当BN最大，此时ON最小，点N （0，b）越往上，b的值最大，
∴ON＝OB﹣BN＝2﹣ ＝ ，
此时，N（0， ）
b的最大值为 ．
故选：A．
二、填空题：本大题有6小题，每小题3分，共24分.
13．【解答】解：90万亿用科学记数法表示成：9.0×1013，
故答案为：9.0×1013．
14．【解答】解：
由①得x＞﹣1；
由②得x＞k+1．
∵不等式组 的解集为x＞﹣1，
11∴k+1≤﹣1，
解得k≤﹣2．
故答案为k≤﹣2．
15．【解答】解：1﹣ ÷ ＝1﹣ • ＝1﹣ ＝﹣ ，
故答案为：﹣ ．
16．【解答】解：由表格可知，甲、乙两班学生的成绩平均成绩相同；
根据中位数可以确定，乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数；
根据方差可知，甲班成绩的波动性比乙班小．
故①②③正确，
故答案为：①②③．
17．【解答】解：由旋转的性质可知：AE＝AC，∠CAE＝70°，
∴∠ACE＝∠AEC＝55°，
又∵∠AED＝∠ACB，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°，
∴∠ACB＝∠AED＝100°，
∴∠DEC＝100°﹣55°＝45°，
∴tan∠DEC＝tan45°＝1，
故答案为：1
18．【解答】解：连接CD、OC，如图：
∵AC与⊙O相切于点C，
∴AC⊥OC，
∵∠CAB＝90°，
∴AC⊥AB，
∴OC∥AB，
∴∠ABC＝∠OCB，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠CBO，
∴∠ABC＝∠CBO，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°＝∠CAB，
∴△ABC∽△CBD，
12∴ ＝ ，
∴BC2＝AB×BD＝4×6＝24，
∴BC＝ ＝2 ；
故答案为：2 ．
19．【解答】解：过点C作CD⊥x轴，过点B作BE⊥y轴，与DC的延长线相交于点E，
由折叠得：OA＝AC＝1，OB＝BC＝2，
易证，△ACD∽△BCE，
∴ ，
设CD＝m，则BE＝2m，CE＝2﹣m，AD＝2m﹣1
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2，
即：m2+（2m﹣1）2＝12，解得：m＝ ，m2＝0（舍去）；
1
∴CD＝ ，BE＝OA＝ ，
∴C（ ， ）代入y＝ 得，k＝ ＝ ，
故答案为：
20．【解答】解：①∵∠ABC＝90°，D为斜边AC的中点，
∴AD＝BD＝CD，
∵AF＝CF，
∴BF＝CF，
∴DE⊥BC，
13∴BE＝CE，∵
∵BE⊥BD，
∴BD2+BE2＝DE2，
∴CE2+AD2＝DE2，
故①正确；
②∵AB＝4，BC＝3，
∴AC＝ ，
∴ ，
∵∠A＝∠BDE，∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴ ，
即 ．
∴BE＝ ，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠A＝∠BDE，∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠A＝∠CDE，
∴DE∥AB，
∴DE⊥BC，
∵BD＝CD，
∴DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴CE＝ ，
故②正确；
③∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE，
14∵ ，
但随着F点运动，BE的长度会改变，而BC＝3，
∴ 或 不一定等于 ，
∴△ABD和△CBE不一定相似，
故③错误；
④∵∠A＝30°，BC＝3，
∴∠A＝∠ABD＝∠CBE＝30°，AC＝2BC＝6，
∴BD＝ ，
∵BC＝3，∠BCE＝90°，
∴BE＝ ，
∵∴ ，
故④正确；
故答案为：①②④．
三、解答题：本大题共有6小题，共60分.
21．【解答】解：（1）450× ＝162（人），
答：该校九年级有450名学生，估计体育测试成绩为25分的学生人数为162人；
（2）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，甲和乙恰好分在同一组的结果有2个，
∴甲和乙恰好分在同一组的概率为 ＝ ．
22．【解答】解：在Rt△ABD中
∵∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，AD＝ ，
∴tan∠ABD＝ ，
15∴ ＝ ，
∴AB＝3，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，∵AB＝BC＝3，
∴AC＝ ＝3 ，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△CBE，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
设DE＝ x，则BE＝3x，
∴BD＝DE+BE＝（ +3）x，
∴ ＝ ，
∵在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，
∴BD＝2AD＝2 ，
∴DE＝2 × ，
∴DE＝3﹣ ，
∴BE＝ （3﹣ ）＝3 ﹣3．
23．【解答】解：（1）该出租公司这批对外出租的货车共有x辆，
根据题意得， ，
解得：x＝20，
16经检验：x＝20是分式方程的根，
∴1500÷（20﹣10）＝150（元），
答：该出租公司这批对外出租的货车共有20辆，淡季每辆货车的日租金150元；
（2）设每辆货车的日租金上涨a元时，该出租公司的日租金总收入为W元，
根据题意得，W＝[a+150×（1+ ）]×（20﹣ ），
∴W＝﹣ a2+10a+4000＝﹣ （a﹣100）2+4500，
∵﹣ ＜0，
∴当a＝100时，W有最大值，
答：每辆货车的日租金上涨100元时，该出租公司的日租金总收入最高．
24．【解答】解：（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，
∵∠ABC＝120°，
∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，
∴∠AOH＝ ∠AOC＝60°，
∵AH＝ AC＝ ，
∴OA＝ ，
故⊙O的半径为2．
（2）证明：在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，
17∵∠MBC＝60°，BE＝BC，
∴△EBC是等边三角形，
∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，
∴∠BCD+∠DCE＝60°，
∵∠∠ACM＝60°，
∴∠ECM+∠DCE＝60°，
∴∠ECM＝∠BCD，
∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM＝60°，
∴∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AC＝CM，
∴△ACB≌△MCE，
∴AB＝ME，
∵ME+EB＝BM，
∴AB+BC＝BM．
25．【解答】（1）证明：过点M作MF⊥AB于F，作MG⊥BC于G，如图①所示：
∴∠AFM＝∠MFB＝∠BGM＝∠NGM＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠DAB＝90°，AD＝AB，∠ABD＝∠DBC＝45°，
∵MF⊥AB，MG⊥BC，
∴MF＝MG，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形FBGM是正方形，
∴∠FMG＝90°，
∴∠FMN+∠NMG＝90°，
18∵MN⊥AM，
∴∠AMF+∠FMN＝90°，
∴∠AMF＝∠NMG，
在△AMF和△NMG中， ，
∴△AMF≌△NMG（ASA），
∴MA＝MN；
（2）解：在Rt△AMN中，由（1）知：MA＝MN，
∴∠MAN＝45°，
∵∠DBC＝45°，
∴∠MAN＝∠DBC，
∴Rt△AMN∽Rt△BCD，
∴ ＝（ ）2，
在Rt△ABD中，AB＝AD＝6，
∴BD＝6 ，
∵，
∴ ＝ ，
解得：AN＝2 ，
∴在Rt△ABN中，BN＝ ＝ ＝4，
∵在Rt△AMN中，MA＝MN，O是AN的中点，
∴OM＝OA＝ON＝ AN＝ ，OM⊥AN，
∴∠AOP＝90°，
∴∠AOP＝∠ABN，
∵∠PAO＝∠NAB，
∴△PAO∽△NAB，
∴ ＝ ，即： ＝ ，
19解得：OP＝ ，
∴PM＝OM+OP＝ + ＝ ；
（3）解：过点A作AF⊥BD于F，如图③所示：
∴∠AFM＝90°，
∴∠FAM+∠AMF＝90°，
∵MN⊥AM，
∴∠AMN＝90°，
∴∠AMF+∠HMN＝90°，
∴∠FAM＝∠HMN，
∵NH⊥BD，
∴∠AFM＝∠MHN＝90°，
在△AFM和△MHN中， ，
∴△AFM≌△MHN（AAS），
∴AF＝MH，
在等腰直角△ABD中，∵AF⊥BD，
∴AF＝ BD＝ ×6 ＝3 ，
∴MH＝3 ，
∵AM＝2 ，
∴MN＝2 ，
∴HN＝ ＝ ＝ ，
∴S ＝ MH•HN＝ ×3 × ＝3，
△HMN
∴△HMN的面积为3．
2026．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2，
可得a＝﹣ ，b＝ ，
∴y＝﹣ x2+ x+2；
∴对称轴x＝1；
（2）如图1：过点D作DG⊥y轴于G，作DH⊥x轴于H，
设点D（1，y），
∵C（0，2），B（3，0），
∴在Rt△CGD中，CD2＝CG2+GD2＝（2﹣y）2+1，
∴在Rt△BHD中，BD2＝BH2+HD2＝4+y2，
在△BCD中，∵∠DCB＝∠CBD，
∴CD＝BD，
∴CD2＝BD2，
∴（2﹣y）2+1＝4+y2，
∴y＝ ，
∴D（1， ）；
（3）如图2：过点E作EQ⊥y轴于点Q，过点F作直线FR⊥y轴于R，过点E作FP⊥FR于P，
∴∠EQR＝∠QRP＝∠RPE＝90°，
∴四边形QRPE是矩形，
∵S ＝S ﹣S ﹣S ，
△CEF 矩形QRPE △CRF △EFP
∵E（x，y），C（0，2），F（1，1），
∴S ＝EQ•QR﹣ ×EQ•QC﹣ CR•RF﹣ FP•EP，
△CEF
∴S ＝x（y﹣1）﹣ x（y﹣2）﹣ ×1×1﹣ （x﹣1）（y﹣1），
△CEF
21∵y＝﹣ x2+ x+2，
∴S ＝﹣ x2+ x，
△CEF
∴当x＝ 时，面积有最大值是 ，
此时E（ ， ）；
（4）存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
设N（1，n），M（x，y），
①四边形CMNB是平行四边形时，
＝ ，
∴x＝﹣2，
∴M（﹣2，﹣ ）；
②四边形CNBM时平行四边形时，
＝ ，
∴x＝2，
∴M（2，2）；
③四边形CNNB时平行四边形时，
＝ ，
∴x＝4，
∴M（4，﹣ ）；
综上所述：M（2，2）或M（4，﹣ ）或M（﹣2，﹣ ）；
2223
