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2024年高考押题预测卷【全国卷02】
理科数学·全解全析
第一部分（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【详解】由 ，解得 或 ，
所以 ，则 ，
由 ，即 ，所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 .
故选：C
2．已知复数 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．
【详解】因为 ，又 ， ， ，
所以 ，
所以 ，所以 的虚部为 .
1
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学科网（北京）股份有限公司故选：A
3．设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，若 ， ，则“ ”是“ ”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【详解】若 ， ， ，则 与 的位置关系不能确定；
若 ，因为 ，所以 ，又 ，所以 成立.
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
4．已知函数 的图象如图所示，则函数 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】对于A，函数 的定义域为R，而题设函数的图象中在自变量为0时无意义，
不符合题意，排除；
对于B，当 时， ，不符合图象，排除.
对于C，当 时， ，不符合图象，排除；
故选：D
5．已知平面向量 满足 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意知平面向量 满足 ，
故 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
则 ， ，故 ，
故选：B.
6．已知 在R上单调递增，且为奇函数.若正实数a，b满足 ，则 的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由于 为奇函数，所以 ，
由 得 ，
由于 所以 ，
当且仅当 时取等号，故 的最小值为 ，
故选：A
7．2024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球
队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.
某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知
每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生
乙必须选同一个村，则不同的选法种数是（ ）
A．18 B．36 C．54 D．72
【详解】若五位同学最终选择为 ，先选择一位同学和学生甲和学生乙组成3人小组，
3
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学科网（北京）股份有限公司剩余两人各去一个村，进行全排列，此时有 种选择，
若五位同学最终选择为 ，将除了甲乙外的三位同学分为两组，再进行全排列，
此时有 种选择，
综上，共有 种选择.
故选：B
8．已知 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【详解】解：因为 ，
所以 ，
两式相加得： ，即 ，
化简得 ，
所以 ，
故选：A
9．已知 ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【详解】对 ，因为 ，则 ，即函数 在 单调递减，
且 时， ，则 ，即 ，所以 ，
因为 且 ，所以 ，
又 ，所以 .
4
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学科网（北京）股份有限公司故选：C
10．已知椭圆 ： 的左焦点为 ，如图，过点 作倾斜角为 的直线与椭圆 交于
， 两点， 为线段 的中点，若 （ 为坐标原点），则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】依题意，椭圆的左焦点为 ， ，
过 作 轴，垂足为 ，由 ，
得 ， ，则 ，
设 ，则有 ， ，
由 ，两式相减得 ，
则有 ，
5
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
故选：B.
11．在棱长为1的正方体 中， 分别为 的中点，点 在正方体的表面上运动，
且满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A．点 可以是棱 的中点 B．线段 的最大值为
C．点 的轨迹是正方形 D．点 轨迹的长度为
【详解】
在正方体 中，以点 为坐标原点，分别以 、 、 方向为 轴、 轴、 轴正方
向，建立空间直角坐标系，
因为该正方体的棱长为 ， 分别为 的中点，
则 ， ， ， ，
6
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，设 ，则 ，
因为 ，
所以 ， ，当 时， ；当 时， ；
取 ， ， ， ，
连接 ， ， ， ，则 ， ，
所以四边形 为矩形，
则 ， ，即 ， ，
又 ，且 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 ， ，所以 为 中点，则 平面 ，
所以，为使 ，必有点 平面 ，又点 在正方体的表面上运动，
所以点 的轨迹为四边形 ，
因此点 不可能是棱 的中点，即A错；
又 ， ，所以 ，则点 的轨迹不是正方形；
且矩形 的周长为 ，故C错，D正确；
因为点 为 中点，则点 为矩形 的对角线交点，所以点 到点 和点 的距离相等，且最大，
所以线段 的最大值为 ，故B错.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法，由
，求出动点轨迹图形，即可求解.
12．若函数 有两个不同的极值点 ，且 恒成立，则实数
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学科网（北京）股份有限公司的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【详解】依题意得 ，
若函数 有两个不同的极值点 ，
则方程 有两个不相等的正实数根 ，
可得 ，解得 ，
因为 ，
可得
．
设 ，则 ，
则 单调递减， ，可知 ．
所以实数 的取值范围是 .
故选：B．
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．若数列 满足 ， ，则 ．
【详解】因为数列 满足 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
，
，
……
，
以上各式相加得 ，
所以 .
【点睛】本题主要考查求数列的通项公式，熟记累加法即可，属于常考题型.
14．已知函数 ，其中 为常数，且 ，将函数 的图象向左平移 个单位
所得的图象对应的函数 在 取得极大值，则 的值为 .
【详解】由题意可知 ，
因为 在 取得极大值，所以 在 取得最大值，
所以 ， ，即 ，
又因为 ，所以，当且仅当 时， 满足条件，所以 ，
故答案为： .
15．已知函数 的最大值为 ，若函数 有三个零点，则实数 的
取值范围是 ．
【详解】解：因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 的最大值为 ，
易知函数 有三个零点，
等价于函数 的图象与直线 有三个交点，
因为 ，
所以当 或 时， ，当 时， ，所以 在 ， 上单调递减，
在 上单调递增，
所以 ， ，
又当 时， ；当 时， ，函数 的图象如下所示：
结合函数图象可知，若函数 的图象与直线 有三个交点，则 ．
故答案为：
16．已知四棱锥 的高为 ，底面 为菱形， ， 分别为 的中点，则
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0
学科网（北京）股份有限公司四面体 的体积为 ；三棱锥 的外接球的表面积的最小值为 ．
【详解】如图，设 ，连接 ，
，
易知 分别为 中点， ，
所以 ，
，
四边形 是菱形， ，
为全等的正三角形，
，
；
因为 是边长为 的正三角形，记其中心为 ，
则 的外接圆的半径为 ，
设三棱锥 的外接球的半径为 ，球心为 ，则 底面
过 作 底面 交于 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司结合图象可知 ，其中 ， ，
因为 到平面 的距离为2，即 ，所以 ，
易知关于 的函数 在 上单调递增，
所以当且仅当 时， 取得最小值，
此时， 三点共线，由 ，解得 ，
所以棱锥 的外接球的表面积的最小值为 .
故答案为： ； .
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．已知 的内角 的对边分别为 ．
(1)求 的值；
(2)若 的面积为 ，且 ，求 的周长．
【详解】（1）解：因为 ，由正弦定理得 ，.....................................1分
可得 ，
即 ，......................................................................3分
因为 ，可得 ，所以 ，即 ，
所以 ...........................................................................................................................6分
（2）解：由（1）知 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为若 的面积为 ，可得 ，即 ，解得 ，...................8分
又因为 ，
由余弦定理得 ，
整理得 ，解得 ，..........................................................................................................................10分
所以 ，
所以 的周长为 ............................................................................................................12分
18．某校高三年级进行班级数学文化知识竞赛，每班选三人组成代表队，其中1班和2班进入最终的决赛．
决赛第一轮要求两个班级的代表队队员每人回答一道必答题，答对则为本班得1分，答错或不答都得0分．
已知1班的三名队员答对的概率分别为 、 、 ， 班的三名队员答对的概率都是 ，每名队员回答正
确与否相互之间没有影响．用 、 分别表示1班和2班的总得分．
(1)求随机变量 、 的数学期望 ；
(2)若 ，求2班比1班得分高的概率．
【详解】（1）依题意可得 的可能取值为 、 、 、 ，
所以 ，
，
，
，
所以随机变量 的分布列为
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学科网（北京）股份有限公司0 1 2 3
..............................................................................................................................................................................3分
所以 ．............................................................................................4分
又 班的总得分 满足 ，则 ．...........................................................................6分
（2）设“ ”为事件 ，“ 班比 班得分高”为事件 ，..........................................................7分
则
，..........................................................................................................................................................9分
，
所以 ，.................................................................................................11分
所以 班比 班得分高的概率为 ．............................................................................................................12分
19．如图，在圆柱 中，一平面沿竖直方向截圆柱得到截面矩形 ，其中 ， 为圆柱 的
母线，点 在底面圆周上，且 过底面圆心 ，点D，E分别满足 ，过 的平面
与 交于点 ，且 .
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学科网（北京）股份有限公司(1)当 时，证明:平面 平面 ；
(2)若 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值.
【详解】（1）当 时，得 ，又 ， ，
所以 ， ，.............................................................................................................................2分
平面 ， 平面 ， 平面 ，
同理得 平面 ，..................................................................................................................................4分
因为 是平面 内两条相交直线，
所以平面 平面 ...............................................................................................................................5分
（2）因为 ， 为圆柱 的母线，所以 垂直平面 ，又点C在底面圆周上，且 过底面圆
心O，
所以 ，所以 两两互相垂直.以点 为坐标原点， 分别为 轴，建立如图
空间直角坐标系，..............................................................................................................................................6分
设 ，则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，........................................................7分
因为 ，所以 ，则
，.....................................................................................8分
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学科网（北京）股份有限公司设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，解得 ， ，
所以 ，.............................................................................................................................................10分
所以 与平面 所成角的正弦值为 ，
，解得 或 ，............................................................................................11分
， ...............................................................................................................................................12分
20．已知动圆 经过定点 ，且与直线 相切，设动圆圆心 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)设过点 的直线 ， 分别与曲线 交于 ， 两点，直线 ， 的斜率存在，且倾斜角互补，求证：
直线 的倾斜角为定值.
【详解】（1）因为动圆 经过定点 ，且与直线 相切，
即动圆圆心 到点 的距离与到直线 的距离相等，...................................................................1分
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学科网（北京）股份有限公司又点 不在直线 上，
由抛物线的定义可知动圆圆心 是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，...............................3分
所以动圆圆心 的轨迹为 ....................................................................................................................4分
（2）依题意设直线 方程为 ，
直线 ， 的斜率存在，且倾斜角互补，
的方程为 ．
联立方程组 ，消元得 ，
，.........................................................................................6分
因为此方程的一个根为 ，设 ， ，
则 ，同理可得 ，................................................................................8分
， ．
．
，...........................................................................................................................................10分
设直线 的倾斜角为 ，则 ，又 ，所以 ，......................................................11分
直线 的斜率为定值 ，倾斜角为定值 ．......................................................................................12分
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学科网（北京）股份有限公司21．已知函数 ．
(1)若函数 在 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的值；
(2)若函数 的最小值为 ，求 的值．
【详解】（1）因为 ，所以 ，
则 ，又 ，
所以函数 在 处的切线方程为 ．.........................................................2分
由题意，显然 ，令 得 ，令 得 ，
所以函数 在 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，
所以 ，解得 或 ．.........................................................................................................4分
（2）由（1）知 ，令 ，
所以 ，当 时， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增．...............................................................................6分
因为 ，所以当 时， ，
又
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学科网（北京）股份有限公司所以 在 上必存在唯一零点 ，使得 ．....................................................................8分
当 时， ，即 在 上单调递减，
当 时， ，即 在 上单调递增．
所以 在 处取得最小值，
即 ，且 ，即 ，
所以 ．...............................................................10分
设 ，所以 ，
当 时， 单调递增， ，
当 时， ， 单调递减， ，
又 ，所以函数 在 上存在唯一的 ，使得 成立，
所以 ，所以 ，即 ．........................................................................................12分
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．已知在平面直角坐标系 中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为 ；在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参
数），点 的极坐标为 且点 在曲线 上.
(1)求曲线 的普通方程以及曲线 的极坐标方程；
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学科网（北京）股份有限公司(2)已知直线 与曲线 分别交于 ， 两点，其中 ， 异于原点 ，求 的面积.
【详解】（1）因为曲线 的极坐标方程为 ，所以 ，
由 ，得曲线 的直角坐标方程为 ；
由曲线 的参数方程为 （ 为参数），又 ，
得 ，..........................................................................................................................................2分
因为 ，所以 ，即 ，
即曲线 的极坐标方程为 .
又点 在曲线 上，所以 ，解得 ，
所以曲线 的极坐标方程为 ；.................................................................................................4分
（2）因为点 ，则 ，即点 的直角坐标为 ，.................................5分
由（1）得曲线 的直角坐标方程为 ，
联立 ，解得 或 ，所以 ，
联立 ，解得 或 ，所以 ，............................................................8分
2
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0
学科网（北京）股份有限公司则 ，
点 到直线 的距离 ，.................................................................9分
所以 .........................................................................................................................10分
选修4-5：不等式选讲
23．已知函数 .
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
【详解】（1）当 时， 可化为 ......................................................................1分
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ................................................................................................4分
故当 时，不等式 的解集为 .......................................................................................5分
（2）因为 ，
所以 等价于 ........................................................................................7分
因为 ，当且仅当 时取等号，....................................8分
2
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学科网（北京）股份有限公司所以 的最小值为 ，所以 ，
解得 或 ，
故 的取值范围是 ..............................................................................................................10分
2
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学科网（北京）股份有限公司
