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2024年高考押题预测卷03【全国卷】
数学（理科）·参考答案
第一部分（选择题 共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求
的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D D B C C B B D D B A A
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14． 15． 16．
三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分.
17．（12分）
【详解】（Ⅰ）在△ABC中，∵bcosC+csinB＝0，
∴由正弦定理知，sinBcosC+sinCsinB＝0
∵0＜B＜ ，
∴sinB＞0π，于是cosC+sinC＝0，即tanC＝﹣1
∵0＜C＜
π
∴ ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理知， ，
∴c＝5，
∴ ，
设BC的中垂线交BC于点E，
1
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学科网（北京）股份有限公司∵在Rt BCD中， ，
△
∴ ．
18．（12分）
【详解】（1）如图，取 的中点 ，连接 交 于点 ，连接 ，
因为 是 的中点， 是 的中点，
所以 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，
又 平面 平面 ，所以 平面 .
（2）因为 ，平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 ，
所以直线 与平面 所成的角为 ，则 ，
在 中，不妨设 ，则 ，连接 ，
2
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 .
又平面 平面 ，所以平面 平面 ，
且平面 平面 平面 ，故 平面 .
设 的中点为 ，连接 ，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴､ 轴､ 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
不妨取 ，则有 ，
易知平面 的一个法向量为 .
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
19．（12分）
3
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）传球的过程中，不考虑第四次传给谁，有 种；
传球的过程中不传给甲，第四次传给甲，有 种，
传球的过程中传给甲，有 种；
故传球 次，球又回到甲手中的概率为 .
（2）根据题意可得 ，
， ，
，
故 的分布列如下所示：
则 .
（3） 次传球后，乙、丙、丁三人中被传到球，有两种情况：
第一种， 时， 次传球后，此 人均接过他人传球，则其概率为 ；
第二种， 时， 次传球后，此 人中只有 人接过他人传球，则第 次传球时将球传给剩余的1人，
其概率为： ；
所以当 时， ，
故 ，因为 ， .
所以数列 从第3项起构成等比数列，
，则 .
20．（12分）
4
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）由 ，所以 ，设 ， ，
，
，解得 ，
所以抛物线 的方程为 .
（2）如图，设 ， ， ， ，
，解得 ，
所以点 的坐标为 .
由题意直线 的斜率不为0，设 ， ， ，
联立 ，消去 整理得 ，
则 ， ， ，
因为 ，所以 ，
即 ，整理得 ，
将 ， 代入上式，
，满足 ，
所以直线 为 ，恒过定点 .
5
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学科网（北京）股份有限公司21．（12分）
【详解】（1）因为 ，所以 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时，由 ，得 ，
函数 在区间 上单调递增，
由 ，得 ，函数 在区间 上单调递减．
（2）要证 ，即证 ，
即证 ，
设 ，
故 在 上单调递增，又 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
①当 时，因为 ，所以 ；
②当 时，令 ，则 ，
设 ，则 ，设 ，
6
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学科网（北京）股份有限公司则 ，因为 ，所以 ，
所以 即 在 上单调递增，
所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 在 上单调递增， ，
即 ．
综上可知，当 时， ，
即 ．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做。则按所做的第一题记分.
22．（10分）
【详解】（1）由曲线 的参数方程为 ，（ 为参数），可得其普通方程 ，
由 ，得曲线 的极坐标方程 .
，
由 ，得曲线 的直角坐标方程 .
（2）将 代入 ，
得 .
将 逆时针旋转 ，得 的极坐标方程为 ，代入曲线 的极坐标方程，得
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学科网（北京）股份有限公司.
由 ，得 ， .
即 ，解得 .
因为 ，所以 .
23．（10分）
【详解】（1） .
即 ，或 ，或
解得 或 ，
所以原不等式的解集为 或 .
（2）证明：由（1）知当 时， 有最小值 ，
所以 ， .
因为 ，
所以 ，
因为 ， ，当且仅当 时取等号，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，当且仅当 ， 时取等号.
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