文档内容
2023 年高考考前押题密卷（全国甲卷）
数学（理科）·参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B A C A A D D B C C D B
13．【答案】 14．【答案】 ． 15．【答案】 16．【答案】 或
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个
试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分．
17．【详解】（1）选择条件①， ，
在 中，由余弦定理得 ，（2分）
整理得 ，则 ，又 ，所以 .（5分）
选择条件②， ，于是 ，
在 中，由正弦定理得， ，（2分）
因为 ，则 ，即 ，（3分）
因为 ，因此 ，即 ，又 ，所以 .（5分）
选择条件③， ，
在 中，因为 ，即 ，（2分）
则 ，又 ，即有 ，则 ，所以 .（5分）
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
1
学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）知， ，有 ，（6分）
而 与 的平分线交于点 ，即有 ，于是 ，（7分）
设 ，则 ，且 ，（8分）
在 中，由正弦定理得， ，
所以 ， ，（9分）
所以 的周长为
，（10分）
由 ，得 ，则当 ，即 时， 的周长取得最大值 ，
所以 周长的最大值为 .（12分）
18．【详解】（1）根据表中数据可知增加的速度逐渐变快，
所以回归方程 适宜预测未来几年我国区块链企业总数量；（2分）
（2）对 两边取自然对数，得 ，令 ，得 ,（3
分）
由于 ， ， ，（4分）
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
2
学科网（北京）股份有限公司则 ， ，（6
分）
∴ 关于 的回归直线方程为 ，则 关于 的回归方程为 ；（7分）
（3）对于首场比赛的选择有以下三种情况：A：甲与乙先赛；B：甲与丙先赛；C：丙与乙先赛，
由于在每场比赛中，甲胜乙的概率为 ，甲胜丙的概率为 ，乙胜丙的概率为 ，（8分）
则甲公司获胜的概率分别是 ，（9分）
，（10分）
，（11分）
由于 ，∴甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大．（12
分）
19．【详解】（1）如图1，取 中点 ，连接 .
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
3
学科网（北京）股份有限公司因为 分别是 的中点，所以 ，且 ，（1分）
所以 是平行四边形，所以 .因为 ，所以 .（3分）
又 ，所以 ，所以 是 的中点.（5分）
又因为 是 的中点，所以 ，所以 ，所以 四点共面．（6分）
（2）如图2，以点 为坐标原点，分别以 为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， .（7分）
设平面 的一个法向量为 ，
由 可得， ，取 ，则 是平面 的一个法向量.（9分）
设平面 的一个法向量为 ，
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
4
学科网（北京）股份有限公司由 可得， ，取 ，则 是平面 的一个法向量.（11
分）
所以， ，
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ．（12分）
20．【详解】（1）由已知得： ， ， ，设 ，
因为M在椭圆上，所以 ① （2分）
因为 ，将①式代入，得 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 ．（4分）
（2）①设 ，则 ， ，所以 ，
，
联立方程 ，得 ， 则 ．（5分）
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
5
学科网（北京）股份有限公司联立方程 ，得 ， ，则 ，（6分）
椭圆的右焦点为 ， ， ，（7分）
因为 ，说明C，D， 三点共线，即直线CD恒过 点．（8
分）
②因为直线CD恒过 点，所以 的周长为 ，
设 内切圆的半径为 ，所以 的面积 ，
所以 ，即 ，（9分）
若内切圆的面积最大，即r最大，也就是 最大，
因为 三点不共线，所以直线CD的斜率不为0，设直线CD的方程为 ，
代入 得： ，可得 ， ，
又因为
令 ，（*）式化为： ， （11分）
因为函数 在 上单调递增，所以当 ，即 时，（*）式取最大值
3，
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
6
学科网（北京）股份有限公司所以 ，故 ，所以得到 内切圆面积的最大值为 ，当 时取得．（12分）
21．【详解】（1）由题意， 有两个不相等正根，
所以 有两个不相等正根，即 有两个不相等正根，（1分）
记函数 ，则 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，（3分）
令 得 ，且 ，x无限趋近于0时，函数值无限趋向于0，
作出函数 的图象，如图
（4分）
要使 有两个不相等正根，则函数 与函数 有两个交点，
由图知 ，故实数a的取值范围 .（5分）
（2）函数 定义域为 ，
当 时， ， 在 上单调递增，不符合题意；
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
7
学科网（北京）股份有限公司当 时，若 时， ， 在 上单调递减，
若 时， ， 在 上单调递增，（7分）
由题意，不妨设 ，先证明 .要证 ，即证 ；
因为 ，且 在 上单调递增，故只需证明 ，（8分）
令 ，
则 ，所以 在 上单调递增，（9分）
所以当 时， ，则有 ，
因为 ，所以 ，则 ，故 ；
再证 ，即证 .因为 ，且 在 上单调递增，（10分）
只需证明 ，即证 ，
因为 ，所以 ，
所以只需证明 ，令 ，（11分）
则 ．令 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
8
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，于是 ，
从而可得 在 上单调递减，故 ，
所以 成立，故 .综上， .（12分）
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计
分．
[选修4-4：坐标系与参数方程] 微信搜索“高中试卷君”公众号 领取押题卷联考卷
22【详解】（1）设A、B两点的极坐标分别为 、 ，（2分）
则 ，
，因此， ；（5分）
（2）根据对称性，不妨设 、 ，
．（8分）
∵ ，则 ，
所以当 时，即 ， 时， ．（10分）
[选修4-5：不等式选讲]
23．【详解】（1）当 时， ，
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
9
学科网（北京）股份有限公司解 ，即 ，解得 ；
当 时， ，
解 ，即 ，解得 ，无解；
当 时， ，
解 ，即 ，解得 .（4分）
综上所述，不等式 的解集为 . （5分）
（2）由（1）可知， .
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，（7分）
所以函数 的最小值为2，所以 ，所以 .（8分）
由柯西不等式可得， ，（9分）
当且仅当 时，等号成立.所以 ，所以 。（10分）
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
10
学科网（北京）股份有限公司原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
11
学科网（北京）股份有限公司
