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2024年高考押题预测卷01
数学·全解全析
一、单选题
1．已知集合 ， ， ，则实数 的值为（ ）
A．2 B． 或2 C．1或2 D．0或2
【答案】A
【解析】由 ，得 ，即 ，此时 ，
由 ，得 ，而 ，所以 .故选：A
2．双曲线 的渐近线方程为 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】由题意可得 ，又 ，故 .故选：D.
3．已知 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】 ，由 得 ，解得 .故选：C.
4．已知 是奇函数，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】易知 ，且定义域为R，若其为奇函数，
则 ，故 ，经检验成立.故选：B
5．某小组两名男生和两名女生邀请一名老师排成一排合影留念，要求两名男生不相邻，两名女生也不相
邻，老师不站在两端，则不同的排法共有（ ）
A．8种 B．16种 C．24种 D．32种
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学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司【答案】D
【解析】当老师从左到右排在第二或第四位时，共有 种排法，
当老师从左到右排在第三位时，共有 种排法，
于是共有 种排法.故选：D.
6．记数列 的前 项和为 ，已知 ， 为等差数列，若 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】 ，故 ，
所以数列 是首项为2，公差为1的等差数列，
所以 ，故 ，
所以当 时， ，所以 ，故选：B．
7．已知 的内角A， ， 对边分别为 ， ， ，满足 ，若 ，
则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，
由正弦定理得 ，
又 ，且 ，
所以 ，故 ，
又 ，所以 ，
由 ，即 ，得 ，
2
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学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司面积的最大值为 ，故选：C．
8．在棱长为2的正方体 中， ， ， 分别为棱 ， ， 的中点，平面 截正
方体 外接球所得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取正方体的中心为 ，连接 ，
由于正方体的棱长为2，所以正方体的面对角线长为 ，体对角线长为 ，
正方体外接球球心为点 ，半径 ，
又易得 ，且 ，
所以三棱锥 为正四面体，如图所示，取底面正三角形 的中心为 ，
即点 到平面 的距离为 ，又正三角形 的外接圆半径为 ，
由正弦定理可得 ，即 ，
所以 ，
即正方体 外接球的球心 到截面 的距离为 ，
3
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学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司所以截面 被球 所截圆的半径 ，
则截面圆的面积为 .故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知i是虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．已知 ，若 ，则
B．复数 满足 ，则
C．复数z满足 ，则z在复平面内对应的点的轨迹为一条直线
D．复数z满足 ，则
【答案】BCD
【解析】对A，虚数不能比较大小，可知A错误；
对B，根据共轭复数的定义知，当 时， ，则 ，故B正确；
对C，因为复数z满足 ，
则复数 在复平面上对应的点到 两点间的距离相等，
则复数 在复平面上对应的点为两点构成线段的中垂线，
即 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线，故C正确；
因为 ，则 ，
又 ，故D正确，故选：BCD.
10．已知函数 ， ， 为 的两个相邻的对称中心，则
（ ）
A． 的最小正周期为
B． 的最大值为1
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学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司C．直线 是曲线 的一条对称轴
D．将 的图象向右平移 个单位长度，所得图象关于原点对称
【答案】AC
【解析】依题意， ，所以 ， ，A选项正确；
由 ，即 ，又 ，得 ，
所以 的对称中心为 ，所以 ，
的最大值为2，B选项错误；
当 时， ， 是正弦曲线的一条对称轴，
所以直线 是曲线 的一条对称轴，C选项正确；
将 的图象向右平移 个单位长度所得函数为 ，
图象关于 对称，D选项错误．故选：AC．
11．已知函数 的定义域和值域均为 ，对于任意非零实数 ，函数 满足：
，且 在 上单调递减， ，则下列结论错误的是
（ ）
A． B．
C． 在定义域内单调递减 D． 为奇函数
【答案】BC
【解析】对于 ，令 ，则 ，
因 ，故得 ，故A正确；
对于 由 ，
令 ，则 ，
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学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司则 ，即 ，
故 是以 为首项，2为公比的等比数列，
于是 ，故B错误；
对于 ，由题意，函数 的定义域为 ，关于原点对称，
令 ，则 ①，
把 都取成 ，可得 ②，
将②式代入①式，可得 ，
化简可得 即 为奇函数，故D正确；
对于C， 在 上单调递减，函数为奇函数，可得 在 上单调递减，
但是不能判断 在定义域上的单调性，例如 ，故C错误.故选：BC.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 的展开式中 的系数为 ．
【答案】40
【解析】因为 ，
又 展开式的通项为 （ 且 ），
所以 的展开式中含 的项为 ，
故展开式中 的系数为 .
13．已知抛物线 的焦点分别为 ，点 分别在( 上，且线段 平行于x
轴.若 是等腰三角形，则 .
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学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司【答案】
【解析】设 ， ， .
不妨设 ，然后分三种情况讨论：
若 ，则有 ，解得 ，此时 ；
若 ，则 ，解得 ，这不可能；
若 ，则 ，这同样不可能.
综上， .
14．已知 为实数，若不等式 对任意 恒成立，则 的最
大值是 .
【答案】6
【解析】因为 ，所以 ，
则不等式 等价于 ，
等价于 ，令 ，则 ，
从而 ，令 ，由对勾函数的性质知 ，
因为 ，即 ，所以 ，
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学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司令 ，则 ，解得 ，
所以 ，
当且仅当 即 时取等号，
故 的最大值是6.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）不透明的袋子中装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，再放入1个红球
和1个白球．
（1）求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率；
（2）设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量 ，求 的分布列以及数学期望．
【答案】（1） ；（2）分布列见解析，
【解析】（1）设事件A为“取球放球结束后袋子里白球的个数为2”，
设事件 为“取出2个黑球”，则 ，
事件 为“取出2个红球”，则 ，
事件 为“取出1个红球1个黑球”，则 ，
因为事件B，C，D互斥，且 ，则 ，
所以取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率为 .
（2）由题意可知：随机变量 的可能取值为1，2，3，则有：
， ， ，
所以X的分布列为：
X 1 2 3
P
所以 .
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学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司16．（15分）已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，若函数 有最小值2，求 的值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）当 时， 的定义域为 ，
则 ，则 ，
由于函数 在点 处切线方程为 ，即 .
（2） 的定义域为 ，
，
当 时，令 ，解得： ；令 ，解得： ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以， ，即
则令 ，设 ，
令 ，解得： ；令 ，解得： ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，解得： .
17．（15分）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形．
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学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司（1）若直线 是平面 和平面 的交线，证明： ；
（2）若四棱锥 的体积为 ，二面角 和二面角 都是 ，求直线 与平面
所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）∵正方形 ， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
又 平面 ，直线 是平面 和平面 的交线， ；
（2）如图，过点 作平面 的垂线，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，
因为二面角 和二面角 都是 ，
可知点 在正方形 内，
四棱锥 的体积为 ，即 ，可得 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 为二面角 的平面角，
可得 ，可得 ，同理可得点 到 的距离为 ，
以 为坐标原点，向量 ，与平面 垂直的方向分别为 轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
可得 ．
设平面 的法向量为
有 取 ，可得
所以 ， ，
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学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司所以 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
18．（17分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，上、下顶点分别为 ，且
， 的面积为 ．
（1）求 的方程；
（2）已知 为直线 上任一点，设直线 与 的另一个公共点分别为 ．问：直线 是否
过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．
【答案】（1） ；（2）过定点
【解析】（1）因 ，则由 可得 ，即 ，①
又 的面积为 ，② ，③
由①②③联立，可解得 ，
故 的方程为 .
（2）如图，
依题意，直线 的斜率一定存在，不妨设 ， ，则 ，
将其与椭圆方程 联立，消去 ，整理得： ，
则点 的横坐标为 ，
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学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司代入直线方程，求得 ；
同理，直线 的斜率一定存在，则 ，
将其与椭圆方程 联立，消去 ，整理得： ，
则点 的横坐标为 ，代入直线方程，求得 ；
则直线 的方程为： ，
整理得： ，
化简为 ，
展开得： ，
移项合并得 ，故直线 一定经过点 .
19．（17分）已知数列 为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k
减数列：
① ；
②对于 ，使得 的正整数对 有k个.
（1）写出所有4的1减数列；
（2）若存在m的6减数列，证明： ；
（3）若存在2024的k减数列，求k的最大值.
【答案】（1）数列 和数列3，1；（2）证明见解析；（3） 的最大值为512072
【解析】（1）由题意得 ，则 或 ，
故所有4的1减数列有数列 和数列3，1.
（2）因为对于 ，使得 的正整数对 有 个，
且存在 的6减数列，所以 ，得 .
①当 时，因为存在 的6减数列，
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学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司所以数列中各项均不相同，所以 .
②当 时，因为存在 的6减数列，
所以数列各项中必有不同的项，所以 .
若 ，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，
所以 ，不符合题意，所以 .
③当 时，因为存在 的6减数列，
所以数列各项中必有不同的项，所以 .
综上所述，若存在 的6减数列，则 .
（3）若数列中的每一项都相等，则 ，
若 ，所以数列 存在大于1的项，
若末项 ，将 拆分成 个1后 变大，
所以此时 不是最大值，所以 .
当 时，若 ，交换 的顺序后 变为 ，
所以此时 不是最大值，所以 .
若 ，所以 ，
所以将 改为 ，并在数列末尾添加一项1，所以 变大，
所以此时 不是最大值，所以 .
若数列A中存在相邻的两项 ，设此时 中有 项为2，
将 改为2，并在数列末尾添加 项1后， 的值至少变为 ，
所以此时 不是最大值，
所以数列 的各项只能为2或1，所以数列 为 的形式.
设其中有 项为2，有 项为1，
因为存在2024的 减数列，所以 ，
所以 ，
所以，当且仅当 时， 取最大值为512072.
所以，若存在2024的 减数列， 的最大值为512072.
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