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2024年高考押题预测卷01【天津卷】
数学·参考答案
一、单项选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A D B C A B B D C
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
10． 11．-560 12． 13． ；
14． ； 15．
三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分14分）
【解】（1）在 中，由正弦定理 ， ， ，
可得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
显然 ，解得 ．
（2）在 中，由余弦定理 ，
得 ，解得 或 ．
由已知 ， ， 互不相等，所以 ，
所以 ．
（3）因为 ，所以 ，
所以 ， ，
1
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
17．（本小题满分15分）
【解】（1）取 中点 ，连接 ，如图
由 为 的中点，所以 // 且
又 ，且 ，
所以 // 且 ，
故 // 且 ，
所以四变形 为平行四边形，故 //
又 平面 ， 平面
所以 //平面
（2）由 ， 平面
平面 平面 ，
平面 平面
所以 平面 ，又 平面
所以 ，由 ，
所以 为正三角形，所以
则 平面
所以 平面 ，且
所以点 到面 的距离即
（3）作 交 于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司作 交 于点 ，连接
由平面 平面 ， 平面平面
平面 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，又
平面 ，所以 平面
又 平面 ，所以
所以二面角 平面角为
，又 为等腰直角三角形
所以 ，所以
所以
又二面角 平面角为
故
所以二面角 平面角的正弦值为
18．（本小题满分15分）
【解】（1）解：因为 ，所以 ，且
又 ，所以 ，
即 ，即 ，所以 ，
又离心率 ，所以 ， ，所以 ，
所以椭圆方程为 ；
（2）解：由（1）可得 点的坐标为 ，
依题意直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 消去 整理得 ，解得 或 ，
所以 点坐标为 ，
从而 点坐标为 ，
所以直线 的方程为 ，
则 点的坐标为 ，
因为 的面积是 的面积的2倍，
所以 或 ，
当 时，即 ，解得 ，所以直线 的方程为 ；
当 时，即 ，解得 ，所以直线 的方程为 ；
所以满足条件的直线 的方程为 ，
19．（本小题满分15分）
【解】（1） ，令 ，则 ，
令 ，则 ；由 ①，
当 时， ②，
由① ②得，当 时， ，
所以数列 和数列 是等比数列.
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，
所以 ，因此 ，
从而 ，所以数列 是“ 型数列”.
（2）（i）因为数列 的各项均为正整数，且 为“G型数列”，
所以 ，所以 ，因此数列 递增.又 ，
所以 ，因此 递增，
所以公比 .又 不是“ 型数列”，所以存在 ，
使得 ，所以 ，又公比为正整数，
所以 ，又 ，所以 ，则 .
（ii） ，
因为 ，所以 ，
所以 ，令 ，当 时， ，
当 时，
20．（本小题满分16分）
5
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学科网（北京）股份有限公司【解】（1） ，
则 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2）（i） ，
，
∵ 时， 取得极值，∴ ，解得 ，
∴ ，
令 ，得 或 ；令 ，得 ，
∴ 的单调增区间为 ， ，单调减区间为 ；
（ii） ，
∵ 存在两个极值点，
∴方程 ，即 在 上有两个不等实根.
∵ ，解得 ，
则
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学科网（北京）股份有限公司∴所证不等式 等价于 ，
即 ，
不妨设 ，即证 ，
令 ， ，
则 ，
∴ 在 上递增，∴ ，
∴ 成立，
∴ .
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