文档内容
2023 年高考考前押题密卷（广东卷）
数学·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
（原创）1．已知集合 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知， ，即 ，所以 ，
所以 .
故选：D.
（原创）2．已知a， ， ，则 （ ）
A．5 B． C．3 D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ， ，
所以 .
故选：D.
（改编）3．某个函数的大致图象如图所示，则该函数可能是（ ）
1
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】4个选项函数定义域均为R，对于A,
，故 为奇函数，且
对于B, 故 为奇函数， ，
对于C, ,故 为偶函数，
对于D， 故 为奇函数， ，
由图知为奇函数，故排除C；由 ，排除A,由 ，排除D,
故选：B．
4．中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的
帐周长乘以其半径等于圆面积.南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面
积，并通过增加圆内接正多边形的边数n使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计
圆周率π.据此，当n足够大时，可以得到π与n的关系为（ ）
2
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆的半径为 ，将内解正 边形分成 个小三角形，
由内接正 边形的面积无限接近圆的面即可得： ，
解得： .
故选：A.
5．已知向量 ， 满足 ，且 ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， ，
所以 ，
所以，向量 在向量 上的投影向量为 .
故选：C．
6．已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得： ，
3
学科网（北京）股份有限公司即 ，解得 或 ，
∵ ，则 ，故 ，
可得 ，
所以 .
故选：B.
7．某学校为了搞好课后服务工作，教务科组建了一批社团，学生们都能积极选择自己喜欢的社团．目前
话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团分别还可以再接收1名学生，恰好含甲、乙的4名同学前来教
务科申请加入，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】4名同学分别进入话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团共有 种，
其中甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团有 种，
由古典概型的概率计算公式可得，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或
摄影社团的概率为 ，
故选：C.
8．如图，在梯形ABCD中， ， ， ，将△ACD沿AC边折起，使得点D
翻折到点P，若三棱锥P-ABC的外接球表面积为 ，则 （ ）
4
学科网（北京）股份有限公司A．8 B．4 C． D．2
【答案】C
【解析】如图所示，
由题意知， ，
所以 ， ，
所以AB的中点即为△ABC外接圆的圆心，记为 ，
又因为 ，
所以 ， ，
所以在 中，取AC的中点M，连接PM，则△APC的外心必在PM的延长线上，记为 ，
所以在 中，因为 ， ，所以 为等边三角形，
所以 ，
（或由正弦定理得： ）
所以 ，
在 中， ， ， ，
设外接球半径为R，则 ，解得： ，
设O为三棱锥P-ABC的外接球球心，则 面ABC， 面APC．
5
学科网（北京）股份有限公司所以在 中， ，
又因为在 ， ，
所以 ， ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
又因为 面APC，
所以BC⊥面APC，
所以 ，
所以 ，即： .
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（改编）9．已知函数 的部分图像如图所示，则（ ）
A．
6
学科网（北京）股份有限公司B． 的图像关于点 对称
C． 的图像关于直线 对称
D．函数 为偶函数
【答案】ABC
【解析】对选项A， ， ，所以 .
因为 ，所以 ， ， .
又因为 ，所以 ， ， .
因为 ，所以 ，即 ，故A正确.
对选项B，令 ，解得 ， ，
所以 的图像关于点 对称，故B正确.
对选项C，令 ，解得 ， ，
所以 的图像关于直线 对称，故C正确.
对选项D， ，
因为 ，定义域为 ， ，
所以 为奇函数，故D错误.
故选：ABC
（改编）10．下列命题中正确是（ ）
A．中位数就是第50百分位数
7
学科网（北京）股份有限公司B．已知随机变量X~ ，若 ，则
C．已知随机变量 ~ ，且函数 为偶函数，则
D．已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差
为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为
【答案】ACD
【解析】对于选项A，中位数就是第50百分位数，选项A正确；
对选项B， ，则 ，因此 ，故B错误；
对选项C， ，函数 为偶函数，
则 ，
区间 与 关于 对称，
故 ，选项C正确；
对选项D，分层抽样的平均数 ，
按分成抽样样本方差的计算公式 ，选项D正确.
故选：ACD.
11．已知函数 是定义在 上的可导函数，当 时， ，若 且对任
意 ，不等式 成立，则实数 的取值可以是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】AB
【解析】函数 是定义在 上的可导函数， ，则 定义域为 ，
8
学科网（北京）股份有限公司， 为偶函数，
当 时， ，则 在 上单调递增，
当 ， ，则有 ，
即 ，所以 ，
由 ，可得 ，
根据选项可知，实数a的取值可以是-1和0.
故选：AB.
12．在平面直角坐标系 中，双曲线 的左、右焦点分别是 ， ，渐近线
方程为 ，M为双曲线E上任意一点， 平分 ，且 ， ，则（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的标准方程为
C．点M到两条渐近线的距离之积为
D．若直线 与双曲线E的另一个交点为P，Q为 的中点，则
【答案】ACD
【解析】不妨设 为双曲线 的右支上一点，延长 ， 交于点 ，如图，
因为 ，所以 ，即 ，因为 平分 ，所以 为等腰三角形，
9
学科网（北京）股份有限公司则 为 中点，又 为 中点，所以 ，
根据双曲线的定义得， ，所以， ，因为双曲线 的渐近
线方程为 ，所以 ，得 ， ， ，
所以双曲线 的标准方程为 ，离心率为 ，所以A正确，B不正确；
设 ，代入 ，即 ，所以，点 到两条渐近线的距离之积为
，所以C正确；
设 ， ，因为 ， 在双曲线 上，所以 ①， ②，
① ②并整理得， ，因为 ， ，
所以， ，所以D正确.
故选：ACD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
（改编）13．已知无穷数列 满足 ，写出满足条件的 的一个通项公式：
___________.（不能写成分段数列的形式）
【答案】 （答案不唯一）
【解析】由 ， ， ，
猜想 .
故答案为： .（答案不唯一）
（原创）14．已知 ，函数 都满足 ，又 ，则 ______．
10
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】根据题意， ，显然 ，
所以 ，
所以 ，
所以函数 的周期为8，所以 .
故答案为：
15．如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1， ，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，
则cos∠FCB=______________.
【答案】
【解析】 ， ， ，
由勾股定理得 ，
11
学科网（北京）股份有限公司同理得 ， ，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，
，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 .
故答案为： .
16．已知抛物线 与圆 ，过圆心 的直线 与抛物线 和圆 分别交于 ， ，
， ，其中 ， 在第一象限， ， 在第四象限，则 最小值是______.
【答案】
【解析】 的圆心为 ，半径为1，
所以圆心为抛物线 的焦点，且圆M过抛物线 的顶点.
12
学科网（北京）股份有限公司当 轴时， ，则 ，
当 斜率存在时，设其方程为 ， ，
将 代入 得 ，
则 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时取等号，
由 知， 的最小值为 .
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
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学科网（北京）股份有限公司在数列 中， ， .
(1)求证：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1） ，
当 时， ，
数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
， ；
（2）
数列 的前 项和
．
18．（12分）
已知 的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求A；
(2)若 的面积为 ， ，点D为边BC的中点，求AD的长．
【解析】（1）因为 ，
所以由正弦定理可得 ，
即 ．
由余弦定理可得 ，
又 ，所以 ．
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学科网（北京）股份有限公司（2）因为 ，
所以 ，
即 ，
又 ，则 ，所以 ．
所以 ， ．
所以 ，
所以 ．
在△ACD中，由余弦定理可得 ，
即 ．
19．（12分）
如图，在四棱台 中，底面 是菱形， ，梯形 底面 ，
.设 为 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2) 上是否存在一点 ，使得 与平面 所成角余弦为 ，请说明理由.
【解析】（1）证明：取 的中点 ，连接 ，则 共面
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学科网（北京）股份有限公司又 ，所以 ；
由底面 是菱形， ，所以 为正三角形，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ， ，所以 ，所以 平面 .
（2）因为平面 平面 平面 ， ，
平面 平面 ，所以 平面 ，
则以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ，
所以 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ， ，
设平面 法向量 ,
由 ，则 ，则 ,
所以 ，
整理得 ，由 ，
所以方程 无实数根，故不存在这样符合条件的点 .
20．（12分）
某医疗用品生产商用新旧两台设备生产防护口罩，产品成箱包装，每箱500个．
(1)若从新旧两台设备生产的产品中分别随机抽取100箱作为样本，其中新设备生产的100箱样本中有10箱
存在不合格品，旧设备生产的100箱样本中有25箱存在不合格品，由样本数据，填写完成 列联表，并
依据小概率值 的独立性检验，能否认为“有不合格品”与“设备"有关联？（单位：箱）
是否有不合格品设备 无不合格品 有不合格品 合计
新
旧
合计
(2)若每箱口罩在出厂前都要做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱口罩中任取
20个做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有口罩做检验．设每个口罩为不合格品的概率都为
，且各口罩是否为不合格品相互独立．记20个口罩中恰有3件不合格品的概率为 ，求
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学科网（北京）股份有限公司最大时 的值 ．
(3)现对一箱产品检验了20个，结果恰有3个不合格品，以（2）中确定的 作为 的值．已知每个口罩的
检验费用为0.2元，若有不合格品进入用户手中，则生产商要为每个不合格品支付5元的赔偿费用．以检
验费用与赔偿费用之和的期望为决策依据，是否要对这箱产品余下的480个口罩做检验？
附表：
0.100 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附： ，其中 ．
【解析】（1）
是否有不合格品设备 无不合格品 有不合格品 合计
新 90 10 100
旧 75 25 100
合计 165 35 200
零假设为 ：有不合格品与新旧设备无关联．
由列联表可知 的观测值
，
根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，即认为箱中有不合格品与新旧设备有关联，此推断
犯错误的概率不大于0.01．
（2）由题意，得 ，
则 ，
令 ，又 ，得 ．
当 时， ，当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 最大时 的值 ．
（3）由（2）知 ．
设 表示余下的480件产品中不合格品的数量，依题意知 ，
所以 ．
若不对该箱余下的口罩做检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 ，则 ，
所以 ．
如果对余下的产品做检验，这一箱产品所需要的检验费为 （元）．
364远大于100，所以应该对余下的480个口罩进行检验．
21．（12分）
已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 与 轴交于点 ，过 作直线 交 于 两点， 交 于 两点.已知直线 交
于点 ，直线 交 于点 .试探究 是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由.
【解析】（1）由题意， ，解得 ，
代入点 得 ，解得 ，
的方程为： ；
（2）
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学科网（北京）股份有限公司由题意， ，当 斜率都不为0时，设 ，
，
当 时，由对称性得 ，
当 时，联立方程 ，得
恒成立， ，
同理可得： ，
直线 方程： ，
令 ，得 ，
同理： ，
，
20
学科网（北京）股份有限公司，
当 斜率之一为0时，不妨设 斜率为0，则 ，
直线 方程： ，直线 方程： ，
令 ，得 ，
，
综上： .
22．（12分）
已知函数 ．
(1)当 时，求 的零点个数；
(2)若 恒成立，求实数a的值．
【解析】（1）当 时， ，则 ，
当 ， ，函数 在 上单调递减；
当 ， ，函数 在 上单调递增，
所以 ，
又 ， ，所以存在 ， ，
使得 ，即 的零点个数为2．
（2）不等式 即为 ，
设 ， ，则 ，
21
学科网（北京）股份有限公司设 ， ，
当 时， ，可得 ，则 单调递增，
此时当 无限趋近 时， 无限趋近于负无穷大，不满足题意；
当 时，由 ， 单调递增，
当 无限趋近 时， 无限趋近于负数 ，当 无限趋近正无穷大时， 无限趋近于正无穷大，故
有唯一的零点 ，即 ，
当 时， ，可得 ， 单调递减；
当 时， ，可得 ， 单调递增，
所以
，
因为 ，可得 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 ，
所以
因为 恒成立，即 恒成立，
令 ， ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ， 单调递减，所以 ，即 ，
又由 恒成立，则 ，所以 .
23
学科网（北京）股份有限公司24
学科网（北京）股份有限公司
