文档内容
2024年高考押题预测卷01【新高考卷】
数学·全解全析
一、单选题
1．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ，得 ，即 ，
，得 ，即 ， ，
所以 .
故选：B
2．设数列 的前 项之积为 ，满足 （ ），则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，显然 ，
所以 ，
所以数列 是首项为 ，公差为2的等差数列，
所以 ，
1
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司即 ，所以 ．
故选：C．
3．某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知
改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为 ，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量
为 ，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量 满足函数模型 （
， ），其中 为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量， 为首次改良工艺后排放的废水
中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过 时符合废水排
放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）（参考数据： ，
）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】D
【详解】由题意知 ， ，
当 时， ，故 ，解得 ，
所以 ．
由 ，得 ，即 ，
得 ，又 ，
所以 ，
故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要15次．
故选：D
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司4．已知点 在抛物线 上，抛物线 的准线与 轴交于点 ，线段 的中点 也在抛物线
上，抛物线 的焦点为 ，则线段 的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】
如图，不妨设点 在第一象限，依题知 是 的中位线，可知 ，过 向准线做垂
线，垂足分别为 ，
同理 是 的中位线， ，由抛物线定义知 ，故得
，
又 ，则 点横坐标是 ，代入 可得其纵坐标为 ，故 .
故选：C．
5．已知 ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对 ，因为 ，则 ，即函数 在 单调递减，
且 时， ，则 ，即 ，所以 ，
因为 且 ，所以 ，
3
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司又 ，所以 .
故选：B
6．设等差数列 的公差为 ，则“ ”是“ 为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由等差数列 的公差为 ，得 ，则 ，
当 时， ，而 ，则 ，因此 ， 为递增数列；
当 为递增数列时，则 ，即有 ，整理得 ，不能推出 ，
所以“ ”是“ 为递增数列”的充分不必要条件.
故选：A
7．已知 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：因为 ，
所以 ，
两式相加得： ，即 ，
化简得 ，
所以 ，
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司故选：A
8．已知函数 的导函数 ，若函数 有一极大值点为 ，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意 ，令 ，
若 恒成立，易知：当 时 ，当 时 ，
所以 是 的极小值点，不合题意，故 有两个不同零点．
设 的两个零点分别为 ，则 ，
结合三次函数的图象与性质知： ，
在 、 上 ， 单调递减，在 、 上 ， 单调递增，
是 的极大值点，符合题意，
此时需 ，得 ，所以实数 的取值范围为 ．
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数 ，则下列命题一定成立的有（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C． D．
5
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【答案】AC
【分析】根据共轭复数的概念和复数的四则运算，结合复数模的计算及性质，逐项判断即可.
【详解】设 ，则 .
对于A： ，
若 ，则 ，
所以 ，即 ，故A一定成立；
对于B： ，若 ，则 ①，
，同理 ，
若 ，则需满足 且 ，与①式不同，故B不一定成立；
选项C： ，
，
所以 ，故C一定成立；
选项D： ②，
，与②式不同，故D不一定成立.
故选：AC
10．已知 ，下列结论正确的是（ ）
A．若 的最小正周期为 ，则
B．若 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于 轴对称，则
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司C．若 在 上恰有4个极值点，则 的取值范围为
D．存在 ，使得 在 上单调递减
【答案】ABC
【详解】由 ，
对于A，若 的最小正周期为 ，则 ，故A正确；
对于B，若 的图象向左平移 个单位长度后得 ，其图象关
于纵轴对称，
则有 ，显然 ，故B正确；
对于C， ，
根据题意有 ，故C正确；
对于D， ，
显然 ， ，即该区间为包含 的连续区间，
根据正弦函数的单调性可知：该区间不可能单调递减，故D错误.
故选：ABC
11．六氟化硫，化学式为 ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，
在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，
6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ）
7
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司A．该正八面体结构的表面积为 B．该正八面体结构的体积为
C．该正八面体结构的外接球表面积为 D．该正八面体结构的内切球表面积为
【答案】ACD
【详解】
对A：由题知，各侧面均为边长为 的正三角形，
故该正八面体结构的表面积 ，故A正确；
对B：连接 ，则 ， 底面 ，
故该正八面体结构的体积 ，故B错误；
对C：底面中心 到各顶点的距离相等，故 为外接球球心，外接球半径 ，
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司故该正八面体结构的外接球表面积 ，故C正确；
对D：该正八面体结构的内切球半径 ，
故内切球的表面积 ，故D正确；
故选：ACD．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 的展开式中 的系数为 ．
【答案】
【详解】
二项式 的展开式通项公式为 ，
当 时， ，当 时， ，
因此展开式中含 的项为 ，故所求系数为 .
故答案为：24.
13．已知高为2的圆锥内接于球O，球O的体积为 ，设圆锥顶点为P，平面 为经过圆锥顶点的平面，
且与直线 所成角为 ，设平面 截球O和圆锥所得的截面面积分别为 ， ，则 .
【答案】
【详解】令球 半径为 ，则 ，解得 ，由平面 与直线 成 角，
得平面 截球所得小圆半径 ，因此 ，
由球 的内接圆锥高为2，得球心 到此圆锥底面距离 ，则圆锥底面圆半径
9
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司，
令平面 截圆锥所得截面为等腰 ，线段 为圆锥底面圆 的弦，
点 为弦 中点，如图，依题意 ， ， ，
，显然 ，于是 ，
所以 .
故答案为：
14．已知双曲线 的左右顶点分别为 ，点 是双曲线 上在第一象限内的点，直线
的倾斜角分别为 ，则 ；当 取最小值时， 的面积为
．
【答案】
【详解】设 ，则 ，可得 ，
又因为 分别为双曲线 的左右顶点，可得 ，
所以 ；
1
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
0
学科网（北京）股份有限公司又由 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以 的面积为 .
故答案为： ； .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．如图，在平面四边形ABCD中， ， ．
(1)若 ， ，求 的值；
(2)若 ， ，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）在 中， ， ，则 ，
，
在 中，由正弦定理得 ，
.
（2）在 和 中，由余弦定理得
，
1
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
1
学科网（北京）股份有限公司，
得 ，又 ，得 ，
则 ， ，
四边形ABCD的面积
.
16．已知函数 ．
(1)若 ，求函数 在 上的最大值和最小值；
(2)讨论函数 的单调性．
【答案】(1)最大值为 ，最小值为 ；(2)答案见解析.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
令 ，得 或 ，
由于 ，
所以当 ， ， 在 单调递减，
所以当 ， ， 在 单调递增，
所以 在 时取到极小值，且 ，
又因为 ， ，
综上，函数 在 上的最大值为 ，最小值为 .
（2）因为 ，所以 ，
当 ，即 时， ，
1
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
2
学科网（北京）股份有限公司在 单调递增，
当 ，即 时，
令 ，则 ，
所以当 ， ， 在 单调递增，
当 ， ， 在 单调递减，
当 ， ， 在 单调递增.
综上所述，当 时， 在 单调递增，
当 时， 在 ， 单调递增，在 单调递减.
17．2023年12月2日，中央广播电视总台甲辰龙年春晚的主标识正式发布，中央广播电视总台《2024年
春节联欢晚会》以“龙行龘龘，欣欣家国”为主题，创新“思想＋艺术＋技术”融合传播，与全球华人相
约除夕，共享一台精彩纷呈、情真意切、热气腾腾的文化盛宴．为了解大家对“龘”这个字的认知情况，
某网站进行了调查，并对每一类情况赋予相应的认知度分值，得到如下表格：
A类：不会读不会 B类：会读不会 C类：会读且会写但不理 D类：会读、会写且理
认知情况
写 写 解 解
人数/万人 10 30 5 5
认知度分
50 70 90 100
值
(1)求参与调查的人员认知度分值的平均数与方差；
(2)为了帮助大家记住这个主题，该网站设计了一个有奖游戏，参与者点击游戏按钮，“龙行龘龘，欣欣家
国”这8个字将进行随机排列，若相同的字分别相邻（即龘与龘相邻，欣与欣相邻），则这个参与者可以
获得奖励，已知每个参与者是否获得奖励互不影响，若2人同时参与游戏，求恰好有1人获得奖励的概率；
(3)若从参与调查的人员中按照分层抽样的方法抽取20人进行座谈，再从这20人中随机选取3人赠送小礼
品，这3人中属于D类的人数记为X，求X的分布列及数学期望．
【答案】(1)71，209(2) (3)分布列见解析，
【详解】（1）参与调查的人员认知度分值的平均数为
1
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
3
学科网（北京）股份有限公司，
方差为 ．
（2）将这8个字随机排列，不同的排列方法有 种，
相同的字分别相邻的不同情况有 种，
故参与者可以获得奖励的概率 ．
若2人同时参与游戏，则恰好有1人获奖的概率为 ．
（3）根据分层抽样的规则可知，A类抽取4人，B类抽取12人，C类抽取2人，D类抽取2人，则X的所
有可能取值为0，1，2，则 ， ， ，
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
∴X的数学期望为 ．
18．已知四棱柱 如图所示，底面 为平行四边形，其中点 在平面 内的投影
为点 ，且 ．
1
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
4
学科网（北京）股份有限公司(1)求证：平面 平面 ；
(2)已知点 在线段 上（不含端点位置），且平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，求
的值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）不妨设 ，
因为 平面 平面 ，故 ，
在 中， ，
由余弦定理， ，
得 ，故 ，则 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
而 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）由（1）知， 两两垂直，
如图所示，以 为坐标原点，建立的空间直角坐标系 ，
则 ，
故 ，
，所以 ，
1
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
5
学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ，即 ，
所以 ；
设 为平面 的一个法向量，
则 ，
令 ，则 ，所以 ，
因为 轴 平面 ，则可取 为平面 的一个法向量，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
解得 ，故 ．
19．人类对地球形状的认识经历了漫长的历程．古人认为宇宙是“天圆地方”的，以后人们又认为地球是
个圆球.17世纪，牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论，这一理论直到1739年才为南美和北欧的
弧度测量所证实．其实，之前中国就曾进行了大规模的弧度测量，发现纬度越高，每度子午线弧长越长的
事实，这同地球两极略扁，赤道隆起的理论相符．地球的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面，在
空间直角坐标系下，椭球面 ，这说明椭球完全包含在由平面
所围成的长方体内，其中 按其大小，分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴．
1
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
6
学科网（北京）股份有限公司某椭球面与坐标面 的截痕是椭圆 .
(1)已知椭圆 在其上一点 处的切线方程为 ．过椭圆 的左焦点
作直线 与椭圆 相交于 两点，过点 分别作椭圆的切线，两切线交于点 ，求 面积的最小
值．
(2)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．祖暅原理
用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果
截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．当 时，椭球面 围成的椭球是一个旋
转体，类比计算球的体积的方法，运用祖暅原理求该椭球的体积．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）椭圆 的标准方程为 ，则 ．
当直线 的倾斜角为 时， 分别为椭圆的左、右顶点，此时两切线平行无交点，不符合题意，
所以直线 的倾斜角不为 ,
设直线 ,
由 ,得 ，
则 ，
所以
1
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
7
学科网（北京）股份有限公司,
又椭圆 在点 处的切线方程为 ，在点 处的切线方程为 ，
由 ，得 ，
代入 ，得 ，所以 ，
则点 到直线 的距离 ，
所以 ，
设 ，则 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，
所以当 ，即 时， 的面积最小，最小值是 ；
（2）椭圆 的焦点在 轴上，长半轴长为 ，短半轴长为1，
椭球由椭圆 及其内部绕 轴旋转 而成旋转体，
构造一个底面半径为1，高为 的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，
圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体，
1
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
8
学科网（北京）股份有限公司当平行于底面的截面与圆锥顶点距离为 时，设小圆锥底面半径为 ，
则 ，即 ，所以新几何体的截面面积为 ，
把 代入 ，得 ，解得 ，
所以半椭球的截面面积为 ，
由祖暅原理，得椭球的体积 .
1
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
9
学科网（北京）股份有限公司
