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考前突破 06 二次函数与几何综合题（4 大必考题型）
题型一：与线段有关问题
题型二：与面积有关问题
题型三：与角度有关问题
题型四：与特殊图形存在性有关问题
题型一：与线段有关问题
【中考母题学方法】
1．（2024·山东淄博·中考真题）如图，抛物线 与 轴相交于 ， 两点（点 在
点 的左侧），其中 ， 是方程 的两个根，抛物线与 轴相交于点 ．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)已知直线 与 ， 轴分别相交于点 ， ．
①设直线 与 相交于点 ，问在第三象限内的抛物线上是否存在点 ，使得 ？若存在，
求出点 的坐标；若不存在，说明理由；
②过抛物线上一点 作直线 的平行线．与抛物线相交于另一点 ．设直线 ， 相交于点 ．连接
， ．求线段 的最小值．【答案】(1)
(2)① ；②线段 的最小值为
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程得出 ， ，再利用待定系数法求解即可；
（2）①在 中，令 得出 ，在 中，令 得出 ，从而得出
，即 ，待定系数法求得直线 的解析式为 ，联立 ，
得出 ，作 轴于 ，则 ， ， ，求出
， ，由正切的定义得出 ，证明 ，得出
，求出直线 的解析式为 ，联立 ，计算即可得解；
②设M(x ,y )，N(x ,y )，设直线 的解析式为： ，求出直线 的解析式为 ，
1 1 2 2
直线 的解析式为 ；联立 得： ，由韦达定理得出 ，
将M(x ,y )代入 ， 得 ，求出 ，同理可得 ，
1 1
联立 ，得出 ，推出点 在直线 上运动，求出 ，作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于 ，连接 ，则 ，由轴对称的性质可得 ，则
，由两点之间线段最短可得：线段 的最小值的最小
时为 ，再由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵抛物线 与 轴相交于 ， 两点，
∴ ，
解得： ，
∴该抛物线对应的函数表达式为 ；
（2）解：①在 中，令 ， ，解得 ，即 ，
在 中，令 ，则 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入解析式得 ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，解得 ，
∴ ，
如图，作 轴于 ，则 ， ， ，
，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将 代入 得： ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得： 或 ，
∵点 在第三象限，
∴ ；
②∵过抛物线上一点 作直线 的平行线．与抛物线相交于另一点 ．
∴设M(x ,y )，N(x ,y )，设直线 的解析式为： ，
1 1 2 2
设直线 的解析式为 ，
将 代入得 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设直线 的解析式为 ，
将 代入得 ，
∴直线 的解析式为 ；
联立 得： ，
∴ ，将M(x ,y )代入 ， 得 ，
1 1
∴ ，
∴ ，
解得： ，
将N(x ,y )代入 ， 得 ，
2 2
∴ ，
∴ ，
解得： ，
联立 ，
得出 ，
∴点 在直线 上运动，
在 中，令 ，则 ，即 ，
如图，作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于 ，连接 ，则 ，，
由轴对称的性质可得 ，
∴ ，
∴由两点之间线段最短可得：线段 的最小值的最小时为 ，
∵ ，
∴线段 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形、轴对称—线段最短问题、勾股定理、
二次函数的图象与性质、求一次函数解析式、二次函数与一元二次方程、等腰直角三角形的判定与性质等
知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键，此题难度较大，属于中考
压轴题．
2．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，抛物线 的图象经过 ， ， 三
点，且一次函数 的图象经过点 ．(1)求抛物线和一次函数的解析式．
(2)点 ， 为平面内两点，若以 、 、 、 为顶点的四边形是正方形，且点 在点 的左侧．这样的
， 两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点 的坐标：如果不存在，请说明理由．
(3)将抛物线 的图象向右平移 个单位长度得到抛物线 ，此抛物线的图象与 轴交于 ，
两点（ 点在 点左侧）．点 是抛物线 上的一个动点且在直线 下方．已知点 的横坐标为 ．
过点 作 于点 ．求 为何值时， 有最大值，最大值是多少？
【答案】(1) ，
(2)满足条件的E、F两点存在， ， ，
(3)当 时， 的最大值为
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）①当 为正方形的边长时，分别过 点 点作 ， ，使 ，
，连接 、 ，证明 ，得出 ， ，
则 同理可得， ；②以 为正方形的对角线时，过 的中点 作 ，使 与互相平分且相等，则四边形 为正方形，过点 作 轴于点 ，过点 作 于点
，证明 ，得出 ，在 中， ，解得
或4，进而即可求解；
（3）得出 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形，则 ，点 在抛物线
上，且横坐标为 得出 ，进而可得 ，则
，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：把 ， ， 代入
得
解得
∴
把 代入 得
∴
（2）满足条件的 、 两点存在， ， ，
解：①当 为正方形的边长时，分别过 点 点作 ， ，使 ，，连接 、 .
过点 作 轴于 .
∵ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴
同理可得，
②以 为正方形的对角线时，过 的中点 作 ，使 与 互相平分且相等，则四边形
为正方形，
过点 作 轴于点 ，过点 作 于点∵ ，
又
∴
∴ ，
∵
∴
∴
在 中，
∴
解得 或4
当 时， ，此时点 在点 右侧故舍去；
当 时， .
综上所述： ， ，（3）∵ 向右平移8个单位长度得到抛物线
当 ，即
解得：
∴ ，
∵ 过 ， ， 三点
∴
在直线 下方的抛物线 上任取一点 ，作 轴交 于点 ，过点 作 轴于点
∵ ，
∴
∴ 是等腰直角三角形
∵ ，
∴
又
∴ 是等腰直角三角形
∴
∵点 在抛物线 上，且横坐标为
∴∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴当 时， 的最大值为 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，正方形的性质，二次函数的性质，分类讨论，熟练掌握二次函数
的性质是解题的关键．
3．（2023·辽宁·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点A和点 ，与y轴交于点
，点P为第一象限内抛物线上的动点过点P作 轴于点E，交 于点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当 的周长是线段 长度的2倍时，求点P的坐标；(3)当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接 ，过点B作直线 ，连接 并延长
交直线 于点M．当 时，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）根据直角三角形三角函数值可得 ， ，进而可得 的周长
，结合已知条件可得 ，设 ，则 ， ，
从而可得方程 ，解方程即可；
（3）先求出 ， ，设 ，过点M作 轴于点N，通过证明 ，
求出 ，再求出直线 的解析式为 ，将点 代入解析式求出n的值即可．
【详解】（1）解：将 ， 代入 ，
可得 ，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；（2）解： ， ，
， ，
，
， ，
的周长 ，
的周长是线段 长度的2倍，
，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入可得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
设 ，则 ， ，
， ，
，
解得 ， （舍），
，
；
（3）解： ，
当 时，y取最大值 ，，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
，
设 ，过点M作 轴于点N，
由题意知 ，
，
，
，
又 ， ，
，
， ，
，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，将点 代入，得 ，
解得 或 ，
或 ．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定与性质，解直角三
角形等，综合性较强，难度较大，熟练运用数形结合思想，正确作出辅助线是解题的关键．
4．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）探究函数 的图象和性质，探究过程如下：
(1)自变量 的取值范围是全体实数， 与 的几组对应值列表如下
其中， ________．根据上表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部
分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质；
(2)点 是函数 图象上的一动点，点 ，点 ，当 时，请直接写出所有
满足条件的点 的坐标；
(3)在图2中，当 在一切实数范围内时，抛物线 交 轴于 ， 两点（点 在点 的左边），点 是点 关于抛物线顶点的对称点，不平行 轴的直线 分别交线段 ， （不含端点）于 ，
两点．当直线 与抛物线只有一个公共点时， 与 的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，
请说明理由．
【答案】(1)2，图见解析，图象关于 轴对称
(2) 或 或
(3)是定值，
【分析】（1）把 代入解析式，求出 的值即可，描点，连线画出函数图形，根据图形写出一条性质
即可；
（2）利用 ，进行求解即可．
（3）根据题意，求出抛物线的顶点坐标，点 的坐标，进而求出直线 的解析式，设直线 的
解析式为 ，联立抛物线的解析式，根据两个图象只有一个交点，得到 ，得到
，分别联立直线 和直线 的解析式，求出 的坐标，利用锐角三角形函
数求出 的长，再进行求解即可得出结论．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴ ，
根据题干中的表格数据，描点，连线，得到函数图象，如下：由图象可知：图象关于 轴对称；
故答案为： ．
（2）解：∵点 ，点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时： ，
解得： ，
∴ 或 ，
当 时： ，
解得： ，
∴ ；综上： 或 或 ；
（3）是定值；
∵ ，当 时， ，解得： ，
∴对称轴为直线 ，顶点坐标为 ， ，
∵点 是点 关于抛物线顶点的对称点，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，把 代入，得： ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
则： ，解得： ，
∴ ，
设直线 ： ，
联立 和 ，得： ，
∵直线 与抛物线只有一个交点，
∴ ，
∴ ，
联立 ， ，得： ，
联立 ， ，得： ，
如图：∵ 关于 对称，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 ，过点 作 ，
则： ，
∴ ，
∴；
∴ 与 的和为定值： ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形．解题的关键是掌握描点法画函数图象，利用数形
结合的思想进行求解．本题的综合性强，难度较大，属于中考压轴题．
5．（2023·辽宁丹东·中考真题）抛物线 与x轴交于点 ， ，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标是 ，过点D作直线 轴，垂足
为点E，交直线 于点F．当D，E，F三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段 的长；
(3)若点P是抛物线上的一个动点（点P不与顶点重合），点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平
面内，当四边形 是矩形邻边之比为 时，请直接写出点P的横坐标．
【答案】(1)
(2) 或
(3) 或
【分析】（1）将点A(−4,0)， 代入解析式即可求解；
（2）可求直线 的解析式为 ，可得 ， ， ，①当时，可求 ， ，即可求解；②当 时， ，
，即可求解；
（3）①当 在对称轴的左侧时，得到 是矩形，邻边之比为 ，即 ，即可求解；
②当 在对称轴的右侧时，同理可求．
【详解】（1）解：由题意得
解得 ，
故抛物线的表达式 ；
（2）解：当 时， ，
，
设直线 的解析式为 ，则有
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
点D的横坐标是 ，过点D作直线 轴，
， ， ，
①如图，当 时，，
，
，
整理得： ，
解得： ， ，
，
不合题意，舍去，
，
；
②如图，当 时，
，
，
，整理得： ，
解得： ， （舍去），
；
综上所述：线段 的长为 或 ．
（3）解：设点 ， ，
当四边形 是矩形时，则 为直角，
①当 在对称轴的左侧时，
如图，过 作 轴交 轴于 ，交过 作 轴的平行线于 ，
，
∵ 为直角，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是矩形邻边之比为 ，即 或 ，
即 和 的相似比为 或 ，
即 ，
由题意得： ， ，
∴ ，
则 ，即 ，
解得： ，x=−1（不符合题意，舍去）；
②当 在对称轴的右侧时，
同理可得： ，
解得： ，
综上， 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合体，主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，矩形
的性质，三角形相似的性质等知识点，分类求解是解答本题的关键．
6．（2024·辽宁·中考真题）已知 是自变量 的函数，当 时，称函数 为函数 的“升幂函数”．
在平面直角坐标系中，对于函数 图象上任意一点 ，称点 为点 “关于 的升幂点”，
点 在函数 的“升幂函数” 的图象上．例如：函数 ，当 时，则函数
是函数 的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数 的图象上任意一点 ，
点 为点 “关于 的升幂点”，点 在函数 的“升幂函数” 的图象上．(1)求函数 的“升幂函数” 的函数表达式；
(2)如图1，点 在函数 的图象上，点 “关于 的升幂点” 在点 上方，当 时，求
点 的坐标；
(3)点 在函数 的图象上，点 “关于 的升幂点”为点 ，设点 的横坐标为 ．
①若点 与点 重合，求 的值；
②若点 在点 的上方，过点 作 轴的平行线，与函数 的“升幂函数” 的图象相交于点 ，以 ，
为邻边构造矩形 ，设矩形 的周长为 ，求 关于 的函数表达式；
③在②的条件下，当直线 与函数 的图象的交点有3个时，从左到右依次记为 ， ， ，当直线
与函数 的图象的交点有2个时，从左到右依次记为 ， ，若 ，请直接写出 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)① 或 ；② ；③ 或
【分析】（1）根据“升幂函数”的定义，可得 ，即可求解，
（2）设 ，根据“升幂点”的定义得到 ，由 ， 在点 上方，得到 ，即
可求解，（3）①由 ， ，点 与点 重合，得到 ，即可求解，②由
，得到 对称轴为 ， 、 关于对称轴对称，结合 ，则
，得到 ，进而得到 ， ，由点 在点 的上方，
得到点 在点 的上方， ，解得： ，
，当 ， ，
，当 ， ，
，即可求解，③根据②中结论得到， ，
，将 ， ， 代入，得到 ， ， ，结合图像可得，当 时，
直线 与函数 的图象有3个交点，当 时，直线 与函数 的图象有2个交点，将直线
与函数 联立，由根与系数关系得到 ， ， ，将直线 与函数
联立，由根与系数关系得到 ， ， ，结合 ，可得
，当 时， ，解得： ，由 ，得到
，解得： ，即可求解，
【点睛】本题考查了，求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数综合，根据系数关系，解题的关键
是：熟练掌握二次函数的性质，将题目所给条件进行转化．
【详解】（1）解：根据题意得： ，故答案为： ，
（2）解：设点 ，则 ，
∵ ， 在点 上方，
∴ ， 解得： ，
∴ ；
（3）解：①根据题意得： ，则 ，
∵点 与点 重合，
∴ ，解得： 或 ，
②根据题意得： ，
∴ 对称轴为 ， 、 关于对称轴对称，
∵ ，则 ，
∴ ，解得： ，
∴ ， ，
∵点 在点 的上方，
∴ ，解得： ，
∴ ，
当 ，点 在点 右侧时， ，
，
当 ，点 在点 左侧时， ，，
∴ ，
③∵ ，
∴ ， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴ ， ， ，
当 时，直线 与函数 的图象有3个交点，
当 时，直线 与函数 的图象有2个交点，直线 与函数 交于 、 两点， ，即： ，
∴ ， ， ，
直线 与函数 交于 、 两点， ，即： ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，整理得： ，
当 时，
，解得： 或
（舍），
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，或 ．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·广东·模拟预测）综合探究
如图，在平面直角坐标系中．直线y=kx(k≠0)与抛物线 交于 两点，点 的横坐
标为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 是直线 下方抛物线上一动点，过点 作 轴的平行线，与直线 交于点C．连接 ，设点
的横坐标为 ．
①若点 在 轴上方，当 为何值时， ；
②若点 在 轴下方，求 周长的最大值．
【答案】(1)
(2)①当 时， ；② 周长的最大值为9
【分析】本题考查了二次函数的线段周长综合，待定系数法求解析式，勾股定理，正确掌握相关性质内容
是解题的关键．
（1）先求出直线 的解析式为 ，再得出 ，结合 ，代入 ，进行
计算即可作答．
（2）①先设 ，则 ，所以 因为 所以 ，且 ，
化简计算，得 ，故当 时， ；②当点 在 轴下方时， ，同理得 代入得 ，化简计算，即可作
答．
【详解】（1）解：将点 代入 ，
得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时，
，
将点 分别代入 ，
得
解得
抛物线的解析式为 ；
（2）①设 ，则 ，
过点 作 轴的平行线，与直线 交于点 ，令 ，
解得 或 ．
②当点 在 轴上方时， ，
或 （舍去）
当 时， ；
②由①得
，
当点 在 轴下方时， ，
点当 时， 的周长最大，最大值为9．
2．（2024·广东深圳·模拟预测）【背景】如图，二次函数 的图象经过点 和 ，与
y轴相交于点 已知位于点B右侧图象上有一动点P，并且射线 分别交y轴于点D、点
（1）求二次函数表达式；
【特例】
（2）当点P的横坐标为4时，线段 有什么数量关系？请说明理由；
【思考】
（3）当点P为点B右侧图象上任意一点，（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．
【答案】（1） （2） ，理由见解析（3）成立，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解
题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分别求出 两点坐标，进而求出 的长，即可得出结论；
（3）设P ，分别求出 两点坐标，进而求出 的长，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵ ，
∴当 时， ，∴ ，
∵二次函数 的图象经过点 和 ，
∴设 ，把 ，代入，得： ，
∴ ，
∴抛物线的表达式为： ；
（2）点P的横坐标为4时， ，
∴点 ，
设直线 的解析式为： ，
则： ，解得：
∴直线 的表达式为： ，当 时， ，
则点 ；
同理可得，点 ，
则 ， ，
故 ；
（3）成立，理由如下：
设点P ，
同（2）可得：直线 的表达式为： ，
则点 ，
同理可得，点 ，
则 ， ，
故
3．（2025·广东·模拟预测）如图在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点 ，与y轴交于点
，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作 轴，垂足为C，交直线l于点D，求 的最大值
及此时P的坐标；
(3)在（2）的条件下，过点P作 ，垂足为M．求 的最大值．
【答案】(1)
(2) 的最大值是2，此时的P点坐标是
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结
合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，
解决相关问题．
（1）运用待定系数法解答即可；
（2）求出直线l的解析式，设点P的坐标为 ，则 ，得
，运用二次函数的性质可得结论；
（3）证明 ，即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为 ，
抛物线的对称轴为直线 ，
．把A，B两点坐标代入解析式，得
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：设直线l的解析式为 ，
把A，B两点的坐标代入解析式，得 ，
解得： ，
直线l的解析式为 ；
轴，
设点P的坐标为 ，则 ，
．
∴当 时， 有最大值是2，
当 时， ，
，
的最大值是2，此时的P点坐标是 ．
（3）解： ， ，
．
∵在 中， ，．
轴， ，
．
在 中， ， ．
，
．
在 中， ， ，
，
．此时 最大，
，
的最大值是 ．
4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 与
x轴交于点A、B，与y轴的正半轴交于点C，且 ．
(1)如图1，求k的值；
(2)如图2，点P在第一象限对称轴右侧的抛物线上， 轴交射线 于点E，设点P的横坐标为t，线
段 的长为d，求d关于t的函数解析式(不要求写自变量t的取值范围)；
(3)如图3，在（2）的条件下，作 轴交x轴于点Z，点F在线段 上，且 ，
，交直线 于点Q，当 时，R是线段 上的一点，过点R作 平行于x轴，与线段
交于点G，连接 、 ，恰好使 ，延长 交抛物线于点H，连接 ，求线段 的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）设 ，过点 作 轴于 ，交 于点 ，根据三角函数可以得到
，根据 求出 值，然后由 求出解析式即可；
（3）连接 、 、 ，则四边形 为正方形，然后证明 ，求出 ，过点 作
轴交 轴于点 ，得以证明 ， ，进而得到结果即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴抛物线对称轴 ，
设 点 ， ，
，
，
解得 ，
， ，
把 代入抛物线解析式为 ，
解得 ，
，
；（2）解：设 ，过点 作 轴于 ，交 于点 ，
轴，
，
，
在 中， ，
设 ， ，
在 中， ，
，
，
在 中， ，
，
即
（3）解：如图3，连接 、 、 ，由题意可知，四边形 为正方形， ，
过 作 于 ，交 于 ，
，
，
， ，
，
又 ，
，
， ，
，即 ，
，
解得 ，
点 是 中点，
，
，
过点 作 轴交 轴于点 ，
， ，
，
， ，
轴，
，
，
，
，
， ，
坐标为 ，
由勾股定理知 ．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，割补法求动点产生的面积问题，相似三角形的判定及性质，求
三角函数值，掌握二次函数的性质，不规则图形面积求法，三角函数值的求法是解题的关键．
5．（2024·山西·模拟预测）综合与探究
在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左边），与y
轴交于点C．连接 ．
(1)求点A和点C的坐标和直线 的解析式；
(2)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接 ，交 于点E，求 的最大值；
(3)如图2，连接 ，过点O作直线 ，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第
一象限是否存在这样的点P，Q，使 ．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1) ， ，
(2)最大值为
(3)存在， 或
【分析】（1）依题意，先求出 ，再求出 ，B(4,0)．然后运用待定系数法解一次函数的解
析式，即可作答．
（2）过点D作 轴于点G，交 于点F，过点A作 轴交 的延长线于点K，证明
，代入数值计算，得出 ，运用二次函数的图象性质，即可作答．
（3）先得直线l的解析式为 ．设 ，结合相似三角形的性质与判定，当第一：点P在直线右侧时，即 ，化简得 ， ，那么 ，即
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得 ，得出 ；第
二：②当点P在直线 左侧时，由①的方法同理可得点Q的坐标为 ，此时点P的坐标为
，即可作答．
【详解】（1）解：将 代入 中，
得 ，
，
将 代入 中，
得 ， ，
∴ ，B(4,0)．
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ．
∴直线 的解析式为 ．
∴ ， ，直线 的解析式为 ；
（2）解：过点D作 轴于点G，交 于点F，过点A作 轴交 的延长线于点K，
，
∴ ．
．
∵将A点横坐标代入 中得，
．
．
设 ，则 ，
， ，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ；
（3）解：符合条件的点P的坐标为 或 ．
理由如下：
，
∴直线l的解析式为 ．设 ，
①当点P在直线 右侧时，如图，过点P作 轴于点N，过点Q作 于点M，
∵ ， ，B(4,0)，
， ， ，
，
．
，
．
，
．
．
．
．
， ．
，
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得 ，解得 （舍去）， ，
．
②当点P在直线 左侧时，
由①的方法同理可得点Q的坐标为 ，
此时点P的坐标为
综上所述，存在这样的点P，且坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，相似三角形的判定与性质，勾股定理，求一次函数的解析式，
难度较大，熟练运用数形结合思想以及分类讨论思想是解题是关键．
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线 交 轴于点 ， ，与 轴交于点
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（1），连接 ， 是抛物线第四象限内一点，直线 交 于 ，交 轴于点 ，若 ，
求 点坐标；
(3)如图（2），经过第四象限的直线 交抛物线于点 ， ，交 轴于点 ，作平行四边形，连接 ，若 轴，当点 到 距离的最大时，求 的值．
【答案】(1) ；
(2)点 的坐标为
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）作 交 轴于点 ，证明 ，由 ，得到 ，则
，进而求解；
（3）证明四边形 为平行四边形，则 ，得到 ，进而求解．
【详解】（1）解：由题意得： ，
则 ，
解得： ，
则抛物线的解析式为： ；
（2）解：作 交 轴于点 ，则 ，
又 ，，
，
由 ， 得直线 的解析式为 ，
直线 的解析式为 ，
联立上式和抛物线的解析式得： ，
解得： （舍去）或 ，
点 的坐标为 ；
（3）解：作 轴交 于点 ，
由平行四边形 可得 ， ，
四边形 为平行四边形，
，
，
，即 ，
，
设直线 的解析式为 ，
联立上式和抛物线的解析式得： ，
整理得： ，，
解得： ，
直线 的解析式为 ．
当直线 与抛物线只有一个公共点时 到 的距离最大．
此时，方程 有相等的实数根，
整理得： ，
则 ，
解得： ．
7．（2024·山西·一模）抛物线 过点 ，点 ，与y轴交于C点．
(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)如图1，设M是抛物线上的一点，若 ，求M点的坐标；
(3)如图2，点P在直线 下方的抛物线上，过点P作 轴于点D，交直线 于点E，过P点作
，交 与F点， 的周长是否有最大值，若有最大值，求出此时P点的坐标．若不存在，
说明理由．
【答案】(1) ，
(2) 或 ．
(3)有，P点的坐标为【分析】（1）根据抛物线 经过点 ，点 ，用待定系数法即可求解；
（2）分点M在第一象限和第四象限两种情况根据45度角的特征列方程求解即可．
（3）根据垂直及对顶角相等易证证明 ，可得 的周长： 的周长 ，求出
直线 的解析式，设 ， ， 的周长为z，表示出 的长，利用 的周
长： 的周长 列出关于z的函数解析式，再运用二次函数最值求解即可．
【详解】（1）由题意得： ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
∴点C(0,−3)．
（2）①当 点在第一象限时，
设 ），
过 点作 轴，
∵ ， ，
∴ ，
解方程得： 或 ，
不合题意，舍去．
故 ，
∴ ；
当 点在第四象限时，同理可得：解方程得： 或 ，
不合题意，舍去．
故 ，
∴
综上 或 ．
（3） 的周长有最大值．理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 的周长： 的周长 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的周长 ，
∵直线 过 和 ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ， 的周长为z，
，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴z有最大值，此时 ，
当 时， ，
故P点的坐标为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法确定函数的解析式，勾股定理，二次函数的图象与性质，相似三角形的判
定和性质，二次函数的最值，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
8．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线 交轴于点 ， ，交 轴于点 ，
，点 是线段 上一动点，作 交线段 于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，延长线段 交抛物线于点 ，点 是 边中点，当四边形 为平行四边形时，求出
点坐标；
(3)如图2， 为射线 上一点，且 ，将射线 绕点 逆时针旋转 ，交直线 于点 ，连
接 ， 为 的中点，连接 ， ，问： 是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值，
若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2) 或 ；
(3)存在， ．
【分析】（1）用待定系数法解题；
（2）由已知点P的横坐标为，可得点P和点D的坐标，用m的代数式表示PD和DE，根据平行四边形对
边相等的性质，列出m的方程即可；
（3）证明点P在直线 上运动，再利用轴对称的性质解决最短路径问题．
【详解】（1）解：∵点 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
把点 ， ， 代入抛物线 中得
，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）如图中，连接 ， ，
∵ ， ， ，
，∴ ，
∴直线 的解析式为 ，设 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
把点 的坐标代入 ，
得到， ，解得 或 ，
∴ 或 ．
（3）如图，过点 作 于 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ，连接 ，
设 ，则 ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的运动轨迹是直线 ，
作点 关于直线 是对称点 ，连接 交直线 于 ，
连接 ，此时 的值最小，
最小值 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合运用，涉及待定系数法求解析式、平行四边形的性质、等边三角形的性
质、勾股定理、利用轴对称求最值问题等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．
9．（2024·河北张家口·模拟预测） 如图， 二次函数 的图象交 轴于 、 两点， 并
经过 点， 已知 点坐标是 ， 点坐标是 ．求二次函数的解析式； 求函数图象的顶点坐标及
点的坐标； 二次函数的对称轴上是否存在一点 ，使得 的周长最小？ 若 点存在，求出
点的坐标； 若 点不存在，请说明理由．【答案】 ，二次函数图象的顶点坐标为 ， 点的坐标为 ；存在一点 ，使得
的周长最小．当点 的坐标为 时， 的周长最小，理由见解析．
【分析】只需运用待定系数法就可求出二次函数的解析式；运用配方法就可求出抛物线的顶点坐标，只需
令 就可求出点 的坐标；连接CA，由于 是定值， 使得 的周长最小，只需 最
小，根据抛物线是轴对称图形可得 只需 最小，根据“两点之间，线段最短”可得：
当点A、 、 三点共线时， 最小，只需用待定系数法求出直线 的解析式，就可得到点 的
坐标．
【详解】解：把 ， 代入 得
，
解得：
∴二次函数的解析式为 ；
∴
∴二次函数图象的顶点坐标为 ．
令 ， 得
解得：
∴ 点的坐标为 ；
二次函数的对称轴上存在一点 ，使得 的周长最小．理由如下：
连接CA， 如图，∵点 在二次函数的对称轴 上，点 、 关于对称轴对称，
∴ ， ，
∴ 的周长 ，
根据“两点之间，线段最短”，可得
当点A、 、 三点共线时， 最小，
此时，由于 是定值，因此 的周长最小．
设直线 的解析式为 ，
把 、 代入 ， 得
解得：
∴直线 的解析式为 ．
当 时， ，
∴当二次函数的对称轴上点 的坐标为 时， 的周长最小．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求一次函数，两点之间线段最短以及二次函数的性质，
熟练掌握待定系数法求二次函数解析式及两点之间线段最短是解题的关键．
10．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于两点
，与y轴交于点 ．(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知抛物线上有一点 ，其中 ，若 ，求 的值；
(3)若点D，E分别是线段 ， 上的动点，且 ，求 的最小值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）在 中， ，则 ，得到直线 的表达式为： ，进
而求解；
（3）作 ，证明 且相似比为 ，故当 、 、 共线时，
为最小，进而求解．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为： ，
即 ，则 ，
故抛物线的表达式为： ①；
（2）解：在 中， ，
，
则 ，故设直线 的表达式为： ②，
联立①②得： ，
解得： （不合题意的值已舍去）；
（3）解：作 ，
设 ，
，
且相似比为 ，
则 ，
故当 、 、 共线时， 为最小，
在 中，设 边上的高为 ，
则 ，
即 ，
解得： ，
则 ，
则 ，
过点 作 轴于点 ，
则 ，即点 的纵坐标为： ，
同理可得，点 的横坐标为： ，
即点 ，
由点 、 的坐标得， ，
即 的最小值为 ．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的
思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
11．（2024·四川南充·模拟预测）如图，已知抛物线 与 轴交于 、B两点，与
轴交于点C， ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为第一象限内抛物线上一点，连接 ，当 时，求点 的坐标．
(3)如图2，过点 作 交抛物线于点 ，已知点 是线段BC上方抛物线上一点，过点 作
轴，交 于N，在线段 、 上分别有两个动点E、F， ，G是 的中点，当
取得最大值时，在线段 上是否存在一点H，使得 的值最小？若存在，请求出
的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由题意可知 ，再利用待定系数法即可求解；
（2）过点 作 轴于点 ．当 时，求得 ，解直角三角形可得 ， ，
则 ， ，在 中， ．设点 坐标为
，则 ， ，列出方程即可求解；
（3）先求得直线 解析式为 ，直线 解析式为 ，结合抛物线求得
，设 ，则 ，得 ，
过点 作 轴， ，则 ， ，得
，当 时， 有最大值，此时 ．作点 关于 的对称点
，则 ，连接 与 交于点 ，由 ，且 ．可知
，故 的最小值为 ，设 交 轴于点 ，根据 ，结合图形求得 ，根据勾股定理求得 ，即可求解．
【详解】（1）解： ，
，
．
，
由题意得： ，解得： ，
则抛物线的解析式为： ；
（2）过点 作 轴于点 ．
当 时，即： ，解得 ， ，
．
， ， ， ，
， ，
，
，
．在 中， ．
设点 坐标为 ，则 ， ，
，解得： （不合题意，舍去）， ，
点 坐标为 ．
（3）由（2）可知， ， ，则 ，
∵ ，
∴ ，则 ， ，
设直线 解析式为： ，则 ， ，
．
设直线 解析式为： ，则 ， ，
．
联立 解得 或 ，
．
设 ，则 ，
，
过点 作 轴， ，则 ，，
．
当 时， 有最大值，此时 ．
∵ 是 的中点，
∴ ，
作点 关于 的对称点 ，则 ，连接 与 交于点 ，
，且 ．
，
故 的最小值为 ，
，
，又 ， ，
， ，
设 交 轴于点 ，
，
， ，，
，
，
在 中， ，
的最小值为： ．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、解直角三角形、最值问题、勾股
定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
题型二：与面积有关问题
【中考母题学方法】
1．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数 的图像与二次函数 的图像
的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数 的图像上的动点，且位于直线 的
下方，连接 、 ．
(1)求b、c的值；
(2)求 的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)最大值为8
【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键．
（1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c；（2）由（1）可得： ，设 ，作 交 于E，则 ，则
，得出面积，即可解答．
【详解】（1）解：当 时， ；当 时， ，
则 ， ，
则 ，
解得： ；
（2）解：由（1）可得： ，设 ，作 交 于E，
则 ，则 ，
∴ ，
当 时，最大值为8．
2．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与 轴交于 ，
两点，与 轴交于点 ，点 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的表达式；
(2)当点 在直线 下方的抛物线上时，过点 作 轴的平行线交 于点 ，设点 的横坐标为t，
的长为 ，请写出 关于 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围；
(3)连接 ，交 于点 ，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出 ，再用待定系数法求出直线 的解析式为： ，可得出 ，
，从而可得 ，再求出自变量取值范围即可；
（3）分四种情形：当 时，作 ，交 于 ，可得出 ，从而 ，进而
得出 ，进一步得出结果；当 ， 和 时，可得出 没有最大
值．
【详解】（1）解： 抛物线 与 轴交于 ， 两点，
，
解得 ，
该抛物线的解析式为： ；
（2）解：二次函数 中，令 ，则 ，，
设直线 的解析式为： ．将 ， 代入得到：
，解得 ，
直线 的解析式为： ，
过点 作 轴的平行线交 于点 ，设点 的横坐标为t，
， ，
，
点 在直线 下方的抛物线上，
；
（3）解：如图1，
当 时，
作 ，交 于 ，
，
，
把 代入 得，
，
，
，
当 时， ，，
，
如图2，
当 时，
此时 ，
，
时， 随着 的增大而增大，
没有最大值，
没有最大值，
如图3，
当 时，，
当 时， 随着 的增大而减小，
没有最大值，
没有最大值 ，
如图4，
当 时，
由上可知，
没有最大值，
综上所述：当 时， ．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质等知识，
解决问题的关键是分类讨论．
3．（2024·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ，
顶点为 ；抛物线 ，顶点为 ．(1)求抛物线 的表达式及顶点 的坐标；
(2)如图1，连接 ，点 是拋物线 对称轴右侧图象上一点，点 是拋物线 上一点，若四边形
是面积为12的平行四边形，求 的值；
(3)如图2，连接 ，点 是抛物线 对称轴左侧图像上的动点（不与点 重合），过点 作
交 轴于点 ，连接 ，求 面积的最小值．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解出抛物线 的解析式，再转化为顶点式，即可得到顶点坐标；
（2）连接 ，过点 作 轴，交 延长线于点 ，过点 作 ，垂足为 ，与 轴交于
，设点 的横坐标为 ．设直线 的表达式为 ，解方程组得到直线 的表达式为 ，
则 ，求得 ，求得 于是得到
，解方程得到 ，根据平移的性质得到 ，将 代
入 ，解方程即可；（3）过 作 轴，垂足为 ，过点 作 轴，过点 作 轴，与 交于点 ，设
且 ，求得抛物线 的顶点 ，得到
，推出 ，解方程得到当 时， ，根据三角形的面积
公式即可得到结论．
【详解】（1）解： 抛物线 过点
得
解得
抛物线 的表达式为
顶点 ；
（2）解：如图，连接 ，过点 作 轴，交 延长线于点 ，过点 作 ，垂足为 ，
与 轴交于 ，设点 的横坐标为 ．
设直线 的表达式为由题意知
解得
直线 的表达式为
的面积为12
，
，
解得 （舍）
点 先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点
将 代入
得
解得 ．
（3）解：如图，过 作 轴，垂足为 ，过点 作 轴，过点 作 轴，与 交于
点 ，设 且抛物线 的顶点
，
易得
当 时，
点 横坐标最小值为 ，此时点 到直线 距离最近， 的面积最小
最近距离即边 上的高，高为：
面积的最小值为 ．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，平移的性质，
等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确地找出辅助线是解题的关键．
4．（2024·海南·中考真题）如图1，抛物线 经过点A(−4,0)、 ，交y轴于点 ，
点P是抛物线上一动点．(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为 时，求四边形 的面积；
(3)当 时，求点P的坐标；
(4)过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接 ，判断 的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)16
(3) 或
(4) 是等边三角形，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作 于T，根据 列式求解即可；
（3）取 ，连接 ，易证明 ，则线段 与抛物线的交点 即为所求；求出
直线 的解析式为 ，联立 ，解得 或 （舍去），则 ；如图
所示，取 ，连接 ，同理可得 ，则直线 与抛物线的交点 即为所求；
同理可得 ；则符合题意的点P的坐标为 或 ；
（4）由90度的圆周角所对的弦是直径得到 为过 三点的圆的直径，如图所示，取 中点R，连接 ，则 ， ；设 与抛物线交于
，联立 得 ，解得
，则 ， 由勾股定理可得
，则 是等边三角形．
【详解】（1）解：将点 代入 ，
得
解得
∴抛物线解析式为 ；
（2）解:如图所示，过点P作 于T，
∵ ，A(−4,0)， ，
∴ ，
∴ ，
∴
；（3）解：如图所示，取 ，连接 ，
∵A(−4,0)、 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴线段 与抛物线的交点 即为所求；
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，解得 或 （舍去），
∴ ；
如图所示，取 ，连接 ，同理可得 ，
∴直线 与抛物线的交点 即为所求；
同理可知直线 的解析式为 ，
联立 ，解得 或 （舍去），
∴ ；
综上所述，符合题意的点P的坐标为 或 ；
（4）解： 是等边三角形，理由如下：
∵ 三点共圆，且 ，
∴ 为过 三点的圆的直径，
如图所示，取 中点R，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
设 与抛物线交于 ，
联立 得 ，
∴ ，
解得 ，
在 中，当 时，
当 时，∴ ，
∴ ，
，
，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，圆的相关知识，解题的关键在
于正确作出辅助线并利用数形结合的思想求解．
5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点． 点
坐标为 ，与 轴交于点 ，点 为抛物线顶点，点 为AB中点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)在直线 上方的抛物线上存在点 ，使得 ，求点 的坐标；(3)已知 ， 为抛物线上不与 ， 重合的相异两点．
①若点 与点 重合， ，且 ，求证： ， ， 三点共线；
②若直线AD， 交于点 ，则无论 ， 在抛物线上如何运动，只要 ， ， 三点共线， ，
， 中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明
理由．
【答案】(1)
(2)
(3)①见解析；② 的面积为定值
【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据题意得出 ，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 轴于点 ，则
是等腰直角三角形，根据 ，建立方程，解方程，即可求解；
（3）①根据题意得出 ，得出直线 的解析式为 ，联立 得出 ，
在直线 上；②设 ， ，设 的解析式y=k(x−1)，联立抛物线解析式，可得
，根据题意，设直线 解析式为 ，直线 的解析式为 ，
求得 到 轴的距离是定值，即可求解．
【详解】（1）解：将 ， 代入 得，
解得：
∴抛物线解析式为
（2）解：对于 ，令 ，解得：
∴
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
如图所示，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 轴于点 ，
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
设 ，则
∴ ，
∴
解得： （舍去）或
∴
（3）①点 与点 重合，则 ，
∵点 为AB中点， ，∴ ,
设直线 的解析式为y=kx+b(k≠0)，代入 ,
∴
解得：
∴
联立
解得： 或
∴ ，在直线 上
即 ， ， 三点共线；
②设 ，
∵ ， ， 三点共线；
∴设 的解析式y=k(x−1)，
联立
消去 得，
∴
∵ ，
设直线 解析式为 ，直线 的解析式为联立
解得：
∴
∵ ，
∴ ，
∴
而 不为定值，
∴ 在直线 上运动，
∴ 到 轴的距离为定值 ，
∵直线AD， 交于点 ，则无论 ， 在抛物线上如何运动，只要 ， ， 三点共线， ，
， 中必存在面积为定值的三角形， 到 的距离是变化的，∴ 的面积为 是定值．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，一次函数，一元
二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
6．（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数 的图像经过 ， 两点，其中a，
b，c为常数，且 ．
(1)求a，c的值；
(2)若该二次函数的最小值是 ，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线 交于点
E，连接 ， ， ．是否存在点P，使 ？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1) ，(2)①该二次函数的解析式为： ； ，
②存在，P点横坐标为： 或 或
【分析】（1）先求得 ，则可得 和 关于对称轴 对称，由此可得 ，进
而可求得 ；
（2）①根据抛物线顶点坐标公式得 ，由此可求得 ，进而可得抛物线的表达式为
，进而可得 ， ；
②分两种情况进行讨论：当点P在点A右侧时，当点P在点A左侧时，分别画出图形，求出点P的坐标即
可．
【详解】（1）解：∵ 的图像经过 ，
∴ ，
∴ 和 关于对称轴 对称，
∴ ，
，
，
∴ ， ．
（2）解：①∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∵解得 ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ，∴该二次函数的解析式为： ，
当 时， ，
解得 ， ，
∴ ， ．
②设直线 的表达式为： ，
则 ，
解得 ，
∴直线 的表达式为： ，
当点P在点A右侧时，作 于F，如图所示：
设 ，则 ， ，
则 ，
,
，
∵ ， ， ，
∴，
∵ ，
，
解得： ， ，
∴点P横坐标为 或 ；
当点P在点A左侧时，作 于F，如图所示：
设 ，则 ， ，
则 ，
,
，
∵ ， ， ，
∴，
∵ ，
，
解得： ， （舍去），
∴点P横坐标为 ，
综上所述，P点横坐标为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，利用待定系数法求二次函数和一次
函数的表达式．熟练掌握“三角形面积 水平宽 铅锤高”是解题的关键．
7．（2023·山东青岛·中考真题）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观
察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄
在y轴上，坐标原点O为伞骨 ， 的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上， ， 关
于y轴对称． 分米，点A到x轴的距离是 分米，A，B两点之间的距离是4分米．
(1)求抛物线的表达式；
(2)分别延长 ， 交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；(3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ，将抛物线向右平移 个单位，得到一条
新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．若 ，求m的值．
【答案】(1) ；
(2)
(3)2或4；
【分析】（1）根据题意得到 ， ， ，设抛物线的解析式为 代入求解
即可得到答案；
（2）分别求出 ， 所在直线的解析式，求出与抛物线的交点F，E即可得到答案；
（3）求出抛物线与坐标轴的交点得到 ，表示出新抛物线找到交点得到 ，根据面积公式列方程求解即
可得到答案；
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为 ，由题意可得，
， ， ，
∴ ， ，
把点A坐标代入所设解析式中得： ，
解得： ，
∴ ；
（2）解：设 的解析式为： ， 的解析式为： ，
分别将 ， 代入 得，
， ，
解得： ， ，
∴ 的解析式为： ， 的解析式为： ，
联立直线解析式与抛物线得： ，解得 （舍去），
同理，解 ，得 （舍去），
∴ ， ，
∴E，F两点之间的距离为： ；
（3）解：当 时， ，
解得： ，
∴ ，
∵抛物线向右平移 个单位，
∴ ，
当 时， ，
当 时， ，解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ， （不符合题意舍去）， ， （不符合题意舍去），
综上所述：m等于2或4；
【点睛】本题考查二次函数综合应用，解题的关键是熟练掌握函数与坐标轴的交点求法及平移的规律：左
加右减，上加下减．
8．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于
点 ．(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，点 是 轴上方抛物线上一点，射线 轴于点 ，若 ，且 ，请
直接写出点 的坐标．
(3)如图2，点 是第一象限内一点，连接 交 轴于点 ， 的延长线交抛物线于点 ，点 在线段
上，且 ，连接 ，若 ，求 面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将点 ， 代入抛物线 得到 ，解方程组即可得到答
案；
（2）设 ， ，则 ，则 ， ，从而表示出点 的坐标为
，代入抛物线解析式，求出 的值即可得到答案；
（3）求出直线 的表达式，利用 ，得到 ，求出点 的坐标，再根
据 进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解： 抛物线 与 轴交于点 ， ，，
解得： ，
抛物线的解析式为： ；
（2）解： ，
设 ， ，
，
，
，
点 ，
，
，
点 的坐标为 ，
点 是 轴上方抛物线上一点，
，
解得： （舍去）或 ，
；
（3）解：设点 ，直线 的解析式为 ，
，
，解得： ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
，
，
，
在抛物线 中，当 时， ，
，
，
，
设点 的坐标为 ，
， ，
，
，
，
，
解得： ，
点 的坐标为 ，
．
【点睛】本题为二次函数综合，主要考查了求二次函数的解析式、二次函数图象和性质、一次函数的应用、锐角三角函数、三角形面积的计算，确定关键点的坐标是解本题的关键．
9．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象与x轴
交于点A(−2,0)和点 两点，与y轴交于点C(0,6)．点D为线段 上的一动点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，求 周长的最小值；
(3)如图2，过动点D作 交抛物线第一象限部分于点P，连接 ，记 与 的面积和
为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3) ，
【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为 ，将 代入求解即可；
（2）作点O关于直线 的对称点E，连接 ，根据点坐特点及正方形的判定得出四边形 为
正方形， ，连接AE，交 于点D，由对称性 ，此时 有最小值为AE的长，
再由勾股定理求解即可；
（3）由待定系数法确定直线 的表达式为 ，直线 的表达式为 ，设
，然后结合图形及面积之间的关系求解即可．【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为 ，
将 代入上式得： ，
所以抛物线的表达式为 ；
（2）作点O关于直线 的对称点E，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵O、E关于直线 对称，
∴四边形 为正方形，
∴ ，
连接 ，交 于点D，由对称性 ，
此时 有最小值为 的长，
∵ 的周长为 ，
， 的最小值为10，
∴ 的周长的最小值为 ；
（3）由已知点 ， ， ，设直线 的表达式为 ，
将 ， 代入 中， ，解得 ，
∴直线 的表达式为 ，
同理可得：直线 的表达式为 ，
∵ ，
∴设直线 表达式为 ，
由（1）设 ，代入直线 的表达式
得： ，
∴直线 的表达式为： ，
由 ，得 ，
∴ ，
∵P，D都在第一象限，
∴
，
∴当 时，此时P点为 .
．【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短问题及面积问题，
理解题意，熟练掌握运用二次函数的综合性质是解题关键．
【中考模拟即学即练】
1．（2025·上海黄浦·一模）已知抛物线 经过点 、 、 ．
(1)求该抛物线的表达式及其对称轴l；
(2)如果点A与点D关于对称轴l对称，联结 、 ，求 的面积．
【答案】(1) ，直线
(2)24
【分析】本题考查了二次函数与三角形面积的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式．
（1）直接利用待定系数法求函数解析式，利用对称轴公式求对称轴即可；
（2）过点B作 ，垂足为点H，先求出 ，继而求出 ，即可求解面积．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 、 、C(0,1)三点，
∴ ，
解得 ．
∴抛物线的表达式为 ．∵
∴抛物线的对称轴l为直线 ；
（2）解：过点B作 ，垂足为点H．
∵点A与点D关于对称轴l对称，又点 ，
∴ ，
∴ 轴， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
2．（2025·上海松江·一模）已知一条抛物线的顶点为 ，且经过点 ．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点 在该抛物线上，求 的面积．【答案】(1)
(2)3
【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是
解题的关键：
（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出 点坐标，勾股定理逆定理得到 ，再利用面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为 ，
抛物线过
，
得
抛物线的表达式为： ．
（2）∵点 ，
，
，
∵ ， ，
， ， ，
，
，
．3．（2024·青海西宁·一模）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点，直线
方程为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 为抛物线上一点，若 ，求点 的坐标；
(3)直线 上方的抛物线上有一点 ，当 的面积最大时，点 的坐标是什么？ 的最大面积
是多少？
【答案】(1) ；
(2) 或 ；
(3)点 的坐标为 ， 的最大面积是 ．
【分析】（ ）利用一次函数求出点 的坐标，再利用待定系数法解答即可求解；
（ ）求出点 坐标，可得AB的长，进而求出 ，设 ，根据 列出方程
即可求解；
（ ）如图，向上平移直线 ，当直线与抛物线只有一个交点 时，此时，点 到直线 的距离最大，即 的面积最大，设平移后的直线解析式为 ，由 得，
，进而根据 可得 ，即可平移后的直线解析式为 ，再联立函数解析式
可得 ，再利用待定系数法可得直线 的函数解析式为 ，即可得 ，得到
，最后根据 即可求解．
【详解】（1）解：把 代入 得， ，
∴ ，
把x=0代入 得， ，
∴C(0,−3)，
把 、C(0,−3)代入 得，
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：把 代入 得， ，
解得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，∵ ，
∴ ，
整理得， ，
∴ 或 ，
当 时，方程无解；
当 时，解得 ， ，
∴点 的坐标为 或 ；
（3）解：如图，向上平移直线 ，当直线与抛物线只有一个交点 时，此时，点 到直线
的距离最大，即 的面积最大，设平移后的直线解析式为 ，
由 得， ，
∴ ，
解得 ，
∴平移后的直线解析式为 ，
由 ，解得 ，
∴ ，
设直线 的函数解析式为 ，直线 与 轴相交于点 ，
把C(0,−3)、 代入得，
，解得 ，
∴直线 的函数解析式为 ，
把 代入 得， ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 的面积最大时，点 的坐标为 ， 的最大面积是 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的几何应用，一次函数与二次函数的交点坐标，
根的判别式，一次函数图象的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
4．（2024·云南昆明·一模）如图，抛物线与x轴交于 ，B两点，与y轴交于点C，且满足
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)M是线段 上的一点（不与点B，C重合），过点M作 轴交抛物线于点N，交x轴于点D，连接 ，若点M的横坐标为m，是否存在点M，使 的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，求出 两点的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）先求直线 的解析式，表示出 、 两点的坐标，利用纵坐标的差计算 的长，根据面积公式
得： ， 的长是定值为3，所以 的最大值即为面积的最大值，求
所表示的二次函数的最值即可．
【详解】（1）解： 抛物线经过点 ， ， 三点，且 ，
∴ ，
设抛物线的解析式为： ，
，
，
抛物线的解析式： ；
（2）解：存在，
设直线 的解析式为： ，
把 ， 代入得： ，解得： ，
直线 的解析式为 ，
，
又 轴，
，
；
，
当 最大时， 的面积最大，
，
当 时， 的有最大值为 ，
当 时， 的面积最大，
点 的坐标 ．
【点睛】本题是二次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，
并利用铅直高度与水平宽度的积求三角形的面积，同时要熟练掌握二次函数的最值的求法．
5．（2024·江苏盐城·三模）如图，抛物线 与轴交于点A，与x轴交于点B、C，已知
．(1)求抛物线的表达式，并求出点C的坐标．
(2)点M是抛物线(第一象限内)上的一个动点，连接 ，当 面积最大时，求M点的坐标．
(3)若点M坐标固定为 ，Q是抛物线上除M点之外的一个动点，当 与 的面积相等求出点
Q的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点Q的坐标为： 或 或
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行线的性质、面积的计算等，用平行线的方法处理面
积之间的关系是解题的关键．
（1）用待定系数法求出函数表达式，即可求解；
（2）由 面积 ，即可求解；
（3）过点M作直线 交y轴于点R，得到直线 的表达式为： ，即可求
解；过点T作直线 ，得到直线 的表达式为： ，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得： ，
解得： ，
则抛物线的表达式为： ，
令 ，则 ，解得： （舍去）或 ，
即 ；
（2）解：过点M作 轴交 于点H，由点A、B的坐标设直线 的表达式为： ，则 ，解得： ，
故直线 的表达式为： ，
设点 ，则点 ，
则 面积 ，
∵ ，故当 时， 面积最大，
此时点 ；
（3）解：由（2）知，直线 的表达式为： ，
过点M作直线 交y轴于点R，
设直线 的表达式为： ，则 ，解得： ，
则直线 的表达式为： ，则点 ，
则 ，
联立 和抛物线的表达式得： ，解得： （舍去）或3，即点 ，
则点A下方取点T，使 ，则点 ，
过点T作直线 ，
则直线 的表达式为： ，
联立上式和抛物线的表达式得： ，
解得： ，
则点 或 ，
综上，点Q的坐标为： 或 或 ．
6．（2024·四川眉山·二模）如图，二次函数 的图象经过 ，对称轴是直线 ，
线段 平行于 轴，交抛物线于点 ．在 轴上取一点 ，直线 交抛物线于点 ，连结 、 、
、 ．
(1)求该二次函数的解析式及点 的坐标；
(2)坐标平面内一点 ，使 ，求点 的坐标；
(3)设点 是 的中点，点 是线段 上的动点，问 为何值时，将 沿边 翻折，使 与
重叠部分的面积恰好是 面积的 ，并说明理由．
【答案】(1) ，(2)点E的坐标是 或 时， ；
(3) 或 时，将 沿边 翻折，使 与 重叠部分的面积是 的面积
的 ．
【分析】（1）运用待定系数法和对称轴的关系式求出a、b的即可，然后利用待定系数法求出直线 的
解析式与抛物线解析式组成方程组即可求得点B的坐标；
（2）先证得 为直角三角形，然后由相似三角形的性质及旋转的性质就可以得出E的坐标；
（3）分情况讨论当点B落在 的左下方，点B，D重合，点B落在 的右上方，由三角形的面积公式
和菱形的性质的运用就可以求出结论．
【详解】（1）解：∵ 的图象经过点 ，且对称轴是直线 ，
∴ ，
解得： ，
∴二次函数的解析式为 ，
设直线 的解析式为 ，由题意，得
，解得： ，
∴ ；
当 时，
解得： ， （舍去）．
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图1，∵点 ，线段 平行于x轴，
∴D的纵坐标为4，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
即把 绕着O点顺时针旋转 ， 落在 上 处， 落在 上 处，
∴ ，∴ ，
作 关于x轴的对称图形，所得点E的坐标为 ．
∴当点E的坐标是 或 时， ；
（3）解：由（2）知 ， ， ， ，
若翻折后，点B落在 的左下方，连接 与 交于点H，连接 ，
如图2，
∴ ，
∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
在平行四边形 中， ，
若翻折后，点B，D重合， ，不合题意，舍去．
若翻折后，点B落在 的右上方，连接 交 于点H，连接 ，如图3，∴ ，
∴ ， ， ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
∴ ，根据勾股定理，得 ，
∴ ，
解得 ， （舍去），
综上所述， 或 时，将 沿边 翻折，使 与 重叠部分的面积是
的面积的 ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的性质的运用，菱形的判定及性质的运
用，旋转的性质的运用，分类讨论思想的运用，等底、等高的三角形的面积的运用等知识点，熟练掌握运
用三角形的面积关系求解是解决此题的关键．
7．（2024·甘肃·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A， 两
点，与y轴交于点C ，P是直线 下方抛物线上一动点．(1)求抛物线 的表达式；
(2)如图2，连接 ， ，并把 沿 翻折，得到四边形 ，当四边形 为菱形时，求
出点P的坐标；
(3)当点P运动到什么位置时，四边形 的面积最大？求出此时点P的坐标及此时线段 的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将 代入抛物线 中，即可求抛物线的解析式；
（2）如图，连接PP'，设 ，则 ，由菱形的性质知 垂直平分 ，求出
的中点为 )，则 ，求出 ，进而即可求 ；
（3）如图，过P作 轴，交直线 于点Q，求出 点坐标，则 ，设 ，则
，即可求 ，所以 ，当 时，
四边形 的面积最大为 ，此时 ，进而即可得解．【详解】（1）∵抛物线 过点 ，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的表达式为 ；
（2）如图，连接PP'，
设 ，则 ，
∵四边形 为菱形，
∴ 垂直平分 ，
∵C(0,−3)，
∴ 的中点为 ，
∴ ，整理得 ，
解得 或 ；
点在直线 的下方，
，
，
；
（3）如图，过P作 轴，交直线 于点Q，令 ，则 ， ，
，
， ，
，
，
设直线 的解析式为
，解得 ，
直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
，
，
∴ ，
∵ ， ，
当 时，四边形 的面积最大为 ，此时 ，
．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象性质的应用，菱形的性质，一次函数的性质，中点坐标公式，翻折等知识点，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的对称性，会用铅锤法求三角形的面积是解题的关键．
8．（2025·安徽·模拟预测）如图，抛物线 与直线 交于 两点，点 在 轴上，过点
作 轴于点 ，且 ．
(1)求抛物线的解析式．
(2)将 沿 方向平移到 ．
①如图2，若 经过点 与 轴交于点 ，求 的值．
②如图3，直线 与抛物线 段交于点 ，与直线 交于点 ，当顶点 在线段 上移动时，求
与 公共部分面积的最大值．
【答案】(1)
(2)① ；②最大值为 ．
【分析】本题主要考查待定系数法求函数关系式，交点坐标，三角形面积等．
（1）先求出直线 的解析式，求出点B的坐标，再求得点A的坐标，再将A，B坐标代入 ，
求出a，b即可；
（2）求出直线 的解析式， 的解析式，联立方程组，求出点P的坐标，可得 ，再证明
，得 ，从而可得结论；
（3）设 与 交于点R，G， 与 交于点F，K，分别求出直线 的解析式，再分别用含有a的代数式表示出H，G，E，F的坐标，利用二次函数的性质，可求出 和 公共部分
面积的最大值．
【详解】（1）解：对于 ，令 ，则 ，
解得， ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
把 代入 ，得 ，
∴ ，
把 代入 得，
，
解得， ，
所以，二次函数解析式为： ；
（2）解：①设直线 的解析式为 ，
把 代入得， ，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
由平移得， ，
∴设直线 的解析式为 ，
把(2,0)代入得， ，
∴设直线 的解析式为 ，联立方程组 ，
解得， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∵ 是由 平移得到的，
∴ ，
∴ ；
②设点P的坐标为 其中 ，，
由平移知， ，
∴设直线 的解析式为 ，
将 代入得， ，
∴
∴ ；
设 与 交于G，R， 与 交于K，F，联立 ，
解得， ， ，
∴ ， ，
在 中，
当 时， ，
∴ ， ，
∵点P的横坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ，
设 和 公共部分的面积为S，
∴
，∵ ，
∴当 时，S有最大值，最大值为 ；
∴ 和 公共部分的面积最大值为 ．
题型三：与角度有关问题
【中考母题学方法】
1．（2023·四川自贡·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于 ， 两点，与 轴交于
点 ．
(1)求抛物线解析式及 ， 两点坐标；
(2)以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，求点 坐标；
(3)该抛物线对称轴上是否存在点 ，使得 ，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线解析式为 ， ，
(2) 或 或
(3)
【分析】（1）将点 代入抛物线解析式，待定系数法求解析式，进而分别令 ，即可求得
两点的坐标；
（2）分三种情况讨论，当 ， 为对角线时，根据中点坐标即可求解；（3）根据题意，作出图形，作 交于点 ， 为 的中点，连接 ，则 在 上，
根据等弧所对的圆周角相等，得出 在 上，进而勾股定理，根据 建立方程，求得点 的坐
标，进而得出 的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴交于 ，
∴
解得： ，
∴抛物线解析式为 ，
当 时， ，
∴ ，
当 时，
解得： ，
∴
（2）∵ ， ， ，
设 ，
∵以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形
当 为对角线时，
解得： ，
∴ ；
当 为对角线时，
解得：∴
当 为对角线时，
解得：
∴
综上所述，以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形， 或 或
（3）解：如图所示，作 交于点 ， 为 的中点，连接 ，
∵
∴ 是等腰直角三角形，
∴ 在 上，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 在 上，
设 ，则
解得： （舍去）
∴点
设直线 的解析式为∴
解得： .
∴直线 的解析式
∵ ， ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
当 时， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，圆周角角定理，勾
股定理，求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
2．（2023·湖南岳阳·中考真题）已知抛物线 与 轴交于 两点，交 轴于点
．
(1)请求出抛物线 的表达式．
(2)如图1，在 轴上有一点 ，点 在抛物线 上，点 为坐标平面内一点，是否存在点 使得
四边形 为正方形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，将抛物线 向右平移2个单位，得到抛物线 ，抛物线 的顶点为 ，与 轴正半轴交于点 ，抛物线 上是否存在点 ，使得 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) ；
(3)点 的坐标为 或
【分析】（1）把 代入 ，求出 即可；
（2）假设存在这样的正方形，过点E作 于点R，过点F作 轴于点I，证明
可得 故可得 ， ；
（3）先求得抛物线 的解析式为 ，得出 ， ，运用待定系数
法可得直线 的解析式为 ，过点 作 轴于点 ，连接 ，设 交直线 于 或 ，
如图2，过点 作 轴交 于点 ，交抛物线 于点 ，连接 ，利用等腰直角三角形性质和三角
函数定义可得 ，进而可求得点 的坐标．
【详解】（1）∵抛物线 与 轴交于 两点，交 轴于点 ，
∴把 代入 ，得，
解得，
∴解析式为： ；
（2）假设存在这样的正方形 ，如图，过点E作 于点R，过点F作 轴于点I，∴
∵四边形 是正方形，
∴
∴
∴
又
∴
∴
∵
∴
∴
∴ ；
同理可证明：
∴
∴
∴ ；
（3）解：抛物线 上存在点 ，使得 ．
，
抛物线 的顶点坐标为 ，将抛物线 向右平移2个单位，得到抛物线 ，
抛物线 的解析式为 ，
抛物线 的顶点为 ，与 轴正半轴交于点 ，
， ，
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
过点 作 轴于点 ，连接 ，设 交直线 于 或 ，如图2，过点 作 轴交 于
点 ，交抛物线 于点 ，连接 ，
则 ， ， ，
， ，
是等腰直角三角形，， ，
， ，
是等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
，
，
，
∵ ，
，
，
即点 与点 重合时， ，
；
， ，
，
，
点 与点 关于直线 对称，
；
综上所述，抛物线 上存在点 ，使得 ，点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性
质，正方形的性质等知识，运用数形结合思想解决问题是解题的关键．
3．（2023·湖南郴州·中考真题）已知抛物线 与 轴相交于点 ， ，与 轴相交于点 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点 是抛物线的对称轴 上的一个动点，当 的周长最小时，求 的值；
(3)如图2，取线段 的中点 ，在抛物线上是否存在点 ，使 ？若存在，求出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 或 或
【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据 的周长等于 ，以及 为定长，得到当 的值最小时， 的周长
最小，根据抛物线的对称性，得到 关于对称轴对称，则： ，得到当 三
点共线时， ，进而求出 点坐标，即可得解；
（3）求出 点坐标为 ，进而得到 ，得到 ，分点 在 点上方和下方，
两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴相交于点 ， ，∴ ，解得： ，
∴ ；
（2）∵ ，当 时， ，
∴ ，抛物线的对称轴为直线
∵ 的周长等于 ， 为定长，
∴当 的值最小时， 的周长最小，
∵ 关于对称轴对称，
∴ ，当 三点共线时， 的值最小，为 的长，此时点 为直线
与对称轴的交点，
设直线 的解析式为： ，
则： ，解得： ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，∴ ；
（3）解：存在，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
①当 点在 点上方时：
过点 作 ，交抛物线与点 ，则： ，此时 点纵坐标为2，
设 点横坐标为 ，
则： ，
解得： ，
∴ 或 ；
②当点 在 点下方时：设 与 轴交于点 ，则： ，
设 ，
则： ， ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
设 的解析式为： ，
则： ，解得： ，
∴ ，
联立 ，解得： 或 ，
∴ 或 ；
综上： 或 或 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进
行求解，是解题的关键．本题的综合性强，难度较大，属于中考压轴题．
4．（2023·江苏无锡·中考真题）已知二次函数 的图像与 轴交于点 ，且经过点和点 ．
(1)请直接写出 ， 的值；
(2)直线 交 轴于点 ，点 是二次函数 图像上位于直线AB下方的动点，过点 作
直线AB的垂线，垂足为 ．
①求 的最大值；
②若 中有一个内角是 的两倍，求点 的横坐标．
【答案】(1) ，
(2)① ；②2或
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）①过点 作 轴平行线分别交 、 于 、 ．令 ，求得 ，勾股定理求得 ，得
出 ，则 ，进而可得 ，求得直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，进而表示出 ，最后根据二次函数的性质即可求解．
②根据已知 ，令 ， ，在 上取点 ，使得 ，得出
，然后根据 ，设 ， ．进而
分两种情况讨论，ⅰ当 时， ，则相似比为 ，得出
代入抛物线解析式，即可求解；ⅱ当 时， ，同理可得，代入抛物线解析式即可求解．
【详解】（1）∵二次函数 的图像与 轴交于点 ，且经过点 和点
∴
解得：
∴ ， ， ；
（2）①如图1，过点 作 轴平行线分别交 、 于 、 ．
∵ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵
设直线 的解析式为
∴
解得：
直线 解析式为 ．
设 ，
，
，
当 时， 取得最大值为 ，
的最大值为 ．
②如图2，已知 ，令 ，则 ，在 上取点 ，使得 ，
∴ ，
设 ，则 ，
则 ，
解得 ，
∴ ，即 ．
如图3构造 ，且 轴，相似比为 ，
又∵ ，
设 ，则 ．
分类讨论：ⅰ当 时，则 ，
∴ 与 的相似比为 ，
∴ ， ，
∴ ，代入抛物线求得 ， （舍）．
∴ 点横坐标为 ．
ⅱ当 时，则 ，
∴相似比为 ，
∴ ， ，
∴ ，
代入抛物线求得 ， （舍）．
∴ 点横坐标为 ．
综上所示，点 的横坐标为2或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数解析式，线段长的最值问题，相似三角
形的性质与判定，正切的定义．利用分类讨论的思想并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
5．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交
于点 ，抛物线的对称轴交 轴于点 ，过点 作直线 轴，过点 作 ，交直线 于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点 为第三象限内抛物线上的点，连接CE和 交于点 ，当 时．求点 的坐标；(3)在（2）的条件下，连接 ，在直线 上是否存在点 ，使得 ？若存在，请
直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 ．
【分析】（1）根据抛物线过点 ，对称轴为直线 ，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意求得 ， ，求得 ，则 ，进而求得直线 的解析
式为 ，过点 作 轴，交 于点 ，证明 ，根据已知条件得出 设
，则 ，将点 代入 ，即可求解．
（3）根据题意可得 ，以 为对角线作正方形 ，则 ，进而求得
的坐标，待定系数法求得 的解析式，联立 解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于点 ，抛物线的对称轴交 轴于点
，则对称轴为直线 ，
∴ ，
解得：
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：由 ，当 时， ，解得： ，
∴ ，
当 时， ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，则 ，
设直线 的解析式为 ，则 ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
如图所示，过点 作 轴，交 于点 ，
∵ ，
∴
∵
∴ ，则
设 ，则 即 ，
将点 代入即
解得： 或 （舍去）
当 时， ，
∴ ；
（3）∵ ， ，
则 ， 是等腰直角三角形，
∴ ，由（2）可得 ，
∵
∴ ，
由（2）可得 ，
设直线 的解析式为 ，则
解得：
∴直线 的解析式为
如图所示，以 为对角线作正方形 ，则 ，∵ ，则 ，则 ， ，
设 ，则 ，
解得： ， ，
则 ， ，
设直线 的解析式为 ，直线 的解析式为
则 ， ，
解得： ， ，
设直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，
∴ 解得： ，则 ，
解得： ,则 ，
综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两
点，交 轴于点 ，抛物线的对称轴是直线 ．(1)求抛物线的表达式；
(2)点 是直线 下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点 作 轴交抛物线于点 ，作 于点
，求 的最大值及此时点 的坐标；
(3)将抛物线沿射线 方向平移 个单位，在 取得最大值的条件下，点 为点 平移后的对
应点，连接 交 轴于点 ，点 为平移后的抛物线上一点，若 ，请直接写出所有
符合条件的点 的坐标．
【答案】(1)
(2) 最大值为 ； ；
(3) 或
【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）如图，延长 交 轴于 ，过 作 轴于 ，求解 ，可得
，证明 ，设 ， ， ，
再建立二次函数求解即可；
（3）由抛物线沿射线 方向平移 个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，可得新的抛物线为： ， ，如图，当 在 轴的左侧时，过 作 轴于 ，证明
，可得 ，证明 ，如图，当 在 轴的右侧时，过
作 轴的垂线，过 作 过 的垂线于 ，同理可得： ，再进一步结合三角函数
建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于 ， 两点，交 轴于点 ，抛物线的对称轴
是直线 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
（2）解：如图，延长 交 轴于 ，过 作 轴于 ，
∵当 时，
解得： ， ，
∴ ，
当 时， ，∴C(0,−3)，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，C(0,−3)，
设 为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 为： ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线 的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴
，
当 时， 取得最大值，最大值为 ；此时 ；
（3）解：∵抛物线沿射线 方向平移 个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴新的抛物线为： ， ，
如图，当 在 轴的左侧时，过 作 轴于 ，
∵ ，
同理可得：直线 为 ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
解得： 或 （舍去）
∴ ；如图，当 在 轴的右侧时，过 作 轴的垂线，过 作 过 的垂线于 ，
同理可得： ，
设 ，则 ，
同理可得： ，
∴ 或 （舍去），
∴ ．
【点睛】本题属于二次函数的综合题，难度很大，考查了待定系数法，二次函数的性质，锐角三角函数的
应用，关键是做出合适的辅助线进行转化，清晰的分类讨论是解本题的关键．
7．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ，与
轴交于点 ，与 轴交于 两点（ 在 的左侧），连接 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点 是射线 上方抛物线上的一动点，过点 作 轴，垂足为 ，交 于点 ．点 是线段
上一动点， 轴，垂足为 ，点 为线段 的中点，连接 ．当线段 长度取得最大值时，求 的最小值；
(3)将该抛物线沿射线 方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段 长度取得最大值时的点 ，且与直
线 相交于另一点 ．点 为新抛物线上的一个动点，当 时，直接写出所有符合条件的
点 的坐标．
【答案】(1) ；
(2) 的最小值为 ；
(3)符合条件的点 的坐标为 或 ．
【分析】（1）利用正切函数求得 ，得到 ，再利用待定系数法即可求解；
（2）求得A(−4,0)，利用待定系数法求得直线 的解析式，设 ，求得 最大，点
，再证明四边形 是平行四边形，得到 ，推出当 共线时， 取最小值，
即 取最小值，据此求解即可；
（3）求得 ，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式 ，再分两种情况讨论，计算
即可求解．
【详解】（1）解：令 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，将 和 代入 得 ，
解得 ，
∴抛物线的表达式为 ；
（2）解：令 ，则 ，
解得 或 ，
∴A(−4,0)，
设直线 的解析式为 ，
代入A(−4,0)，得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
设 （ ），则 ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 最大，此时 ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
连接 ，
∴四边形 是平行四边形，∴ ，
∴ ，
∴当 共线时， 取最小值，即 取最小值，
∵点 为线段 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ；
（3）解：由（2）得点 的横坐标为 ，代入 ，得 ，
∴ ，
∴新抛物线由 向左平移2个单位，向下平移2个单位得到，
∴ ，
过点 作 交抛物线 于点 ，
∴ ，
同理求得直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴直线 的解析式为 ，
联立得 ，
解得 ， ，
当 时， ，
∴ ，
作 关于直线 的对称线得 交抛物线 于点 ，∴ ，
设 交 轴于点 ，
由旋转的性质得到 ，
过点 作 轴，作 轴于点 ，作 于点 ，
当 时， ，
解得 ，
∴
∵A(−4,0)， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，同理直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得 或 ，
当 时， ，
∴ ，
综上，符合条件的点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握
二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键．
8．（2024·四川广安·中考真题）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，
点 坐标为 ，点 坐标为 ．
(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)点 是直线 上方抛物线上一个动点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，过点 作 轴的垂线，
垂足为点 ，请探究 是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时 点的坐标；若没有最大值，
请说明理由．
(3)点 为该抛物线上的点，当 时，请直接写出所有满足条件的点 的坐标．
【答案】(1)
(2) 的最大值为 ， 点的坐标为(3)点 的坐标为 或
【分析】（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式；
（2）先求解 ，及直线 为 ，设 ，可得 ，再建立二
次函数求解即可；
（3）如图，以 为对角线作正方形 ，可得 ， 与抛物线的另一个交点
即为 ，如图，过 作 轴的平行线交 轴于 ，过 作 于 ，则 ，设 ，
则 ，求解 ，进一步求解直线 为： ，直线 为 ，再求
解函数的交点坐标即可.
【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点 坐标为
，点 坐标为 ．
∴ ；
（2）解：当 时， ，
∴ ，
设直线 为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 为 ，
设 ，
∴ ，
∴；
当 时，有最大值 ；
此时 ；
（3）解：如图，以 为对角线作正方形 ，
∴ ，
∴ 与抛物线的另一个交点即为 ，
如图，过 作 轴的平行线交 轴于 ，过 作 于 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
∴ ,
∴ ，
由 可得：∴ ，
解得： ，
∴ ，
设 为： ，
∴ ，解得： ，
∴直线 为： ，
∴ ，
解得： 或 ，
∴ ，
∵ ， ， ，正方形 ，
∴ ，
同理可得：直线 为 ，
∴ ，
解得： 或 ，
∴ ，
综上：点 的坐标为 或 .【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，正方形的性质，作出合适的
辅助线是解本题的关键.
【中考模拟即学即练】
1．（2024·陕西·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线L过 三点， ．
(1)求抛物线L的函数表达式；
(2)在x轴下半部分的抛物线L上有一点M，连接 ，当 为锐角时，设点M的横坐标为m，求
m的取值范围．
【答案】(1)抛物线L的表达式为
(2)m的取值范围为
【分析】（1）根据题意可知 ，根据 ，利用勾股定理得到
，再根据 求出 ，利用待定系数法即
可解答；
（2）根据抛物线的对称性可知，当点M与点B关于抛物线对称轴对称时，满足 ，求出此时点
M的横坐标 ，即可知当 时， 为锐角．
【详解】（1）解：根据题意可知 ，
∵ ，
，
即 ，
解得 ，
设抛物线 L 的表达式为 ，
将 代入，
解得： ，∴抛物线L的表达式为 ；
（2）解：如图，
∵ ，
根据抛物线的对称性可知，当点M与点B关于抛物线对称轴对称时，满足 ，
由（1）可知抛物线的对称轴为直线 ，
∴当 时， ，
故当 为锐角时，m的取值范围为 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象的对称性，勾股定理等知识，解
题的关键是数形结合思想的应用．
2．（2025·陕西西安·一模）在直角坐标平面xOy中，直线 沿y轴向下平移；5个单位后，正好
经过抛物线 的顶点C，抛物线与y轴交于点 B．
(1)求点C的坐标；(2)点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当 时， 求点 M的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出点 的横坐标为 ，再求出直线平移后的解析式，然后将 代入计算即可得解；
（2）求出 ，由题意可得点 的横坐标为 ，作 轴于 ， 轴于 ，则 ，
， ， ，可证得 为等腰直角三角形，于是可得 ，
进而证得 ，于是可得 ，解直角三角形即可求出 ，进而得出点
的纵坐标为 ，于是得解．
【详解】（1）解：∵抛物线 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴点 的横坐标为 ，
将直线 向下平移5个单位后得到的解析式为 ，
∵直线 向下平移5个单位后，正好经过抛物线 的顶点C，
∴在 中，当 时， ，即 ；
（2）解：在 中，令 ，则 ，即： ，
∵点M在抛物线对称轴上，
∴点 的横坐标为 ，
如图，作 轴于 ， 轴于 ，， 则 ， ， ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的纵坐标为 ，即：点 的纵坐标为 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的图象与性质，一次函数的平移，二次函数图象的平移，
等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，求一次函数的函数值等知识点，熟练掌握以上
知识点并灵活运用，同时添加适当的辅助线是解题的关键．
3．（2024·上海嘉定·三模）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ，
，且与 轴交于点 ．(1)求抛物线的表达式及点A的坐标；
(2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点 作 ，交线段 的延长线于点 ，如果 ．
求：点P坐标
(3)若点 是线段 （不包含端点）上的一点，且点 关于 的对称点 恰好在上述抛物线上，求
的长．
【答案】(1)y= x+5；
(2)
(3)
【分析】（1）将点 、 代入抛物线解析式 即可；
（2）先证 为直角三角形，再证 ，又因 ，可得到
，再根据等角的正切值相等，设坐标，建立方程求解即可；
（3）做点 关于 的对称点 ，求出 的坐标，直线 的解析式，即可求出点 的坐标，接着求直
线 的解析式，求出其与 的交点即可．
【详解】（1）解：将 ， 代入抛物线解析式 ，
得 ，解得， ， ，
则抛物线的解析式为： ，
当 时， ，
点 坐标为 ；
（2）解：如图，
， ，
，
，
为直角三角形，且 ，
∴ ，
当 时，点 只能在点 右侧，
，
∵ ，
∴ ，
，
，
，
∴ ，
设∴
解得： 或 （舍），
∴ ；
（3）解：作点 关于 的对称点 ，则 ， ， 三点共线，
由于 ，则点C为 中点，
∴
∴点 ，
设直线 解析式为： ，
代入 得， ，
将 代入直线 ： ，
得，
，
，
联立 ，
解得， ， （舍去），则 ，
设直线 表达式为： ，
将 ， 代入直线 ，
得， ，
解得， ， ，
，
由题意知，
，
设 ，
将点 代入
得，
得， ，
，
设直线 表达式为： ，
代入点A、B得， ，
解得： ，
∴ ，
联立 ，
解得， ， ，，
则 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，轴对称的性质，相似三角形的判定，交点坐标的求法等，解题
关键是牢固掌握轴对称的性质，并能够灵活运用．
4．（2024·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于A，B两点（A点
在B点左侧），与y轴交于点C(0,−3)，对称轴是直线 ，直线 经过点B，C．
(1)求抛物线和A，B两点坐标；
(2)点M为y轴上一点，是否存在点M，使得△ 与△ 相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存
在，请说明理由；
(3)点P为抛物线上一点（点P与点B不重合），且使得 中有一个角是 ，请直接写出点P的坐
标．
【答案】(1) ；
(2) 或
(3) ， 或
【分析】（1）根据与 轴交于点 C(0,−3)，对称轴是直线 ，即可求出函数解析式；然后令 ，解一元二次方程即可得出点A，B两点坐标
（2）分类讨论，当 或当 ，由相似三角形的性质可得对应边成比例，再代入数
值进行计算，即可求解；
（3）分三种情况讨论：根据题意，点P与点B不重合；当 时根据轴对称解答；当
时，设 交y轴于H点，过点H作 ，证明为 等腰直角三角形，结合点A、C坐标三角函
数即可确定点H坐标，利用待定系数法解得直线 的解析式，联立直线 的解析式与抛物线解析式，
求解即可确定点P坐标；当 时，同理可解．
【详解】（1） 抛物线 与 轴交于点C(0,−3)，对称轴是直线 ，
当 时， ，即 ，
，即 ，
抛物线解析式为 ，
抛物线与 轴交于A，B两点（A点在B点左侧），
当 时， ，
解得： ， ，
点A坐标为 ，点B坐标为 ，；
（2）解：存在，点M的坐标为 或 ，或理由如下：
， ，C(0,−3)，
， ， ，
如下图，当 时，则有 ，即 ，
，
，
，
当 时，如图：
则有 即 ，
，
，
则 ，
综合： 或 ；
（3）根据题意，点P与点B不重合；如图当 时，点P与C关于抛物线对称轴对称，
，C(0,−3)，
， ， ，
且 ，
结合二次函数的对称性，
，
，
点P纵坐标为 ，
抛物线的对称轴为 ，
点P横坐标为 ，
∴P的坐标为 ；
当 时，如下图，
设 交y轴于H点，过点H作 于点，
，，
，
，C(0,−3)，
， ，
，
设 ，则 ， ，
，
解得： ，
，
，
，
设直线 的解析式为 ，将点 ， 代入，可得，
解得，
∴直线 的解析式为 ，
联立直线 的解析式 与抛物线解析式 ，得
解得： ，（舍去） ，点 ；
当 时，如下图，
设 ，C(0,−3)，
交x轴于点T，过点T作 于点K，
，C(0,−3)，
，
，
即 ，
，
，
，
，
，
设 ，则 ， ，
，
，
设直线 的解析式为 ，将点C(0,−3)， 代入可得，
，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
联立直线 的解析式 与抛物线 解析式，可得，
解得 （舍去）或 ，
∴点 ．
综上所述，点P坐标为 ， 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合应用，主要考查了坐标与图形、待定系数法求一次函数解析式、解直角三角
形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的性质等知识，综合性强，难度较大，解题关
键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．
5．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，抛物线 经过 两点，与y轴交于点C，
P为第四象限抛物线上的动点，连接 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接 ，过点P作x轴的垂线交直线 于点D．若以C，P，D为顶点的三角形与 相似，请求出所有满足条件的点P的坐标；
(3)是否存在点P，使得 ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2) 或
(3)存在，点P的坐标为
【分析】（1）将 代入 得， ，计算求解，进而可得抛物线的解
析式；
（2）当 时， ，即 ，则 ，待定系数法求直线 的解析式为 ，设
，则 ， ， ， ，由题意知，
当以C，P，D为顶点的三角形与 相似时，分 ， 两种情况求解作答即
可；
（3）如图，在 上取点 ，使 ，连接 ，证明 ，则 ，
由 ，可得 ，则 ，如图，作 关于直线 的对称点 ，
连接 ， ，则 ， ， ，可得 ，即当
时， 为直线 与抛物线的交点，由（2）可知， 是抛物线上的点，进而可知
重合，然后作答即可．
【详解】（1）解：将 代入 得， ，
解得， ，
∴抛物线的解析式为 ；（2）解：当 时， ，即 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入得， ，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
∴ ， ， ，
由题意知，当以C，P，D为顶点的三角形与 相似时，分 ， 两种情况
求解；
当 时， ，
∴ ，
解得， 或 （舍去）或 （舍去），
∴ ；
当 时， ，
∴ 轴，
把 代入，得x=2，
∴ ， ，
∴ ，成立；
综上所述，当以C，P，D为顶点的三角形与 相似时， 或 ；
（3）解：如图，在 上取点 ，使 ，连接 ，∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
如图，作 关于直线 的对称点 ，连接 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 为直线 与抛物线的交点，
由（2）可知， 是抛物线上的点，
∴ 重合，
∴存在点P，使得 ，点P的坐标为 ．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与相似综合，二次函数与角度综合，勾
股定理，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质等知识．熟练掌握二次函数
解析式，一次函数解析式，二次函数与相似综合，二次函数与角度综合，勾股定理，全等三角形的判定与
性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，其对称轴为 ，点 的坐标为(2,0)，点 在抛物线上．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，点 在 轴上，且点 在 的下方，若 ，求点 的坐标；
(3)如图2， 为线段 上的动点，射线 与线段 交于点 ，与抛物线交于点 ，求当 取最大
值时，点 围成的三角形的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题
的关键．
（1）待定系数法求解析式即可；
（2）过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 轴的平行线 ，过点 作 于点 ，
过点 作 于点 ，证明 ，设 ，进而求出 点坐标，求出直
线 的解析式，把 点坐标代入，进而求出 的值，即可；
（3）过点 作 轴交 于 ，连接 ，证明 ，得到 ，进而推
出当 最大时， 取最大，设 ，则 ，利用二次函数的性质求出 的值最大时， 的值，进一步求解即可．
【详解】（1）解： 点 的坐标为(2,0)，点 在抛物线上，
，解得 ，
所求的抛物线解析式为 ．
（2）如图，过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 轴的平行线 ，过点 作 于
点 ，过点 作 于点 ，则： ，
∴ ，
为等腰直角三角形
，
∴ ，
点 在 轴上，在 的下方
设
点
又设直线 的解析式为： ，把 ，代入，得： ，
∴
把 代入： ，解得 ，
；
（3）过点 作 轴交 于 ，连接
轴
同（2）法可求直线 的解析式为： ，
∴当 时， ，
∴
要使 取最大，则 取最大
可设 ，则当 时， 有最大值
．
7．（2025·上海青浦·一模）在平面直角坐标系 中，抛物线 经过直线 上的点 ，已
知 ．
(1)求该拋物线的表达式；
(2)将抛物线 先向右平移1个单位，再向上平移 个单位后，所得新拋物线与 轴相交
于点 ，如果 ．①求 的值；
②设新拋物线的顶点为点 ，新拋物线上的点 是点 的对应点．联结 ，在新拋物线的对称轴上
存在点 ，使得 ，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）先求出点 ，再将点 代入 ，得 ，解得 ，可得答案；
（2）①先求出新拋物线表达式为 ，过点 作 轴，垂足为 ，得出
，可求得 ， ，从而得出 ，再将点 代入 ，
即可求解；
②分两种情况：Ⅰ．当点 在线段 的延长线上时，Ⅱ．当点 在射线 上时，分别进行求解即可．
【详解】（1）解： 抛物线 经过直线 上的点
点 在第四象限，
设点 ，由 ，得点 ，
将点 代入 ，得 ，解得 ，
得该抛物线的表达式为 ；
（2）解：① 抛物线 先向右平移1个单位，再向上平移 个单位后，所得新拋物线，
新拋物线表达式为 ，
如图，过点 作 轴，垂足为 ，在 中， ，
，
，
点 ，
将点 代入 ，
解得 ；
②设直线 与新抛物线的对称轴 交于点 ，则点 的坐标为 ，
点 的坐标为
，
直线 平行于 轴，
，
，
，
，分两种情况：
Ⅰ．当点 在线段 的延长线上时，
，
，
，
，
点 的坐标为 ，
Ⅱ．当点 在射线 上时，
，
，
点 在 的延长线上，
在直线 上取点 ，
同理可得
，
，
，
，
点 的坐标为 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，解直角三角及相似
三角形的判定与性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
8．（2025·上海虹口·一模）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与 轴交于点 、
（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，联结 ， ，抛物线的顶点为点 ．(1)求 的值和点 的坐标；
(2)点 是抛物线上一点（不与点 重合），点 关于 轴的对称点恰好在直线 上．
①求点 的坐标；
②点 是抛物线上一点且在对称轴左侧，连接 ，如果 ，求点 的坐标．
【答案】(1) ；
(2)① ；②
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，解直角三角形、一次函数的图象和性质等知识．
（1）点C的坐标为 ，得到 在 中， ，得到 ，点A的坐标为
，得到 ，解得 ；
（2）①点B的坐标为 ，求出直线 的解析式为 ，设点P的坐标为 ，则点P
关于x轴的对称点为 ，得到 在直线 上，得到 ，解方程即
可得到答案；②设 交抛物线的对称轴于点H，过点H作 于点N，证明 ，求出直
线 的解析式为 ，得到 ，得到 ，证明 ，
在 中， , 设 ，则 则 ，得到
，由 得到 ，则 ，得到 ，则点H的坐标是 ，求出直线 的解析式为 ，与抛物线解析式联立得到
求出点M的横坐标，即可得到点M的坐标．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴点C的坐标为 ，
∴
在 中， ，
∴
∴点A的坐标为 ，
∵抛物线 与 轴交于点 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的表达式为 ，
∴ ；
（2）①当 时， ，解得 或 ，
∴点B的坐标为 ，
设直线 的解析式为
∴
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
设点P的坐标为 ，则点P关于x轴的对称点为 ，
∵ 在直线 上，
∴ ，
解得 或 （不合题意，舍去）
∴ ，
∴点P的坐标为 ；
②设 交抛物线的对称轴于点H，过点H作 于点N，
∵ ， ，
∴
设直线 的解析式为 ，
则
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∴ ，
∵ ，且点D在抛物线对称轴直线 上，
∴ ，
∵
∴ ，在 中， ,
设 ，则 则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，则
∴ ，
则点H的坐标是 ，即 ，
设直线 的解析式为 ，
则
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
与抛物线解析式联立得到
解得 ， （不合题意，舍去）
当 时，
∴
9．（2025·上海普陀·一模）在平面直角坐标系 中（如图）．已知抛物线 的顶点A
的坐标为 ，与y轴交于点B．将抛物线沿射线 方向平移，平移后抛物线的顶点记作M，其横坐标为m．平移后的抛物线与原抛物线交于点N，且设点N位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为n．
(1)求原抛物线的表达式；
(2)求m关于n的函数解析式；
(3)在抛物线平移过程中，如果 是锐角，求平移距离的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据顶点的坐标为 ，列出方程 ，求解即可；
（2）先求出直线 的表达式为 ，根据题意求出点 的坐标为 ，点 的坐
标为 ，计算即可；
（3）分类讨论求出临界情况，即可得出取值范围．
【详解】（1）解：由原抛物线 顶点的坐标为 ．
可得 ，
解得 ， ．
所以，原抛物线的表达式是 ．
（2）解：由点A的坐标为 ，点B的坐标为设直线 的表达式为 ，
将点A的坐标 代入可得 ，解得：k=1，
∴直线 的表达式为 ．
由抛物线沿射线 方向平移，可得顶点M始终落在射线 上，
得点M的坐标为 ．
得平移后抛物线的表达式为 ．
∵平移后的抛物线与原抛物线交于点N，其横坐标为n，点N的坐标为 ，
∴ ．
化简得 ，得 ．
∵ ，
∴ ，
解得： ，
所以m关于n的函数解析式为 ．
（3）解：过点B作 ，交原抛物线于点G，那么 ．
当点N在 之间的抛物线上运动时， 是锐角．
当点N与点A重合时， ， ，
平移距离 ，
当点N与点G重合时，
过点N作 轴，垂足为点E，过点A作 轴，垂足为点F．∴点N的坐标为 ，点B的坐标为 ，点A的坐标为 ．
∴ ， ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，可得 ．
∵ ，
∴解得： ．
∴点M的坐标为 ，
∴ ．
∵点N位于原抛物线对称轴的右侧，
∴当 是锐角时，平移距离的取值范围是 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，平移的性质，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程，
一次函数的性质等，掌握二次函数的性质是解题的关键．
10．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A，
B(4,0)，与y轴交于点C(0,−3)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线 下方抛物线上且位于抛物线的对称轴右侧的一动点，过点P作x轴的平行线交抛物线的
对称轴于点D，过点P作 于点E，求 的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）中 取得最大值的条件下，将该地物线沿射线 方向平移 个单位长度，点F为点P平移后的对应点，连接 ，点M为平移后的抛物线上一点，若 ，写出所有符合条件的点
M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)
(2)， 的值最大为 ，此时
(3) ，
【分析】（1）将B(4,0)、C(0,−3)，代入 中，利用待定系数法求解即可；
（2）先求出 的表达式为 ，求出抛物线的对称轴为 ．设 ，则
．设 与 的交点为G，则可得 ，则 ．易证
，则可得 ，则 ，进而可得 ，则可得
时， 的值最大为 ，此时 ．
（3）先求出平移后的抛物线的表达式为 ．然后分两种情况讨论：①过P点作
交抛物线于点 ，则可得 ，求出直线 的表达式，再与抛物线的表达式联立，解方程
组，即可求出 的坐标；②作点 关于直线 的对称点N，连接 交抛物线于点 ，则可得
．求出N点的坐标为 ，再求出直线 的表达式，然后再
与抛物线的表达式联立，解方程组即可得 的坐标．【详解】（1）解：将B(4,0)、C(0,−3)，代入 中，得
，
解得 ，
抛物线的表达式为： ．
（2）解： ，C(0,−3)，
， ，
．
设直线 的表达式为： ，
则 ，解得 ，
∴直线 的表达式为： ．
由 ，得对称轴为： ．
设 ，
则 ，
如图，设 与 的交点为G，
则 ，
，
解得 ，
，．
轴， ，
， ，
，
，
，
，
时， 的值最大，最大值为 ，此时 ．
（3）解：在（2）中 ， 轴，
，
∵C、D、P三点的 纵坐标相同，
∴直线 轴．
原抛物线为 ，将其沿 方向平移 个单位，得 ．
如图，若 ，则满足条件的M点有两个．
①过P点作 ，交抛物线于点 ，
则 ，
又∵ 轴，
，
．
设直线 的表达式为 ，
则 ，
解得 ，
∴直线 的表达式为 ．
联立 ，解得 ， （舍去），
．
②如图，作点 关于直线 的对称点N，连接 交抛物线于点 ，
则 ，
即 ，
则 ．
设直线 的表达式为 ，
则 ，
解得 ， ，
∴直线 的表达式为 ，
联立 ，
解得 ， （舍去），
．
综上，所有符合条件的点M的坐标为： ， ．【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合，用待定系数法求二次函数的表达式、相似三角形的判定和性
质、坐标系中的轴对称、二次函数的平移．能综合运用以上知识及数形结合法是解题的关键．
11．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x轴交
于A， 两点，与y轴交于点C，如图所示．点D为抛物线的顶点，点 是抛物线上的一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线 上方抛物线上一动点，过点P分别作 交x轴于点M， 轴交直线 于点
N．求 的最大值及此时点P的坐标；
(3)将抛物线沿 方向平移 个单位长度得到新抛物线，点 是新抛物线的顶点，点F是点E平移后的
对应点，点G是新抛物线上一动点，连接 ．当 时，请直接写出所有符合条件的点
G的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为 ；
(2) 的最大值为 ，
(3)点G的坐标为 或 ．
【分析】（1）将 、 两点的坐标代入抛物线的解析式，求得 ， ，进一步得出结果；（2）作 于 ，设 ，可求得 ， 的值及 的解析式 ，根据
得 ，进而求得 ，根据 得出 ，从而表示出
，进一步得出结果；
（3）作 于 ，可求得 ， ，进而得出 轴，从而求得符合条件的 ，作 关于
的对称点 ，作射线 ，作 轴于点 ，可求得 ，从而得出 的解析式为
，进一步得出结果．
【详解】（1）解：由题意得，
，
，
抛物线的解析式为 ；
（2）解：如图1，作 于 ，设 ，
由 得，
， ，
，
，
设 的解析式为： ，
，
，
，
由 得，
，
，
∵ ，
，
，
，
，
，
，，
，
时， 的最大值为 ，
当 时， ，
；
（3）解：如图2，
作 于 ，
，
， ，
，
， ，
， ，
，即 ，
，，
，
如图3，
，
轴，
，
新抛物线与 轴右交点满足条件，
由 得，
， （舍去），
，
作 关于 的对称点 ，作射线 ，作 轴于点 ，
， ，
，
，
，
设 ，则 ，
，
在 中， ， ， ，
，
， ，
， ，
，的解析式为： ，
由 得，
（舍去）， ，
当 时， ，
，
综上所述：点G的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角
三角形等知识，解决问题的关键是较强的计算能力．
12．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 过点 且交x
轴于点 ，点B，交y轴于点C，顶点为D，连接 ， ．
(1)求抛物线的表达式．
(2)点P是直线 下方抛物线上的一动点，过点P作 交x轴于点M， 轴交 于点H，求
的最大值，以及此时点P的坐标．(3)连接 ，把原抛物线沿射线 方向平移 个单位长度后交x轴于 ， 两点（ 在 右侧），在新
抛物线上是否存在一点G，使得 ，若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)最大值为 ， ；
(3)存在，点G的坐标为 或
【分析】（1）运用待定系数法求出函数解析式；
（2）求出直线 的解析式，设 ，则得到H的坐标，表示出 证明
，得到一个关于m的二次函数表达式，利用二次函数的性
质求出最值和此时P点坐标即可；；
（3）先求出新的抛物线的表达式为： ，先求出 ， ，分两种情况进行讨
论：当点 在 轴上方时，当点 在 轴下方时，分别画出图形进行求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 过点 且交x轴于点 ，
把点 、 代入 ，
得 ，
解得 ，∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：过点P作 轴于点N，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
令 ，
，
，
设直线 为 ，
把 代入 ，得 ，
解得 ，
，
设 ，
，
轴交 于点H，
的纵坐标为 ，得 ，
，
，
，
，
时， 有最大值，是 ，
此时 ，
此时点P的坐标为 ．（3）解：过点D作 轴于点P，如图所示：
∵抛物线 ，
∴顶点 ，
，
，
，
∴原抛物线沿射线 方向平移 个单位长度时，相当于向上平移 个单位，向右平移 个
单位，
∴新的抛物线的表达式为：
，
令 ，
解得： ， ，
∴ ， ，当点 在 轴上方时，如图所示：
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
令 ，
解得： ， （舍去），
把 代入 得 ，
∴此时G点坐标为 ；
当点 在 轴下方时，如图所示：∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
令 ，
解得： ， （舍去），
把 代入 得 ，
∴此时G点坐标为 ；
综上分析可知，点G的坐标为： 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角函数的定义，二次函数与最值问题，二次函数的平移，
相似三角形的性质和判定等知识，本题的关键是熟练掌握角的转换，结合三角函数转换线段从而求出最值
问题，同时熟悉二次函数的特殊值和对称轴公式，发现联系列出方程解题．13．（2025·上海奉贤·一模）在直角坐标平面 中，直线 向下平移5个单位后，正好经过抛
物线 的顶点C，抛物线与y轴交于点B．
(1)求点C的坐标；
(2)点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当 时，求点M的坐标；
(3)将原抛物线顶点C平移到直线 上，记作点 ，新抛物线与y轴的交点记作点 ，当
时，求 的长．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）先求出点 的横坐标为 ，再求出直线平移后的解析式，然后将 代入计算即可得解；
（2）求出 ，由题意可得点 的横坐标为 ，作 轴于 ， 轴于 ，则 ，
， ， ，可证得 为等腰直角三角形，于是可得 ，
进而证得 ，于是可得 ，解直角三角形即可求出 ，进而得出点
的纵坐标为 ，于是得解；
（3）用待定系数法求出 ，得到抛物线的解析式为 ，设 ，则新抛物线
的解析式为 ，求出 ，得到 ，点 在直线 上，作 轴于 ，则 ， ，可
证得 为等腰直角三角形，于是可得 ，进而可得 ，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴点 的横坐标为 ，
将直线 向下平移5个单位后得到的解析式为 ，
∵直线 向下平移5个单位后，正好经过抛物线 的顶点C，
∴在 中，当 时， ，即 ；
（2）解：在 中，令 ，则 ，即： ，
∵点M在抛物线对称轴上，
∴点 的横坐标为 ，
如图，作 轴于 ， 轴于 ，
，
则 ， ， ， ，∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的纵坐标为 ，即：点 的纵坐标为 ，
∴ ；
（3）解：将 代入 ，得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ，
设 ，则新抛物线的解析式为 ，
在 中，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
如图，点 在直线 上，作 轴于 ，，
则 ， ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
综上所述， 的长为 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的图象与性质，一次函数的平移，二次函数图象的平移，
等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，求一次函数的函数值等知识点，熟练掌握以上
知识点并灵活运用，同时添加适当的辅助线是解题的关键．
14．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知抛物线 与x轴左、右交点分别为A、B，与y轴负半轴交于点C，坐标原点为O，若 ， ，点P是抛物线上的动点（点P在y轴右
侧）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)D是线段 的中点，①当 时，请求出点P的坐标；②当 时，请求出点P的
坐标．
【答案】(1)
(2)① 或 ② 或
【分析】（1）根据 ， ，求出 的长，进而求出 的坐标，待定系数法求出
函数解析式即可；
（2）①根据 ，得到 ，进而得到 ，推出 四点
共圆，圆周角定理得到 为圆的直径，取 的中点 ，则点 即为圆心，连接 ，设
，结合勾股定理列出方程进行求解即可；②中点得到 ，进而得到
，取点 ，连接 ，得到 ，进而得到 ，同
法①进行求解即可．
【详解】（1）解：抛物线与y轴负半轴交于点C，且a>0，则：点 在 轴左侧，点 在 轴右侧：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （负值舍去）；
∴ ， ，C(0,−3)，
∴设抛物线的解析式为： ，把C(0,−3)代入解析式，得： ，
∴ ，∴ ；
（2）①当∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴当点 与点 重合时，满足题意；此时： ；
当点 与点 不重合时，则： 四点共圆，
∵ ，
∴ 为圆的直径，取 的中点 ，则点 即为圆心，连接 ，则： ，
∵ ，
∴ ， ， ，
设点 ，
则： ，
整理，得：
解得： （舍去）或 （舍去）或 （舍去）或 ，当 时， ，
∴ ；
综上： 或 ；
②∵ ， 为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
取点 ，连接 ，则： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 四边共圆，
∵ ，
∴ 为圆的直径，取 的中点 ，则 ， ，∵ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
化简，得： ，
解得： （舍去）或 或 （舍去）或 ；
∴ 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，四点共圆，圆周角定理的推论，
解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求
解，是解题的关键．
题型四：与特殊图形存在性有关问题
【中考母题学方法】
1．（2023·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线 过点 ，对称轴是直
线 ．(1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；
(2)若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当 是等边三角形时，求出此三角形
的边长；
(3)已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为 ，是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四
边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)
(3)存在点F，当 或 或 或 时，以点A，D，E，F为顶点的四边形
为菱形．
【分析】（1）根据对称轴 和过点 列二元一次方程组求解即可；
（2）如图：过点M作 交 于D，设点 ，则 ；然后表示出
，再根据 是等边三角形可得 , ，根据三角函数解直角三角形可得
，进而求得 即可解答；
（3）如图可知：线段 为菱形的边和对角线，然后通过作图、结合菱形的性质和中点坐标公式即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得：，解得： ，
所以抛物线的函数表达式为 ；
当 时， ，则顶点M的坐标为 ．
（2）解：如图：过点M作 交 于D
设点 ，则 ,
∴ ，
∵ 是等边三角形,
∴ ,
∴ ,即 ，解得： 或 （舍去）
∴ ， ，
∴该三角形的边长 ．
（3）解：存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形
①如图：线段 作为菱形的边，
当 为菱形的对角线时，作 关于直线 的对称线段交 于E，连接 ,作点E关于 的对称点
F，即 为菱形，由对称性可得F的坐标为 ，故存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形，此时 ．
当 为菱形对角线时， ，
设 ， ，
则 ，解得： 或 ，
∴ 或
②线段 作为菱形的对角线时，
如图：设
∵菱形 ,
∴ , 的中点G的坐标为 ，点G是 的中点，
∴ ，解得 ，
∴ ，
设 ，
则有： ，解得： ，∴ ．
综上，当 或 或 或 时，以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合、等边三角形的性质、解直角三角形、
菱形的判定等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键．
2．（2023·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线 经过 的三个顶点，其中 为坐标原点，
点 ，点 在第一象限内，对称轴是直线 ，且 的面积为18
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)求点 的坐标；
(3)设 为线段 的中点， 为直线 上的一个动点，连接 ， ，将 沿 翻折，点 的对应
点为 ．问是否存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在， 点的坐标为 或 或 或
【分析】（1）根据对称轴为直线 ，将点 代入，进而待定系数法求解析式即可求解；
（2）设 ，过点 作 轴交于 点，过 点作 交于 点，继而表示出
的面积，根据 的面积为 ，解方程，即可求解．
（3）先得出直线 的解析式为 ，设 ，当 为平行四边形的对角线时，可得 ，当
为平行四边形的对角线时， ，进而建立方程，得出点 的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：∵对称轴为直线 ，
∴ ①，
将点 代入 得，
∴ ②，
联立①②得， ，
∴解析式为 ；
（2）设 ，如图所示，过点 作 轴交于 点，过 点作 交于 点，∴ ， ，
则 ，
∴
解得： 或 （舍去），
（3）存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，
如图所示，当BP为平行四边形的对角线时， ，，
∵ ，
∴ ，
由对称性可知 ， ，
∴ ，
∴
解得：
∴ 点的坐标为 或
如图3，当 为平行四边形的对角线时， ， ，由对称性可知， ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 ，
∴ 点的坐标为 或
综上所述， 点的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，轴对称
的性质是解题的关键．
3．（2023·湖北随州·中考真题）如图1，平面直角坐标系 中，抛物线 过点 ，
和 ，连接 ，点 为抛物线上一动点，过点 作 轴交直线 于点 ，
交 轴于点 ．
(1)直接写出抛物线和直线 的解析式；
(2)如图2，连接 ，当 为等腰三角形时，求 的值；
(3)当 点在运动过程中，在 轴上是否存在点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形与以 ， ， 为顶
点的三角形相似（其中点 与点 相对应），若存在，直接写出点 和点 的坐标；若不存在，请说明理
由．【答案】(1)抛物线： ；直线 ：
(2) 或 或
(3) ， 或 ， 或 ， 或
，
【分析】（1）由题得抛物线的解析式为 ，将点 代入求 ，进而得抛物线的解析式；
设直线 的解析式为 ，将点 ， 的坐标代入求 ， ，进而得直线 的解析式．
（2）由题得 ，分别求出 ， ， ，对等腰 中相等的边进行分类讨论，进而列
方程求解；
（3）对点 在点 左侧或右侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形的相似比求解 ，
进而可得 ， 的坐标．
【详解】（1）解： 抛物线过点 ， ，
抛物线的表达式为 ，
将点 代入上式，得 ，
．
抛物线的表达式为 ，即 ．
设直线 的表达式为 ，
将点 ， 代入上式，
得 ，
解得 ．
直线 的表达式为 ．
（2）解： 点 在直线 上，且 ，点 的坐标为 ．
， ， ．
当 为等腰三角形时，
①若 ，则 ，
即 ，
解得 ．
②若 ，则 ，
即 ，
解得 或 （舍去）．
③若 ，则 ，
即 ，
解得 （舍去）或 ．
综上， 或 或 ．
（3）解： 点 与点 相对应，
或 ．
①若点 在点 左侧，
则 ， ， ．
当 ，即 时，如图所示：
则：直线 的表达式为 ，
，
解得： 或 （舍去）．，即 ，
，即 ，
解得 ．
， ；
当 ，即 时，过点P作 轴，如图所示：
则 ，
∴ ， ，
∵ ，
，即 ，
解得： 或 （舍去），
经检验 是原方程的解，
此时点 ， ，
∴ ；
②若点 在点 右侧，则 ， ，
当 ，即 时，如图所示：此时直线 的表达式为 ，
，
解得 或 （舍去），
，
∵ ，
，即 ，
解得： ．
， ．
当 ，即 时，如图所示：
， ，
∵ ，，即 ，
解得 或 （舍去），
经检验 是原方程的解，
， ,
∴ ．
综上， ， 或 ， 或 ， 或
， ．
【点睛】本题是二次函数的综合应用，考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，平面
直角坐标系中两点距离的算法，相似三角形的性质与判定等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
4．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于B(4,0)，
C(−2,0)两点．与y轴交于点 ．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线 下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交 于点K，过点P作y轴的平行线
交x轴于点D，求与 的最大值及此时点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得 是以 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在， 的最大值为 ，
(3) 或
【分析】（1）将 、 、 代入抛物线解析式求解即可；
（2）可求直线 的解析式为 ，设 （ ），可求
，从而可求 ，即可求解；
（3）过 作 交抛物线的对称轴于 ，过 作 交抛物线的对称轴于 ，连接 ，
设 ， 可求 ， ，由 ，可求 ，进而求出直线
的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
，
解得： ，
抛物线的解析式为 ．
（2）解：设直线 的解析式为 ，则有，
解得： ，
直线 的解析式为 ；
设 （ ），
，
解得： ，
，
，
，
，
，
，
当 时， 的最大值为 ，，
．
故 的最大值为 ， ．
（3）解：存在，
如图，过 作 交抛物线的对称轴于 ，过 作 交抛物线的对称轴于 ，连接 ，
∵抛物线 的对称轴为直线 ，
设 ，
，
，
，
，
，解得： ，
；
设直线 的解析式为 ，则有
，
解得 ，
直线 解析式为 ，
，且经过 ，
直线 解析式为 ，
当 时， ，
；
综上所述：存在， 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，直角三角形的判定，勾股定理
等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键．
5．（2023·湖南·中考真题）如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点，
其中 ， ．(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在二次函数图象上是否存在点 ，使得 ？若存在，请求出 点坐标；若不存在，请说明理
由；
(3)点 是对称轴 上一点，且点 的纵坐标为 ，当 是锐角三角形时，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或 或
(3) 或 ．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据 ，可得 到 的距离等于 到 的距离，进而作出两条 的平行线，求得解
析式，联立抛物线即可求解；
（3）根据题意，求得当 是直角三角形时的 的值，进而观察图象，即可求解，分 和 两种
情况讨论，分别计算即可求解．
【详解】（1）解：将点 ， 代入 ，得
解得：
∴抛物线解析式为 ；
（2）∵ ，
顶点坐标为 ，
当 时，解得：
∴ ，则
∵ ，则
∴ 是等腰直角三角形，
∵
∴ 到 的距离等于 到 的距离，
∵ ， ，设直线 的解析式为
∴
解得：
∴直线 的解析式为 ，
如图所示，过点 作 的平行线，交抛物线于点 ，
设 的解析式为 ，将点 代入得，
解得：
∴直线 的解析式为 ，解得： 或
∴ ，
∵
∴
∴ 是等腰直角三角形，且 ，
如图所示，延长 至 ，使得 ，过点 作 的平行线 ，交 轴于点 ，则 ，则符
合题意的点 在直线 上，
∵ 是等腰直角三角形，
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∴
设直线 的解析式为
∴
解得：
∴直线 的解析式为
联立
解得： 或
∴ 或
综上所述， 或 或 ；
（3）①当 时，如图所示，过点 作 交 于点 ，当点 与点 重合时， 是直角三角形，
当 时， 是直角三角形，
设 交 于点 ，
∵直线 的解析式为 ，
则 ，
∴ ,
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∴ ，
设 ，则
∵
∴
解得： （舍去）或
∴
∵ 是锐角三角形∴ ；
当 时，如图所示，
同理可得
即∴
解得： 或 （舍去）
由（2）可得 时，
∴
综上所述，当 是锐角三角形时， 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，角度问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线 过点 、点 ，交y轴于点C．(1)求b，c的值．
(2)点 是抛物线上的动点
①当 取何值时， 的面积最大？并求出 面积的最大值；
②过点P作 轴，交 于点E，再过点P作 轴，交抛物线于点F，连接 ，问：是否存在
点P，使 为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)①当 时， 的面积由最大值，最大值为 ；
②当点 的坐标为 或 时， 为等腰直角三角形
【分析】（1）将将 、 代入抛物线 即可求解；
（2）①由（1）可知： ，得 ，可求得 的解析式为 ，过点P作 轴，
交 于点E，交 轴于点 ，易得 ，根据 的面积 ，可得
的面积 ，即可求解；
②由题意可知抛物线的对称轴为 ，则 ，分两种情况：当点 在对称轴左侧时，即
时，当点 在对称轴右侧时，即 时，分别进行讨论求解即可．【详解】（1）解：将 、 代入抛物线 中，
可得： ，解得： ，
即： ， ；
（2）①由（1）可知： ，
当 时， ，即 ，
设 的解析式为： ，
将 ， 代入 中，
可得 ，解得： ，
∴ 的解析式为： ，
过点P作 轴，交 于点E，交 轴于点 ，
∵ ，则 ，
∴点E的横坐标也为 ，则纵坐标为 ，
∴ ，
的面积，
∵ ，
∴当 时， 的面积有最大值，最大值为 ；
②存在，当点 的坐标为 或 时， 为等腰直角三角形．
理由如下：由①可知 ，
由题意可知抛物线的对称轴为直线 ，
∵ 轴，
∴ ， ，则 ，
当点 在对称轴左侧时，即 时，
，当 时， 为等腰直角三角形，
即： ，整理得： ，
解得： （ ，不符合题意，舍去）此时 ，即点 ；
当点 在对称轴右侧时，即 时，
，当 时， 为等腰直角三角形，
即： ，整理得： ，
解得： （ ，不符合题意，舍去）
此时： ，即点 ；
综上所述，当点 的坐标为 或 时， 为等腰直角三角形．
【点睛】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及图象上的点的特
点，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是表示出点的坐标，进行分类讨论．
7．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴的交点分别为
和 （点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，点 是直线 上方抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，过点 作 轴平行线交 于点 ，过点 作 轴平行线交 轴于点 ，求 的最大值及
点 的坐标；
(3)如图2，设点 为抛物线对称轴上一动点，当点 ，点 运动时，在坐标轴上确定点 ，使四边形
为矩形，求出所有符合条件的点 的坐标．
【答案】(1)
(2) 的最大值为 ，点 的坐标为
(3)符合条件的 点坐标为： 或
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求得直线 的解析式，设 ，则 ， ，得到
，利用二次函数的性质求解即可；
（3）先求得抛物线的顶点 ，对称轴为 ，分当点 在 轴上和点 在 轴负半轴上时，两种
情况讨论，当点 在 轴负半轴上时，证明 ，求得 ，再证明 ，
求得点 的坐标为 ，由点 在抛物线上，列式计算求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点
解得
抛物线的解析式为： ；
（2）解：当 时， ，
解得 ， ，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，
把 ， 代入得： ，
解得
∴直线 的解析式为 ，
设 ，
∵ 轴，
∴点 的纵坐标为 ，
又∵点 在直线 上，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ，
当 时， ，
∴点 的坐标为 ；
答： 的最大值为 ，点 的坐标为 ；
（3）解： ，
则抛物线的顶点 ，对称轴为 ，
情况一：当点 在 轴上时， 为抛物线的顶点，
∵四边形 为矩形，
∴ 与 纵坐标相同，
∴ ；情况二：当点 在 轴负半轴上时，四边形 为矩形，
过 作 轴的垂线，垂足为 ，过 作 轴的垂线，垂足为 ，
设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线对称轴为 ，点 在对称轴上， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ，
∵点 在抛物线上，∴ ，
解得 ， （舍去），
∴ ，
综上所述：符合条件的 点坐标为： 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，
解题的关键是方程思想的应用．
8．（2023·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 ， 两点，
与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图甲，在y轴上找一点D，使 为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？
若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) 或 或 或 ；
(3)存在， ， 或 ， 或 ， 或
或【分析】（1）将 ， 代入 ，求出 ,即可得出答案；
（2）分别以点 为顶点、以点 为顶点、当以点 为顶点，计算即可；
（3）抛物线 的对称轴为直线 ，设 ， ，求出 ， ，
，分三种情况：以 为对角线或以 为对角线或以 为对角线．
【详解】（1）解：（1）∵ ， 两点在抛物线上，
∴
解得， ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）令 ，
∴ ，
由 为等腰三角形，如图甲，
当以点 为顶点时， ，点 与原点 重合，
∴ ；当以点 为顶点时， ， 是等腰 中线，
∴ ，
∴ ；
当以点 为顶点时，
∴点D的纵坐标为 或 ，
∴综上所述，点D的坐标为 或 或 或 ．
（3）存在，理由如下：
抛物线 的对称轴为：直线 ，
设 ， ，
∵ ，
则 ，
，
，
∵以 为顶点的四边形是菱形，
∴分三种情况：以 为对角线或以 为对角线或以 为对角线，
当以 为对角线时，则 ，如图1，∴ ，
解得： ，
∴ 或
∵四边形 是菱形，
∴ 与 互相垂直平分，即 与 的中点重合，
当 时，
∴ ，
解得： ，
∴
当 时，
∴ ，
解得： ，
∴以 为对角线时，则 ，如图2，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ 与 互相垂直平分，即 与 中点重合，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
当以 为对角线时，则 ，如图3，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ 与 互相垂直平分，即 与 的中点重合，
∴ ，
解得：
∴ ，
综上所述，符合条件的点P、Q的坐标为： ， 或 ， 或
， 或 或
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了解析式的求法、等腰三角形的判定、菱形的性质、坐标与图形的
性质、分类讨论等知识，熟练掌握菱形的性质和坐标与图形的性质是解题的关键．
9．（2024·四川遂宁·中考真题）二次函数 的图象与 轴分别交于点 ，
与 轴交于点C(0,−3)， 为抛物线上的两点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)当 两点关于抛物线对称轴对称， 是以点 为直角顶点的直角三角形时，求点 的坐标；
(3)设 的横坐标为 ， 的横坐标为 ，试探究： 的面积 是否存在最小值，若存在，请求出
最小值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)
(2)
(3)存在，最小值为
【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，勾股定理，已知两点坐标表示两点距
离，二次函数最值，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）可求 ，设 ，由 ，得 ，则
，解得 ， （舍
去），故 ；
（3）分当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，当
点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方，得到这个面积是关于m的二次函数，进而求
最值即可．
【详解】（1）解：把 ，C(0,−3)代入 得，
，解得 ，
∴二次函数的表达式为 ；
（2）解：如图：由 得抛物线对称轴为直线 ，
∵ 两点关于抛物线对轴对称，C(0,−3)
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴
，
整理得， ，
解得 ， （舍去），
∴ ，
∴ ；
（3）存在，理由：
当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，
设点 ，则点 ，设直线 交 轴于点 ，设直线 表达式为：y=kx+b(k≠0)，
代入 ，
得： ，
解得： ，
∴直线 的表达式为： ，
令 ，得
则 ，
则 ，
则
，
即 存在最小值为 ；
当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，同上可求直线 表达式为： ，
令 ，得
则 ，
则 ，
则
即 存在最小值为 ；
当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方同理可求
，
即 存在最小值为 ，综上所述， 的面积 是否存在最小值，且为 ．
10．（2024·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与直线相交于 ， 两点，其中点 ，
．
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)过点 作 轴交抛物线于点 ，连接 ，在抛物线上是否存在点 使 ．
若存在，请求出满足条件的所有点 的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解
答）
(3)将该抛物线向左平移 个单位长度得到 ，平移后的抛物线与原抛物线相交于点
，点 为原抛物线对称轴上的一点， 是平面直角坐标系内的一点，当以点 、 、 、 为顶点的四
边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．
【答案】(1)
(2)存在，点 坐标为 ， ，补图见解析
(3) 、 、 、
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据平行线的性质可得 ，求得 ，进而分别求得 ， ，根据可得 ，设直线 交 轴于点 ，则 ， ．进而可得
， 的解析式为 ， ，连接 交抛物线于 ，连接 交抛物线于 ，
进而联立抛物线与直线解析式，解方程，即可求解．
（3）①以BD为对角线，如图作BD的垂直平分线 交BD于点 交直线 于 ，设 ，根据
两点距离公式可得 ，根据中点坐标公式可得 ，②以BD为边，如图以 为圆心，BD为半径画
圆交直线 于点 ， ；连接 ， ，根据勾股定理求得 ，进而得出 ，
，根据平移的性质得出 ， ，③以BD为边，如图以点 为圆心，BD
长为半径画圆交直线 于点 和 ，连接 ， ，则 ，过点 作
于点 ，则 ，在 和 中，由勾股定理得 ，则 、
，根据 ，可得 ，过点 作 ，过 作
， 和 相交于点 ， 的中点 ．根据中点坐标公式可得 ；
【详解】（1）解：∵把点 ， 代入 得
，
解得 ，
∴ ．
（2）存在．理由：∵ 轴且 ，
∴ ，
∴ （舍去）， ，
∴ ．
过点 作 于点 ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
设直线 交 轴于点 ，
， ，
∴ ， ．
连接 交抛物线于 ，连接 交抛物线于 ，
∴ ， 的解析式为 ， ，
∴ ，解得 ，
或 ，解得 ．
∴把 ， 代入 得 ， ，∴ ， ．
综上所述，满足条件的点 坐标为 ， ．
（3） 、 、 、 ．
方法一：
①以BD为对角线，如图作BD的垂直平分线 交BD于点 交直线 于
∵ ，D(1,4)，
∴ ．
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
．②以BD为边
如图以 为圆心，BD为半径画圆交直线 于点 ， ；连接 ， ，
过点 作 ，过点 作 ， 和 相交于点 ，同理可得
，D(1,4)，
，
．
过点 作 直线 于点 ，则 ；
在 和 中，由勾股定理得，
，
， ．
点 是由点 向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度得到的，
， ，③以BD为边
如图以点 为圆心，BD长为半径画圆交直线 于点 和 ，
连接 ， ，则 ，
过点 作 于点 ，则 ，在 和 中，由勾股定理得，
，
、 ，
，
，
、 、 三点共线，
过点 作 ，过 作 ，
和 相交于点 ，
∵ 、 ，
的中点 ．D(1,4)，点 为 的中点，
．
综上所述： 、 、 、 ．
11．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图
像经过原点和点 ．经过点 的直线与该二次函数图象交于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求二次函数的解析式及点 的坐标；
(2)点 是二次函数图象上的一个动点，当点 在直线 上方时，过点 作 轴于点 ，与直线
交于点 ，设点 的横坐标为 ．
① 为何值时线段 的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点 ，使得 与 相似．若存在，请求出点 坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，(2)①当 时， 有最大值为 ；②当P的坐标为 或 时， 与 相似
【分析】（1）把 ， ， 代入 求解即可，利用待定系数法求出直线
解析式，然后令 ，求出y，即可求出C的坐标；
（2）①根据P、D的坐标求出 ，然后根据二次函数的性质求解即可；
②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出 ，然后分 ，
两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可．
【详解】（1）解：把 ， ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴二次函数的解析式为 ，
设直线 解析式为 ，
则 ，
解得 ，
∴直线 解析式为 ，
当 时， ，
∴ ；
（2）解：①设 ，则 ，
∴，
∴当 时， 有最大值为 ；
②∵ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
又 轴，
∴ 轴，
∴ ，
当 时，如图，
∴ ，
∴ 轴，
∴P的纵坐标为3，
把 代入 ，得 ，
解得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴P的坐标为 ；
当 时，如图，过B作 于F，则 ， ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ， （舍去），
∴ ，
∴P的坐标为
综上，当P的坐标为 或 时， 与 相似．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似
三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论
是解题的关键．
12．（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数 的图象经过点 和点 ．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点 ， 都在该二次函数的图象上，试比较 和 的大小，并说明理由；
(3)点 在直线 上，点 在该二次函数图象上．问：在 轴上是否存在点 ，使得以 ， ， ，
为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)
(2) 时， ； 时， ； 时，
(3)存在， 或 或 或 或 或
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入 ，求出a和c的值，即可得出这个二次函数的表达式；
（2）根据题意得出 ， ，再用作差法得出
，进行分类讨论即可；
（3）求出直线 的函数解析式为 ，然后进行分类讨论：当 为正方形的边时；当 为正方对角
线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答．
【详解】（1）解：把 ，B(2,1)代入 得：
，
解得： ，
∴这个二次函数的表达式为 ；
（2）解：∵ ， 都在该二次函数的图象上，
∴ ， ，
∴ ，
当 时，即 时， ；
当 时，即 时， ；当 时，即 时， ；
（3）解：设直线 的函数解析式为 ，
把 ，B(2,1)代入得： ，
解得： ，
∴直线 的函数解析式为 ，
当 为正方形的边时，
①∵B(2,1)，
∴ ，
过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作 的垂线，垂足为点H，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，则 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴点N的纵坐标为 ，
即 ，
∵以 ， ， ， 为顶点的四边形是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 得： ，
解得： ， （舍去），
∴ ；
②如图：构造 ，
和①同理可得： ， ，
设 ，则 ，
∴ ， ， ，
把 代入 得： ，
解得： （舍去），
∴ ；③如图：构造 ，
和①同理可得： ， ，
设 ，则 ，
∴ ， ， ，
把 代入 得： ，
解得： （舍去），
∴ ；
④如图：构造 ，
和①同理可得： ， ，
设 ，则 ，
∴ ， ， ，
把 代入 得： ，解得： ， （舍去），
∴ ；
当 为正方形对角线时，
⑤如图：构造矩形 ，过点P作 于点K，
易得 ，
∴ ，
设 ，则 ，
和①同理可得： ，
∴ ，
∴四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ，则 ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ， ， ，
把 代入 得： ，
解得： （舍去），
∴ ；⑥如图：构造 ，
同理可得： ，
设 ，则 ，
∴ ， ， ，
把 代入 得： ，
解得： （舍去），
∴ ；
综上： 或 或 或 或 或
．【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关
键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答．
13．（2023·湖南·中考真题）我们约定：若关于x的二次函数 与 同时满
足 ，则称函数 与函数 互为“美美与共”函数．根据该约
定，解答下列问题：
(1)若关于x的二次函数 与 互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；
(2)对于任意非零实数r，s，点 与点 始终在关于x的函数 的图像上运
动，函数 与 互为“美美与共”函数．
①求函数 的图像的对称轴；
②函数 的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
(3)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数 与它的“美美与共”函数 的图像顶点
分别为点A，点B，函数 的图像与x轴交于不同两点C，D，函数 的图像与x轴交于不同两点E，F．
当 时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若
不请说明理由．
【答案】(1)k的值为 ，m的值为3，n的值为2；
(2)①函数y 的图像的对称轴为 ；②函数 的图像过两个定点 ， ，理由见解析；
2
(3)能构成正方形，此时 ．
【分析】（1）根据题意得到 即可解答；
（2）①求出 的对称轴，得到 ，表示出 的解析式即可求解；②，令 求解即可；
（3）由题意可知 ， 得到A、B的坐标，表示出 ，根据 且
，得到 ，分 和 两种情况求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知： ，
∴ ．
答：k的值为 ，m的值为3，n的值为2．
（2）解：①∵点 与点 始终在关于x的函数 的图像上运动，
∴对称轴为 ，
∴ ，
∴ ，
∴对称轴为 ．
答：函数 的图像的对称轴为 ．
② ，令 ，解得 ，
∴过定点 ， ．
答：函数y 的图像过定点 ， ．
2
（3）解：由题意可知 ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 且 ，∴ ；
①若 ，则 ，
要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，
则 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②若 ，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，
综上，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用、正方形的性质等知识点，解题的关键是利用分类讨论的思
想解决问题．
14．（2023·江苏·中考真题）如图，二次函数 的图像与x轴相交于点 ，其顶点是C．
(1) _______；
(2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD， ；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线
经过点D，过点 作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；
(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接
PC、QC、PQ．已知 是直角三角形，求点P的坐标．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) 或 ．
【分析】（1）把 代入 即可求解；
（2）过点D作DM⊥OA于点M，设 ，由 ，解得
，进而求得平移后得抛物线，
平移后得抛物线为 ，根据二次函数得性质即可得解；
（3）先设出平移后顶点为 ，根据原抛物线 ，求得原抛物线的顶点，对称轴为x=1，进而得 ，再根据勾股定理构造方程即可得解．
【详解】（1）解：把 代入 得，
，
解得 ，
故答案为 ；
（2）解：过点D作DM⊥OA于点M，
∵ ，
∴二次函数的解析式为
设 ，
∵D是第三象限抛物线上的一点，连接OD， ，
∴ ，
解得m= 或m=8（舍去），
当m= 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴设将原抛物线向左平移后的抛物线为 ，
把 代入 得 ，解得a=3或a= （舍去），
∴平移后得抛物线为
∵过点 作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，
在 的对称轴x= 的左侧，y随x的增大而减小，此时原抛物线也是y随x的增大而减小，
∴ ；
（3）解：由 ，设平移后的抛物线为 ，则顶点为 ，
∵顶点为 在 上，
∴ ，
∴平移后的抛物线为 ，顶点为 ，
∵原抛物线 ，
∴原抛物线的顶点 ，对称轴为x=1，
∵平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，
∴ ，
∵点Q、C在直线x=1上，平移后的抛物线顶点P在原抛物线顶点C的上方，两抛物线的交点Q在顶点P
的上方，
∴∠PCQ与∠CQP都是锐角，
∵ 是直角三角形，
∴∠CPQ=90°，
∴ ，
∴ 化简得，
∴p=1（舍去），或p=3或p= ，
当p=3时， ，
当p= 时， ，
∴点P坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，勾股定理，解直角三角形以及待定系数法求二次函数的解析
式，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．
15．（2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线 的图象经过点 ，与 轴交于点
A，点 ．
(1)求抛物线 的表达式；
(2)将抛物线 向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线 ，求抛物线 的表达式，并判断点
是否在抛物线 上；
(3)在 轴上方的抛物线 上，是否存在点 ，使 是等腰直角三角形．若存在，请求出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2) ，点 在抛物线 上
(3)存在，点 的坐标为： 或
【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合、二次函数图像的平移等知识点，
灵活利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来成为解题的关键．
（1）将点D的坐标代入抛物线表达式 ，求得a的值即可；
（2）由题意得： ，当x=1时，
，即可判断点 是否在抛物线 上；
（3）分 为直角、 为直角、 为直角三种情况，分别运用全等三角形的判定与性质，进
而确定点E的坐标，进而确定点P的坐标．
【详解】（1）解：将点 的坐标代入抛物线表达式 得： ，解得： ，
则抛物线的表达式为： ．
（2）解：由题意得： ，
当 时， ，
故点 在抛物线 上．
（3）解：存在，理由如下：
①当 为直角时，如图1，过点 作 且 ，则 为等腰直角三角形，， ，
，
，
，
∴ ， ，
∴点 ，
当 时， ，即点 在抛物线 上，
∴点 即为点 ；
②当 为直角时，如图2，
同理可得： ，
∴ ， ，
∴点 ，
当 时， ，
∴点 在抛物线 上，
∴点 即为点 ；
③当 为直角时，如图3，设点E(x,y)，
同理可得： ，
∴ 且 ，解得： 且 ，
∴点 ，
当 时， ，
即点 不在抛物线 上；
综上，点 的坐标为： 或 ．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点（ 在 的左侧），与
轴交于点 ，过 点的直线 与 轴交于点 ，与抛物线 的另一个交点为 ，已
知 ， ， 点为抛物线 上一动点（不与 、 重合）．(1)求抛物线和直线 的解析式；
(2)当点 在直线 上方的抛物线上时，连接 、 ，当 的面积最大时，求 点的坐标；
(3)设 为直线 上的点，探究是否存在点 ，使得以点 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)
(3)存在，点 的坐标为 或 或 或
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的图像与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的
面积，解答本题的关键是分类讨论思想的运用．
（1）分别将 ， 代入抛物线解析式与直线 的解析式，即可得解；
（2）过点 作 轴，交直线 于点 ，设点 ，则点 ，得到 ，
，结合 ，当t＝2时， 取最大值，求得 ；
（3）分两种情况：当 是平行四边形的一条边时，当 是平行四边形的对角线时，分别解答即可得解．
【详解】（1）解：将 ， 代入直线 得：
，
解得： ，故直线 的解析式为： ；
将 ， 代入抛物线解析式得：
，
解得： ，
抛物线的表达式为： ；
（2）如图，过点 作 轴，交直线 于点 ，
由题意设点 ，则点 ，
，
，
，
当 时， 取最大值 ，
此时 ；
（3）在抛物线： 中，令 ，则 ；在直线 ： 中，令 ，则 ；
， ，，
①当 是平行四边形的一条边时，设 ，则点 ，
由题意得： ，即： ，
解得： 或 或 （舍去 ，此时 和 重合），
则点 坐标为 或 或 ；
②当 是平行四边形的对角线时，则 的中点坐标为 ，
设点 ，则点 ，
以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形，
的中点即为 中点，
， ，
解得： 或 （舍去 ，此时 和 重合），
故点 ，
综上，点 的坐标为 或 或 或 ．2．（2024·湖南·模拟预测）如图，二次函数 图象顶点坐标为 ，一次函数
图象与二次函数图象相交于y轴上一点 ，同时相交于x正半轴上点C．
(1)试求二次函数 与一次函数 的表达式．
(2)连接 ，试求四边形 的面积．
(3)假设点P 是二次函数 对称轴上一动点，点Q 是平面直角坐标系中任意一点，是否存在
这样的点P 及点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或 或 或 或
【分析】（1）先设顶点式 ，再把 代入计算，即可得出 ，再求出
，结合 ，运用待定系数法解一次函数解析式，即可作答．
（2）先作图，过点A作平行于x轴的直线交y轴于一点 ，再过点C作平行于y轴的直线交 于一点
M，再运用割补法进行列式四边形 的面积 ，然后代入数值进行计算，即可
作答．
（3）结合菱形的判定（运用对角线互相平分，得出是平行四边形，再结合一组邻边相等的平行四边形），要进行分类讨论，过程紧扣中点公式列式计算，即可作答．
本题考查了菱形的判定与性质，二次函数的图象性质，待定系数法求出函数解析式，割补法求面积，正确
掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：∵顶点坐标为 ，
∴设二次函数为 ，
再把 代入 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 ，
∴ ，
结合图象，得出 ，
把 ， 分别代入 ，
得 ，
∴ ，
则 ；
（2）解：依题意，过点A作平行于x轴的直线交y轴于一点 ，再过点C作平行于y轴的直线交 于一
点M，∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴
结合图象，
四边形 的面积
；
（3）解： 或 或 或 或
过程如下：
依题意，设 ，
当 为对角线时，
∵ ， ，且以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，
则菱形四边相等，即 ，
∴ ，
解得 ，则该菱形的对角线的中点为 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
当 为边时，
∵ ， ，且以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，
则菱形四边相等，即 ，
∴ ，
解得 ，
则当 时， ，
∴此时该菱形的对角线的中点为 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
则当 时， ，
∴此时该菱形的对角线的中点为 ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ，
当 为边时，
∵ ， ，且以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，
则菱形四边相等，即 ，
∴ ，
解得 ，
则当 时， ，
∴此时该菱形的对角线的中点为 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
则当 时， ，
∴此时该菱形的对角线的中点为 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
综上： 或 或 或 或 ．
3．（2024·云南怒江·一模）已知抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴
交于点C．(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)点D是直线 上方抛物线上的点，连接 、 ，求 的最大值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得 是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1) ， ，
(2)最大值为
(3)存在， 或 或 或 或
【分析】（1）分别令 、 计算即可得解；
（2）求出直线 的解析式为： ，过点 作 轴，交 于点 ，设点 的坐标为
，则 ，求出 ，再由 并结合二次函数的性
质即可得解；
（3）设 ，则 ， ， ，再分三种情况：当 时，
当 时，当 时，分别求解即可．
【详解】（1）解：令 ，
解得： ， ，
点 在点 左侧，， ，
当 时， ，
；
（2）解：设直线 的解析式为 ，
， ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
过点 作 轴，交 于点 ，
设点 的坐标为 ，则 ，
，
，
当 时， 的面积最大，最大值为 ；（3）解： 点 在抛物线对称轴上，且对称轴为： ，
设 ，则 ， ， ，
是等腰三角形，需分3种情况讨论：
①当 时， ，解得： ，
此时点 的坐标为 或 ；
②当 时， ，解得： ，
此时点 的坐标为 或 ；
③当 时， ，解得： ，
此时点 的坐标为 ．
综上所述，满足条件的点 有5个，分别为 或 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—特殊三角形、
勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
4．（2024·海南海口·一模）已知在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 、
、 三点，点D和点C关于抛物线对称轴对称，抛物线顶点为点G．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接 、 ，求 的面积；(3)在对称轴右侧的抛物线上有一点M，平面内是否存在一点N，使得C、G、M、N为顶点的四边形是菱形？
若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
(4)连接 、 ，将抛物线向下平移后，点D落在平面内一点E处，过B、E两点的直线与线段 交于
点 ，当 与 相似时，直接写出平移后抛物线的解析式．
【答案】(1)
(2)3
(3)存在， 或
(4) 或
【分析】（1）改设抛物线的解析式为交点式，代入点 坐标，求得 ，进一步得出结果；
（2）可推出 是直角三角形，进一步得出结果；
（3）只需 是等腰三角形，分为当 时，点 是点 关于抛物线的对称轴的对称点；当
时，此时 在 的垂直平分 线上，可求得 的解析式，进一步得出结果；
（4）分为当点 在 轴的上方和在 轴上两种情形：当点 在 轴上方时，作 于 ，作
于 ，根据 得出 ，可求得 的长，进而得出 的长，可求得 是
等腰直角三角形，进而求得 和 ，进而得出直线 的解析式，进一步得出结果；当点 在 轴上时，
进一步得出结果．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为： ，
，
，
；
（2）解： ，
，
， ，
，，
，
；
（3）解：当四边形 是菱形时，此时 ，
由对称性可得，
，
，
如图1，
当四边形 是菱形， ，
作 ，
，
， ，
的中点坐标为： ，
由（1）知： ，
，
， ，
的解析式为： ，
，
的解析式为： ，
由 得，
， （舍去），，
，
，
综上所述：N点的坐标为 或 ；
（4）解：如图2，
当点 在 轴上方时，
作 于 ，作 于 ，
，
，
，
， ， ，
， ， ，
， ，
， ，
，，
，
，
，
直线 的解析式为： ，
当 时， ，
，
平移后的抛物线的解析式为： ，
当点 在 轴时，点 和点 重合，
此时 与 全等，
抛物线的解析式为： ，
综上所述：当 与 相似时，平移后抛物线的解析式为： 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，菱形的
判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．
5．（2024·湖北·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知直线 与y轴交于点A，与x轴交于
点B，点C在线段 上，点C不与点B重合，以点C为顶点的抛物线 经过点B，与x
轴的另一个交点为 ．(1)直接写出点A，B的坐标；
(2)当 时，求抛物线M的解析式；
(3)当 时，求a的取值范围；
(4)平移抛物线M至Q，点B，C的对应点分别是 ， ，当 在y轴上， 轴，且以B，C， ，
为顶点的四边形是矩形时，求抛物线Q的解析式．
【答案】(1)
(2)抛物线M的解析式为
(3)
(4)抛物线Q的解析式为
【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题、待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、解不等式、
矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，
熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
（1）分别令 ， 可求解点A、B坐标；
（2）可得 ，先求得 ，再利用待定系数法求解即可；
（3）设 ，则抛物线M可设为 ，将点B坐标代入可得
，求得 ，由对称轴可得 ，由 得 ，进而可求解；（4）过点C作 轴于E，当 在y轴上， 轴，根据矩形的性质得 ，
， ，证明 得到 ，结合矩形的性质得到 ，进而
求得 ，证明 ，
求得 ，则 ， ，设抛物线Q的解析式为 ，利用待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：在 中，令 ，则 ，令 由 得 ，
∴A(0,3)，B(4,0)；
（2）解：当 时，
抛物线M的对称轴为直线 ，
点C的横坐标为1，
在线段 上，
∴当 时， ，
∴ ，
由 得
解得 ，
抛物线M的解析式为 ；（3）解：设 ，
则抛物线M可设为 ，又过B(4,0)，
∴ ，
整理得： ，
点C不与点B重合，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ①；
点C在线段 上，点C不与点B重合，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ②，由①②得： ；
（4）解：如图，过点C作 轴于E，当 在y轴上， 轴，且以B、C、 、 为顶点的四边
形是矩形时，
则 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵K是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设抛物线Q的解析式为 ，把 代入得， ，
解得： ，
抛物线Q的解析式为： ．
6．（2023·四川达州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 经过点 ，
与 轴交于点 ．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点 为直线 下方抛物线上的任意一点，连接 ， ，求 面积的最大值；(3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线 ，平移后的抛物线与原抛物线相
交于点 ，
①求点 的坐标；
②已知点 为原抛物线对称轴上的一点，是否存在点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形，
若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)① ；②存在， 或 或 或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线 的解析式为 ，过点 作 轴交 于 ，设 ，
则 ，求出 ，再根据 并结合二次函数的性质求解即可；
（3）①由平移的性质得出平移后的抛物线的解析式为 ，联立得出 ，求解即可；
②设 ， ，再分三种情况：当 为边，点 在点 的上方时；当 为边，点 在点 的上
下方时；当 为对角线时；分别利用菱形的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ，与 轴交于点 ，
∴ ，
解得： ，
∴该抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：设直线 的解析式为 ，将 ， 代入解析式可得 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
如图，过点 作 轴交 于 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 最大，为 ；
（3）解：①∵ ，
∴将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线为 ，
令 ，
解得 ，
∴ ；②存在；
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴设 ， ，
∵以点 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形，
∴当 为边，点 在点 的上方时，
，
解得： ，
此时 ；
当 为边，点 在点 的上下方时，
，
解得： 或 ，
此时 或 ；
当 为对角线时，
，
解得： ，
此时 ；综上所述，点 的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、二次函数的平移、二次函数综合
—面积问题、二次函数综合—特殊的四边形问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想
是解此题的关键．
7．（2023·湖南娄底·模拟预测）如图，已知抛物线： 与 轴交于 ， 两点（ 在 的左
侧），与 轴交于点 ．
(1)直接写出点 ， ， 的坐标；
(2)将抛物线 经过向右与向下平移，使得到的抛物线 与 轴交于 ， 两点（ 在 的右侧），顶点
的对应点为点 ，若 ，求点 的坐标及抛物线 的解析式；
(3)在（2）的条件下，若点 在 轴上，则在抛物线 或 上是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点
的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点 的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ， ；
(2) ， ；
(3)满足条件的点 的坐标为 或 ， 或 ， 或 或
【分析】（1）令 或 ，解方程可得结论；
（2）设平移后的抛物线的解析式为 ，如图1中，过点 作 于 ，连接 ，
．构建方程组解决问题即可；（3）观察图象可知，当点 的纵坐标为3或 时，存在满足条件的平行四边形．分别令 和 等于3或
，解方程即可解决问题．
【详解】（1）解：对于 ，令 ，得到 ，解得 或1，
， ，
令 ，得到 ，
；
（2）解：设平移后的抛物线的解析式为 ，
如图1中，过点 作 于 ，连接 ．
是抛物线的顶点，
， ，
， ，
，
，
，
又 ，经过 ，
，
解得 或1（不合题意舍弃）， ，
， ；
（3）解：如图2中，观察图象可知，当点 的纵坐标为3或 时，存在满足条件的平行四边形．
对于 ，令 ， ，
解得 或 ，可得 ，
令 ，则 ，
解得 ，可得 ， ， ， ，
对于 ，令 ，方程无解，
令 ，则 ，
解得 或4，可得 ， ，
综上所述，满足条件的点 的坐标为 或 ， 或 ， 或 或 ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的平移，平行四边形的判定和性质，
等腰直角三角形的性质，解一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，学会
用分类讨论的思想思考问题．
8．（2023·广西桂林·模拟预测）已知直线 分别与 、 轴交于 、 两点，抛物线
经过点 、 ，其对称轴为直线 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点P，使 最小，求出此时点P的坐标；
(3)点 是抛物线上的一点，过点 作对称轴 的垂线，垂足为 ，点 是直线 上异于点 的一点．若以
点 、 、 顶点的三角形与 全等，求符合条件的点 、 的坐标）．
【答案】(1)
(2)
(3)点 坐标分别为 或 ，点 的坐标为 或 ．
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、点的对称性等，其中（3），要注意分类
求解，避免遗漏．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）点 关于抛物线对称轴的对称点是 ，则直线 与抛物线对称轴的交点就是点 ，即可求解；
（3）将 先向右平移一个单位，再向下平移适当单位长度，就使点 对应的点落在抛物线上，根据抛
物线知点 的横坐标为4或 ，进而求解．
【详解】（1）解：当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
又函数 过点 、 ，
则 ，解得： ，
抛物线的解析式为 ；（2）解： 点 关于抛物线对称轴的对称点是 ，
直线 与抛物线对称轴的交点就是点 ，
抛物线 的对称轴是 ，
把 代入 得， ，即点 ；
（3）解： 即 ，
又抛物线 的对称轴为 ，
将 先向右平移一个单位，再向下平移适当单位长度，就使点 对应的点落在抛物线上，根据抛物
线知点 的横坐标为4或 ．
在 中，当 时， ；当 时，
点 坐标分别为 或 ，
又点 的纵坐标为 ．则 的纵坐标为 或 ，
对称轴上的点 的坐标为 或 ， ，
综上所述：点 坐标分别为 或 ，点 的坐标为 或 ．
9．（2023·山东德州·一模）已知二次函数 与 轴只有一个交点，且系数 、 满足条件
．(1)求 解析式；
(2)将 向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到函数 ，该函数交 轴于点
，交 轴于 、 （点 在点 的右侧），点 是该抛物线上一动点，从点 沿抛物线向点 运动（点
与 不重合），过点 作 轴，交 于点 ，当 是直角三角形时，求点 的坐标；
(3)在问题（ ）的结论下，若点 在 轴上，点 在抛物线上，问是否存在以 、 、 、 为顶点的平
行四边形？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 点坐标为 ， ；
(3)点 的坐标为 ， ．
【分析】（ ）先根据非负数的性质求出 ， ，再由二次函数 与 轴只有一个交点，
得出一元二次方程 有两个相等的实数根，则判别式 ，从而求出 的值；
（ ）先根据“上加下减，左加右减”的平移规律求出 ，再分情况讨论 是直角三角形
时，可能点 为直角顶点，也可能点 为直角顶点， 当点 为直角顶点时，点 与点 重合，将 代
入抛物线的解析式，可求出点 的坐标； 当点 为直角顶点时，根据等腰三角形的性质得出 、 关
于 轴对称，再由 在抛物线上， 在直线 上可求出点 的坐标；
（ ）由题（ ）知，当点P的坐标为 时，由于三点 都在抛物线上，所以不能构成平行四
边形；当点 的坐标为抛物线的顶点 时，平移直线 交 轴于点 ，交抛物线于点 ，当 时，
四边形 是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分可知对角线AE的中点与 的中点重合，
由 可设 ，再根据点 在抛物线上列出关于 的方程，解方程即可．
【详解】（1）∵ ，∴ ， ，
∴ ， ，
∵ 与 轴只有一个交点，
∴ ，解得 ，
∴所求抛物线的解析式为 ；
（2）∵ ，
∴向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到函数 即 ，
当 是直角三角形时，分两种情况：
如图，
如果点 为直角顶点时，点 与点 重合，则令 ，得 ，
解得 ， ，
∵点 在点 的右侧，
∴ ， ， ，
如果点 为直角顶点时， ，
∵ ， ， 轴， ，
∴ ， 关于 轴对称，
设直线 的函数关系式为 将 ， 代入得：，
解得 ，
∴直线 的函数关系式为 ，
∵ 在 上， 在 上，
∴设 ， ，
∴ ，
解得 ， （不合题意，舍去），
∴当 时， ， 的坐标为 （即为抛物线顶点），
∴ 点坐标为 ， ；
（3）在问题（ ）的结论下，若点 在 轴上，点 在抛物线上，存在以 为顶点的平行四边
形，此时点 的坐标为 ， ，理由如下：
如图，
当点 的坐标为 时，因为点 三个点在一条直线上，所
以不能构成平行四边形；
当点 的坐标为 时，平移直线 交 轴于点 ，交抛物线于点 ，只能 为对角线，否则点 在过点 的横线上，无法构成平行四边形 ，
此时 时，
∴ 与 互相平分，对角线 的中点与 的中点重合，
∵ ，可知 点的纵坐标的为1，可设 ，
∴
解得 ， ，
∴点 的坐标为 ， ．
【点睛】本题考查了二次函数的相关知识，待定系数法求函数的解析式，解析式的平移规律，直角三角形、
等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质以及存在性问题，解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用
是解题的关键．
10．（2024·陕西渭南·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像与x轴交于A、
B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H．
(1)求点A、P的坐标；
(2)连接 ，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作 轴于点E，点F是x轴上一点，是
否存在以点D、E、F为顶点的三角形与 全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)存在，当点D的坐标为 或 时，存在以点D、E、F为顶点的三角形与 全等
【分析】（1）令 代入解析式求出A，将函数化成顶点式求解即可得到P，即可得到答案；
（2）本题考查二次函数综合运用题，先根据题意求出H点坐标，从而求出 ， ，设点
，根据 得到 ，从而得到 ，最后根据三角形全等分类讨论
列式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：∵二次函数 的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），
令 ，即 ，解得 ， ，
∴A(−2,0)，B(4,0)，
∵ ，
∴ ；
（2）解：存在，理由如下，
∵点H在二次函数 的对称轴上且交于x轴，
∴ ，
∵A(−2,0)，
∴ ， ，
设点 ，
∵DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点，
∴ ，
∴ ，
∵以点D，E，F为顶点的三角形与 全等，
∴当 时， ，∴ ，解得 ， （舍），
∴ ；
当 时， ，
∴ ，解得 ， （舍），
∴ ，
综上所述，当点D的坐标为 或 时，存在以点D、E、F为顶点的三角形与
全等.
11．（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于 ，
两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图①，若点P是线段 上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点
Q，当线段 的长度最大时，求点Q的坐标；
(3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且 ．在y轴上是否存在
点E，使得 为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)
(3)存在，点 或 或 或 或
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由 ，即可求解；
（3）先求出点 ，再分类求解即可．
【详解】（1）解：由题意得： ，
则 ，
则抛物线的表达式为： ；
（2）解：由抛物线的表达式知，点 ，
由点B、C的坐标得，直线 的表达式为： ，
设点 ，则点 ，
则 ，
∵ ，故 有最大值，
此时 ，则 ，
即点 ；
（3）解：存在，理由：
设直线 的表达式为 ，
由点 的坐标得， ，解得： ，
∴直线 的表达式为： ，令 ， ，故 ，
过点 作 轴交 轴于点 ，则 ，
，
则 ，
即直线 和 关于直线 对称，故 ，
设直线 的表达式为 ，
代入 ， ，得 ，
解得： ，
则直线 的表达式为： ，
联立上式和抛物线的表达式得： ，
解得： (舍去)或5，
即点 ；
设点 ，由 的坐标得， ，
当 时，则 ，解得： ，即点 或 ；
当 或 时，
同理可得： 或 ，
解得： 或 ，
即点 或 或 ；
综上，点 或 或 或 或 ．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的
思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
12．（2024·内蒙古包头·模拟预测）抛物线 交 轴于 、 两点，交 轴于点 ，
点 为线段 下方抛物线上一动点，连接 ， ．
(1)求抛物线解析式；
(2)在点 移动过程中， 的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积及点 的坐标，若不存在，
请说明理由；
(3)设点 为 上不与端点重合的一动点，过点 作线段 的垂线，交抛物线于点 ，若 与
相似，请直接写出点 的坐标．
【答案】(1)
(2)存在，最大面积为 ，点 的坐标为(3)点 的坐标为 或 或
【分析】（1）根据待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）过点 作 轴，交 于 ，先求出抛物线与 轴的交点 的坐标是(0,2),待定系数法求出直线
的解析式，设点 的横坐标为 ，得出点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
根据三角形的面积公式和二次函数的最值即可求解；
（3）当 时， ，过点 作 ，交 于点 ，过点 作 ，
根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出 的值，根据锐角三角函数求的 ，
， ，得出点 的坐标，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全
等三角形的对应边相等得出 ，根据中点坐标的特征求出点 的坐标，待定系数法求出直线
的解析式，联立方程解求出直线 与抛物线的交点坐标；当 时， ，过点
作 ，根据抛物线的对称性求出点 的坐标为 ；当 时， ，作
轴于点N，作 于点 ，作 交 延长线于点 ，设 ，则 ，
根据相似三角形判定与性质表示出 ，代入抛物线表达式求出即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 交 轴于 、 两点，
故将 、 代入 ，得： ，
解得： ，∴抛物线解析式为： ．
（2）解：存在，
理由如下：过点 作 轴，交 于 ，如图：
当 时， ，即抛物线与 轴的交点 的坐标是(0,2),
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入，得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设点 的横坐标为 ，
则点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
故 ，
∴ 的面积为 ，
∴当 时， 的面积存在最大值，最大值为 ，
此时点 的坐标为 ．（3）解：点 的坐标为 或 或 ．
理由如下：如图，当 时，此时 ，过点 作 ，交 于点 ，过点
作 ；
∵ ， ，
∴ ， ，
故 ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
设点 的坐标为 ，
则 ， ，
∴ ， ，∴点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入，得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
将 与 联立方程可得： ，
解得： （舍）， ，
∴点 的坐标为 ；
如图，过点 作 ，则 ，此时 ，
∵抛物线 交 轴于 、 两点，
∴抛物线 的对称轴为 ，
∵ ，
故点 与点 关于抛物线 的对称轴 对称，∵点 的坐标为(0,2)，
∴点 的坐标为 ；
如图，作 的垂线 ，交抛物线于点 ，且满足 ，此时 ，
∵点 的坐标为(0,2)，点 的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入，得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
作 轴于点N，作 于点 ，作 交 延长线于点 ，
则 ，
，
，
，
，设 ，则 ，
，
，
，
将 代入抛物线表达式可得： ，
解得： （不合题意，舍去），
∴点 的坐标为 ；
综上可得，点 的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，求抛物线与坐标轴的交点坐标，求二次函数的最值，
待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，求一次函数与二
次函数图象的交点坐标等，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
