文档内容
2019年吉林省长春市中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）如图，数轴上表示﹣2的点A到原点的距离是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
2．（3分）2019年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人
次，275000000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．27.5×107 B．0.275×109 C．2.75×108 D．2.75×109
3．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）不等式﹣x+2≥0的解集为（ ）
A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x≥2 D．x≤2
5．（3分）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人
出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九
钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买
鸡的钱数为y，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹
角为α，则梯子顶端到地面的距离C为（ ）
1A．3sinα米 B．3cosα米 C． 米 D． 米
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝
2∠B，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）．
∠ACB＝90°，AC＝2BC，则函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（ ）
A． B．9 C． D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
9．（3分）计算：3 ﹣ ＝ ．
10．（3分）分解因式：ab+2b＝ ．
11．（3分）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的判别式的值是 ．
12．（3分）如图，直线MN∥PQ，点A、B分别在MN、PQ上，∠MAB＝33°．过线段AB上的点C作
2CD⊥AB交PQ于点D，则∠CDB的大小为 度．
13．（3分）如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6．先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在
边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF
的周长为 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+ （a＞0）与y轴交于点A，过点
A作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为
线段AB的中点，则a的值为 ．
三、解答题（共10小题，满分78分）
15．（6分）先化简，再求值：（2a+1）2﹣4a（a﹣1），其中a＝ ．
16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”、
“家”“乐”，除汉字外其余均相同．小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后
放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，用画树状图（或列表的）方法，求小
新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率．
17．（6分）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天
加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工
这种彩灯的数量．
318．（7分）如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O
于点F，连结BF并延长交CD于点G．
（1）求证：△ABE≌△BCG；
（2）若∠AEB＝55°，OA＝3，求 的长．（结果保留π）
19．（7分）网上学习越来越受到学生的喜爱．某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情
况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习的调查．数据如下（单位：时）
3 2.5 0.6 1.5 1 2 2 3.3 2.5 1.8
2.5 2.2 3.5 4 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4
整理上面的数据，得到表格如下：
网上学习时间x（时） 0＜x≤1 1＜x≤2 2＜x≤3 3＜x≤4
人数 2 5 8 5
样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
统计量 平均数 中位数 众数
数值 2.4 m n
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上表中的中位数m的值为 ，众数n的值为 ．
（2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时
间．
（3）已知该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数．
20．（7分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方
形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，
在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图①中以线段AB为边画一个△ABM，使其面积为6．
（2）在图②中以线段CD为边画一个△CDN，使其面积为6．
（3）在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且∠EFG＝90°．
421．（8分）已知A、B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千
米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分
别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函
数关系如图所示．
（1）乙车的速度为 千米/时，a＝ ，b＝ ．
（2）求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式．
（3）当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．
22．（9分）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．
例2 如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证： ＝ ＝
证明：连结ED．
请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
结论应用：在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F．
▱
（1）如图②，若 ABCD为正方形，且AB＝6，则OF的长为 ．
▱
（2）如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为 ，则 ABCD的面积为 ．
▱
523．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．点P从点A出发，沿AC向终点
C运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到
达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作PN⊥AB于点N，连结
PQ，以PN、PQ为邻边作 PQMN．设 PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时
▱ ▱
间为t秒．
（1）①AB的长为 ；
②PN的长用含t的代数式表示为 ．
（2）当 PQMN为矩形时，求t的值；
▱
（3）当 PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式；
▱
（4）当过点P且平行于BC的直线经过 PQMN一边中点时，直接写出t的值．
▱
24．（12分）已知函数y＝ （n为常数）
（1）当n＝5，
①点P（4，b）在此函数图象上，求b的值；
②求此函数的最大值．
6（2）已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只
有一个交点时，直接写出n的取值范围．
（3）当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围．
72019年吉林省长春市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．【解答】解：数轴上表示﹣2的点A到原点的距离是2，
故选：B．
2．【解答】解：将275000000用科学记数法表示为：2.75×108．
故选：C．
3．【解答】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层最右边有一个正方形．
故选：A．
4．【解答】解：移项得：﹣x≥﹣2
系数化为1得：x≤2．
故选：D．
5．【解答】解：设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为：
．
故选：D．
6．【解答】解：由题意可得：sinα＝ ＝ ，
故BC＝3sinα（m）．
故选：A．
7．【解答】解：∵∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD，
∴∠B＝∠BCD，
∴DB＝DC，
∴点D是线段BC中垂线与AB的交点，
故选：B．
8．【解答】解：过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0），
∴OA＝OC＝3，
在Rt△AOC中，AC＝ ，
又∵AC＝2BC，
8∴BC＝ ，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°＝∠BCD＝∠CBD，
∴CD＝BD＝ ＝ ，
∴OD＝3+ ＝
∴B（ ， ）代入y＝ 得：k＝ ，
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
9．【解答】解：原式＝2 ．
故答案为：2 ．
10．【解答】解：ab+2b＝b（a+2）．
故答案为：b（a+2）．
11．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5，
故答案为：5．
12．【解答】解：∵直线MN∥PQ，
∴∠MAB＝∠ABD＝33°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD＝90°，
∴∠CDB＝90°﹣33°＝57°．
故答案为：57．
13．【解答】解：由折叠的性质可知，∠DAF＝∠BAF＝45°，
∴AE＝AD＝6，
∴EB＝AB﹣AE＝2，
由题意得，四边形EFCB为矩形，
9∴FC＝ED＝2，
∵AB∥FC，
∴∠GFC＝∠A＝45°，
∴GC＝FC＝2，
由勾股定理得，GF＝ ＝2 ，
则△GCF的周长＝GC+FC+GF＝4+2 ，
故答案为：4+2 ．
14．【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+ （a＞0）与y轴交于点A，
∴A（0， ），抛物线的对称轴为x＝1
∴顶点P坐标为（1， ﹣a），点M坐标为（2， ）
∵点M为线段AB的中点，
∴点B坐标为（4， ）
设直线OP解析式为y＝kx（k为常数，且k≠0）
将点P（1， ）代入得 ＝k
∴y＝（ ）x
将点B（4， ）代入得 ＝（ ）×4
解得a＝2
故答案为：2．
三、解答题（共10小题，满分78分）
15．【解答】解：原式＝4a2+4a+1﹣4a2+4a
＝8a+1，
当a＝ 时，原式＝8a+1＝2．
16．【解答】解：画树状图如图：
共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，
∴小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率为 ．
1017．【解答】解：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套，则实际每天加工彩灯的数
量为1.2x套，
由题意得： ﹣ ＝5，
解得：x＝300，
经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意；
答：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为300套．
18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AB为⊙O的直径，
∴∠ABE＝∠BCG＝∠AFB＝90°，
∴∠BAF+∠ABF＝90°，∠ABF+∠EBF＝90°，
∴∠EBF＝∠BAF，
在△ABE与△BCG中， ，
∴△ABE≌△BCG（ASA）；
（2）解：连接OF，
∵∠ABE＝∠AFB＝90°，∠AEB＝55°，
∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，
∴∠BOF＝2∠BAE＝70°，
∵OA＝3，
∴ 的长＝ ＝ ．
19．【解答】解：（1）从小到大排列为：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5，2.5，2.5，
2.5，2.8，3，3.1，3.3，3.3，3.5，4，
∴中位数m的值为 ＝2.5，众数n为2.5；
11故答案为：2.5，2.5；
（2）2.4×18＝43.2（小时），
答：估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间为43.2小时．
（3）200× ＝130（人），
答：该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数为130人．
20．【解答】解：（1）如图①所示，△ABM即为所求；
（2）如图②所示，△CDN即为所求；
（3）如图③所示，四边形EFGH即为所求；
21．【解答】解：（1）乙车的速度为：（270﹣60×2）÷2＝75千米/时，
a＝270÷75＝3.6，b＝270÷60＝4.5．
故答案为：75；3.6；4.5；
（2）60×3.6＝216（千米），
当2＜x≤3.6时，设y＝kx+b，根据题意得：
1 1
，解得 ，
∴y＝135x﹣270（2＜x≤3.6）；
当3.6＜x≤4.6时，设y＝60x，
∴ ；
（3）甲车到达距B地70千米处时行驶的时间为：（270﹣70）÷60＝ （小时），
此时甲、乙两车之间的路程为：135× ﹣270＝180（千米）．
答：当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为180千米．
1222．【解答】教材呈现：
证明：如图①，连结ED．
∵在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，
∴DE∥AC，DE＝ AC，
∴△DEG∽△ACG，
∴ ＝ ＝ ＝2，
∴ ＝ ＝3，
∴ ＝ ＝ ；
结论应用：
（1）解：如图②．
∵四边形ABCD为正方形，E为边BC的中点，对角线AC、BD交于点O，
∴AD∥BC，BE＝ BC＝ AD，BO＝ BD，
∴△BEF∽△DAF，
∴ ＝ ＝ ，
∴BF＝ DF，
∴BF＝ BD，
∵BO＝ BD，
∴OF＝OB﹣BF＝ BD﹣ BD＝ BD，
∵正方形ABCD中，AB＝6，
∴BD＝6 ，
∴OF＝ ．
故答案为 ；
（2）解：如图③，连接OE．
13由（1）知，BF＝ BD，OF＝ BD，
∴ ＝2．
∵△BEF与△OEF的高相同，
∴△BEF与△OEF的面积比＝ ＝2，
同理，△CEG与△OEG的面积比＝2，
∴△CEG的面积+△BEF的面积＝2（△OEG的面积+△OEF的面积）＝2× ＝1，
∴△BOC的面积＝ ，
∴ ABCD的面积＝4× ＝6．
▱
故答案为6．
23．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．
∴AB＝ ＝ ＝25．
∴ ，
由题可知AP＝5t，
∴PN＝AP•sin∠CAB＝ ＝3t．
故答案为：①25；②3t．
（2）当 PQMN为矩形时，∠NPQ＝90°，
▱
∵PN⊥AB，
∴PQ∥AB，
∴ ，
14由题意可知AP＝CQ＝5t，CP＝20﹣5t，
∴ ，
解得t＝ ，
即当 PQMN为矩形时t＝ ．
▱
（3）当 PQMN△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况，
▱
Ⅰ．如解图（3）1所示． PQMN在三角形内部时．延长QM交AB于G点，
▱
由（1）题可知：cosA＝sinB＝ ，cosB＝ ，AP＝5t，BQ＝15﹣5t，PN＝QM＝3t．
∴AN＝AP•cosA＝4t，BG＝BQ•cosB＝9﹣3t，QG＝BQ•sinB＝12﹣4t，
∵． PQMN在三角形内部时．有0＜QM≤QG，
▱
∴0＜3t≤12﹣4t，
∴0＜t ．
∴NG＝25﹣4t﹣（9﹣3t）＝16﹣t．
∴当0＜t 时， PQMN与△ABC重叠部分图形为 PQMN，S与t之间的函数关系式为S
▱ ▱
＝PN•NG＝3t•（16﹣t）＝﹣3t2+48t．
Ⅱ．如解图（3）2所示．当0＜QG＜QM， PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQMG时，
▱
即：0＜12﹣4t＜3t，解得： ，
PQMN 与 △ ABC 重 叠 部 分 图 形 为 梯 形 PQMG 的 面 积 S＝ ＝
▱
＝ ．
综上所述：当0＜t 时，S＝﹣3t2+48t．当 ，S＝ ．
（4）当过点P且平行于BC的直线经过 PQMN一边中点时，有两种情况，
▱
Ⅰ．如解题图（4）1，PR∥BC，PR与AB交于K点，R为MN中点，过R点作RH⊥AB，
∴∠PKN＝∠HKR＝∠B，
15NK＝PN•cot∠PKN＝3t ＝ ，
∵NR＝MR，HR∥PN∥QM，
∴NH＝GH＝ ，HR＝ ，
∴GM＝QM﹣QG＝3t﹣（12﹣4t ）＝7t﹣12．HR＝ ．
∴KH＝HR•cot∠HKR＝ ＝ ，
∵NK+KH＝NH，
∴ ，
解得：t＝ ，
Ⅱ．如解题图（4）2，PR∥BC，PR与AB交于K点，R为MQ中点，过Q点作QH⊥PR，
∴∠HPN＝∠A＝∠QRH，四边形PCQH为矩形，
∴HQ＝QR•sin∠QRH＝
∵PC＝20﹣5t，
∴20﹣5t＝ ，解得t＝ ．
综上所述：当t＝ 或 时，点P且平行于BC的直线经过 PQMN一边中点时，
▱
1624．【解答】解：（1）当n＝5时，
y＝ ，
①将P（4，b）代入y＝﹣ x2+ x+ ，
∴b＝ ；
②当x≥5时，当x＝5时有最大值为5；
当x＜5时，当x＝ 时有最大值为 ；
∴函数的最大值为 ；
（2）将点（4，2）代入y＝﹣x2+nx+n中，
17∴n＝ ，
∴ ＜n≤4时，图象与线段AB只有一个交点；
将点（2，2）代入y＝﹣x2+nx+n中，
∴n＝2，
将点（2，2）代入y＝﹣ x2+ x+ 中，
∴n＝ ，
∴2≤n＜ 时图象与线段AB只有一个交点；
综上所述： ＜n≤4，2≤n＜ 时，图象与线段AB只有一个交点；
（3）当x＝n时，y＝﹣ n2+ n2+ ＝ ，
＞4，∴n＞8；
当x＝ 时，y＝ + ，
+ ≤4，∴n≥ ，
当x＝n时，y＝﹣n2+n2+n＝n，
n＜4；
∴函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时，n＞8或n≤ ＜4．
1819
