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2019年安徽省中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其
中只有一个是正确的．
1．（4分）在﹣2，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
2．（4分）计算a3•（﹣a）的结果是（ ）
A．a2 B．﹣a2 C．a4 D．﹣a4
3．（4分）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）2019年“五一”假日期间，我省银联网络交易总金额接近161亿元，其中161亿用
科学记数法表示为（ ）
A．1.61×109 B．1.61×1010 C．1.61×1011 D．1.61×1012
5．（4分）已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y＝ 的图象上，则实数k的
值为（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
6．（4分）在某时段由50辆车通过一个雷达测速点，工作人员将测得的车速绘制成如图所示
的条形统计图，则这50辆车的车速的众数（单位：km/h）为（ ）
1A．60 B．50 C．40 D．15
7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD
上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为（ ）
A．3.6 B．4 C．4.8 D．5
8．（4分）据国家统计局数据，2018年全年国内生产总值为90.3万亿，比2017年增长6.6%．
假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份是（
）
A．2019年 B．2020年 C．2021年 D．2022年
9．（4分）已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（ ）
A．b＞0，b2﹣ac≤0 B．b＜0，b2﹣ac≤0
C．b＞0，b2﹣ac≥0 D．b＜0，b2﹣ac≥0
10．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的
边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（ ）
2A．0 B．4 C．6 D．8
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）计算 ÷ 的结果是 ．
12．（5分）命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为 ．
13．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径
为2，则CD的长为 ．
14．（5分）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y＝x﹣a+1和y＝x2﹣2ax
的图象相交于P，Q两点．若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围
是 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解方程：（x﹣1）2＝4．
16．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中，给出了以格点
（网格线的交点）为端点的线段AB．
（1）将线段AB向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段CD，请画出线段CD．
（2）以线段CD为一边，作一个菱形CDEF，且点E，F也为格点．（作出一个菱形即可）
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条
3高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程
队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已
知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程
队还需联合工作多少天？
18．（8分）观察以下等式：
第1个等式： ＝ + ，
第2个等式： ＝ + ，
第3个等式： ＝ + ，
第4个等式： ＝ + ，
第5个等式： ＝ + ，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全
书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心
的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB＝41.3°，若点C为
运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．
（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）
420．（10分）如图，点E在 ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．
▱
（1）求证：△BCE≌△ADF；
（2）设 ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求 的值．
▱
六、（本题满分12分）
21．（12分）为监控某条生产线上产品的质量，检测员每个相同时间抽取一件产品，并测量其
尺寸，在一天的抽检结束后，检测员将测得的个数据按从小到大的顺序整理成如下表格：
编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ ⑪ ⑫ ⑬ ⑭ ⑮
尺寸 8.72 8.88 8.92 8.93 8.94 8.96 8.97 8.98 a 9.03 9.04 9.06 9.07 9.08 b
（cm）
按照生产标准，产品等次规定如下：
尺寸（单位：cm） 产品等次
8.97≤x≤9.03 特等品
8.95≤x≤9.05 优等品
8.90≤x≤9.10 合格品
x＜8.90或x＞9.10 非合格品
注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品（含特等
品）计算在内．
（1）已知此次抽检的合格率为80%，请判断编号为⑮的产品是否为合格品，并说明理由．
5（2）已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为9cm．
（i）求a的值；
（ii）将这些优等品分成两组，一组尺寸大于9cm，另一组尺寸不大于9cm，从这两组中各
随机抽取1件进行复检，求抽到的2件产品都是特等品的概率．
七、（本题满分12分）
22．（12分）一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个
交点是该二次函数图象的顶点
（1）求k，a，c的值；
（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于B，C
两点，点O为坐标原点，记W＝OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝
135°．
（1）求证：△PAB∽△PBC；
（2）求证：PA＝2PC；
（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h，h，h，求证h2＝h•h．
1 2 3 1 2 3
62019年安徽省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其
中只有一个是正确的．
1．（4分）在﹣2，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣2＜﹣1＜0＜1，
∴在﹣2，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是﹣2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反
而小．
2．（4分）计算a3•（﹣a）的结果是（ ）
A．a2 B．﹣a2 C．a4 D．﹣a4
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案．
【解答】解：a3•（﹣a）＝﹣a3•a＝﹣a4．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．同底数幂
相乘，底数不变，指数相加．
3．（4分）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
7【解答】解：几何体的俯视图是：
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的正面看得到的视图．
4．（4分）2019年“五一”假日期间，我省银联网络交易总金额接近161亿元，其中161亿用
科学记数法表示为（ ）
A．1.61×109 B．1.61×1010 C．1.61×1011 D．1.61×1012
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值
时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当
原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：根据题意161亿用科学记数法表示为1.61×1010 ．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（4分）已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y＝ 的图象上，则实数k的
值为（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特征确定A'的坐标为（1，3），然后把A′的坐标
代入y＝ 中即可得到k的值．
【解答】解：点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'的坐标为（1，3），
把A′（1，3）代入y＝ 得k＝1×3＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝ （k为常数，k≠0）
的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
6．（4分）在某时段由50辆车通过一个雷达测速点，工作人员将测得的车速绘制成如图所示
8的条形统计图，则这50辆车的车速的众数（单位：km/h）为（ ）
A．60 B．50 C．40 D．15
【分析】根据中位数的定义求解可得．
【解答】解：由条形图知，50个数据的中位数为第25、26个数据的平均数，即中位数为＝
＝40，
故选：C．
【点评】本题主要考查众数，熟练掌握众数的定义是解题的关键．
7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD
上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为（ ）
A．3.6 B．4 C．4.8 D．5
【分析】根据题意和三角形相似的判定和性质，可以求得CD的长，本题得以解决．
【解答】解：作DH∥EG交AB于点H，则△AEG∽△ADH，
∴ ，
∵EF⊥AC，∠C＝90°，
∴∠EFA＝∠C＝90°，
∴EF∥CD，
∴△AEF∽△ADC，
9∴ ，
∴ ，
∵EG＝EF，
∴DH＝CD，
设DH＝x，则CD＝x，
∵BC＝12，AC＝6，
∴BD＝12﹣x，
∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG，
∴EG∥AC∥DH，
∴△BDH∽△BCA，
∴ ，
即 ，
解得，x＝4，
∴CD＝4，
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅
助线，利用数形结合的思想解答．
8．（4分）据国家统计局数据，2018年全年国内生产总值为90.3万亿，比2017年增长6.6%．
假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份是（
）
A．2019年 B．2020年 C．2021年 D．2022年
【分析】根据题意分别求出2019年全年国内生产总值、2020年全年国内生产总值，得到答
案．
【解答】解：2019年全年国内生产总值为：90.3×（1+6.6%）＝96.2598（万亿），
102020年全年国内生产总值为：96.2598×（1+6.6%）≈102.6（万亿），
∴国内生产总值首次突破100万亿的年份是2020年，
故选：B．
【点评】本题考查的是有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则、正确列出算式是
解题的关键．
9．（4分）已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（ ）
A．b＞0，b2﹣ac≤0 B．b＜0，b2﹣ac≤0
C．b＞0，b2﹣ac≥0 D．b＜0，b2﹣ac≥0
【分析】根据a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，可以得到b与a、c的关系，从而可以判断b的正负
和b2﹣ac的正负情况，本题得以解决．
【解答】解：∵a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，
∴a+c＝2b，b＝ ，
∴a+2b+c＝（a+c）+2b＝4b＜0，
∴b＜0，
∴b2﹣ac＝ ＝ ﹣ac＝ ＝ ≥0，
即b＜0，b2﹣ac≥0，
故选：D．
【点评】本题考查因式分解的应用、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，判断出b
和b2﹣ac的正负情况．
10．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的
边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（ ）
A．0 B．4 C．6 D．8
【分析】作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，可得点N到点E和点F
的距离之和最小，可求最小值，即可求解．
11【解答】解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，
∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，
∴EC＝8，FC＝4，
∵点M与点F关于BC对称
∴CF＝CM＝4，∠ACB＝∠BCM＝45°
∴∠ACM＝90°
∴EM＝ ＝4
则在线段BC存在点N到点E和点F的距离之和最小为4 ＜9
∴在线段BC上点N的左右两边各有一个点P使PE+PF＝9，
同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF＝9．
即共有8个点P满足PE+PF＝9，
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点N使点N到点E和点F
的距离之和最小是本题的关键．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）计算 ÷ 的结果是 3 ．
【分析】根据二次根式的性质把 化简，再根据二次根式的性质计算即可．
【解答】解： ．
故答案为：3
【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法运算，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的
关键．
12．（5分）命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为 如果 a ， b 互为相反数，
那么 a +b ＝ 0 ．
【分析】根据互逆命题的定义写出逆命题即可．
12【解答】解：命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为：
如果a，b互为相反数，那么a+b＝0；
故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b＝0．
【点评】本题考查的是命题与定理、互逆命题，掌握逆命题的确定方法是解题的关键．
13．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径
为2，则CD的长为 ．
【分析】连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，于是得到∠E＝∠A＝30°，∠EBC＝90°，解直
角三角形即可得到结论．
【解答】解：连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，
则∠E＝∠A＝30°，∠EBC＝90°，
∵⊙O的半径为2，
∴CE＝4，
∴BC＝ CE＝2，
∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，
∴CD＝ BC＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的
作出辅助线是解题的关键．
14．（5分）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y＝x﹣a+1和y＝x2﹣2ax
的图象相交于P，Q两点．若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围
13是 a ＞ 1 或 a ＜﹣ 1 ．
【分析】由y＝x﹣a+1与x轴的交点为（1﹣a，0），可知当P，Q都在x轴的下方时，x直线l
与x轴的交点要在（1﹣a，0）的左侧，即可求解；
【解答】解：y＝x﹣a+1与x轴的交点为（1﹣a，0），
∵平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，
∴当x＝1﹣a时，y＝（1﹣a）2﹣2a（1﹣a）＜0，
∴a2﹣1＞0，
∴a＞1或a＜﹣1；
故答案为a＞1或a＜﹣1；
【点评】本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；数形结合的分析问题，将问
题转化为当x＝1﹣a时，二次函数y＜0是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解方程：（x﹣1）2＝4．
【分析】利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可．
【解答】解：两边直接开平方得：x﹣1＝±2，
∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，
解得：x＝3，x＝﹣1．
1 2
【点评】此题主要考查了直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号
的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且
a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，
右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
16．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中，给出了以格点
（网格线的交点）为端点的线段AB．
（1）将线段AB向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段CD，请画出线段CD．
（2）以线段CD为一边，作一个菱形CDEF，且点E，F也为格点．（作出一个菱形即可）
14【分析】（1）直接利用平移的性质得出C，D点位置，进而得出答案；
（2）直接利用菱形的判定方法进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：线段CD即为所求；
（2）如图：菱形CDEF即为所求，答案不唯一．
【点评】此题主要考查了菱形的判定以及平移变换，正确掌握菱形的判定方法是解题关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条
高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程
队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已
知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程
队还需联合工作多少天？
15【分析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米．根据“甲工程队独立
工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，
然后求工作时间．
【解答】解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米，
由题意，得2x+（x+x﹣2）＝26，
解得x＝7，
所以乙工程队每天掘进5米，
（天）
答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出两队的工效，进而得出等量
关系是解题关键．
18．（8分）观察以下等式：
第1个等式： ＝ + ，
第2个等式： ＝ + ，
第3个等式： ＝ + ，
第4个等式： ＝ + ，
第5个等式： ＝ + ，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【分析】（1）根据已知等式即可得；
（2）根据已知等式得出规律 ，再利用分式的混合运算法则验证即可．
【解答】解：（1）第6个等式为： ，
16故答案为： ；
（2）
证明：∵右边＝ ＝左边．
∴等式成立，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出
的规律，并熟练加以运用．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全
书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心
的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB＝41.3°，若点C为
运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．
（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）
【分析】连接CO并延长，与AB交于点D，由CD与AB垂直，利用垂径定理得到D为AB的中
点，在直角三角形AOD中，利用锐角三角函数定义求出OA，进而求出OD，由CO+OD求出CD
的长即可．
【解答】解：连接CO并延长，与AB交于点D，
17∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝ AB＝3（米），
在Rt△AOD中，∠OAB＝41.3°，
∴cos41.3°＝ ，即OA＝ ＝ ＝4（米），
tan41.3°＝ ，即OD＝AD•tan41.3°＝3×0.88＝2.64（米），
则CD＝CO+OD＝4+2.64＝6.64（米）．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，以及圆周角定理，熟练掌握各自的性
质是解本题的关键．
20．（10分）如图，点E在 ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．
▱
（1）求证：△BCE≌△ADF；
（2）设 ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求 的值．
▱
【分析】（1）根据ASA证明：△BCE≌△ADF；
（2）根据点E在 ABCD内部，可知：S +S ＝ S ，可得结论．
▱ △BEC △AED ▱ABCD
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
18∵AF∥BE，
∴∠EAB+∠BAF＝180°，
∴∠CBE＝∠DAF，
同理得∠BCE＝∠ADF，
在△BCE和△ADF中，
∵ ，
∴△BCE≌△ADF（ASA）；
（2）∵点E在 ABCD内部，
▱
∴S +S ＝ S ，
△BEC △AED ▱ABCD
由（1）知：△BCE≌△ADF，
∴S ＝S ，
△BCE △ADF
∴S ＝S +S ＝S +S ＝ S ，
四边形AEDF △ADF △AED △BEC △AED ▱ABCD
∵ ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，
▱
∴ ＝ ＝2．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练利用三角
形和平行四边形边的关系得出面积关系是解题关键．
六、（本题满分12分）
21．（12分）为监控某条生产线上产品的质量，检测员每个相同时间抽取一件产品，并测量其
尺寸，在一天的抽检结束后，检测员将测得的个数据按从小到大的顺序整理成如下表格：
编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ ⑪ ⑫ ⑬ ⑭ ⑮
尺寸 8.72 8.88 8.92 8.93 8.94 8.96 8.97 8.98 a 9.03 9.04 9.06 9.07 9.08 b
（cm）
按照生产标准，产品等次规定如下：
尺寸（单位：cm） 产品等次
8.97≤x≤9.03 特等品
8.95≤x≤9.05 优等品
8.90≤x≤9.10 合格品
x＜8.90或x＞9.10 非合格品
19注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品（含特等
品）计算在内．
（1）已知此次抽检的合格率为80%，请判断编号为⑮的产品是否为合格品，并说明理由．
（2）已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为9cm．
（i）求a的值；
（ii）将这些优等品分成两组，一组尺寸大于9cm，另一组尺寸不大于9cm，从这两组中各
随机抽取1件进行复检，求抽到的2件产品都是特等品的概率．
【分析】（1）由15×80%＝12，不合格的有15﹣12＝3个，给出的数据只有①②两个不合格
可得答案；
（2）（i）由 可得答案；（ii）由特等品为⑦⑧⑨⑩，画树状图列出所有等可能结
果，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）不合格．
因为15×80%＝12，不合格的有15﹣12＝3个，给出的数据只有①②两个不合格；
（2）（i）优等品有⑥～⑪，中位数在⑧8.98，⑨a之间，
∴ ，
解得a＝9.02
（ii）大于9cm的有⑨⑩⑪，小于9cm的有⑥⑦⑧，其中特等品为⑦⑧⑨⑩
画树状图为：
共有九种等可能的情况，其中抽到两种产品都是特等品的情况有4种．
∴抽到两种产品都是特等品的概率P＝ ．
【点评】本题考查的是利用树状图求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况
数之比．
七、（本题满分12分）
22．（12分）一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个
交点是该二次函数图象的顶点
20（1）求k，a，c的值；
（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于B，C
两点，点O为坐标原点，记W＝OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．
【分析】（1）由交点为（1，2），代入y＝kx+4，可求得k，由y＝ax2+c可知，二次函数的顶点
在y轴上，即x＝0，则可求得顶点的坐标，从而可求c值，最后可求a的值
（2）由（1）得二次函数解析式为y＝﹣2x2+4，令y＝m，得2x2+m﹣4＝0，可求x的值，再利用
根与系数的关系式，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，k+4＝﹣2，解得k＝﹣2，
又∵二次函数顶点为（0，4），
∴c＝4
把（1，2）带入二次函数表达式得a+c＝2，解得a＝﹣2
（2）由（1）得二次函数解析式为y＝﹣2x2+4，令y＝m，得2x2+m﹣4＝0
∴ ，设B，C两点的坐标分别为（x，m）（x，m），则 ，
1 2
∴W＝OA2+BC2＝
∴当m＝1时，W取得最小值7
【点评】此题主要考查二次函数的性质及一次函数与二次函数图象的交点问题，此类问题，
通常转化为一元二次方程，再利用根的判别式，根与系数的关系进行解答即可．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝
135°．
（1）求证：△PAB∽△PBC；
（2）求证：PA＝2PC；
（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h，h，h，求证h2＝h•h．
1 2 3 1 2 3
【分析】（1）利用等式的性质判断出∠PBC＝∠PAB，即可得出结论；
21（2）由（1）的结论得出 ，进而得出 ，即可得出结论；
（3）先判断出Rt△AEP∽Rt△CDP，得出 ，即h＝2h，再由△PAB∽△PBC，判断
3 2
出 ，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝BC，
∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC
又∠APB＝135°，
∴∠PAB+∠PBA＝45°
∴∠PBC＝∠PAB
又∵∠APB＝∠BPC＝135°，
∴△PAB∽△PBC
（2）∵△PAB∽△PBC
∴
在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴
∴
∴PA＝2PC
（3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，
∴PF＝h，PD＝h，PE＝h，
1 2 3
∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270°
∴∠APC＝90°，
∴∠EAP+∠ACP＝90°，
又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90°
∴∠EAP＝∠PCD，
∴Rt△AEP∽Rt△CDP，
∴ ，即 ，
22∴h＝2h
3 2
∵△PAB∽△PBC，
∴ ，
∴
∴ ．
即：h2＝h•h．
1 2 3
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出∠EAP
＝∠PCD是解本题的关键．
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