文档内容
参照秘密级管理★启用前 试卷类型：
A
淄博市 2020 年初中学业水平考试
数 学 试 题
本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将区县、学校、姓名、考试号、座号填写在答
题卡和试卷规定位置，并核对条形码．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．非选择题必须用0．5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指
定区域内如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，严禁使用涂改液、胶带纸、
修正带修改，不允许使用计算器．
4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记。
5．评分以答题卡上的答案为依据，不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题4分,共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．若实数a的相反数是﹣2，则a等于
（A）2 （B）﹣2 （C） （D）0
2．下列图形中，不是轴对称图形的是
（A） （B） （C） （D）
3．李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，随机调查
初中学业水平考试数学试题 第1页（共8页）了本校10名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）：4，3，4，
6，5，5，6，5，4，5．则这组数据的中位数和众数分别是
（A）4，5 （B）5，4 （C）5，5 （D）5，6
4．如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于
（A）30°
（B）35°
（C）40°
（D）45°
5．下列运算正确的是
（A）a2+a3＝a5 （B）a2•a3＝a5
（C）a3÷a2＝a5 （D）（a2）3＝a5
6．已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是
（A） （B） （C） （D）
7．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是
（A）AC＝DE
（B）∠BAD＝∠CAE
（C）AB＝AE
（D）∠ABC＝∠AED
8．化简 + 的结果是
（A）a+b （B）a﹣b （C）
（D）
9．如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，
4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外
初中学业水平考试数学试题 第2页（共8页）角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝ 的图象上，则k的值为
（A）36
（B）48
（C）49
（D）64
10．如图，放置在直线 l 上的扇形 OA
（B）由图①滚动（无滑动）到图②，再
由图②滚动到图③．若半径 OA＝2，
∠AOB＝45°，则点 O所经过的最短路径
的长是
（A）2 +2
（B）3π
π
（C）
（D） +2
11．如图1，点P从△ABC的顶
点B出发，沿B→C→A匀速
运动到点 A，图 2 是点 P 运
动时，线段BP的长度y随时
间x变化的关系图象，其中
M是曲线部分的最低点，则
△ABC的面积是
（A）12
（B）24
（C）36
（D）48
12．如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
初中学业水平考试数学试题 第3页（共8页）且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是
（A）a2+b2＝5c2
（B）a2+b2＝4c2
（C）a2+b2＝3c2
（D）a2+b2＝2c2
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。请直接填写最后结果。
13．计算： + ＝ ．
14．如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处．若EC＝2BE＝2，则CF的长为 ．
15．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
．
16．如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点．将△BCE沿BE所在的直
线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点
N，连接MN，则MN＝ cm．
初中学业水平考试数学试题 第4页（共8页）17．某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由
甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，
又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是
个．
三、解答题：本大题共7个小题，共52分。解答要写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.
18．（本小题满分5分）
解方程组：
19．（本小题满分5分）
已知：如图，E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝B（C）
求证：△ABC≌△DCE．
初中学业水平考试数学试题 第5页（共8页）20．（本小题满分8分）
某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“（A）5G通讯； （B）民法典；（C）
北斗导航；（D）数字经济； E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能
从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．
请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有 人；
（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；
（3）最关注话题扇形统计图中的a＝ ，话题D所在扇形的圆心角是 度；
（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人
数大约有多少？
21．（本小题满分8分）
如图，在直角坐标系中，直线 y ＝ax+b与双曲线 y ＝
1 2
（k≠0）分别相交于第二、四象限内的 A（m，4），
B（6，n）两点，与 x 轴相交于 C 点．已知 OC＝3，
初中学业水平考试数学试题 第6页（共8页）tan∠ACO＝ ．
（1）求y ，y 对应的函数表达式；
1 2
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞ 的解集．
22．（本小题满分8分）
如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到
达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直
公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米， ≈1.4， ≈1.7等数据信息，解答下
列问题：
（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？
（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的
工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？
23．（本小题满分9分）
如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC
于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．
（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：AB•AC＝2R•h；
初中学业水平考试数学试题 第7页（共8页）（3）设∠BAC＝2α，求 的值（用含α的代数式表示）．
24．（本小题满分9分）
如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物
线y＝ax2+bx+ （a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是 OABC的面积的 ，求点R的坐标；
▱
（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，
求点P的坐标．
初中学业水平考试数学试题 第8页（共8页）参考答案和解析
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D C C B D B B A C D A
1．【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．即可求出a的值．
【解答】解：∵2的相反数是﹣2，∴a＝2．故选：A．
【点评】本题考查了实数的性质、相反数，解决本题的关键是掌握相反数的概念．
2．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠
后可重合．
3．【分析】根据中位数、众数的意义和计算方法进行计算即可．
【解答】解：这组数据4，3，4，6，5，5，6，5，4，5中，出现次数最多的是5，因此众数
是5，将这组数据从小到大排列后，处在第5、6位的两个数都是5，因此中位数是5．
故选：C．
【点评】本题考查中位数、众数的意义和计算方法，理解中位数、众数的意义是正确解答的
前提，掌握计算方法是解决问题的关键．
4．【分析】由AC⊥BC可得∠ACB＝90°，又∠B＝50°，根据直角三角形两个锐角互余可得
∠CAB＝40°，再根据平行线的性质可得∠DCA＝∠CAB＝40°．
【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，
又∵∠B＝50°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝40°，
∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝40°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质，根据题意得出∠CAB的度数
是解答本题的关键．
初中学业水平考试数学试题 第9页（共8页）5．【分析】A．根据合并同类项的定义即可判断；
B．根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断；
C．根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断；
D．根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可判断．
【解答】解：A．a2+a3≠a5，所以A选项错误；B．a2•a3＝a5，所以B选项正确；
C．a3÷a2＝a，所以C选项错误；D．（a2）3＝a6，所以D选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法和除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，解决本题
的关键是综合掌握以上知识．
6．【分析】根据计算器求锐角的方法即可得结论．
【解答】解：∵已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序
是：2ndF，sin，0，∴按下的第一个键是2ndF．
故选：D．
【点评】本题考查了计算器﹣三角函数，解决本题的关键是熟练利用计算器．
7．【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
8．【分析】跟据同分母分式相加减的运算法则计算．同分母分式相加减，分母不变，分子相加
减．
【解答】解：原式＝ ＝ ＝ ＝a﹣b．
故选：B．
【点评】本题主要考查了分式的加减，熟记运算法则是解答本题的关键．
9．【分析】过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，利用勾股定理计
初中学业水平考试数学试题 第10页（共8页）算出AB＝5，根据角平分线的性质得PE＝PC＝PD，设P（t，t），利用面积的和差得到 ×t×
（t﹣4）+ ×5×t+ ×t×（t﹣3）+ ×3×4＝t×t，求出t得到P点坐标，然后把P点坐标代入y
＝ 中求出k的值．
【解答】解：过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，
∵A（0，4），B（3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝ ＝5，
∵△OAB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，
∴PE＝PC，PD＝PC，
∴PE＝PC＝PD，
设P（t，t），则PC＝t，
∵S△PAE +S△PAB +S△PBD +S△OAB ＝S矩形PEOD ，
∴ ×t×（t﹣4）+ ×5×t+ ×t×（t﹣3）+ ×3×4＝t×t，
解得t＝6，∴P（6，6），
初中学业水平考试数学试题 第11页（共8页）把P（6，6）代入y＝ 得k＝6×6＝36．
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析
式．也考查了角平分线的性质和三角形面积公式．
10．【分析】利用弧长公式计算即可．
【解答】解：如图，
点O的运动路径的长＝ 的长+O O + 的长＝ + + ＝ ，
1 2
故选：C．
【点评】本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决
问题，属于中考常考题型．
11．【分析】由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高
为8（即此时BP＝8），即可求解．
【解答】解：由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的
高为8（即此时BP＝8），当y＝8时，PC＝ ＝ ＝6，△ABC的面积＝
×AC×BP＝ ×8×12＝48，
故选：D．
【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知
识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动
点的完整运动过程．
12．【分析】设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定
初中学业水平考试数学试题 第12页（共8页）理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝ b2，x2+4y2＝ a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c
的关系．
【解答】解：设EF＝x，DF＝y，
∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
∴点F为△ABC的重心，AE＝ AC＝ b，BD＝ a，
∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，
∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，
在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①
在Rt△AEF中，4x2+y2＝ b2，②
在Rt△BFD中，x2+4y2＝ a2，③
②+③得5x2+5y2＝ （a2+b2），∴4x2+4y2＝ （a2+b2），④
①﹣④得c2﹣ （a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2：
1． 也考查了勾股定理．
二、填空题
题号 13 14 15 16 17
答案 2 1 5 210
m＜
13．【分析】分别根据立方根的定义与算术平方根的定义解答即可．
【解答】解： + ＝﹣2+4＝2．
故答案为：2
【点评】本题考查了立方根与算术平方根，记熟立方根与二次根式的性质是解答本题的关键．
14．【分析】利用平移的性质得到BE＝CF，再用EC＝2BE＝2得到BE的长，从而得到CF的长．
【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移至△DEF处．
初中学业水平考试数学试题 第13页（共8页）∴BE＝CF，
∵EC＝2BE＝2，∴BE＝1，∴CF＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图
形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点
移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
15．【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，
求出m的取值范围．
【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣1，c＝2m
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×2m＞0，解得m＜ ，
故答案为m＜ ．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0 方程有两个不相等
的实数根；②△＝0 方程有两个相等的实数根；③△＜0 方程没有实数⇔根．
16．【分析】连接AC，⇔FC，求出AC，利用三角形的中位线定⇔理解决问题即可．
【解答】解：连接AC，FC．
由翻折的性质可知，BE垂直平分线段CF，
∵FM⊥BE，∴F．M，C共线，FM＝MC，
∵AN＝FN，∴MN＝ AC，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，
∴AC＝ ＝ ＝10（cm），∴MN＝ AC＝5（cm），
故答案为5．
初中学业水平考试数学试题 第14页（共8页）【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会
添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型．
17．【分析】根据理解题意找出题目中所给的等量关系，找出规律，写出货包数量的函数解析式，
再根据二次函数最值的求法求出快递货车装载的货包数量最多的站．
【解答】解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，
快递货车上需要卸下已经通过的（x﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x﹣1）个，
还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个服务驿站的货包共（n﹣x）个．
根据题意，完成下表：
服务驿站序号 在第x服务驿站启程时快递货车货包总数
1 n﹣1
2 （n﹣1）﹣1+（n﹣2）＝2（n﹣2）
3 2（n﹣2）﹣2+（n﹣3）＝3（n﹣3）
4 3（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）
5 4（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）
… …
n 0
由上表可得y＝x（n﹣x）．当n＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x2+29x＝﹣（x﹣14.5）2+210.25，
当x＝14或15时，y取得最大值210．
所以在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．
故答案为：210．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，二次函数的性质在实际生活中的应用，二次函
数的最值在x＝﹣ 时取得．
三、解答题：
18.（本题满分 5 分）
解： ，
初中学业水平考试数学试题 第15页（共8页）①+②，得：5x＝10，解得x＝2，
把x＝2代入①，得：6+ y＝8，解得y＝4，
所以原方程组的解为 ．
【分析】利用加减消元法解答即可．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减
消元法．
19.（本题满分 5 分）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠B＝∠DCE，
在△ABC和△DCE中，
∴△ABC≌△DCE（SAS）．
【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，由平行线的性质得出∠B＝∠DCE，由
SAS即可得出结论．本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；
【点评】熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键．
20.（本题满分 8 分）
解：（1）200 （2）如图 （3）25，36
初中学业水平考试数学试题 第16页（共8页）（4）10000×30%＝3000（人），
答：该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有3000人．
【解析】
（1）调查的居民共有：60÷30%＝200（人），
（2）选C的有：200×15%＝30（人），选A的有：200﹣60﹣30﹣20﹣40＝50（人），
（3）a%＝50÷200×100%＝25%，话题D所在扇形的圆心角是：360°× ＝36°，
（4）10000×30%＝3000（人），
答：该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有3000人．
【分析】（1）根据选择B的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的居民人数；（2）根据
（1）中的结果和统计图中的数据，可以计算出选择A和C的人数，从而可以将条形统计图补充
完整；（3）根据统计图中的数据，可以得到a和话题D所在扇形的圆心角的度数；（4）根据题
意和统计图中的数据，可以计算出计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利
用数形结合的思想解答．
21.（本题满分 8 分）
解：（1）设直线y ＝ax+b与y轴交于点D，
1
在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO＝ ．
∴OD＝2，即点D（0，2），
把点D（0，2），C（3，0）代入直线y ＝ax+b得，
1
b＝2，3a+b＝0，解得，a＝﹣ ，
∴直线的关系式为y ＝﹣ x+2；
1
把A（m，4），B（6，n）代入y ＝﹣ x+2得，m＝﹣3，n＝﹣2，
1
∴A（﹣3，4），B（6，﹣2），
∴k＝﹣3×4＝﹣12，
∴反比例函数的关系式为y ＝﹣ ，因此y ＝﹣ x+2，y ＝﹣ ；
2 1 2
初中学业水平考试数学试题 第17页（共8页）（2）由S ＝S +S ＝ ×3×4+ ×3×2＝9．
△AOB △AOC △BOC
（3）由图象可知，当x＜0时，不等式ax+b＞ 的解集为x＜﹣3．
【分析】（1）根据OC＝3，tan∠ACO＝ ，可求直线与y轴的交点坐标，进而求出点A、B的
坐标，确定两个函数的关系式；
（2）由S ＝S +S ，进行计算即可；
△AOB △AOC △BOC
（3）由函数的图象直接可以得出，当x＜0时，不等式ax+b＞ 的解集．
【点评】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，把点的坐标代入是常用的方法，线段与
坐标的相互转化是解决问题的关键．
22.（本题满分 8 分）
解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，
在直角△BCD中，AB⊥CD，sin30°＝ ，BC＝1000千米，
∴CD＝BC•sin30°＝100× ＝50（千米），BD＝BC•cos30°＝100× ＝50 （千米），
在直角△ACD中，AD＝CD＝50（千米），AC＝ ＝50 （千米），
∴AB＝50+50 （千米），
∴AC+BC﹣AB＝50 +100﹣（50+50 ）＝50+50 ﹣50 ≈35（千米）．
答：从A地到景区B旅游可以少走35千米；
（2）设施工队原计划每天修建x千米，
依题意有， ﹣ ＝50，
解得x＝ =0.54，经检验x＝0.14是原分式方程的解．
答：施工队原计划每天修建0.14千米．
【分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△BCD中，解直角三角形求出CD的
初中学业水平考试数学试题 第18页（共8页）长度和BD的长度，在直角△ACD中，解直角三角形求出AD的长度和AC的长度，再求出AB的
长度，进而求出从A地到景区B旅游可以少走多少千米；
（2）本题先由题意找出等量关系即原计划的工作时间﹣实际的工作时间＝50，然后列出方程可
求出结果，最后检验并作答．
【点评】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形的知识，求三角形的边或高的问题一般可
以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．同时考查了分式方程的应用，解题的关
键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系，②列出方程，③解
出分式方程，④检验，⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．
23.（本题满分 9 分）
解：（1）证明：如图1，连接OD，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴ ＝ ，
又∵OD是半径，∴OD⊥BC，
∵MN∥BC，∴OD⊥MN，∴MN是⊙O的切线；
（2）证明：如图2，连接AO并延长交⊙O于H，
∵AH是直径，∴∠ABH＝90°＝∠AFC，
又∵∠AHB＝∠ACF，
∴△ACF∽△AHB，
∴ ，
∴AB•AC＝AF•AH＝2R•h；
（3）如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延长线于P，连接CD，
∵∠BAC＝2α，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝α，
∴ ＝ ，∴BD＝CD，
∵∠BAD＝∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，∴DQ＝DP，
∴Rt△DQB≌Rt△DPC（HL），∴BQ＝CP，
∵DQ＝DP，AD＝AD，
初中学业水平考试数学试题 第19页（共8页）∴Rt△DQA≌Rt△DPA（HL），∴AQ＝AP，
∴AB+AC＝AQ+BQ+AC＝2AQ，
∵cos∠BAD＝ ，
∴AD＝ ，∴ ＝ ＝2cosα．
【分析】（1）连接OD，由角平分线的性质可得∠BAD＝∠CAD，可得 ＝ ，由垂径定理可
得OD⊥BC，可证OD⊥MN，可得结论；
（2）连接AO并延长交⊙O于H，通过证明△ACF∽△AHB，可得 ，可得结论；
（3）由“HL”可证Rt△DQB≌Rt△DPC，Rt△DQA≌Rt△DPA，可得BQ＝CP，AQ＝AP，可得
AB+AC＝2AQ，由锐角三角函数可得AD＝ ，即可求解．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，
相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是本题的关键．
24.（本题满分 9 分）
解：（1）OA＝2＝BC，故函数的对称轴为x＝1，则x＝﹣ ＝1①，
将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+ ②，
联立①②并解得 ，故抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+ x+ ③；
（2）∵ y＝﹣ x2+ x+ =﹣ （x﹣1）2+3，∴ 抛物线的顶点M（1，3）
令y＝0，可得x＝﹣2或4，∴点D（4，0）；
初中学业水平考试数学试题 第20页（共8页）∵△ADR的面积是 OABC的面积的 ，
▱
∴ ×AD×|y |＝ ×OA×OB，则 ×6×|y |＝ ×2× ，解得：y ＝± ④，
R R R
联立④③并解得， 或
故点R的坐标为（1+ ，﹣ ）或（1﹣ ，﹣ ）或（1+ ， ）或（1﹣ ，
）；
（3）①当点P与M重合时，存在唯一的点Q（4，0）与D重合，此时符合题意，P（1，
3）．
②根据对称性可知．P（1，﹣3），Q与D重合时，也符合题意．
③当点P是EM的中点，点Q是DM的中点时，也符合题意，此时P（1， ）
综上所述，满足条件的点P的坐标为（1，3）或（1，﹣3）或（1， ）．
【分析】（1）OA＝2＝BC，故函数的对称轴为x＝1，则x＝﹣ ＝1①，将点A的坐标代入抛
物线表达式得：0＝4a﹣2b+ ②，联立①②即可求解；（2）△ADR的面积是
▱
OABC的面积的 ，
则 ×AD×|y |＝ ×OA×OB，则 ×6×|y |＝ ×2× ，即可求解；
R R
（3）∠PQE＝45°，故∠PRE＝90°，则△PRE为等腰直角三角形，当直线MD上存在唯一的点
Q，则RQ⊥MD，即可求解．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、面积的计算
等，综合性强，难度较大．
初中学业水平考试数学试题 第21页（共8页）
