文档内容
广东省广州市2019年中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）|﹣6|＝（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣ D．
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：﹣6的绝对值是|﹣6|＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值的性质，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负
数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（3分）广州正稳步推进碧道建设，营造“水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群”的生
态廊道，使之成为老百姓美好生活的好去处．到今年底各区完成碧道试点建设的长度分别
为（单位：千米）：5，5.2，5，5，5，6.4，6，5，6.68，48.4，6.3，这组数据的众数是（ ）
A．5 B．5.2 C．6 D．6.4
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：5出现的次数最多，是5次，所以这组数据的众数为5
故选：A．
【点评】本题主要考查众数的定义，是需要熟练掌握的概念．
3．（3分）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若
tan∠BAC＝ ，则此斜坡的水平距离AC为（ ）
A．75m B．50m C．30m D．12m
【分析】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，本题得以解决．
【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝ ，BC＝30m，
∴tan∠BAC＝ ，
解得，AC＝75，
故选：A．
1【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利
用数形结合的思想解答．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．﹣3﹣2＝﹣1 B．3×（﹣ ）2＝﹣
C．x3•x5＝x15 D． • ＝a
【分析】直接利用有理数混合运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、﹣3﹣2＝﹣5，故此选项错误；
B、3×（﹣ ）2＝ ，故此选项错误；
C、x3•x5＝x8，故此选项错误；
D、 • ＝a ，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数混合运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则
是解题关键．
5．（3分）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【分析】先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得出答案．
【解答】解：∵⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，
∴d＞r，
∴点P与⊙O的位置关系是：P在⊙O外，
∵过圆外一点可以作圆的2条切线，
故选：C．
【点评】此题主要考查了对点与圆的位置关系，切线的定义，切线就是与圆有且只有1个公
共点的直线，理解定义是关键．
6．（3分）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与
乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝
C． ＝ D． ＝
【分析】设甲每小时做x个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相
等得出方程解答即可．
2【解答】解：设甲每小时做x个零件，可得： ，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解
题的关键．
7．（3分）如图， ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，
▱
BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．EH＝HG
B．四边形EFGH是平行四边形
C．AC⊥BD
D．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍
【分析】根据题意和图形，可以判断各个选项中的结论是否成立，本题得以解决．
【解答】解：∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，在 ABCD中，AB＝2，AD＝4，
▱
∴EH＝ AD＝2，HG＝ AB＝1，
∴EH≠HG，故选项A错误；
∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，
∴EH＝ ，
∴四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确；
由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误；
∵点E、F分别为OA和OB的中点，
∴EF＝ ，EF∥AB，
∴△OEF∽△OAB，
∴ ，
即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，故选项D错误，
故选：B．
3【点评】本题考查平行四边形的面积、三角形的相似、三角形的面积，解答本题的关键是明
确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（3分）若点A（﹣1，y），B（2，y），C（3，y）在反比例函数y＝ 的图象上，则y，y，y的大
1 2 3 1 2 3
小关系是（ ）
A．y＜y＜y B．y＜y＜y C．y＜y＜y D．y＜y＜y
3 2 1 2 1 3 1 3 2 1 2 3
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y、y、y的值，比较后即可得出结论．
1 2 3
【解答】解：∵点A（﹣1，y），B（2，y），C（3，y）在反比例函数y＝ 的图象上，
1 2 3
∴y＝ ＝﹣6，y＝ ＝3，y＝ ＝2，
1 2 3
又∵﹣6＜2＜3，
∴y＜y＜y．
1 3 2
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特
征求出y、y、y的值是解题的关键．
1 2 3
9．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，
AF＝5，则AC的长为（ ）
A．4 B．4 C．10 D．8
【分析】连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OA＝OC，AE＝CE，证明△AOF≌△COE得出
AF＝CE＝5，得出AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝8，由勾股定理求出AB＝ ＝4，再由
勾股定理求出AC即可．
【解答】解：连接AE，如图：
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，AE＝CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
4∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中， ，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE＝5，
∴AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝3+5＝8，
∴AB＝ ＝ ＝4，
∴AC＝ ＝ ＝4 ；
故选：A．
【点评】本题考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股
定理等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
10．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x，x，若（x﹣x+2）
1 2 1 2
（x﹣x﹣2）+2xx＝﹣3，则k的值（ ）
1 2 1 2
A．0或2 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2
【分析】由根与系数的关系可得出x+x＝k﹣1，xx＝﹣k+2，结合（x﹣x+2）（x﹣x﹣
1 2 1 2 1 2 1 2
2）+2xx＝﹣3可求出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△≥0可得出关于k的一
1 2
元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而可确定k的值，此题得解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0的两个实数根为x，x，
1 2
∴x+x＝k﹣1，xx＝﹣k+2．
1 2 1 2
∵（x﹣x+2）（x﹣x﹣2）+2xx＝﹣3，即（x+x）2﹣2xx﹣4＝﹣3，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
∴（k﹣1）2+2k﹣4﹣4＝﹣3，
解得：k＝±2．
∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有实数根，
∴△＝[﹣（k﹣1）]2﹣4×1×（﹣k+2）≥0，
解得：k≥2 ﹣1或k≤﹣2 ﹣1，
∴k＝2．
5故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合（x﹣
1
x+2）（x﹣x﹣2）+2xx＝﹣3，求出k的值是解题的关键．
2 1 2 1 2
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA＝6cm，PB＝5cm，PC＝7cm，则点P到直线l
的距离是 5 cm．
【分析】根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度，可得答案．
【解答】解：∵PB⊥l，PB＝5cm，
∴P到l的距离是垂线段PB的长度5cm，
故答案为：5．
【点评】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段
的长度．
12．（3分）代数式 有意义时，x应满足的条件是 x ＞ 8 ．
【分析】直接利用分式、二次根式的定义求出x的取值范围．
【解答】解：代数式 有意义时，
x﹣8＞0，
解得：x＞8．
故答案为：x＞8．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
13．（3分）分解因式：x2y+2xy+y＝ y （ x + 1 ） 2 ．
【分析】首先提取公因式y，再利用完全平方进行二次分解即可．
【解答】解：原式＝y（x2+2x+1）＝y（x+1）2，
故答案为：y（x+1）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取
公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14．（3分）一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得
三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为 15° 或 45° ．
6【分析】分情况讨论：①DE⊥BC；②AD⊥BC．
【解答】解：分情况讨论：
①当DE⊥BC时，∠BAD＝75°，∴α＝90°﹣∠BAD＝15°；
②当AD⊥BC时，∠BAD＝45°，即α＝45°．
故答案为：15°或45°
【点评】本题主要考查了垂直的定义，旋转的定义以及一副三角板的各个角的度数，理清
定义是解答本题的关键．
15．（3分）如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥侧
面展开扇形的弧长为 ．（结果保留π）
【分析】根据圆锥侧面展开扇形的弧长＝底面圆的周长即可解决问题．
【解答】解：∵某圆锥的主视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，
∴斜边长为2 ，
则底面圆的周长为2 π，
∴该圆锥侧面展开扇形的弧长为2 π，
故答案为2 π．
【点评】本题考查三视图，圆锥等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题
型．
16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝
45°，点F在射线AM上，且AF＝ BE，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论：
①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+ ）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值
7a2．
其中正确的结论是 ①④ ．（填写所有正确结论的序号）
【分析】①正确．如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．证明△FAE≌△EHC（SAS），即可
解决问题．
②③错误．如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明
△GCE≌△GCH（SAS），即可解决问题．
④正确．设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝ x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值
问题．
【解答】解：如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．
∵BE＝BH，∠EBH＝90°，
∴EH＝ BE，∵AF＝ BE，
∴AF＝EH，
∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠FAE＝∠EHC＝135°，
∵BA＝BC，BE＝BH，
∴AE＝HC，
∴△FAE≌△EHC（SAS），
∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECH，
∵∠ECH+∠CEB＝90°，
∴∠AEF+∠CEB＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，
如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），
∴∠ECB＝∠DCH，
∴∠ECH＝∠BCD＝90°，
8∴∠ECG＝∠GCH＝45°，
∵CG＝CG，CE＝CH，
∴△GCE≌△GCH（SAS），
∴EG＝GH，
∵GH＝DG+DH，DH＝BE，
∴EG＝BE+DG，故③错误，
∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AG+GH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误，
设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝ x，
∴S ＝ •（a﹣x）×x＝﹣ x2+ ax＝﹣ （x2﹣ax+ a2﹣ a2）＝﹣ （x﹣ a）2+ a2，
△AEF
∵﹣ ＜0，
∴x＝ a时，△AEF的面积的最大值为 a2．故④正确，
故答案为①④．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题
的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（共9小题，满分102分）
17．（9分）解方程组： ．
9【分析】运用加减消元解答即可．
【解答】解： ，
②﹣①得，4y＝2，解得y＝2，
把y＝2代入①得，x﹣2＝1，解得x＝3，
故原方程组的解为 ．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与
加减消元法．
18．（9分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌CFE．
【分析】利用AAS证明：△ADE≌CFE．
【解答】证明：∵FC∥AB，
∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，
在△ADE与△CFE中：
∵ ，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
【点评】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是关键，三角形
全等的判定方法有：AAS，SSS，SAS．
19．（10分）已知P＝ ﹣ （a≠±b）
（1）化简P；
（2）若点（a，b）在一次函数y＝x﹣ 的图象上，求P的值．
【分析】（1）P＝ ﹣ ＝ ＝ ＝ ；
（2）将点（a，b）代入y＝x﹣ 得到a﹣b＝ ，再将a﹣b＝ 代入化简后的P，即可求解；
【解答】解：（1）P＝ ﹣ ＝ ＝ ＝ ；
10（2）∵点（a，b）在一次函数y＝x﹣ 的图象上，
∴b＝a﹣ ，
∴a﹣b＝ ，
∴P＝ ；
【点评】本题考查分式的化简，一次函数图象上点的特征；熟练掌握分式的化简，理解点与
函数解析式的关系是解题的关键．
20．（10分）某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘
制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
频数分布表
组别 时间/小时 频数/人数
A组 0≤t＜1 2
B组 1≤t＜2 m
C组 2≤t＜3 10
D组 3≤t＜4 12
E组 4≤t＜5 7
F组 t≥5 4
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）求频数分布表中m的值；
（2）求B组，C组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图；
（3）已知F组的学生中，只有1名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率：从F
组中随机选取2名学生，恰好都是女生．
【分析】（1）用抽取的40人减去其他5个组的人数即可得出m的值；
（2）分别用360°乘以B组，C组的人数所占的比例即可；补全扇形统计图；
（3）画出树状图，即可得出结果．
【解答】解：（1）m＝40﹣2﹣10﹣12﹣7﹣4＝5；
11（2）B组的圆心角＝360°× ＝45°，
C组的圆心角＝360°或 ＝90°．
补全扇形统计图如图1所示：
（3）画树状图如图2：
共有12个等可能的结果，
恰好都是女生的结果有6个，
∴恰好都是女生的概率为 ＝ ．
【点评】此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、频数分布表的应用，要熟练
掌握．
21．（12分）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性
新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站
数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．
（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？
（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．
【分析】（1）2020年全省5G基站的数量＝目前广东5G基站的数量×4，即可求出结论；
（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据2020年底及
2022年底全省5G基站数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结
论．
12【解答】解：（1）1.5×4＝6（万座）．
答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．
（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，
依题意，得：6（1+x）2＝17.34，
解得：x＝0.7＝70%，x＝﹣2.7（舍去）．
1 2
答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣1，2），
AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝mx的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于A，P两点．
（1）求m，n的值与点A的坐标；
（2）求证：△CPD∽△AEO；
（3）求sin∠CDB的值．
【分析】（1）根据点P的坐标，利用待定系数法可求出m，n的值，联立正、反比例函数解析
式成方程组，通过解方程组可求出点A的坐标（利用正、反比例函数图象的对称性结合点
P的坐标找出点A的坐标亦可）；
（2）由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB∥CD，利用平行线的性质可得出∠DCP＝∠OAE，结合
AB⊥x轴可得出∠AEO＝∠CPD＝90°，进而即可证出△CPD∽△AEO；
（3）由点A的坐标可得出AE，OE，AO的长，由相似三角形的性质可得出∠CDP＝∠AOE，再
利用正弦的定义即可求出sin∠CDB的值．
【解答】（1）解：将点P（﹣1，2）代入y＝mx，得：2＝﹣m，
解得：m＝﹣2，
13∴正比例函数解析式为y＝﹣2x；
将点P（﹣1，2）代入y＝ ，得：2＝﹣（n﹣3），
解得：n＝1，
∴反比例函数解析式为y＝﹣ ．
联立正、反比例函数解析式成方程组，得： ，
解得： ， ，
∴点A的坐标为（1，﹣2）．
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，
∴∠DCP＝∠BAP，即∠DCP＝∠OAE．
∵AB⊥x轴，
∴∠AEO＝∠CPD＝90°，
∴△CPD∽△AEO．
（3）解：∵点A的坐标为（1，﹣2），
∴AE＝2，OE＝1，AO＝ ＝ ．
∵△CPD∽△AEO，
∴∠CDP＝∠AOE，
∴sin∠CDB＝sin∠AOE＝ ＝ ＝ ．
14【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法反比例函数解析式、一次
函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、相似三角形的
判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出
m，n的值；（2）利用菱形的性质，找出∠DCP＝∠OAE，∠AEO＝∠CPD＝90°；（3）利用相似
三角形的性质，找出∠CDP＝∠AOE．
23．（12分）如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．
（1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作
法）
（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．
【分析】（1）以C为圆心，CB为半径画弧，交⊙O于D，线段CD即为所求．
（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x，构建方程求出x即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求．
（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝ ＝ ＝6，
∵BC＝CD，
∴ ＝ ，
∴OC⊥BD于E．
15∴BE＝DE，
∵BE2＝BC2﹣EC2＝OB2﹣OE2，
∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，
解得x＝ ，
∵BE＝DE，BO＝OA，
∴AD＝2OE＝ ，
∴四边形ABCD的周长＝6+6+10+ ＝ ．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会
利用参数，构建方程解决问题．
24．（14分）如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C
重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．
（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；
（2）设△ACD的面积为S，△ABF的面积为S，记S＝S﹣S，S是否存在最大值？若存在，
1 2 1 2
求出S的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．
【分析】（1）由折叠的性质和等边三角形的性质可得∠DFC＝∠A，可证DF∥AB；
（2）过点D作DM⊥AB交AB于点M，由题意可得点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，由
△ACD的面积为S的值是定值，则当点F在DM上时，S 最小时，S最大；
1 △ABF
（3）过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，由勾股定理可求BG的长，通过证明
△BGD∽△BHE，可求EC的长，即可求AE的长．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°
由折叠可知：DF＝DC，且点F在AC上
∴∠DFC＝∠C＝60°
∴∠DFC＝∠A
16∴DF∥AB；
（2）存在，
过点D作DM⊥AB交AB于点M，
∵AB＝BC＝6，BD＝4，
∴CD＝2
∴DF＝2，
∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，
∴当点F在DM上时，S 最小，
△ABF
∵BD＝4，DM⊥AB，∠ABC＝60°
∴MD＝2
∴S 的最小值＝ ×6×（2 ﹣2）＝6 ﹣6
△ABF
∴S ＝ ×2×3 ﹣（6 ﹣6）＝﹣3 +6
最大值
（3）如图，过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，
∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE
∴DF＝DC＝2，∠EFD＝∠C＝60°
∵GD⊥EF，∠EFD＝60°
∴FG＝1，DG＝ FG＝
∵BD2＝BG2+DG2，
∴16＝3+（BF+1）2，
∴BF＝ ﹣1
17∴BG＝
∵EH⊥BC，∠C＝60°
∴CH＝ ，EH＝ HC＝ EC
∵∠GBD＝∠EBH，∠BGD＝∠BHE＝90°
∴△BGD∽△BHE
∴
∴
∴EC＝ ﹣1
∴AE＝AC﹣EC＝7﹣
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三
角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键．
25．（14分）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．
（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G
1 1
顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x
的取值范围；
（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标
的取值范围．
【分析】（1）抛物线有最低点即开口向上，m＞0，用配方法或公式法求得对称轴和函数最小
值．
（2）写出抛物线G的顶点式，根据平移规律即得到抛物线G的顶点式，进而得到抛物线G
1 1
顶点坐标（m+1，﹣m﹣3），即x＝m+1，y＝﹣m﹣3，x+y＝﹣2即消去m，得到y与x的函数关
系式．再由m＞0，即求得x的取值范围．
（3）法一：求出抛物线恒过点B（2，﹣4），函数H图象恒过点A（2，﹣3），由图象可知两图象
交点P应在点A、B之间，即点P纵坐标在A、B纵坐标之间．
法二：联立函数H解析式与抛物线解析式组成方程组，整理得到用x表示m的式子．由x
与m的范围讨论x的具体范围，即求得函数H对应的交点P纵坐标的范围．
【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点
18∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3
（2）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3
∴平移后的抛物线G：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3
1
∴抛物线G顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）
1
∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3
∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2
即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2
∵m＞0，m＝x﹣1
∴x﹣1＞0
∴x＞1
∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）
（3）法一：如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线
x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2时，y＝﹣2﹣2＝﹣4
∴函数H的图象恒过点B（2，﹣4）
∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3
x＝1时，y＝﹣m﹣3；x＝2时，y＝m﹣m﹣3＝﹣3
∴抛物线G恒过点A（2，﹣3）
由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则y＜y＜y
B P A
∴点P纵坐标的取值范围为﹣4＜y＜﹣3
P
法二：
整理的：m（x2﹣2x）＝1﹣x
∵x＞1，且x＝2时，方程为0＝﹣1不成立
∴x≠2，即x2﹣2x＝x（x﹣2）≠0
∴m＝ ＞0
∵x＞1
∴1﹣x＜0
∴x（x﹣2）＜0
∴x﹣2＜0
19∴x＜2即1＜x＜2
∵y＝﹣x﹣2
P
∴﹣4＜y＜﹣3
P
【点评】本题考查了求二次函数的最值，二次函数的平移，二次函数与一次函数的关系．解
题关键是在无图的情况下运用二次函数性质解题，第（3）题结合图象解题体现数形结合的
运用．
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