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2019年广西玉林市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．
1．（3分）9的倒数是（ ）
A． B．﹣ C．9 D．﹣9
2．（3分）下列各数中，是有理数的是（ ）
A．π B．1.2 C． D．
3．（3分）如图，圆柱底面圆半径为2，高为2，则圆柱的左视图是（ ）
A．平行四边形 B．正方形 C．矩形 D．圆
4．（3分）南宁到玉林城际铁路投资约278亿元，将数据278亿用科学记数法表示是（ ）
A．278×108 B．27.8×109 C．2.78×1010 D．2.78×108
5．（3分）若α＝29°45′，则α的余角等于（ ）
A．60°55′ B．60°15′ C．150°55′ D．150°15′
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a+2a＝5a2
B．3a2﹣2a＝a
C．（﹣a）3•（﹣a2）＝﹣a5
D．（2a3b2﹣4ab4）÷（﹣2ab2）＝2b2﹣a2
7．（3分）菱形不具备的性质是（ ）
A．是轴对称图形 B．是中心对称图形
C．对角线互相垂直 D．对角线一定相等
8．（3分）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x，x，则（1+x）+x（1﹣x）的值是（ ）
1 2 1 2 1
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
9．（3分）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（ ）
1A．3对 B．5对 C．6对 D．8对
10．（3分）定义新运算：p⊕q＝ ，例如：3⊕5＝ ，3⊕（﹣5）＝ ，则y＝2⊕x
（x≠0）的图象是（ ）
A． B．
C． D．
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与
AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
12．（3分）已知抛物线C：y＝ （x﹣1）2﹣1，顶点为D，将C沿水平方向向右（或向左）平移m
个单位，得到抛物线C，顶点为D，C与C相交于点Q，若∠DQD＝60°，则m等于（ ）
1 1 1 1
A．±4 B．±2 C．﹣2或2 D．﹣4或4
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）计算：（﹣6）﹣（+4）＝ ．
14．（3分）样本数据﹣2，0，3，4，﹣1的中位数是 ．
215．（3分）我市博览馆有A，B，C三个入口和D，E两个出口，小明入馆游览，他从A口进E口出
的概率是 ．
16．（3分）如图，一次函数y＝（k﹣5）x+b的图象在第一象限与反比例函数y＝ 的图象相
1 2
交于A，B两点，当y＞y时，x的取值范围是1＜x＜4，则k＝ ．
1 2
17．（3分）设0＜ ＜1，则m＝ ，则m的取值范围是 ．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定
此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边
时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经
过2019次后，则它与AB边的碰撞次数是 ．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）计算：| ﹣1|﹣（﹣2）3﹣ +（π﹣cos60°）0．
20．（6分）解方程： ﹣ ＝1．
21．（6分）如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝30°．
（1）在AC上作一点D，使AD＝BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最
后用黑色墨水笔加墨）；
（2）求证：△BCD是等腰三角形．
322．（8分）某校有20名同学参加市举办的“文明环保，从我做起”征文比赛，成绩分别记为
60分、70分、80分、90分、100分，为方便奖励，现统计出80分、90分、100分的人数，制成
如图不完整的扇形统计图，设70分所对扇形圆心角为α．
（1）若从这20份征文中，随机抽取一份，则抽到试卷的分数为低于80分的概率是 ；
（2）当α＝180°时，求成绩是60分的人数；
（3）设80分为唯一众数，求这20名同学的平均成绩的最大值．
23．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以AB为直径作⊙O分别交于AC，BC于点D，
E，过点E作⊙O的切线EF交AC于点F，连接BD．
（1）求证：EF是△CDB的中位线；
（2）求EF的长．
24．（9分）某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内+农户”养殖模式，同时
加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万
kg与3.6万kg，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．
（1）求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；
（2）假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多
为0.32万kg．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点
的基础上至少再增加多少个销售点？
25．（10分）如图，在正方形ABCD中，分别过顶点B，D作BE∥DF交对角线AC所在直线于E，F
4点，并分别延长EB，FD到点H，G，使BH＝DG，连接EG，FH．
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；
（2）已知：AB＝2 ，EB＝4，tan∠GEH＝2 ，求四边形EHFG的周长．
26．（12分）已知二次函数：y＝ax2+（2a+1）x+2（a＜0）．
（1）求证：二次函数的图象与x轴有两个交点；
（2）当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数时，求a的值
及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与x轴的两个交点
A，B（A在B的左侧），与y轴的交点C及其顶点D这四点画出二次函数的大致图象，同时标
出A，B，C，D的位置）；
（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P使∠PCA＝75°？如果存在，求出
点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
52019年广西玉林市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．
1．【解答】解：9的倒数是： ．
故选：A．
2．【解答】解：四个选项中只有1.2是有理数．
故选：B．
3．【解答】解：∵圆柱底面圆半径为2，高为2，
∴底面直径为4，
∴圆柱的左视图是一个长为4，宽为2的长方形，
故选：C．
4．【解答】解：278亿用科学记数法表示应为2.78×1010，
故选：C．
5．【解答】解：∵α＝29°45′，
∴α的余角等于：90°﹣29°45′＝60°15′．
故选：B．
6．【解答】解：A、3a+2a＝5a，故此选项错误；
B、3a2﹣2a，无法计算，故此选项错误；
C、（﹣a）3•（﹣a2）＝a5，故此选项错误；
D、（2a3b2﹣4ab4）÷（﹣2ab2）＝2b2﹣a2，正确．
故选：D．
7．【解答】解：A、是轴对称图形，故正确；
B、是中心对称图形，故正确；
C、对角线互相垂直，故正确；
D、对角线不一定相等，故不正确；
故选：D．
8．【解答】解：根据题意得x+x＝1，xx＝﹣2，
1 2 1 2
所以（1+x）+x（1﹣x）＝1+x+x﹣xx＝1+1﹣（﹣2）＝4．
1 2 1 1 2 1 2
故选：A．
9．【解答】解：图中三角形有：△AEG，△ADC，CFG，△CBA，
6∵AB∥EF∥DC，AD∥BC
∴△AEG∽△ADC∽CFG∽△CBA
共有6个组合分别为：∴△AEG∽△ADC，△AEG∽CFG，△AEG∽△CBA，△ADC∽CFG，
△ADC∽△CBA，CFG∽△CBA
故选：C．
10．【解答】解：∵p⊕q＝ ，
∴y＝2⊕x＝ ，
故选：D．
11．【解答】解：如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，
此时垂线段OP最短，PF最小值为OP﹣OF，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5
∵∠OPB＝90°，
∴OP∥AC
∵点O是AB的三等分点，
∴OB＝ ×5＝ ， ＝ ＝ ，
∴OP＝ ，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BC，
∴ ＝ ＝ ，
∴OD＝1，
∴MN最小值为OP﹣OF＝ ﹣1＝ ，
如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，
7MN最大值＝ +1＝ ，
∴MN长的最大值与最小值的和是6．
故选：B．
12．【解答】解：抛物线CC：y＝ （x﹣1）2﹣1沿水平方向向右（或向左）平移m个单位得到y＝
（x﹣m﹣1）2﹣1，
∴D（1，﹣1），D（m+1，﹣1），
∴Q点的横坐标为： ，
代入y＝ （x﹣1）2﹣1求得Q（ ， ﹣1），
若∠DQD＝60°，则△DQD是等腰直角三角形，
1 1
∴QD＝DD＝|m|，
1
由勾股定理得，（ ﹣1）2+（ ﹣1+1）2＝m2，
解得m＝±4 ，
故选：A．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．【解答】解：（﹣6）﹣（+4）＝（﹣6）+（﹣4）＝﹣10．
故答案为：﹣10
14．【解答】解：按从小到大的顺序排列是：﹣2，﹣1，0，3，4．
中间的是1．则中位数是：0．
8故答案是：0．
15．【解答】解：根据题意画树形图：
共有6种等情况数，其中“A口进D口出”有一种情况，
从“A口进D口出”的概率为 ；
故答案为： ．
16．【解答】解：由已知得A、B的横坐标分别为1，4，
所以有
解得k＝4，
故答案为4．
17．【解答】解：m＝ ＝ ，
∵0＜ ＜1，
∴﹣2＜﹣ ＜0，
∴﹣1≤1﹣ ＜1，
即﹣1＜m＜1．
故答案为：﹣1＜m＜1
18．【解答】解：如图
根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点
（6，0），且每次循环它与AB边的碰撞有2次，
9∵2019÷6＝336…3，
当点P第2019次碰到矩形的边时为第337个循环组的第3次反弹，点P的坐标为（6，4）
∴它与AB边的碰撞次数是＝336×2＝672次
故答案为672
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．【解答】解：原式＝ ﹣1+8﹣ +1
＝8．
20．【解答】解： ﹣ ＝ ＝ ＝1，
∴x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+2），
∴x＝1，
经检验x＝1是方程的增根，
∴原方程无解；
21．【解答】（1）解：如图，点D为所作；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝ （180°﹣36°）＝72°，
∵DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BCD是等腰三角形．
22．【解答】解：（1）低于80分的征文数量为20×（1﹣30%﹣20%﹣10%）＝8，
则抽到试卷的分数为低于80分的概率是 ＝ ，
故答案为： ．
10（2）当α＝180°时，成绩是70分的人数为10人，
则成绩是60分的人数20﹣10﹣20×（10%+20%+30%）＝2（人）；
（3）∵80分的人数为：20×30%＝6（人），且80分为成绩的唯一众数，
所以当70分的人数为5人时，这个班的平均数最大，
∴最大值为：（20×10%×100+20×20%×90+20×30%×80+5×70+3×60）÷20＝78.5（分）．
23．【解答】（1）证明：连接AE，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC，BD⊥AC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE＝3，
∵EF是⊙O的切线，
∴OE⊥EF，
∵OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AC，
∴OE⊥BD，
∴BD∥EF，
∵BE＝CE，
∴CF＝DF，
∴EF是△CDB的中位线；
（2）解：∵∠AEB＝90°，
∴AE＝ ＝ ＝4，
∵△ABC的面积＝ AC×BD＝ BC×AE，
∴BD＝ ＝ ＝ ，
∵EF是△CDB的中位线，
∴EF＝ BD＝ ．
1124．【解答】解：（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，
根据题意得，2.5（1+x）2＝3.6，
解得：x＝0.2，x＝﹣2.2（不合题意舍去），
答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%；
（2）设至少再增加y个销售点，
根据题意得，3.6+0.32y≥3.6×（1+20%），
解得：y≥ ，
答：至少再增加3个销售点．
25．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠DCA＝∠BAC，
∵DF∥BE，
∴∠CFD＝∠BEA，
∵∠BAC＝∠BEA+∠ABE，∠DCA＝∠CFD+∠CDF，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
∵ ，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF，
∵BH＝DG，
∴BE+BH＝DF+DG，
即EH＝GF，
∵EH∥GF，
∴四边形EHFG是平行四边形；
（2）如图，连接BD，交EF于O，
12∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
∴∠AOB＝90°，
∵AB＝2 ，
∴OA＝OB＝2，
Rt△BOE中，EB＝4，
∴∠OEB＝30°，
∴EO＝2 ，
∵OD＝OB，∠EOB＝∠DOF，
∵DF∥EB，
∴∠DFC＝∠BEA，
∴△DOF≌△BOE（AAS），
∴OF＝OE＝2 ，
∴EF＝4 ，
∴FM＝2 ，EM＝6，
过F作FM⊥EH于M，交EH的延长线于M，
∵EG∥FH，
∴∠FHM＝∠GEH，
∵tan∠GEH＝tan∠FHM＝ ＝2 ，
∴ ，
∴HM＝1，
∴EH＝EM﹣HM＝6﹣1＝5，FH＝ ＝ ＝ ，
∴四边形EHFG的周长＝2EH+2FH＝2×5+2 ＝10+2 ．
26．【解答】解：（1）∵y＝ax2+（2a+1）x+2＝（x+2）（ax+1），且a＜0，
∴抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）、（﹣ ，0），
13则二次函数的图象与x轴有两个交点；
（2）∵两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数，
∴a＝﹣1，
则抛物线与x轴的交点A的坐标为（﹣2，0）、B的坐标为（1，0），
∴抛物线解析式为y＝（x+2）（﹣x+1）
＝﹣x2﹣x+2
＝﹣（x+ ）2+ ，
当x＝0时，y＝2，即C（0，2），
函数图象如图1所示：
（3）存在这样的点P，
∵OA＝OC＝2，
∴∠ACO＝45°，
如图2，当点P在直线AC上方时，记直线PC与x轴的交点为E，
14∵∠PCA＝75°，
∴∠PCO＝120°，∠OCB＝60°，
则∠OEC＝30°，
∴OE＝ ＝ ＝2 ，
则E（2 ，0），
求得直线CE解析式为y＝﹣ x+2，
联立 ，
解得 或 ，
∴P（ ， ）；
如图3，当点P在直线AC下方时，记直线PC与x轴的交点为F，
∵∠ACP＝75°，∠ACO＝45°，
∴∠OCF＝30°，
则OF＝OCtan∠OCF＝2× ＝ ，
∴F（ ，0），
15求得直线PC解析式为y＝﹣ x+2，
联立 ，
解得： 或 ，
∴P（ ﹣1， ﹣1），
综上，点P的坐标为（ ， ）或（ ﹣1， ﹣1）．
16
