文档内容
2019年湖北省荆州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列实数中最大的是（ ）
A． B．π C． D．|﹣4|
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x﹣ x＝ B．a3•（﹣a2）＝﹣a6
C．（ ﹣1）（ +1）＝4 D．﹣（a2）2＝a4
3．（3分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝
30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
4．（3分）某几何体的三视图如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．该几何体是长方体
B．该几何体的高是3
C．底面有一边的长是1
D．该几何体的表面积为18平方单位
5．（3分）如图，矩形ABCD的顶点A，B，C分别落在∠MON的边OM，ON上，若OA＝OC，要求只用
无刻度的直尺作∠MON的平分线．小明的作法如下：连接AC，BD交于点E，作射线OE，则射
线OE平分∠MON．有以下几条几何性质：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角线互相
平分，③等腰三角形的“三线合一”．小明的作法依据是（ ）
1A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．（3分）若一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b＝0的根的情
况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
7．（3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1， ），以原点为中心，将点A顺时针旋转
30°得到点A'，则点A'的坐标为（ ）
A．（ ，1） B．（ ，﹣1） C．（2，1） D．（0，2）
8．（3分）在一次体检中，甲、乙、丙、丁四位同学的平均身高为1.65米，而甲、乙、丙三位同学
的平均身高为1.63米，下列说法一定正确的是（ ）
A．四位同学身高的中位数一定是其中一位同学的身高
B．丁同学的身高一定高于其他三位同学的身高
C．丁同学的身高为1.71米
D．四位同学身高的众数一定是1.65
9．（3分）已知关于x的分式方程 ﹣2＝ 的解为正数，则k的取值范围为（ ）
A．﹣2＜k＜0 B．k＞﹣2且k≠﹣1 C．k＞﹣2 D．k＜2且k≠1
10．（3分）如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在 上
的点D处，且 l： l＝1：3（ l表示 的长），若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的
底面半径与母线长的比为（ ）
A．1：3 B．1：π C．1：4 D．2：9
二、填空题（本大题共6小题每小题3分，共18分）
11．（3分）二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的最大值是 ．
212．（3分）如图①，已知正方体ABCD﹣ABCD的棱长为4cm，E，F，G分别是AB，AA，AD的中点，
1 1 1 1 1
截面EFG将这个正方体切去一个角后得到一个新的几何体（如图②），则图②中阴影部分
的面积为 cm2．
13．（3分）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x），即当n为非负整数时，若n﹣
0.5≤x＜n+0.5，则（x）＝n．如（1.34）＝1，（4.86）＝5．若（0.5x﹣1）＝6，则实数x的取值
范围是 ．
14．（3分）如图，灯塔A在测绘船的正北方向，灯塔B在测绘船的东北方向，测绘船向正东方
向航行20海里后，恰好在灯塔B的正南方向，此时测得灯塔A在测绘船北偏西63.5°的
方向上，则灯塔A，B间的距离为 海里（结果保留整数）．（参考数据
sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50， ≈2.24）
15．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过B点的切线交AC的延长线于点D，E为
弦AC的中点，AD＝10，BD＝6，若点P为直径AB上的一个动点，连接EP，当△AEP是直角三
角形时，AP的长为 ．
16．（3分）边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线y＝kx平分这8个正方形
1
所组成的图形的面积，交其中两个正方形的边于A，B两点，过B点的双曲线y＝ 的一
支交其中两个正方形的边于C，D两点，连接OC，OD，CD，则S ＝ ．
△OCD
3三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（8分）已知：a＝（ ﹣1）（ +1）+|1﹣ |，b＝ ﹣2sin45°+（ ）﹣1，求b﹣a的算
术平方根．
18．（8分）先化简（ ﹣1）÷ ，然后从﹣2≤a＜2中选出一个合适的整数作为a的值
代入求值．
19．（8分）如图①，等腰直角三角形OEF的直角顶点O为正方形ABCD的中心，点C，D分别在
OE和OF上，现将△OEF绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），连接AF，DE（如图②）．
（1）在图②中，∠AOF＝ ；（用含α的式子表示）
（2）在图②中猜想AF与DE的数量关系，并证明你的结论．
20．（8分）体育组为了了解九年级450名学生排球垫球的情况，随机抽查了九年级部分学生
进行排球垫球测试（单位：个），根据测试结果，制成了下面不完整的统计图表：
组别 个数段 频数 频率
1 0≤x＜10 5 0.1
2 10≤x＜20 21 0.42
3 20≤x＜30 a
4 30≤x＜40 b
（1）表中的数a＝ ，b＝ ；
（2）估算该九年级排球垫球测试结果小于10的人数；
（3）排球垫球测试结果小于10的为不达标，若不达标的5人中有3个男生，2个女生，现
从这5人中随机选出2人调查，试通过画树状图或列表的方法求选出的2人为一个男生
4一个女生的概率．
21．（8分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，
则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的伴随函数，如：y＝x2+1是y＝x+1的伴随函
数．
（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，求直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面
积；
（2）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n
的值．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点P是半径OB上一动点（不与O，B重
合），过点P作射线1⊥AB，分别交弦BC， 于D，E两点，在射线l上取点F，使FC＝FD．
（1）求证：FC是⊙O的切线；
（2）当点E是 的中点时，
①若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；
②若tan∠ABC＝ ，且AB＝20，求DE的长．
23．（10分）为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年
级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队14名
学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学
生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 35 30
5租金（元/辆） 400 320
学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有
2名老师．
（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？
（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数
为 辆；
（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C的坐标分别为（6，0），
（4，3），经过B，C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为（1，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若∠AOC的平分线交BC于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当
PE+PF的值最小时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点A作OE的垂线交BC于点H，点M，N分别为抛物线及其对称轴上
的动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形？若存
在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．
62019年湖北省荆州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）
1．【解答】解：∵ ＜π＜ ＜|﹣4|＝4，
∴所给的几个数中，最大的数是|﹣4|．
故选：D．
2．【解答】解：A、x﹣ x＝ x，故本选项错误；
B、a3•（﹣a2）＝﹣a5，故本选项错误；
C、（ ﹣1）（ +1）＝5﹣1＝4，故本选项正确；
D、﹣（a2）2＝﹣a4，故本选项错误；
故选：C．
3．【解答】解：∵直线m∥n，
∴∠2+∠ABC+∠1+∠BAC＝180°，
∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，∠1＝40°，
∴∠2＝180°﹣30°﹣90°﹣40°＝20°，
故选：B．
4．【解答】解：A、该几何体是长方体，正确；
B、该几何体的高为3，正确；
C、底面有一边的长是1，正确；
D、该几何体的表面积为：2×（1×2+2×3+1×3）＝22平方单位，故错误，
故选：D．
5．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AE＝CE，
而OA＝OC，
∴OE为∠AOC的平分线．
故选：C．
6．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，
∴k＞0，b≤0，
∴△＝k2﹣4b＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
7故选：A．
7．【解答】解：如图，作AE⊥x轴于E，A′F⊥x轴于F．
∵∠AEO＝∠OFA′＝90°，∠AOE＝∠AOA′＝∠A′OF＝30°
∴∠AOE＝∠A′，
∵OA＝OA′，
∴△AOE≌△OA′F（AAS），
∴OF＝AE＝ ，A′F＝OE＝1，
∴A′（ ，1）．
故选：A．
8．【解答】解：A、四位同学身高的中位数可能是某两个同学身高的平均数，故错误；
B、丁同学的身高一定高于其他三位同学的身高，错误；
C、丁同学的身高为1.65×4﹣1.63×3＝1.71米，正确；
D．四位同学身高的众数一定是1.65，错误．
故选：C．
9．【解答】解：∵ ＝2，
∴ ＝2，
∴x＝2+k，
∵该分式方程有解，
∴2+k≠1，
∴k≠﹣1，
∵x＞0，
∴2+k＞0，
∴k＞﹣2，
∴k＞﹣2且k≠﹣1，
8故选：B．
10．【解答】解：连接OD交OC于M．
由折叠的知识可得：OM＝ OA，∠OMA＝90°，
∴∠OAM＝30°，
∴∠AOM＝60°，
∵且 ： ＝1：3，
∴∠AOB＝80°
设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
＝2πr，
∴r：i＝2：9．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题每小题3分，共18分）
11．【解答】解：y＝﹣2x2﹣4x+5＝﹣2（x+1）2+7，
即二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的最大值是7，
故答案为：7．
12．【解答】解：∵已知正方体ABCD﹣ABCD的棱长为4cm，E，F，G分别是AB，AA，AD的中点，
1 1 1 1 1
∴GF＝GE＝EF＝ ＝2 ，
过G作GH⊥EF于H，
∴GH＝ GF＝ ，
∴图②中阴影部分的面积＝ ×2 × ＝2 cm2．
故答案为：2 ．
913．【解答】解：依题意得：6﹣0.5≤0.5x﹣1＜6+0.5
解得13≤x＜15．
故答案是：13≤x＜15．
14．【解答】解：由题意得，MN＝20，∠ANB＝63.5°，∠BMN＝45°，∠AMN＝∠BNM＝90°，
∴BN＝MN＝20，
如图，过A作AE⊥BN于E，
则四边形AMNE是矩形，
∴AE＝MN＝20，EN＝AM，
∵AM＝MN•tan26.5°＝20×0.50＝10，
∴BE＝20﹣10＝10，
∴AB＝ ＝10 ≈22.4海里．
故答案为：22.4．
15．【解答】解：∵过B点的切线交AC的延长线于点D，
∴AB⊥BD，
∴AB＝ ＝ ＝8，
当∠AEP＝90°时，∵AE＝EC，
∴EP经过圆心O，
∴AP＝AO＝4；
当∠APE＝90°时，则EP∥BD，
∴ ＝ ，
∵DB2＝CD•AD，
10∴CD＝ ＝ ＝3.6，
∴AC＝10﹣3.6＝6.4，
∴AE＝3.2，
∴ ＝ ，
∴AP＝2.56．
综上AP的长为4和2.56．
故答案为4和2.56．
16．【解答】解：设A（4，t），
∵直线y＝kx平分这8个正方形所组成的图形的面积，
1
∴ ×4×t＝4+1，解得t＝ ，
∴A（4， ），
把A（4， ）代入直线y＝kx得4k＝ ，解得k＝ ，
1 1 1
∴直线解析式为y＝ x，
当x＝2时，y＝ x＝ ，则B（2， ），
∵双曲线y＝ 经过点B，
∴k＝2× ＝ ，
2
∴双曲线的解析式为y＝ ＝ ，
当y＝2时， ＝2，解得x＝ ，则C（ ，2）；
当x＝3时，y＝ ＝ ，则D（3， ），
∴S ＝3×2﹣ ×3× ﹣ ×2× ﹣ （2﹣ ）×（3﹣ ）＝ ．
△OCD
故答案为 ．
11三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．【解答】解：∵a＝（ ﹣1）（ +1）+|1﹣ |＝3﹣1+ ﹣1＝1+ ，
b＝ ﹣2sin45°+（ ）﹣1＝2 ﹣ +2＝ +2．
∴b﹣a＝ +2﹣1﹣ ＝1．
∴ ＝ ＝1．
18．【解答】解：（ ﹣1）÷
＝
＝
＝ ，
当a＝﹣2时，原式＝ ＝﹣1．
19．【解答】解：（1）如图2，
∵△OEF绕点O逆时针旋转α角，
∴∠DOF＝∠COE＝α，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠AOD＝90°，
∴∠AOF＝90°﹣α；
故答案为90°﹣α；
（2）AF＝DE．
理由如下：
如图②，∵四边形ABCD为正方形，
∴∠AOD＝∠COD＝90°，OA＝OD，
∵∠DOF＝∠COE＝α，
∴∠AOF＝∠DOE，
∵△OEF为等腰直角三角形，
∴OF＝OE，
在△AOF和△DOE中
12，
∴△AOF≌△DOE（SAS），
∴AF＝DE．
20．【解答】解（1）抽查了九年级学生数：5÷0.1＝50（人），
20≤x＜30的人数：50× ＝20（人），即a＝20，
30≤x＜40的人数：50﹣5﹣21﹣20＝4（人），
b＝ ＝0.08，
故答案为20，0.08；
（2）该九年级排球垫球测试结果小于10的人数450×（1﹣0.1）＝405（人），
答：该九年级排球垫球测试结果小于10的人数为405人；
（3）列表如下
∴P ＝ ＝ ．
（选出的2人为一个男生一个女生的概率）
21．【解答】解：∵y＝x2﹣4，
∴其顶点坐标为（0，﹣4），
∵y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，
∴（0，﹣4）在一次函数y＝﹣x+p的图象上，
∴﹣4＝0+p．
∴p＝﹣4，
∴一次函数为：y＝﹣x﹣4，
∴一次函数与坐标轴的交点分别为（0，﹣4），（﹣4，0），
∴直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的两直角边都为|﹣4|＝4，
∴直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积为： ．
13（2）设函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点的横坐标分别为x，x，则x+x＝﹣2，xx＝n，
1 2 1 2 1 2
∴ ，
∵函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，
∴ ，
解得，n＝﹣3，
∴函数y＝x2+2x+n为：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴其顶点坐标为（﹣1，﹣4），
∵y＝x2+2x+n是y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数，
∴﹣4＝﹣m﹣3，
∴m＝1．
22．【解答】解：（1）证明：连接OC，∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵PF⊥AB，
∴∠BPD＝90°，
∴∠OBC+∠BDP＝90°，
∵FC＝FD
∴∠FCD＝∠FDC
∵∠FDC＝∠BDP
∴∠OCB+∠FCD＝90°
∴OC⊥FC
∴FC是⊙O的切线．
（2）如图2，连接OC，OE，BE，CE，
①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由如下：
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，
∵点E是 的中点，
∴∠BOE＝∠COE＝60°，
∵OB＝OE＝OC
∴△BOE，△OCE均为等边三角形，
∴OB＝BE＝CE＝OC
14∴四边形BOCE是菱形；
②若tan∠ABC＝ ，且AB＝20，求DE的长．
∵ ＝tan∠ABC＝ ，设AC＝3k，BC＝4k（k＞0），
由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即（3k）2+（4k）2＝202，解得k＝4，
∴AC＝12，BC＝16，
∵点E是 的中点，
∴OE⊥BC，BH＝CH＝8，
∴OE×BH＝OB×PE，即10×8＝10PE，解得：PE＝8，
由勾股定理得OP＝ ＝ ＝6，
∴BP＝OB﹣OP＝10﹣6＝4，
∵ ＝tan∠ABC＝ ，即DP＝ BP＝ ＝3
∴DE＝PE﹣DP＝8﹣3＝5．
23．【解答】解：（1）设参加此次研学活动的老师有x人，学生有y人，
依题意，得： ，
解得： ．
答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人．
15（2）∵（234+16）÷35＝7（辆）……5（人），16÷2＝8（辆），
∴租车总辆数为8辆．
故答案为：8．
（3）设租35座客车m辆，则需租30座的客车（8﹣m）辆，
依题意，得： ，
解得：2≤m≤5 ．
∵m为正整数，
∴m＝2，3，4，5，
∴共有4种租车方案．
设租车总费用为w元，则w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，
∵80＞0，
∴w的值随m值的增大而增大，
∴当m＝2时，w取得最小值，最小值为2720．
∴学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元．
24．【解答】解：（1）∵平行四边形OABC中，A（6，0），C（4，3）
∴BC＝OA＝6，BC∥x轴
∴x＝x+6＝10，y＝y＝3，即B（10，3）
B C B C
设抛物线y＝ax2+bx+c经过点B、C、D（1，0）
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y＝﹣ x2+ x﹣
（2）如图1，作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P
∵C（4，3）
∴OC＝
∵BC∥OA
∴∠OEC＝∠AOE
16∵OE平分∠AOC
∴∠AOE＝∠COE
∴∠OEC＝∠COE
∴CE＝OC＝5
∴x＝x+5＝9，即E（9，3）
E C
∴直线OE解析式为y＝ x
∵直线OE交抛物线对称轴于点F，对称轴为直线：x＝﹣ 7
∴F（7， ）
∵点E与点E'关于x轴对称，点P在x轴上
∴E'（9，﹣3），PE＝PE'
∴当点F、P、E'在同一直线上时，PE+PF＝PE'+PF＝FE'最小
设直线E'F解析式为y＝kx+h
∴ 解得：
∴直线E'F：y＝﹣ x+21
当﹣ x+21＝0时，解得：x＝
∴当PE+PF的值最小时，点P坐标为（ ，0）．
（3）存在满足条件的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形．
设AH与OE相交于点G（t， t），如图2
∵AH⊥OE于点G，A（6，0）
∴∠AGO＝90°
∴AG2+OG2＝OA2
∴（6﹣t）2+（ t）2+t2+（ t）2＝62
17∴解得：t＝0（舍去），t＝
1 2
∴G（ ， ）
设直线AG解析式为y＝dx+e
∴ 解得：
∴直线AG：y＝﹣3x+18
当y＝3时，﹣3x+18＝3，解得：x＝5
∴H（5，3）
∴HE＝9﹣5＝4，点H、E关于直线x＝7对称
①当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的边时，如图2
则HE∥MN，MN＝HE＝4
∵点N在抛物线对称轴：直线x＝7上
∴x＝7+4或7﹣4，即x＝11或3
M M
当x＝3时，y＝﹣ ×9+ ×9﹣ ＝
M
∴M（3， ）或（11， ）
②当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的对角线时，如图3
则HE、MN互相平分
∵直线x＝7平分HE，点F在直线x＝7上
∴点M在直线x＝7上，即M为抛物线顶点
∴y＝﹣ ×49+ ×7﹣ ＝4
M
∴M（7，4）
综上所述，点M坐标为（3， ）、（11， ）或（7，4）．
1819
