1999年数学（一）真题解析
一、 填空题
(1) 【答案】 y.
.5、 - / 1 1 \ tanjc—工 tan x — J：
LMJ hmI —T-------------I = lim ----------- = lim-------------
•r—o \jc x tan jc / 工―o jc tan jc x—o jc
sec2 j; — 1 1
= lim--------；----=可・
—3工 $ 3
(2) 【答案】sin j;2.
r i jq — t = ii r o r x
【解】 由 sin(jc — t)2 dt .......... sin u2 (— du) = sin u2 du 得
J J
0 v x 0
-—J sin(j; — t)2 dt = -—I sin u2 du = sin
d<z J o dj; J o
(3) 【答案】Cie~2j +C2e2" ,C2为任意常数).
【解】 特征方程为入2_4 = 0,特征根为A1 = -2,A2 = 2,
则 y，r — 4j/ = 0 的通解为歹=C1 e_2x + C2e2j-；
令夕"一4y = e2x的特解为y0 (j' ) = axe2x，代入得Q = ~^，
故y" - iy = e"的通解为y = C&" +C2$ ,C2为任意常数).
(4) 【答案】入1 =入2 =…=入“-1 = 0,入” =X
A — 1 — 1 … 一1
—1 A — 1 … 一1
【解】方法一由丨AE — A | = . . . = An_1 (A — n) = 0得
-1 - 1 ・・・A - 1
A的特征值为入i =心=…=入”-1 = 0,入”=心
方法二 因为AT = A，所以A可对角化，从而A的非零特征值的个数与r(A)相同，
由厂(A) = 1得A只有一个非零特征值，
又因为trA = n = + A2 + ••• + A„ ,所以A的特征值为入】=A2 =…=入”_1 = 0,入“=兀・
(5) 【答案】
4
【解】令P(A) = p,
而 P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) -P(AB) -P(AC)-P(BC) + P(ABC)
=3p — 3p2 ,
q 1 3
贝!j 3p — 3p2 =花，解得P =—或》= 〒，
1 o 4 4
由 P(A) < £ 得 P(A) = £.
2 4
二、 选择题
(1)【答案】(A).
【解】 若/'(工)是奇函数，FQ)=J /(z)dr,贝！J F (— x ) = J f (t)dt =J /(— w) (— du) =J /(u )dzz
=[f(u)du +f /(u)dw = [ /(w)dzz = F(z),
即FQ)为偶函数，应选(A).
(2) 【答案】(D).
【解】f'+ (0) = lim /⑺]f(0) = lim —竽=0；
Zf o+ T — ° x*0- + JC \[x
fl (0) = lim ]厂= limzg(z) = 0,
_r-0_ 无 _ 0 工-0一
因为于；(0) = fl (0),所以/(a：)在工=0处可导，应选(D).
(3) 【答案】(C).
【解】显然SQ)是以2为周期的偶函数，则S(-y) = s(—*) = S(y),
而 s(*) 亍3 应选 (C).
(4) 【答案】(B).
【解】 当勿 > "时，广(A) W " ,?-(B) W ,
因为 r(AB ) W min{ r(A) ,r(B)},所以 r(AB ) W ” ,
于是r(AB) <m,即AB为降秩矩阵，故| AB | = 0,应选(B).
(5) 【答案】(B).
【解】 因为X,Y相互独立且X〜N(0,l),Y〜N(l,l),
所以 X + Y ~ N(l,2),故 P{X+Y= 1} = *, 应选(B).
三、【解】n = jcf Jjc + y)与F (j: ,y 9z) = 0两边对x求导得
T~ = f + x
ax ax a j?
2 即
[IF堆+ F眾“ 咗+ F堆 F：,
如侣血(于+订')£—好'£ 卄，…、
解得齐=―F；+"F；—(几+"2工0).
四、【解】 令 PQq) = ex sin y — b(z+；y), Q(h,j/) = e" cos y — ax ,
dx dy
I = (Q _ — _ I sin y — + y)]dz + (e" cos y — az )dy ,
L+OA J OA 7
而(> —[ex sin y — b{x + 夕)]dz + (e° cos y — ax)dy = (6 — a )dr dy = -^-(b — a)a2 j
L+OA
D
* 「2a
—sin y — b(jc + + (ex cos y — ax )dj/ = — bx dx = — 2a2b •,
oa J o
故 J = (6 — (2 )(2 2 + 2(2 2 6 = (y + 2)a26- 兀3
五、【解】 方法一 曲线y = )上任一点P{x ,y)处的切线为
Y — y = j/(X—«z),
五题图令Y = 0得X = x —亍,切线与x轴的交点为Q(z 一于°)，垂足为TQ卫),
则 S1 = £ • Z ， s2 = [ y(t)dt,
Z y Ly Jo
由 2Si — S2 = 1 得与一[y(t)dt = I9
y J。
两边对工求导并整理得=“J
令J = P，则yf = P学，代入得yp dp _ 2
因为P HO,所以学---P = 0,解得p = Cie y y = Cxy,
由歹(0)= l,“(0) = 1 得 Ci = 1,即字一夕=0,
解得 y = C2e = C2ex 9 再由 y(0) = 1 得 C2 = 1,故夕=e° ・
方法二 曲线』=』(工)上任一点PQq)处的切线为Y —夕=“(X—工)，
令丫 = 0得X =工一亍,切线与工轴的交点为<2（工一亍,0），垂足为T（h,0）,
则 S1 =寺• 3 ，S2 = [ y（t）dt 9
Z y cy J 0
由 2Si — S2 = 1 得— [ y（E）d£ = l,
y J 0
两边对工求导并整理得阳"=y",从而竺亍匚=0,即&） ' = 0,于是;' =G，
由夕（0） = l,j/（0） = 1 得 Ci = 1,即 yf — y = 0,
解得 y = C2e^ = C2e",
再由 y（0） = 1 得 C2 = 1,故 y = e1.
六、【证明】 令/（工）=（工$ — l）lnz —（工一I）', /（I） = 0,
f'（.x ） = 2zlnz+z---------2（工一1） = 2x In x — x----------2 , /"'（I） = 0,
x x
f'〈工）=21nz+2 — 1----= 21n 工 + 1-------，/""（ 1）= 2 > 0,
x x
2 2 _ 22 _ 1）
r（^）=-
X
当o v 乂 < 1时f"'s < o；当工> 1时fO > o,则工=1为y"Q)的最小值点,
由严(1) = 2 > 0 得 /■〃&) $ 2 > 0,
(/(I) = 0, < 0, 0 < ^ < 1,
由〃 得 从而工=1为八工)的最小值点，
V)> 0Q > 0) （工）> 0, •Z〉1,
于是当工 > 0 时 fix') A /(l) = 0,故当 z > 0 时(z? — l)ln x N(_r — l)2.
七、【解】 设将空斗从井底拉至井口拉力做功为则
"1 = 400 X 30 = 12 000（J）；
设拉力对绳做功为W2,取井底起点为原点，工轴垂直向上，
取[无，工 + dz] U [0,30] ,dW2 = 50（30 — h ）dz ,则
f30
W2 = 50 （30 — d）d工=50 X 450 = 22 500（J）；设拉力对污泥做功为 W3，取+ dt] U C0,10],dW3 = (2 000 - 200 • 3dt,则
W3 = 3|1O(2 000- 20z)dz = 57 000(J),
J 0
故拉力所做的功为 W = 12 000 + 22 500 + 57 000 = 91 500(J).
八、【解】 法向量为兀=&q,2n},切平面为
7T ：0： (X — JT)+ j^(Y— 3^) + 2z(Z — N)=0,
整理得TT：寺X +寺Y + zZ — 1 = 0,
pCx,y,Z) =
I 2~
S : z -T 牙，Dxy = {(H )丨工2 + 夕2 w 2},
3z — x
由L =匸— djc dy ,
dj： 2z
z
则
p (j： ,n )
D
九、【解】(1 )5+2+a” = [4 tan"+2无dz + 4 tan"工 dr = 4 tarTjr d(tan x )
J 0 . o o
T ]
—tann+1x
n + 1 o =n + r
则工丄a + q 卄2)=工 ]
Z2(7? + 1 )'
”=i n “=1
s =------|---------... + ] —占
” 1X22X3 rz (n + 1) i
i
由 limS” = 1 得〉2 —(Q” + Q卄2)= 1・
”一oo ” = ] n an+2
解得 Q = C,“ = — 1,6 =
a -1
再由| A | = 5 -3 3 =—1 得a = 2,c = 2,
1 — a 0 —a
A o = = ],故& =2,b = —3,c = 2 ,A o = 1・
十一、【证明】(必要性)设BtAB为正定矩阵，由正定矩阵的定义，对任意的X工0,有
XtBtABX = (BX)tA(BX) > 0,再由A为正定矩阵得BX H 0,即BX = 0只有零解，故r(B) = n.
(充分性)设 r(B)="，对任意的 X # 0,XtBtABX = (BX)TA(BX),
令BX = Y，显然YHO.
若 Y = 0,即 BX = 0,由 r(B) = n 得 X = 0,矛盾.
因为YH 0且A为正定矩阵，所以XtBtABX = yTAV > 0,即BtAB为正定矩阵.
十二、【解】由Pn + y = y得
因为X,Y相互独立，所以如.X 4-= 二解得Pi・=v-
b Z4 4
.1,1, 1 „ 1
由2l + ~8+pu = N得兀=
1 1 za 1
由P-2 X — = §得"・2 =迈~，
.1 . 1丿曰 3
由g + ”22 =迈■得少22 = §，
由+ + * +力3 = 1得”・3 = 丁，
.1 , 1丿曰 1
由正 + ”23 = — ^ ^23 = N，
1 3
再由--»・=1得»・=〒・
4 4
re a ro Q
十三、【解】(l)E(X) = x • —(0 — jc)dx = — COx2 — x3 )dj： = — »
J 0 06 0s J 0 2
由E(X) = 乂得0的矩估计量为0 = 2 乂.
(2) E(X2)= 工2 ・琴(&一工)吐= (处3 _,)dH =—,
Jo <9 0 Jo 10
on 2 n 2 n2
D(X) = E(X2)-[E(X)y = --T^-,
- — 4 92
故 D(0) = D(2X) = —D(X)=—.
n 5n
