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2016年数学（一）真题解析
一、选择题
（1）【答案】（O.
「+°° dx 1 cLz * djr
【解】
0 ( 1 + j? )6 o j?"(l +工)" 1 壬“（ 1+ 工）"
1打：收敛得a VI,
由 lim x =]且
-------------------T
工― o+ (1+" 0 X ( 十工)
『+°° Hr
再由lim xa+b •——-——=1且 a(. ,—GT 收敛得 a + b > 1 ,
工一*+°° 才(1 +无)" 1 X ( 1十无)
即a V 1且a + b〉1 9应选(C).
(2) 【答案】（D）.
(jt — 1)2 C x V 19
【解】F () = /(jr )djr =
jr(lnx 一 1)+C + 1， x 1.
° < 4应选(D).
取C=O得f （jr ）的一个原函数为F（z） =
j? (In j? 一 1) + 】9 工 $1.
(3) 【答案】（A）.
【解】 设小=（1 +小2 —馅+川,兀=（1+工2）2十丿1+川，
由线性微分方程解的结构得g —小=2/1+/为,+ 〃（工）夕=0的解，
代入得-- —-----p（-T）• 2 \/1 + JC 2 =0,解得 P（.JC ） =一 -一~2 ；
再由线性微分方程解的结构，得"严 =（1+小2为“ + p（_z）y =q&）的解，代入得
4z (1 + )-----------7 • ( 1 + 2 )2 = q(=)，解得 q (jt ) =3jt (1 + JC 2 ),应选(A).
1十工
(4)【答案】(D).
【解】/ (0) = 0 , lim /( J：' ) = 0 , lim /(jc ) = lim 丄=0 ,
x-^o~ ’-()+ "f8 n
由/(0) =/(0-0) =/(0十0) = 0得于(工)在工=0处连续.
由 lim —八°? = lim - = 1 得 (0) =1；
力 j--*0 无
丄
[. /(JT ) — / (0) n
lim -------------------= lim —,
—+ 无 z-o+工
由一V 乂 V 丄得: V 冷■ V 19从而 lim — = 19于是 F+ (0)=19
Ti + l n ??十 1 1 丄一0+ 1
n n
因为/'I (0) = f\ (0) =1?所以/ (壬)在z = 0处可导9应选(D).⑸【答案】（C）.
【解】 由A与B相似可知，存在可逆矩阵P,使得P lAP =B.
「,
对 P }AP =B 两边取转置得PtAt（P_1）t =Bt,或[（PT）t]TaT[（pT）t] =b
即At 与Bt 相似,（A）正确；
由P AP =B得P A1 P =B 1，即与 矿|相似，（E）正确；
由 P AP =B 及 P A~ P =B "得 P _1（A 十A i ）P =於 +B 1 ,
即A +A^'与B +B 1相似，（D）正确，应选（C）.
（6）【答案】（E）.
/I 2 2
【解】 二次型的矩阵为A = 2 1 2
'2 2 1
A - 1 -2 -2
由—A | = -2 A - 1 —2 = (A + 1 )2 (A 一 5)=0 得
-2 - 2 A — 1
矩阵A的特征值为入1 = 5,入2 — A 3 =一1,
二次型的规范形为f （Jr 1，工2，z3）=5祈一 y \ — yl,
从而/'（厂，工2，工3）=2表示的曲面为5j；i —yl —3/3 =2,该曲面表示双叶双曲面，应选（E）.
（7）【答案】（E）.
【解】 由X〜N（〃，川）得士H 〜n （0,1）,
（J
p =p{x + f 4-00
因为0 VbVl,所以A! < 0,A2 < 0,从而 e 1 dr与 「’dr都收敛.
J J
0 0
该方程的通解为y = C] eA 11 + C2e2'T ,
r+8 f+°° A ，- r+°° x r f+«>
由 | y(_z)cLz=Ci| e 1 dj? + C2 e"dz,得 | y(_z)(lr 收敛.
Jo Jo J 0 J o(d )方法— 由入 1 V 0,入 2 V 0 得 lim yCx)— lim (C\ + ) = 0 ,
lim 3/(2 ) = lim (C\入]e"，+ C2A )=。9
才 ~»■ | ■ OO J7 —>-|-OO
「+ 「「+°°
oo i r+°° ~i
于是J 丿(工)dr =—万 j/'(h )dz + 2』j/z (jc )djr J 9
I +°°
再由 y\x )dj? =j/(z ) =— j/(0)=—],
o 10
「+00
3/(工)dz =y Cx) =—j/(0)=—],
J 0 0
r+°° 3
得 y (攵)dj?=—.
j 0 k
G + C2 =1,
方法二 将 y(0) = l,j/(0) = 1 代入 y =C}e + C2eAz 得
A 1 Ci 十 A 2C2 — 1.
1—心 _2 + Jl—b
解得Ci
入 1 —入 2 2 — k
") 2
y (工)dz = —
~k
(17)【解】 方法一 由=(2工+1用~得
f (x ,y) = *e~yj(2_z + l)d(e2j ) +爭(y) =*「，[(2工 + 1) e2x — 2 J e21 dr] + 甲(_y)
=x e1~y (f)Cy).
由 /'(o，y)=y +1 得爭(夕)=y + i，于是 /'&，，)=工 + 夕 +1.
°f〈工，:y)
一工宀+1,
令p“)=答a, q(“)="m
3y
学=—(2_z + , 学=—(2h + 1)/ v
dy ox
因为学=学，所以曲线积分与路径无关，
dy dx
于是 I(t) =「(2 工十 l)e2j djr +「(1 — ei)dy =t +尹’.
J 0 Jo
由 I/(l)=l-e2~t = 0 得 t =2,
因为r(o =e2~z > 0,所以当t =2时,I(i)取最小值，最小值为M2) =3.
方法二 由‘夕)=(2工 + 1)e2j~y 得 /~(工，夕)=x &"T^y +卩($),
OX
由 /(0,夕)=夕 + 1 得卩(夕)=丿 + 1,从而 /() = x e2j'~y + y + 1 ・
于是 I(t) =[ d/(a- ,y) = /(1,Z)-/(0,0)=誉一'+t.
由 I' Ct) =1 — e2~l = 0 得 t =2,
当t < 2时，厂(/) < 0；当r > 2时，厂(r) > 0,则r = 2时J(r)取最小值，且最小值为
/⑵=3.（18）[解】 由高斯公式得 / =』（J?2 + l）dydz — 2ydzdx + 3ncLz d （2乂 + 1 ）du 9
2 n
而 J^=|X|X2><1><1=|
n
IFdv== ■2（l-x） dy dz = 1-H -专）
0 o
Q
=\ jc （1 — j? ）2 djr = ,
J o 12
故 T + 2X”
（19）【证明】
（I）I S+i —H” |= | f（.X„ ）—/（：｛■„_!）|= | y'（W）Cz” 一Z”_i）丨，其中 $ 介于工 n ” —t\ 与工”之间.
因为 0 所以丨 Z”+i— Z” $*|_Z”一 >Z”_i | ,
卄1
由递推关系得丨工卄 —工”丨W -―^丨工 —工
1 2 1 I •
因为级数工——[\ X 2 — \ |收敛，所以工丨H ”+i — H” |收敛,
” =1 力 n = 1
故级数工(工”+ — 乂”)绝对收敛.
1
n = l
(11 )级数 > (工卄 一工”)的部分和为
1
n = 1
S” =(^2— 工1)+(工 3 一 攵2)+ …+(工卄 1 一 久”)=工”+ 1 —Xi，
因为级数丫(工”+1 — jr „ )收敛，即limS”存在，所以limz”存在.
” =] nf8 ”-*8
令 limz” =a，s+i = f Cx „)及函数 )的连续性得 a = f (a).
n f 00
令9? (jr ) =x — /(jr ),即z =a为爭(工)的零点.
因为爭(0) = — /(0) = 一 1,
9? (2) = 2 -/(2) =1 - [/(2) - f(0)]=l-2/，(V) >0,其中 7 6 (0,2),
所以(p(x)在(0,2)内有零点.
又因为卩'(工)=1 —/'(工)> 0,所以卩(2)只有唯一的一个零点，且位于(0,2)内，
于是 0 < a V 2 9 即 0 Vlimj? < 2.
”f 8
(20)【解】方法一
/1 -1 -1 : 2 2 1 _ 1 -1 2 2
（A ： B）= 2 a 1 1 a 0 a + 2 3 -3 a 一 4
1 1 a 一 a 一 1 2 0 0 a -1 1 一 a 0
当a工一2 且a H 1时,
3a
1 0 0 1
I1 -1 -1 2 2 \ a + 2
CA \ B） 0 a + 2 3 —3 a -4 a 一 4
'0 0 / 0 1 0 0
0 1 -1 a + 2
0 0 1 -1 03a
1
a + 2
AX =B 有唯一解,X =A~ B = a 一 4
a + 2
-1 0
I1 -1 -1 : 2 2 \ 卩 0 0 1 1 \
7卜
当 a = 1 时，(A i B) [0 3 3 -3 0 1 1 —1 -1
'o 0 /
0 0 0 0 ' 0 0 0
由r(A) =r(A ： B) =2 < 3得AX =B有无数个解,
令 X = (X| ,x2),
l°\ 1 / 0 \ 1 \ 1 1 \
由 X]=紅(一 1 + k i - 1 ,X?=怡2 1 + -1 = —QT 得
' 1丿 ' 0 /
X = I — k ! — 1 — ^2 _ 1 j1 为任意常数).
'紅 k2 '
4 I ° 1 -1 -1 2 2 \ I1 -1 -1 2 2\
a = 一 2 时，（A ； B ） 0 3 —3 -6 -» 0 0 1 -1 0
0 / J
'0 0 -3 3 '0 0 0 0
因为r（A）Hr（A ； B）,所以AX = B无解.
1 - 1 - 1 1 -1 -1
方法二 | A | = 2 a 1 = 0 a + 2 3 =(a + 2) (a 一 1)
-1 1 a （） 0 a 一 1
当a工一 2且a H 1时，因为r（A ） =r（A B） =3,所以AX =B有唯一解,
1 0 0 1
4Z°1 -1 -1 2 2 \ a + 2
由（A丨B） t a + 2 3 —3 a 一 4 亠 a — 4
0丿 0 1 0 0
a + 2
0 1 -1
0 0 1 _ 1 0
3a
1
a + 2
o
得 a — 4
a + 2
—1 0
1 — 1 — 1 :2 2 \ 0 0 1 1 \
7卜
当 a =1 时，（A ； B）--0 3 3 -3 [0 I 1 —1 -1
'o 0 /
0 0 ；0 0 ' 0 0 0
由r（A） =r（A丨B）=2V3得AX=B有无数个解,
令 X = (X1 ,X2),1 1 10 \
t卜 /1 1 / 1 \
由Xi -1丿
十紅—1
，X2=H — 1 十 -1 =—紅―1 得
\ 0丿 \ 11 0丿 ' k2丿
1
一紅一1）（4，紅为任意常数）.
X= 7—1
k2 '
Z1 -1 —1 2 2 卩 -1 -1 2 2\
a = 一 2 时，(A ! B ) - 0 3 ； -3 -6 0 0 1 -1
'o 0丿 '（）
0 -3 i 3 0 0 0
因为r(A) r(A \ If),所以AX =B无解.
A 1 -1
（21）【解】（I ）由丨AE-A | = —2 入 + 3 0 =A (A + 1)(A + 2) 0得
0 0
矩阵A的特征值为A ! = — 1 ,入2 = — 2 ,入3 =0.
1 -1 \ I1 1 °\
卜0 J
将右 —1 代入(AE-A)X= 0.由一E-A= -2 2 0 0 得入1 —1对
' 0 0/
0 -1 '0 0
1
应的特征向量为了
0
丄
-2 1 1 1 0
将入2 = —2 代入(AE -A)X =0,由一2E-A -2 I 0 得
0 0 1
0 0 -2
0 0 0J
:
入2 =-2对应的特征向量为S
0
_ _3
，o I 1 1 0
将入3 =0代入QE — A)X (),由一 A = -2 3 0 得入3 0对应
0 1 -1
0 0 0
0 0 0
3
的特征向量为S
2
I1 1 3\ 1/T 0 °\
令P =「I 2 2 ,由 P AP = 0 _ 2 <> 得
'o
0 2' ' 0 0 o'2 -1 —2
0 0\ I1 1 3\ /<- D" 0 1
d —1 1
A" =p 0 Th <> =1 2 0 (-2)" 2
' 0 0 0丿 'o 0 2' \ 0 0 0 丄
0 0
I299 — 2 1 - 2" 2 —- 298 \
=2 00 — 2 1 — 2100 2 — 2"
0 0 o /
cn ）由 B2 =BA 得 “100 = B9SB2 == B"A = …=BA99 9
-2 1 --2" 2 -2笃
即（p^p2'03)= (a ] 9 a 2 9«3) olOO -2 1 --2100 2 —2" 9
\ 0 0 0丿
(2" - 2)a i + (2100 _ 2)a2 + 0a 3
故＜02 = (1-2")a 1 + (1 -2100) a 2 + 0a 3，
见= (2 - 298 )a j + (2 -299 )a + 0a3.
（22）【解】（I ）区域D的面积为A = P（VT-^ 丄_丄
2)djr
J 0
3, (无9丿)G D,
随机变量（X,Y）的联合密度为=
0, (•Z 9)) @ D.
（ ），
（n）设（u,x）的联合分布函数为g "“
G（0,*） p{u w 0,X w * =P X > Y,X w 2归 丄
0
当0 < < 1时,
3 2
F(z)= P{Z^z}= P{U= O,XY,X ^z}= 一 z3
当1 < z < 2时，
F(z)=P{U + XWn}=P{U = 0,XWJ+P{U = 1,XWz — 1}
1 A |(z-l)2;
=㊁ + 2(z_l)2
当 z > 2 时,F(z) =1,0, Z V 0,
—z2 — z3 , 0Wz
