(1.1.1.1)--中学数学衔接课(最新)._05.2026考研数学研途—杨超数学全程班_00.书籍和讲义_{0}--全部课件_已加水印

更懂考研，更懂你 考研数学前置课更懂考研，更懂你 前言 考研数学前置课，主要就是在正式学习考研数学之前我们要先回顾一下 我们曾经学过的初高中数学知识点，大家千万不要小看这部分内容，考研数学 还是会围绕着他们经常会考查你的。 比如反三角函数的图像与性质；三角函数的相关公式，再比如参数方程、 极坐标这部分内容。甚至解方程、约分你都忘的差不多了，这样的你直接学习 高等数学，你会发现难上加难，中学数学与高等数学的内容的脱节，极大地影 响了你学习高等数学。所以往届很多学生在做题过程中会犯的错误，其实都是 因为我们今天初等函数的底子没打扎实。所以我们就是在最开始就把这个初高 中知识学的细致一点，好的开端是成功的一半。 为了解决这些知识的漏洞，本课程要中学的数学内容统统找回来，因此 精心挑选了与高等数学息息相关的知识点，而且这部分知识同学们都是学过的， 没有必要以小白的方式重新学习，更多的是需要我们了解自己哪里不会，然后 再重点去记忆，所以本课程整体以知识填空及例题练习的形式帮助同学们查漏 补缺！更懂考研，更懂你 目录 第一讲代数与方程...................................................................................................................1 知识点1：整式的乘法 1 知识点2：常见乘法公式 1 知识点3：整式除法 1 知识点4：分式 2 知识点5：根式 3 知识点6：解一元二次方程 4 知识点7：解一元二次不等式 5 第二讲：函数的概念及性质....................................................................................................6 知识点8：集合 6 知识点9：函数的概念 6 知识点10：函数的基本性质 8 第三讲：常见的函数及函数图像..........................................................................................12 知识点11：幂函数 12 知识点12：指数函数 13 知识点13：对数函数 14 知识点14：三角函数 15 知识点15：反三角函数 20 知识点16：极坐标下函数图像 22 知识点17：参数方程的函数图像 23 第四讲数列.............................................................................................................................24 知识点18：等差数列 24 知识点19：等比数列 24 知识点20：常用求和公式 24 第五讲不等式.........................................................................................................................25 知识点21：常见不等式 25 第六讲希腊字母表.................................................................................................................26 知识点22：常见希腊字母 26更懂考研，更懂你 第一讲 代数与方程 知识点1：整式的乘法 （1）同底数幂的乘法 aman  （2）幂的乘方(am)n  （3）积的乘方(ab)n  知识点2：常见乘法公式 （1）  ab 2  （2）a2b2  （3）  ab 3  （4）a3b3  （5） abc 2  知识点3：整式除法 step1.把被除式、除式按某个字母作降幂排列，若有缺项，用零补齐； step2.用竖式进行运算； step3.当余式为零或余式的次数低于除式的次数时，运算为止，得到商式和余式。 【例】设P(x) x4 3x2 x3,Q(x) x2 x1，则P除以Q的带余除法运算。 1更懂考研，更懂你 知识点4：分式 （1）真假分式定义 真分式：在分子分母都是多项式时，分子的最高次数小于分母的最高次数称为真分式。 假分式：在分子分母都是多项式时，分子的最高次数大于分母的最高次数称为假分式。 （2）通分 1 1 【例】   x ln(1x) 1 1 【例】   x2 xtanx （3）拆分 x3x21 【例】  x21 2x34x1 【例】  x2x1 x31 【例】  x2x 1 【例】  x2 x2 2更懂考研，更懂你 1 【例】  x2  x4 1 【例】  x3  x2  x1 知识点5：根式 （1）根的乘法：a bc d  a （2）根的除法：  b （3）有理化 a  b  1  a  b 3x 1x 【例】 x2 x2 2tan x 2sin x 【例】 x3 3更懂考研，更懂你 知识点6：解一元二次方程 （1）万能方法：求根公式法 求解ax2 bxc0首先我们要判定 的具体值的正负. 判别式的正负 根的情况 具体根的取值 0 =0 0 （2）因式分解法（形如x2 (pq)x pq） 【例】（1）x2 7x60 （2）2x2 3x10 （3）配方法（加上一次项系数一半的平方，同时减去） 【例】（1）x2 6x7 0（2）2x2 8x50 4更懂考研，更懂你 知识点7：解一元二次不等式 a 0  0  0  0 y ax2 bxc 图像 ax2 bxc0的 根 ax2 bxc0的 解集 ax2 bxc0的 解集 5更懂考研，更懂你 第二讲：函数的概念及性质 知识点8：集合 （1）常见的数集： N : R: Q: （2）集合的区间表示法： 定义 名称 符号 数轴表示   x a xb 闭区间   x a xb 开区间   x a xb 半开半闭区间   x a xb 半开半闭区间   x xa 无穷区间   x xa 无穷区间 知识点9：函数的概念 1、函数三要素-----定义域、值域、对应法则 【例1】下列函数是否为同一个函数？ （1） f (x)  ln x2、g(x)2lnx （2） f (x) x、g(x) x2 6更懂考研，更懂你 2、复合函数定义 y  f u，u D 与u  g x， x D ，且其值域R D ，则称 y f   g  x   为 f g g f 函数 y  f u和u  g x的复合函数。 【例2】设 f x1的定义域为 0,a  ,a  0，则 f x的定义域为（ ） （A）1,a1  （B） 1,a1  （C） a,a1  （D） a1,a  3、常见的分段函数 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子或取值来表达的函数称为分段函数。 几个常见的分段函数： 1）绝对值函数： y  f (x) 1,x0  2）符号函数： y sgnx0, x0  1, x0 3）取整函数： y  x ，其中 x 表示不超过实数x 的最大整数 常用结论：x1 x  x  1, x 1, 【例3】设 f  x  ，则 f   f  x   等于（ ）  0， x 1,  1, x 1,  0, x 1, （A）0 （B）1 （C） （D）  0， x 1,  1， x 1, 7更懂考研，更懂你 4、反函数定义 函数 y  f x的定义域为D，值域为R ，若对于任意 yD ，都可确定唯一的x D f f 满足 y  f x，则称变量 x 为变量 y 的函数，记作 y f1x，称其为 y  f x的反 函数。 【例4】求下列函数的反函数： （1） y  3 x1 （2） y 1lnx2 知识点10：函数的基本性质 1、单调性 函数 y  f x，定义域D ，区间I  D f f 任意x ,x I ，当x  x 时，恒有 f x  f x   y  f x在I 上单调增加 1 2 1 2 1 2 任意x ,x I ，当x  x 时，恒有 f x  f x   y  f x在I 上单调减少 1 2 1 2 1 2 判定方法： ①定义法 ②用导数 ③常用结论 a.若 f x和 g x 均为区间 I 上的增（减）函数，则 f x gx为区间 I 上的增（减）函数 b.若 y  f u和u  g x在区间I 上具有相同的增减性，则y  f  gx 在区间I 上为增函数，若 y  f u和u  g x在区间I 上具有相反的增 减性，则 y  f  gx在区间I 上为减函数. 【例5】已知 f(x)是定义在(1,1)上的减函数，且不等式 f(1a) f(a21)，求a 的取 值范围。 8更懂考研，更懂你 2、奇偶性 奇函数 偶函数 定义域 定义式 图像对称性 常见函数 a.定义法 b.常用结论 ①奇 奇=奇；偶 偶=偶；奇奇=偶；偶偶=偶； 奇偶=奇； ②复合函数奇偶性：“内偶则偶，内奇同外” 判定方法 ③ f x是可导的奇（偶）函数，则 fx是偶（奇）函数， f x 是奇（偶）函数； ④ f x是连续的奇函数，则原函数是偶函数； f x是连续的偶函 数，则原函数不一定为奇函数； 【例6】判断下列函数的奇偶性   （1）ln sinx 1sin2 x exex （2） 2 9更懂考研，更懂你 3、周期性 设函数 y  f x 的定义域 D ，如果存在一个正数T ，使得对于每个 x D ，有 x T  D 且 f xT=f x，则称 f x为周期函数，T 为 f x的周期。 重要结论： T （1）若函数 f x的周期为T ，则 f axba0的周期为 . a （2）若函数 f x,gx的周期为T ，则 f x gx的周期为T . （3）若函数 f x,gx的周期为T,T，则 f x gx, f xgx都是的以T与T 1 2 1 2 的最小公倍数T 为周期的周期函数. （4）若函数 f x的周期为T ，并且 f x可导，则其导函数 fx的周期为T . 常见函数的周期：sinx，cosx其周期T  2 tanx，cotx， sinx ， cosx 其周期T   【例7】设 f x为定义在，上的偶函数，且其图形关于x  2 对称，则函数 f x必为周期函数，且周期为 。 【例8】下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： （1）y cos(x2) （2） y  cos4x （3） y 1sinx （4） y  xcosx 10更懂考研，更懂你 4、有界性 设函数 y  f x的定义域D，若存在正数M ，使得对于每个x D 都有 f  x   M 成 立，则称 f x在I 上有界。如果这样的M 不存在，就称 f x在I 上无界   常见的有界函数： sinx 1, cosx 1, arcsinx  , arccosx ，arctanx  2 2 【例9】讨论下列函数在其定义域内的有界性 x  ex  （1） ，（2）sin  1x2  x1 11更懂考研，更懂你 第三讲：常见的函数及函数图像 知识点11：幂函数 y  x（其中x 为自变量，是常数） y  x y  x2 yx3 1 y  x1 y  x2 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 12更懂考研，更懂你 知识点12：指数函数 指数函数：y ax a 0且a 1  a1 0  a 1 定义域 值域 图像 公共点 奇偶性 性 单调性 质 极限 指数幂的运算法则： （1）aa a  （2） a （3） a  （4） ab     （5）a   13更懂考研，更懂你 知识点13：对数函数 对数函数：y log x  a是常数且a 0,a 1  a a1 0  a 1 定义域 值域 图像 公共点 性 奇偶性 质 单调性 对数的运算法则： log MN a M log    a  N  log Mb  a log n M  a log 1 a log a a 14更懂考研，更懂你 知识点14：三角函数 y sinx,y cosx,y  tanx,y cotx.y secx,y cscx 正弦函数 余弦函数 定义 y sinx y  cosx 定义域 值域 图像 奇偶性 性 周期性 质 有界性 sin0 cos0   sin  cos  6 6   sin  cos  特殊函数值 4 4   sin  cos  3 3   sin  cos  2 2 15更懂考研，更懂你 正切函数 余切函数 定义 ytanx y cotx 定义域 值域 图像 奇偶性 性 质 周期性 tan0 limcotx  x0   tan  cot  6 6   tan  cot  特殊函数值 4 4   tan  cot  3 3 limtanx   cot  x 2 2 16更懂考研，更懂你 正割函数 余割函数 函数 y  secx y  cscx 定义域 值域 图像 奇偶性 性 质 周期性 17更懂考研，更懂你  三角函数的运算性质 （一）三角函数之间的转化（六边形记忆法） sinx cosx tan x cot x secx cscx （二）诱导公式 sin x ，cosx ， tan x ； sin x ，cosx ， tanx ；     sin x  ，cos x  ， 2  2    tan x  ； 2      sin x  ，cos x  ， 2  2    tan x  ； 2  （三）两角和差公式 sinx y ， sinx y ； cosx y ， cosx y ； 18更懂考研，更懂你 （四）二倍角公式 sin2x cos2x   sin2 x cos2 x x （五）万能公式 令u  tan 2 sinx ，cosx ，tanx （六）三角函数的积化和差公式 sinxcosy cosxsiny cosxcosy sinxsiny （七）三角函数的和差化积公式 sinxsiny sinxsiny cosxcosy cosxcosy （八）辅助角公式 asinxbcosx  a2 b2 sinx，其中角的终边所在象限与点a,b所在象限相 同 sin ，cos ，tan 19更懂考研，更懂你 知识点15：反三角函数 反正弦函数 反余弦函数 定义 y  arcsin x y  arccosx 定义域 值域 图像 奇偶性 性 单调性 质 等式 arcsin0 arccos0 arcsin1 arccos1 1 1 arcsin  arccos  2 2 特殊值 2 2 arcsin  arccos  2 2 3 3 arcsin  arccos  2 2 arcsin1 arccos1 20更懂考研，更懂你 反正切函数 反余切函数 函数 y arctanx y arccotx 定义域 值域 图像 奇偶性 单调性 有界性 性 质 常用极限 等式 arctan0 arccot0 arctan1 arccot1 arctan 3  arccot 3  特殊值 3 3 arctan  arccot  3 3 arctan1 arccot1     arctan  3  arccot  3  21更懂考研，更懂你 知识点16：极坐标下函数图像 1、极坐标系的概念： 在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度 单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐 标系。 2、极坐标与直角坐标的互化： 点P 直角坐标P(x,y) 极坐标P(r,) xrcos y 互化公式  r  x2  y2，tan y rsin x 3、常见的极坐标形式下的函数图像 曲线 极坐标方程 图形 圆心在极点，半 径为a 的圆 圆点在(a,0)，半 径为a 的圆 心形线 阿基米德螺线 双纽线 22更懂考研，更懂你 知识点17：参数方程的函数图像 参数方程的概念： x f(t) 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x, y 都是某个变数t 的函数 y  g(t) 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个 方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x, y 的变数t叫做参变数，简称参数。 常见的参数方程 类型 参数方程 图形 圆 (xa)2 (yb)2 r2 星形线 2 2 2 x3  y3 a3 摆线 23更懂考研，更懂你 第四讲 数列 知识点18：等差数列 （1）定义： （2）通项公式： （3）前n 项和公式： 知识点19：等比数列 （1）定义： （2）通项公式： （2）前n 项和公式： 知识点20：常用求和公式 （1）123Ln （2）122232Ln2  （3）132333Ln3  1 1 1 1 （4）   L  12 23 34 n n1  24更懂考研，更懂你 第五讲 不等式 知识点21：常见不等式 ① a  b  ab  a  b ②a2 b2 2aba，bR ③ab  2 aba  0.b  0 2 ab a2 b2 ④  ab    a 0,b 0  1 1 2 2  a b ⑤a3 b3 c3 3abca  0.b  0,c  0 abc ⑥  3 abc  a 0.b0,c 0  3 ⑦ex 1 x,xR ⑧xln1x,x1 ⑨xsinx,x0，  ⑩sinx xtanx,0 x 2 25更懂考研，更懂你 第六讲 希腊字母表 知识点22：常见希腊字母 希腊字 读音 读法 手写 母  /alfa/ 阿尔法  /beite/ 贝塔 , /gama/ 伽玛 , /delta/ 德尔塔  /ep'silon/ 一普西龙  /zi:ta/ 泽塔  /i:te/ 伊塔  /0i:te/ 西塔  /ksail 克西 , /lamde/ 拉姆达  /mju:/ 缪  /tau/ 涛 , /sigma/ 西格玛 , /oumaik'ran/ 奥密克戎 , /pail 派  /rou/ 柔 , /fai/ Fai , /psail 普赛 , /oumiga/ 欧米伽 26