(15)--1.1-1.2笔记小结_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

高等数学精讲 主讲：武忠祥教授老师简介 主讲人 武忠祥老师 n 李永乐考研团队 核心成员 n 原西安交通大学数学系教授 n 美国爱荷华大学访问学者 n 面向二十一世纪国家级重点教材 《工科数学分析基础》主编 n 曾获国家优秀教材等奖 《考研数学复习全书》 《高等数学辅导讲义》等畅销书主编 n 拥有十余年考研辅导经验老 师 简 介 @武忠祥考研 公众号：武忠祥考研第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 一、映射 二、函数一、映射 二、函数 1. 函数概念 定义 如果对于每个数 x  D ,变量 y 按照一定的法则 总有一个确定的 y 和它对应, 则称 是 y 的函数, 记为 x y  f (x) .常称 x 为自变量， y 为因变量, 为定义域. D 定义域 D  D. f 值域   R  f (D)  y y  f (x), x  D f 【注】函数概念有两个基本要素：定义域、对应法则.2. 函数的几种特性 （1）函数的有界性 设 X  D 有上界： x  X , f (x)  M 1 有下界： x  X , f (x)  M 2 有界： x  X , f (x)  M 有界  有上界且有下界 无界： 使 M  0,x  X , f (x )  M 0 0 （2）函数的单调性 设区间 I  D 单调增： x , x  I, 当 x  x 时 , 恒有 f (x )  f (x ) 1 2 1 2 1 2 单调减： x , x  I, 当 x  x 时 , 恒有 f (x )  f (x ) 1 2 1 2 1 2（3）函数的奇偶性 设 关于原点对称 D 偶函数： f ( x)  f (x) x  D 奇函数： f ( x)   f (x) x  D 【注】偶函数的图形关于 y 轴对称 ， 奇函数的图形关于原点对称, 且若 在 处有定义,则 f ( x) x  0 f (0)  0.（4）函数的周期性 定义 若存在实数 T  0 ,对于任意 x,恒有 f (x  T )  f (x) 则称 为周期函数.使得上式成立的最小正数 y  f (x) T 称为最小正周期，简称为函数 的周期. f ( x) 【例4】狄利克雷函数 1, x  Q, D(x)   0, x  Q c .复合函数 定义 设 y  f (u) 的定义域为 u  g( x) 的定义域为 D D , g f 值域为 若 则称函数 y  f [g(x)] 为函数 R , D  R , g f g 与 的复合函数.它的定义域为 y  f (u) u  g(x)   x x  D , g(x) D g f 2  x, x  0  x 2 , x  0 【例5】设 g(x)   , f (x)   ,求 g[ f (x)]  x  2, x  0   x, x  0 及 f [g(x)].4. 函数的运算 f  g : ( f  g)(x)  f (x)  g(x) f  g : ( f  g)(x)  f (x) g(x) f f f (x) : ( )(x)  g g g(x) 【例6】设函数 f (x) 的定义域为 (l, l), 证明必存在 (l, l), 上的 偶函数 g(x) 及奇函数 使得 f (x)  g(x)  h(x) h(x),5. 初等函数 定义 将幂函数 ,指数,对数,三角,反三角统称为基本 初等函数.了解它们的定义域,性质,图形. 幂函数 y  x  （  为实数）； 指数函数 y  a x （ a  0, a  1 ） 对数函数 y  log x (a  0,a  1) a 三角函数 y  sin x y  cos x, y  tan x y  cot x 反三角函数 y  arcsin x y  arccos x y  arctan x, 定义 由常数和基本初等函数经过有限次的加、减、乘、 除和复合所得到且能用一个解析式表示的函数,称为初等函数.内容小结 定义域 1.函数的定义及函数的二要素 对应法则 2.函数的特性 有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性 3.复合函数与反函数 4.基本初等函数与初等函数 作业 P16 6; 7 (4),(5),(6); 8; 9 (1),(2),(5); 12 ; 13;