高等数学精讲
主讲：武忠祥教授老师简介
主讲人
武忠祥老师
n 李永乐考研团队
核心成员
n 原西安交通大学数学系教授
n 美国爱荷华大学访问学者
n 面向二十一世纪国家级重点教材
《工科数学分析基础》主编
n 曾获国家优秀教材等奖
《考研数学复习全书》
《高等数学辅导讲义》等畅销书主编
n 拥有十余年考研辅导经验老 师 简 介
@武忠祥考研
公众号：武忠祥考研第一章 函数与极限
第一节 映射与函数
一、映射
二、函数一、映射
二、函数
1. 函数概念
定义 如果对于每个数 x D ,变量 y 按照一定的法则
总有一个确定的 y 和它对应, 则称 是 y 的函数, 记为
x
y f (x) .常称 x 为自变量， y 为因变量, 为定义域.
D
定义域
D D.
f
值域
R f (D) y y f (x), x D
f
【注】函数概念有两个基本要素：定义域、对应法则.2. 函数的几种特性
（1）函数的有界性
设
X D
有上界：
x X , f (x) M
1
有下界：
x X , f (x) M
2
有界： x X , f (x) M 有界 有上界且有下界
无界： 使
M 0,x X , f (x ) M
0 0
（2）函数的单调性
设区间
I D
单调增： x , x I, 当 x x 时 , 恒有 f (x ) f (x )
1 2 1 2 1 2
单调减： x , x I, 当 x x 时 , 恒有 f (x ) f (x )
1 2
1 2 1 2（3）函数的奇偶性
设 关于原点对称
D
偶函数： f ( x) f (x) x D
奇函数： f ( x) f (x) x D
【注】偶函数的图形关于 y 轴对称 ， 奇函数的图形关于原点对称,
且若 在 处有定义,则
f ( x) x 0 f (0) 0.（4）函数的周期性
定义 若存在实数 T 0 ,对于任意 x,恒有 f (x T ) f (x)
则称 为周期函数.使得上式成立的最小正数
y f (x) T
称为最小正周期，简称为函数 的周期.
f ( x)
【例4】狄利克雷函数
1, x Q,
D(x)
0, x Q c .复合函数
定义 设 y f (u) 的定义域为 u g( x) 的定义域为 D
D ,
g
f
值域为 若 则称函数 y f [g(x)] 为函数
R , D R ,
g f g
与 的复合函数.它的定义域为
y f (u) u g(x)
x x D , g(x) D
g f
2 x, x 0 x 2 , x 0
【例5】设 g(x) , f (x) ,求 g[ f (x)]
x 2, x 0 x, x 0
及
f [g(x)].4. 函数的运算
f g : ( f g)(x) f (x) g(x)
f g : ( f g)(x) f (x) g(x)
f f f (x)
: ( )(x)
g g g(x)
【例6】设函数 f (x) 的定义域为 (l, l), 证明必存在 (l, l), 上的
偶函数 g(x) 及奇函数 使得 f (x) g(x) h(x)
h(x),5. 初等函数
定义 将幂函数 ,指数,对数,三角,反三角统称为基本
初等函数.了解它们的定义域,性质,图形.
幂函数 y x （ 为实数）；
指数函数 y a x （ a 0, a 1 ）
对数函数
y log x (a 0,a 1)
a
三角函数
y sin x y cos x, y tan x y cot x
反三角函数 y arcsin x y arccos x y arctan x,
定义 由常数和基本初等函数经过有限次的加、减、乘、
除和复合所得到且能用一个解析式表示的函数,称为初等函数.内容小结
定义域
1.函数的定义及函数的二要素
对应法则
2.函数的特性 有界性, 单调性,
奇偶性, 周期性
3.复合函数与反函数
4.基本初等函数与初等函数
作业
P16 6; 7 (4),(5),(6); 8;
9 (1),(2),(5); 12 ; 13;
